高等数学第二节中心极限定理
第二节-中心极限定理要点
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
中心极限定理的内容及意义
中心极限定理的内容及意义1. 中心极限定理呀，这可是个超神奇的东西呢！简单说就是不管原来的总体分布长啥样，只要样本量足够大，样本均值的分布就近似于正态分布。
就好比咱们学校组织抽奖，奖品有好多不同类型，一开始奖品的分布是乱七八糟的。
可是当抽奖的次数足够多，也就是样本量够大的时候，每次抽奖得到的平均奖品价值的分布就变得很有规律了，就像正态分布那样规规矩矩的。
这多奇妙啊！2. 中心极限定理的意义可不得了。
它就像一把万能钥匙，能打开很多统计学上的难题之门。
比如说，有个卖水果的小贩，他进的水果大小不一，最开始水果大小的分布特别复杂。
但是如果他每次称一大袋水果当作一个样本，称的次数多了，这些样本的平均水果大小就会遵循正态分布。
这让他能更好地预估自己水果的平均大小，然后定价啊，控制成本啥的，是不是超级有用？3. 嘿，中心极限定理！你知道吗？它让我们能在很复杂的情况下做出靠谱的估计。
想象一下，一个工厂生产各种形状和大小的零件，那些零件最初的尺寸分布乱得像一团麻。
但是呢，当我们从生产线每次取足够多的零件当作样本，样本的平均尺寸就会像听话的孩子一样，接近正态分布。
这就像给工程师们吃了颗定心丸，他们能根据这个来判断生产是否正常，多棒啊！4. 中心极限定理是统计学里的一颗璀璨明星啊。
它的内容就是告诉我们，即使总体是千奇百怪的分布，只要样本量上去了，样本均值的分布就向正态分布看齐。
就像一群性格各异的人，一开始乱哄哄的。
可是当把他们分成足够多的小组，每个小组的平均性格就会有一定的规律，就好像被正态分布的魔力给约束住了一样。
这对我们做调查研究可太有帮助了，能让我们从混乱中找到规律呢。
5. 哇塞，中心极限定理真的很牛！它的内容可以这么理解，无论总体的分布是像高山一样起伏不定，还是像迷宫一样错综复杂，只要样本数量足够大，样本均值的分布就会变得像正态分布那样平滑和有规律。
比如说，在一个大型的购物商场里，顾客的消费金额分布一开始各种各样。
中心极限定理
中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
中心极限定理课件
X ~ b( 200, 0.6),
X ~ b( 200, 0.6),
现在的问题是: 现在的问题是: 求满足 P { X ≤ N } ≥ 0.999 的最小 的 N. 由定理 2
X − np 近似服从 N (0, 1), 这里 np(1 − p ) np = 120, np(1 − p ) =0 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 的概率 个螺丝钉的重量, 解 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量, i = 1,2,L,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 且它们之间独立同分布, 为X=
棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格 拉普拉斯定理是林德伯格—勒维定理 注： 棣莫佛 拉普拉斯定理是林德伯格 勒维定理 它是历史上最早的中心极限定理. 它是历史上最早的中心极限定理 的一个重要特例， 的一个重要特例，
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近 下面的图形表明 正态分布是二项分布的逼近. 正态分布是二项分布的逼近
E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 , i = 1,2,L, n,L
则
n ∑ X i − nµ x 1 −t2 i =1 lim P ≤ x = ∫ e 2 dt. −∞ n →∞ σ n 2π
