组合计数

组合计数

计数的方法大致有以下几种：

1．基本方法.其中包括分情况讨论——加法原理；在每种情况中，逐步递进，先做一件事，再做第二件事，……这就需要乘法原理. 还有，从反而考虑问题：在总数中减去A不出现的个数得到A出现的个数.

2. 应用公式. 包括排列、组合、允许重复的组合、圆周排列等. 这些公式在通常的课本中可以

找到.

3. 利用对应.

4. 建立递推关系.

5. 利用容斥原理.

6.算两次

7. 利用母函数

8.其它

问题讨论：

1.从1，2，…，49中取出6个不同的数，使得其中至少有两个相邻，问共有多少种取法？

解：首先,集合{}1,2,,49M = 的所有不同的6元子集的个数为6

49C ,但是,其中6个数不相

邻的子集{}1261,,,,1,1,2,3,4,i i a a a a a i ++<= 不满足题中要求.

记满足①的所有6元子集的集合为A ,并令{}{}126126,,,,,,a a a b b b → , 其中1,1,2,3,4,5,6.i i b a i i =-+=

显然,126,,,b b b 互不相同且有126144.b b b ≤<<<≤ 容易验证②定义的映射是由集合A 到集合{}1,2,,44 的所有不同的6元子集的一一映射.

所以644||||.A B C ==

故满足条件的取法共有649C －644C 种.

2．求方程123420x x x x +++=且满足123416,07,48,26x x x x ≤≤≤≤≤≤≤≤的（有序）整数解的个数.

解：作替换11223344,1,3,1y x y x y x y y ==+=-=-，则问题化为求

123417y y y y +++= ①

满足123416,18,15,15y y y y ≤≤≤≤≤≤≤≤的整数解的个数.

记S 为方程①的正整数解的集合；

1234,,,S S S S 分别是S 有满足12347,9,6,6y y y y ≥≥≥≥的子集，则所求的解的个数为1234||S S S S I I I I .第3讲例1知163||()560S ==.为求出1||S ，

再令'116y y =-，则1||S 等于'123411y y y y +++=的正整数解的个数4713()120+-=.同样可算出

45148123343

||()56,||||()165S S S +-+-=====；以及5

13143||||()10S S S S ===I I ，2324||||1S S S S ==I I ， 6

34322||()20,||0S S S S ===I I ；而123

4

||||i j k S S S S S S S I I I I I 和都是0.最后由容斥原理求

得问题中的解的个数是56012016556165102122096----+⨯+⨯+=. 3．设{}1

,2,,1000S =L ，A 是S 的一个201元子集，若A 中各元素之和能被5整除，则称A 为

S 的好子集，求S 的所有好子集的个数.

解：将S 的所有201元子集分为5类：01234,,,,S S S S S ，其中{|,||201A k S A A S A =⊆=且中

5}k 各元素之和被除的余数为 (0,1,2,3,4)k =.作映射

0:(14)k f S S k →≤≤如下：若122010{,,,}A a a a S =∈…，则122

01(){,,,}f A a ka k a k =+++…，

其中当1000i a k +>时，用1000i a k +-代替i k a +，则不难得到2012011

1

()201(mod5)i i i i a k a k k ==+=+≡∑∑，即()k f A S ∈，容易验证f 是双射，所以0||||(14)k S S k =≤≤，记这个数为a ，则

201

012341000

5||||||||||a S S S S S C =++++=. 所以，S 的好子集个数为201

010001

||5

S a C ==.

4．圆周上有n 个点(6)n ≥，每两点间连一线段，假设其中任意三条线段在圆内不共点，于是任三条线段相交构成一个三角形.试求这些线段确定的三角形的个数.

解：我们称圆周上的点为外点，任意两条对角线在圆内的交点为内点，则所确定的三角形按其

顶点可分为4类：

(1)第一类三角形的3个顶点均为外点，其个数设为I 1;

(2)第二类三角形的顶点中有2个外点和l 个内点，其个数设为I 2； (3)第三类三角形的顶点中有1个外点和2个内点，其个数设为I 3; (4)第四类三角形的三个顶点均为内点，其个数记为I 4．

显然，第一类三角形与圆周上的3点组集合成一一对应，所以3

1n I C =．

其次，如图1-4(1)，圆周上任取4点A 1，A 2，A 3，A 4，两两相连的线段，确定了4个第二类三角形：12233441,,,AOA A OA A OA A OA ∆∆∆∆．反之，每4个这样有公共内顶点的第二类三角形

对应了圆周上的一个4点组，于是，4

14n I C =．

类似的，如图l-4(2)，圆周上任取5点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，两两连一线段，确定了5个

第三类三角形：112223334445551,,,,A B B A B B A B B A B B A B B ∆∆∆∆∆，于是可得515n I C =．

最后，如图1-4(3)，圆周上任取6点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，对应于1个第四类三角形，

所以64n I C =．