北邮最优化课件0最优化理论与算法引言
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最优化理论与方法概述 ppt课件
t f X0 tpT p t pT 2 f X0 tp p.
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
PPT课件
17
3、 多元函数的Taylor展开
多元函数Taylor展开式在最优化理论中十分重要。 许多方法及其收敛性的证明都是从它出发的。
定理：设 f : Rn R具1 有二阶连续偏导数。则：
g* f (x*) 0，G* 2 f (x*)半正定
PPT课件
24
5、凸集、凸函数和凸规划
凸集和凸函数在非线性规划的理论中具有重要作用，下面 给出凸集和凸函数的一些基本知识。
定义1 设 D Rn，若对D中任意两点 x(1)与 x(2)，连接 x(1)
与 x(2) 的线段仍属于D；换言之，对 x(1)，x(2)∈D，
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
石灰石 谷物 大豆粉
0.380 0.001 0.002
0.00
0.00
0.09
0.02
0.50 PPT课件
0.08
每磅成本（元）
0.0164 0.0463 0.1250 4
解:根据前面介绍的建模要素得出此问题的数学模型如下:
设 x1 x2 x3 是生产100磅混合饲料所须的石灰石、谷物、
2 f 0 x1x3
故Hesse阵为：
2 f x22
2,
2 f 2, x2x3
2 f x32Leabharlann 2 2 2 0 2 f X 2 2 2
0 2 2
PPT课件
16
下面几个公式是今后常用到的：
（1）f X bT X ，则 f X b. 2 f X 0nn
2 f X
北邮最优化课件0最优化理论与算法引言-PPT精品文档32页
最优化理论
13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
最优化理论
23
6.结构设计问题
p1
p
2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
圆杆截面图
2p
h
2L
桁杆示意图
最优化理论
24
6.结构设计问题
解：桁杆的截面积为 ： SdB
桁杆的总重量为： W2dBL2h2
负载2p在每个杆上的分力为：p1copsp
L2h2 h
于是杆截面的应力为：
1
p1 s
最优化理论
19
4选址问题（3）
m ax
ci jy ij f jx j
iI jJ
j J
s.t.
y ij 1
j J
i I;
y ij x j,
i I, j J;
x j {0,1},
j J;
yij {0,1},
i I, j J.
最优化理论
20
5负载平衡(1)
实例: 网络G(V,E) 及一组m 个数的集合{s,d>0}，表示 连接源点 s与汇点d 之间的流量
解: {s,d>0}的一组路由, 即G(V,E) 中m 条s 与 d间的路, 表示连接s与d 的负载流量的路径。
目标:极小化网络负载
用 Fisjd 表示 s到 d由 的流经 (vi,vj过 )的边 流量
最优化理论与算法完整版课件 PPT
Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc.,
1977.
组合最优化算法和复杂性
Combinatorial
Optimization 蔡茂诚、刘振宏
Algorithms and Complexity
清华大学出版社，1988 I运nc筹.,学19基82础/1手99册8
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
2021/4/9
• 算法
5
绪论---运筹学（Operations Research -
运筹学O方R）法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
2021/4/9
11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
最优化理论与算法
2021/4/9
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
2021/4/9
2
其他参考书目
北邮最优化课件最优化理论与算法引言33页PPT
北邮最优化课件最优化理论与算法引 言
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
45、自己的饭量自己知道。——苏联
பைடு நூலகம்
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
45、自己的饭量自己知道。——苏联
பைடு நூலகம்
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
最优化算法讲课课件
程中，一般总是与自己相同的物种生活在一起，共同繁衍后代；它们也都是在某 一特定的地理区域中生存。 在用遗传算法求解多峰值函数的优化计算问题时，经常是只能找到个别的几个 最优解，甚至往往得到的是局部最优解，而有时希望优化算法能够找出问题的所 有最忧解，包括局部最优解和全局最优解。基本遗传算法对此无能为力。既然作 为遗传算法模拟对象的生物都有其特定的生存环境，那么借鉴此概念，我们也可 以让遗传算法中的个体在一个特定的生存环境中进化，即在遗传算法中可以引进 小生境的概念，从而解决这类问题，以找出更多的最优解。
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续 进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
14
9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要 地描述问题的解，也需要使用不同长度 的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法 来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
19
2019/8/17
4.3.1 变长度染色体遗传算法 的编码与解码
(2) 描 述 不 足 时 的 解 码 方 法 。 可 规 定 它 们 取某一项先设定的标准值(或缺省值)。 例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法 中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
26
15
2019/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路 线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连 通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示 连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1