注：定理表明 当 n 充分大时， n 个具有期望和方 定理表明: 充分大时， 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布. 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布 虽然在一般情况下， 虽然在一般情况下，我们很难求出 X 1+ X 2 + L + X n
中心极限定理通俗理解
中心极限定理通俗理解
中心极限定理指的是给定一个任意分布的总体。
每次从这些总体中随机抽取n个抽样，一共抽m次。
然后把这m组抽样分别求出平均值。
这些平均值的分布接近正态分布。
我们先举个栗子
现在我们要统计全国的人的体重，看看我国平均体重是多少。
当然，我们把全国所有人的体重都调查一遍是不现实的。
所以我们打算一共调查1000组，每组50个人。
然后，我们求出第一组的体重平均值、第二组的体重平均值，一直到最后一组的体重平均值。
中心极限定理说：这些平均值是呈现正态分布的。
并且，随着组数的增加，效果会越好。
最后，当我们再把1000组算出来的平均值加起来取个平均值，这个平均值会接近全国平均体重。
其中要注意的几点：
1、总体本身的分布不要求正态分布。
上面的例子中，人的体重是正态分布的。
但如果我们的例子是掷一个骰子（平均分布），最后每组的平均值也会组成一个正态分布（神奇）。
2、样本每组要足够大，但也不需要太大。
取样本的时候，一般认为，每组大于等于30个，即可让中心极限定理发挥作用。
中心极限定理理解
中心极限定理理解一、啥是中心极限定理呢？咱就把它想象成一个很神奇的魔法。
比如说啊，有一堆乱七八糟的数据，它们单个看起来可能毫无规律，但是呢，当这些数据的数量变得超级多的时候，它们就会像被施了魔法一样，变得有规律起来。
这个规律就是会趋近于一种特定的分布，一般就是正态分布啦。
就好像一群调皮的小孩子，一开始各自乱跑乱跳，但是当人足够多的时候，就会慢慢形成一种像是排队一样的整齐状态。
这就是中心极限定理大概在做的事情，它让那些看起来杂乱无章的数据在大量的情况下有了一种秩序感。
二、中心极限定理的例子你看啊，假如我们去统计一个学校里每个学生每天的零花钱。
每个学生的零花钱肯定是各种各样的，有的多有的少，完全没个准儿。
但是如果我们把全校学生的零花钱都统计起来，而且这个学校的学生数量还特别大的话，那这个零花钱的总数或者平均数就会符合中心极限定理。
它就会趋近于正态分布。
这就好比每个学生的零花钱是一颗小珠子，一开始这些珠子散落在各处，但是当珠子的数量超级多的时候，它们就会堆成一个类似正态分布的形状。
再比如说掷骰子，掷一次骰子，结果是1到6中的任意一个数，完全随机。
但是如果我们掷很多很多次骰子，然后统计每次掷骰子结果的总和或者平均值，这个结果也会遵循中心极限定理，慢慢地靠近正态分布。
三、中心极限定理为啥重要呢？这可太重要啦！在实际生活中，它的应用超级广泛。
比如说在做市场调查的时候，我们要调查人们对某个产品的满意度。
每个被调查者的满意度是不同的，但是当调查的人数足够多的时候，我们就可以根据中心极限定理来对整体的满意度进行一个比较准确的估计。
还有在质量检测方面，如果一个工厂生产很多产品，每个产品的某个指标可能会有波动，但是当产品数量很大的时候，就可以用中心极限定理来判断这个生产过程是不是稳定。
要是没有这个定理，我们就很难从那些杂乱的数据中找到规律，就像在黑暗中摸瞎一样，不知道该怎么去处理那些大量的数据。
所以说啊，中心极限定理就像是我们在数据海洋里的一盏明灯，给我们指引方向，让我们能够对那些看似无序的数据进行有效的分析和处理呢。
中心极限定理【概率论与数理统计+浙江大学】
k 1
k 1
近似地
Zn ~ N (0,1)
2、随机变量X k 无论服从什么分布，只要满足
定理条件，随即变量之和
n
X
k，当n很大时，就近
k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
设随机变量n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
例2解答：
（1)解：设应取球n次，0出现频率为
1 n
n k 1
Xk
E(
1 n
n k 1
Xk
)
0.1,
D(
1 n
n k 1
Xk
)
0.09 n
n
Xk
近似地
~
N
(n , n
2
)
;
k 1
n
X k n 近似地
k 1
n
~ N (0,1).
2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
近似地
中心极限定理 公式
中心极限定理公式
中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中的一个重要定理，描述了当独立同分布的随机变量的个数足够大时，它们的均值的分布趋近于一个正态分布。
具体来说，设X₁、X₂、...、Xₙ是n个独立同分布的随机变量，均值为μ，方差为σ²。
定义随机变量Sₙ = (X₁ + X₂ + ... + Xₙ)/n 为样本均值。
则当n趋近于无穷大时，样本均值Sₙ的分布趋近于正态分布，均值为μ，方差为σ²/n，即Sₙ ~ N(μ, σ²/n)。
中心极限定理的应用非常广泛，其中一个常见的应用是在统计推断中的抽样分布。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布就近似于正态分布，这使得我们可以使用正态分布的性质进行统计推断，例如计算置信区间和假设检验。
除了上述基本形式的中心极限定理，还存在其他形式的中心极限定理。
例如，林德伯格-列维定理（Lindeberg-Lévy Central Limit Theorem）描述了当随机变量的方差存在且有限时，即使它们不完全独立，只要它们之间的相关性很弱，中心极限定理仍然成立。
总而言之，中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它描述了当独立同分布的随机变量的个数足够大时，它们的均值的分布趋近于一个正态分布。
这个定理在统计推断中有广泛的应用，并且存在多个形式的中心极限定理。
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
中心极限定理
分布, 只要满足定理的条件, 那么它们的和 X k
k 1
当 n 很大时,近似地服从正态分布.
定理三(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理)
设随机变量n (n 1,2,) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意x, 恒有
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
并假设各次试验是独立的,在90 000次波浪冲击中
纵摇角大于 3º的次数为 X,
则 X 是一个随机变量,
且
X
~
b 90000,
1 3
.
分布律为
P{ X
k}
90 000
1
k
2 90000k
,
k 3 3
k 1,,90000.
所求概率为
P{29500
X
30500}
k
30500
2.321
1 (2.321) 0.01 .
例4对于一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是
一个随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名
家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若
学校共有400名学生, 设各学生参加会议的家长数相
互独立, 且服从同一分布. (1) 求参加会议的家长数
29501
90000 k
1 3
k
2 3
90000
k
.
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
中心极限定理(27页PPT)
§5.2 中心极限定理
一. 中心极限定理的定义与意义
定义5.2.1 设随机变量X, X1, X2, …的分布函 数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x
)
在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变 量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X .
中心极限定理
二. 中心极限定理
定理5.2.1（林德伯格—列维定理、独立
同分布中心极限定理）
设{ Xk }, k =1,2…为相互独立, 具有相同分
布的随机变量序列, 且E( Xk ) = m, D( Xk ) = s2,
则{ Xk }满足中心极限定理，即 有
n
lim
P
k
1
X
k
nm
x
Φ( x)
100
X Xi
i 1
电子科技大学
中心极限定理
并且随机变量 X1, X2, ···, X100 独立同分布,
具有分布律:
P{ X i
k}
1 (2)k1, 33
k 1,2,
因 1
E( X i ) 1 3, 3
2
D( X i )
3
(
1 3
)2
6
i = 1, 2, ···, 100;
根据林德伯格—列维定理, 所求概率
电子科技大学
中心极限定理
100
P{280 Xi 300}
i 1
(0) (0.8165)
0.5 1 (0.8165) 0.293
电子科技大学
中心极限定理
5.2 中心极限定理