⑩ 终止条件判断。若不满足终止条件，则: t←t+1，转到第⑤步，继续 进行进化操作过程；若满足终止条件．则:输出当前最优个体，算法结束。
14
9/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
在遗传算法的实际应用中，有时为简要 地描述问题的解，也需要使用不同长度 的编码串。
结点1和结点6之间的连通路线，可用以下二种方法 来描述：
它在常规遗传算法中所对应的个体为： X：1 0 0 1 0 1
19
2019/8/17
4.3.1 变长度染色体遗传算法 的编码与解码
(2) 描 述 不 足 时 的 解 码 方 法 。 可 规 定 它 们 取某一项先设定的标准值(或缺省值)。 例如，对于变长度染色体遗传算法中的个体 Xm：(1，1)(3，0)(5，0)(6，1) 若取缺省值为0的话，则它在常规遗传算法 中所对应的个体为： X：1 0 0 0 0 1
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2019/8/17
4.3 变长度染色体遗传算法
(1)用二进制编码来表示各个结点是否在连通路 线上，其中1表示在连通路线上，0表示不在连 通路线上。此时可使用等长度的编码串来表示 连通路线，如： PATH1：1 1 0 0 1 1 PATH2：1 1 1 1 1 1
最优化理论与算法完整版课件陈宝林
最优化理论与算法
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
23
6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
TP SHUAI
1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
TP SHUAI
2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
j1
m
s.t xij bj
i1
xij 0
i 1, 2, , m
j 1, 2, n i 1, 2, , m j 1, 2, n
TP SHUAI
15
3 税下投资问题
• 以价格qi 购买了si份股票i,i=1,2,…,n
• 股票i的现价是pi
• 你预期一年后股票的价格为ri • 在出售股票时需要支付的税金=资本收益×30% • 扣除税金后，你的现金仍然比购买股票前增多 • 支付1%的交易费用 • 例如：将原先以每股30元的价格买入1000股股票，以
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
TP SHUAI
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6.结构设计问题
p1
p2
h
2p
2L
B
d
受力分析图
最优化理论与算法(第二章)
第二章 一维搜索
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子 。若设
现在的问题是从 出发，沿 方向搜索，希望找到 ，使得 ，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的 ，使目标函数沿方向 达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设 ， 。若存在 ，使得函数 在 上单调下降，而在 上单调上升，则称 是函数 的单峰区间， 是 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的 ，使得对于任意的 且 ，有
⑴若 ，则 ；
⑵若 ，则 。
则称 是 上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于 中，由于我们仅可在此区间中再计算 次函数值。故有
⑵若极小点位于 中，由于除可再计算 次函数值外，还可利用 处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
， ，
由上一段分析，显然有 。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值 次后，能将长度为 的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的 ，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设 的上确界为 ，（ ），即 表示当允许计算 次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算 次函数值时，初始区间 的长度的上确界 。设最初的两个试探点为 ，那么余下还可计算 次函数值，而极小点可能位于 或 。
§2.1. 引言
一、精确与非精确一维搜索
如前所述，最优化算法的迭代格式为：
因而算法的关键就是选择合适的搜索方向，然后再确定步长因子 。若设
现在的问题是从 出发，沿 方向搜索，希望找到 ，使得 ，这就是所谓的一维搜索或称为线搜索(line search)问题。
⑴ 若求得的 ，使目标函数沿方向 达到最小，即使得
单峰函数的定义
定义2.2设 ， 。若存在 ，使得函数 在 上单调下降，而在 上单调上升，则称 是函数 的单峰区间， 是 上的单峰函数（准确地说应是单谷函数）。
单峰函数还可以等价地定义如下
定义2.3如果存在唯一的 ，使得对于任意的 且 ，有
⑴若 ，则 ；
⑵若 ，则 。
则称 是 上的单峰函数。
下面定理表明，对单峰函数，可以通过简单地比较函数值，缩小搜索区间。
⑴若极小点位于 中，由于我们仅可在此区间中再计算 次函数值。故有
⑵若极小点位于 中，由于除可再计算 次函数值外，还可利用 处的函数值。因而
由此立即得
于是有
2．Fabonacci数列
由下述递归关系式给出的数列称为Fabonacci数列：
， ，
由上一段分析，显然有 。
因此若某种取点方式能保证在计算函数值 次后，能将长度为 的初始区间缩短为1，或等价地，把搜索区间缩减为最初区间的 ，那么就有理由认为这种取点方式是最优的。分数法根据Fabonacci数列来构造、选取试验点，它恰好具有上述所希望的性质。因而是最优选点方式，故称之为优选法。
设 的上确界为 ，（ ），即 表示当允许计算 次函数值时，初始区间长度的上确界（当然最终区间长度为1）。显然，要缩短区间，至少需计算两次下面考虑允许计算 次函数值时，初始区间 的长度的上确界 。设最初的两个试探点为 ，那么余下还可计算 次函数值，而极小点可能位于 或 。
北邮最优化课件1预备知识
2012-8-25 TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI 4
1.线性空间
例子
1, R 是 实 数 域 R 上 的 一 线 性 空 间 .