中心极限定理的客观背景（Central Limit Theorem(CLT)）在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其中每一因素在总的影响中所起的作用都是微小的.这种随机变量往往近似地服从正态分布.该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.Gauss(1777-1855)例如：考虑炮弹的射击误差.设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为(X,Y)，X，Y分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差.我们来看造成误差的原因是什么？炮身在每次射击后，因震动而造成微小的偏差；每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差；每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差；炮弹在前进时遇到的空气气流的微小扰动而造成的误差；等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的.误差X 或Y 是这许多彼此间相互独立的随机小误差的总和，即n k k X X 1==∑考察有限个独立同分布随机变量和：12,n n S X X X =+++可否考虑用极限的方法来计算呢？1lim 1n n P S n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭,n S n μ≈→∞2()D n σ=→∞n S n μ-n n Y n σ=在一些较松的条件下，和的极限分布就是正态分布呢，此类定理就是中心极限定理定理1（独立同分布的中心极限定理）设X 1, X 2,…是独立同分布的随机变量序列，且E (X i )=μ，D (X i )=σ2>0，i =1,2,…，则1lim n i i n X n P x n μσ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑222x t e dt π--∞=⎰x ()=Φ当n 较大时近似服从标准正态分布N (0,1).12n k k n X n Y n μσ=-=∑近似服从正态分布N (n μ,n σ2)（1）当n 较大时利用该定理，可以得到如下近似分布：（2）特别地，当n 较大时，近似服从正态分布N (μ,σ2/n )1n k n k Xn Y n σμ==+∑n k k X X n 11==∑例如：设随机变量X1,X2,…,X n独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，即Xi ~π(λ)，则nn iiS X n1~()πλ==∑取λ=1，当n=1,3,5,10,20时，Sn的分布律的图像如下所示.可以看出，当n 越来越大时，S n 的分布律的图像形状越来越像正态分布.0.0500.10.150.20.250.30.350.405101520253035n=20n=10n=5n=3n=1定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）证明：设随机变量Y n 服从参数为n 和p (0<p <1)的二项分布，n =1,2,…,则对于任意的x ，有令n n Y np P x np p lim }(1)→∞-≤-222x t e dt π--∞=⎰x ()=Φi i A X i n i A 1,,1,...,0,⎧==⎨⎩第次试验发生第次试验不发生则X 1,X 2,…,X n 独立同分布，且E (X i )=p ，D (X i )=p (1−p ).设Y n 是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，P (A )=p (0<p <1)则故由定理1，有i i A X i n i A 1,,1,...,0,⎧==⎨⎩第次试验发生第次试验不发生1n n i i Y X ==∑n i i n X n P x x n 1lim ()μσ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=Φ⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑n n Y np P x x np p lim {}()(1)→∞-≤=Φ-定理表明，当n 较大，0<p <1时，于是，当n 较大，0<p <1时，Y n ~N (np ,np (1−p )).近似于标准正态分布N (0,1).n Y npnp p (1)--即，若Y ~b (n ,p )，则：Y ~N (np ,np (1−p ))近似例1.当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴（mr）时，辐射会对人的健康造成伤害.设一台彩电工作时的平均辐射强度是0.036（mr/h），方差是0.0081.则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害.但是彩电销售店同时有多台彩电工作时，辐射可能对人造成健康伤害.现在有16台彩电同时工作，问这16台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率.解：设Xi 为第i台彩电的辐射量，则EXi=0.036，DX i=0.0081，i=1,2, (16)则S=X1+X2+…+X16是16台彩电的总辐射量.即：这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康伤害.P S F (0.5)1(0.5)>≈-0.5160.0361()160.0081-⨯=-Φ⨯(0.211)0.58≈Φ=由中心极限定理，S ~N (16×0.036,16×0.0081)（近似）S =X 1+X 2+…+X 16是16台彩电的总辐射量，EX i =0.036，DX i =0.0081当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴时，会对人的健康造成伤害.例2.某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加某种医疗保险.已知该类人在一年内生该种病的概率为0.006.每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在生病时可从公司领得1000元.问在此项业务活动中，（1）保险公司赔钱的概率是多少？（2）保险公司获得利润（暂不计管理费）不少于40000的概率是多少？解：令X表示10000个参加该种医疗保险的人中，一年内生该病的人数，易知：X~b(10000, 0.006)10000个人参加保险，得病的概率为0.06，每人保险费12元，生病时可得1000元.（1）保险公司赔钱的概率是多少？由棣莫佛-拉普拉斯定理，有120601()59.64-≈-Φ1(7.769)0≈-Φ≈EX =10000×0.006=60DX =10000×0.006×0.994=59.64X ~N (60,59.64) （近似）P (10000×12−X ×1000≤0)=P (X ≥120)≈1−F (120)X ~b (10000, 0.006)P X (1000012100040000)⨯-⨯≥X ~N (60,59.64) （近似）P X (80)=≤F (80)≈()59.64=Φ(2.59)0.9952=Φ=10000个人参加保险，得病的概率为0.06，每人保险费12元，生病时可得1000元.（2）保险公司获得利润（暂不计管理费）不少于40000的概率是多少？中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现钟形曲线这一值得注意的事实.。
第二节中心极限定理 PPT
x
1
t2
e 2 dt
2
注: ▲ 定理3表明,正态分布就是二项分布得极限分布, 当 n 充分大时可以用正态分布来计算二项分 布得概率。
▲ 在第二章中已介绍当 n 时，二项分布以
泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又 以正态分布为极限分布。这两者的区别是：
在泊松定理中要求 np (为常数)
中心极限定理得客观背景 在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生 得总影响:
例如:炮弹射击得落点与目标得偏差,就受着 许多随机因素得影响: 如,瞄准时得误差,空气阻力所产生得误 差,炮弹或炮身结构所引起得误差等等、
而所要研究得就是:这些随机因素得总影响。
一、 独立同分布中心极限定理 (林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理)
同一(0—1)分布，则 X1 X2 Xn 服从参数为 n, p (0 p 1) 的二项分布
见教材P125 例6 得结论
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
由此n
是
n
个相互独立，服从同一 n
(0--1)
分布的
X1 , X 2 X n 之和。即： n X k k 1
即要: ( 10 0.1n ) 0.1 0.3 n
此时由于: ( 10 0.1n ) 0.5 0.3 n
必定有: 10 0.1n 0 0.3 n
P 439 附表2中 z 0 (z) 0.5
所以要: ( 10 0.1n ) 0.1
0.3 n
因为
只要: 1 ( 0.1n 10) 0.1 0.3 n
0.5 0.5
E(Xk )
2
0,
[0.5 (0.5)]2 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
研究的问题： 研究相互独立随机变量之和所特有的规律性问题。 (1). 当 n 无限增大时，这个和的极限分布是什么？ (2). 在什么条件下极限分布将是正态分布？ 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布 这一类定理都叫做中心极限定理。故有： 在一定条件下，大量的随机变量之和的概率分布 以正态分布为极限的定理称为中心极限定理。
的分布却是近似
n
Xk n
Yn k1 n
1
n
n k 1
Xk
1 n
n
1
n
n k 1
Xk
E(X
)
1 D( X ) n
即
1 n
n k 1
Xk
服从正态分布N[E( X ),(
1 n
D( X ))2 ]
或 X ~ N( , 2 n )
这一结果是数理统计中 大样本统计推断的基础
概率统计
二. 德莫弗---拉普拉斯定理
（De Moivere—laplace 中心极限定理）
定理3. 设随机变量 Yn 相互独立，且服从参数为
n, p (0 p 1) 的二项分布，则对任意 x
恒有:
lim
n
P
Yn np
np(1 p)
x
x
1 t2 e 2 dt
2
概率统计