n
2, R [ x ] n 是 系 数 在 实 数 域 R 上 次 数 小 于 n 的 全 体 多 项 式 组 成 的 集 合 , 则 R [ x ]n 关 于 多 项 式 的 加 法 以 及 数 与 多 项 式 的 乘 法 构 成 一 线 性 空 间.
1 2 k i i 1 k
i 0, i 1, 2, .., k .则 v ,v ,...,v 称 为 线 性 无 关 的 向 量 组 , 否 则 称 为
1 2 k
线 性 相 关 的 向 量 组.
2012-8-25
TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI
6
1.线性空间
D f 1 .6 给 定 S ( ) V ( F ), 所 有 由 S 中 任 意 有 限 个 元 素 在 域 F 上 的 线 性 组 合 构 成 的 集 合 , 称 为 S 的 线 性 扩 张 , 记 为 L ( S ), 即 k i i L ( S ) i v | i F , v S , i 1, .., k , k i 1
R满 足 ：
(1) 正 定 性 ： x R , x 0, x 0 x 0; ( 2 )三 角 不 等 式 ： x , y R , x y x y ;
n
(3 ) 齐 次 性 ： x R , R， x =
n
x .
则 称为R 上的范数
(3) 集 合 S R 是 闭 集 无 穷 序 列 { x } S , 若 x x ,
1.线性空间
例子
1, R 是 实 数 域 R 上 的 一 线 性 空 间 .
n
2, R [ x ] n 是 系 数 在 实 数 域 R 上 次 数 小 于 n 的 全 体 多 项 式 组 成 的 集 合 , 则 R [ x ]n 关 于 多 项 式 的 加 法 以 及 数 与 多 项 式 的 乘 法 构 成 一 线 性 空 间.
1 2 k i i 1 k
i 0, i 1, 2, .., k .则 v ,v ,...,v 称 为 线 性 无 关 的 向 量 组 , 否 则 称 为
1 2 k
线 性 相 关 的 向 量 组.
2012-8-25
TP SHUAI 最优化理论TP SHUAI
6
1.线性空间
D f 1 .6 给 定 S ( ) V ( F ), 所 有 由 S 中 任 意 有 限 个 元 素 在 域 F 上 的 线 性 组 合 构 成 的 集 合 , 称 为 S 的 线 性 扩 张 , 记 为 L ( S ), 即 k i i L ( S ) i v | i F , v S , i 1, .., k , k i 1
R满 足 ：
(1) 正 定 性 ： x R , x 0, x 0 x 0; ( 2 )三 角 不 等 式 ： x , y R , x y x y ;
n
(3 ) 齐 次 性 ： x R , R， x =
n
x .