注 ▲ 定理２表明：正态分布是二项分布的极限分布， 当 n 充分大时可以用正态分布来计算二项分 布的概率。
现要求 n ，使得： P(10 X n) 0.9
由
P ( 10 X n )
近似服从N( 0, 1 )
定
10 0.1n X 0.1n n 0.1n
理 P(
)
3
0.3 n 0.3 n 0.3 n
概率统计
P ( 10 0.1n X 0.1n 3 n ) 0.3 n 0.3 n
第五章知识结构图
概率论的理论结果
大数定律
中心极限定理
切比雪 夫大数
定理
贝努利 大数 定理
辛钦 (大数) 定理
独立同 分布的 中心极 限定理
李雅普 诺夫中 心极限
定理
棣莫弗 --拉普 拉斯中 心极限 定理
概率统计
第二节 中心极限定理
问题的引出
概率论中，已经知道正态分布居于头等重要 的地位，许多随机变量都遵循正态分布。
定理1. 设随机变量 X1, X2 Xn 相互独立且服从同
一分布，其数学期望与方差: E( X k ) n
D ( Xk ) 2 , (k 1, 2 ), 则随机变量之和 Xk k 1
的标准化变量 Yn ：
n
n
n
n
Xk E( Xk ) Xk n Xk n
Yn k1
k 1
n
D( Xk )
标准正态分布。
虽然在一般情况下，很难求出 X1+ X2 + …+ Xn 的分布的确切形式，但当 n 很大时，可以求 出其近似分布。
概率统计
▲ 定理1 表达了正态分布在概率论中的特殊地位:
尽管 X1, X2 Xn 分布是任意的，但只要 n 充
分大后，其样本平均值 服从正态分布的：
1
n
n k 1
X
k
概率统计
必定有： 10 0.1 n 0 0.3 n
P 309附表2中 z 0 (z) 0.5
所以要： ( 10 0.1 n ) 0.1 0.3 n
▲ 在第二章中已介绍当 n 时，二项分布以
泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又 以正态分布为极限分布。这两者的区别是：
在泊松定理中要求 np (为常数) 在中心极限定理中要求 np
在实际计算中，如果 n 很大但 np或 nq 不大 ( 即 p 很小或 q =1-p 很小 )，则用泊
松定理去近似；如果 n，np 或 nq 都较大，
k1
n 2
k1
n
k 1
概率统计
的分布函数 Fn ( x) 对于任意 x 满足:
n
Xk n
lim
n
Fn ( x)
lim
n
P
k 1
n
x
x
1 t2 e 2 dt
2
证： (略) 它要用到特征函数和傅利叶变换等等。
注 ▲ 定理1 表明: 当 n 充分大时，n 个具有期望和 方差的独立同分布的随机变量之和 近似服从
林德贝格中心极限定理。 当“同分布”为二项分布时就得出该定理的特例， --------德莫弗---拉普拉斯定理(二 项分布的正态近似)
概率统计
比如： 一台机床已经调试良好，操作正常。但由于机床 的微小震动、工具的微小变形、原材料质量上的 微小差异、工作操作上的微小偏差等等数不清的 随机因素，它们每一个因素在总的影响中所起的 作用都是微小的。而综合起来在产品质量上就形 成一定的误差，这误差近似服从正态分布。
由3σ准则， (3 n )为 1
(3 n) (10 0.1n) 1 (10 0.1 n )
0.3 n
0.3 n
要 P(10 X n) 0.9
只要： 1 ( 10 0.1n ) 0.9 0.3 n
即要： ( 10 0.1 n ) 0.1 0.3 n
此时由于： ( 10 0.1n ) 0.5 0.3 n
则用中心极限定理去近似。
概率统计
例1. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个 则认为这批产品不能接受。
求：应该检查多少个产品，可使次品率为 10% 的 一批产品不能被接受的概率达到 0. 9?
解: 设 n：应检查产品个数 ，X：其中次品数，则
X ~ B(n, 0.1), n p 0.1n , npq 0.3 n
自从高斯指出测量误差服从正态分布之 后，人们发现，正态分布在自然界中极 为常见。
大量实验观察也表明:
高斯
如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造 成，而每一个别因素在总影响Fra bibliotek所起的作用不大，
则这种量一般都服从或近似服从正态分布。
概率统计
是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？
在长达两个世纪内一直成为概率论研究的中心 问题。数学家们经过卓越工作建立了一系列定 理，解决了这一问题，并指出: (具有有限方差的一列独立同分布的随机变量的 和 经过标准化后是以标准正态分布为极限的. -------- 独立同分布的中心极限定理 或 称为
概率统计
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生 的总影响：
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多 随机因素的影响： 瞄准时的误差，空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 所要研究的是：这些随机因素的总影响.
概率统计
一. 独立同分布中心极限定理
（林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理）