则 称为R 上的范数
(3) 集 合 S R 是 闭 集 无 穷 序 列 { x } S , 若 x x ,
最优化理论与方法-对偶原理ppt课件
别为y1, y2, y3 ，买方总支出为w。
max z 7x1 12x2 s.t. 9x1 4x2 360
4x1 5x2 200 3x1 10x2 300 x1 , x2 0
min w 360 y1 200 y2 300 y3 s.t. 9 y1 4 y2 3y3 7 4 y1 5 y2 10 y3 12 y1, y2, y3 0
【例】原问题与对偶问题
资源 甲 乙 数量
煤 9 4 360 电 4 5 200 油 3 10 300 单价 7 12
问题一：试拟订使总收入最大的生 问题二：试拟定能够保证卖方收入且
产方案。
使买方支出最小的定价方案。
解：设拟生产甲、乙产品各x1,x2 单位， 解：设煤、电、油三种资源的定价分
总收入为z。
量，c (c1,..., cn )是n 维行向量，x (x1,..., xn )T是由原问题的
变量组成的n 维列向量，w (w1,..., wm ) 是由对偶问题的变 量组成的 m维行向量。
对偶问题的表述 – 非对称形式
对称形式
原问题： min cx
s.t. Ax b x0
非对称形式
min cx s.t. Ax b
则单纯形乘子w
c B1 B
是对偶问题(4.1.2)的一个最优解。
根据这个推论，能够从原问题的最优单纯形表中直接获得对偶问 题的一个最优解。
对偶问题的基本性质
互补松弛性质（见教材）
对于对偶规划，当知道一个问题的最优解 时，根据互补松弛定理求出另一个问题的 最优解。
对偶可行的基本解
考虑线性规划问题 min cx
原问题与对偶问题间的相互转换关系
原问题（或对偶问题）
对偶问题（或原问题）
最优化理论与算法
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
帅天平
北京邮电大学数学系
§7， 最优性条件
2018/10/21 最优化理论 1
第七章 最优性条件
• 无约束问题的极值条件 • 约束极值问题的最优性条件 • 对偶及鞍点
2018/10/21
最优化理论
2
7. 最优性条件-无约束1
7.1无约束问题的极值条件 1，无约束极值问题
考虑非线性规划问题
min
f ( x), x E n
其中 f ( x)是定义在E n上的实值函数
——称为无约束极值问题（UNLP）
2018/10/21
最优化理论
3
7. 最优性条件-无约束2
2，必要条件 Th7.1.1(非极小点的充分条件) 设f(x)在点x*处可微, 若存在方向d(0)Rn,使得f(x*)'d<0, 则存在>0, 使得对任意(0,),有f(x*+d)<f(x*).此时,我们称 d 为f(x)在x*的一个下降方向. 证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
2018/10/21 最优化理论 6
2
2
7. 最优性条件-无约束5
由(II), 显见 d’H(x*)d/2+||d|| (x*;d)0
2
对充分小的 成立 , 对 0取极限, 则有 d’H(x*)d 0, 从而,H(x*) 半正定
3，二阶充分条件
定义1 若f(x)在点x*处可微,且f(x*)=0,则称x*为f(x)的一个 驻点或平稳点.d(0)Rn, 既不是极大点也不是极小点的驻 点称为鞍点. Th7.1.4 (二阶充分条件). 假设 f(x) 在 x*点二次可微,若 f(x*)=0 且 Hessian 矩阵 H(x*) 是正定的,则 x* 是(UNLP) 的一个(严格)局部极小点
最优化理论与方法第一章
约束条件的处理方法
转化法
将约束条件转化为无约束的形式，通过引入新的变量或等价变换，将约束问题转化为无 约束问题求解。
参数法
将约束条件作为参数引入目标函数中，构造新的目标函数，通过求解新的目标函数得到 最优解。
约束优化问题的求解方法
拉格朗日乘子法
通过引入拉格朗日乘子，将约束优化问题转 化为无约束优化问题，通过求解无约束优化 问题得到最优解。
最优化问题广泛应用于各个领域，如 经济、工程、科学计算等，是解决资 源分配、生产调度、投资决策等实际 问题的关键工具。
分类
线性与非线性
根据目标函数是否为线性函数，可以 分为线性最优化和非线性最优化问题 。线性最优化问题是指目标函数和约 束条件都是线性函数的问题，而非线 性最优化问题则是指目标函数或约束 条件中至少有一个是非线性函数的问 题。
最优化理论与方法在各个领域都有广 泛的应用，如经济、金融、工程、物 流等。随着科技的发展和大数据时代 的到来，最优化理论与方法在数据挖 掘、机器学习等领域也发挥着越来越 重要的作用。
掌握最优化理论与方法对于提高个人 和组织的竞争力具有重要意义，也是 当前社会对高素质人才的基本要求之 一。
章节概述
本章将介绍最优化理论与方法的基本概念、原理和应用，包括线性规划、非线性规划、动态规划、整 数规划等。
03
最优化方法概述
一阶方法：梯度法、最速下降法等
梯度法
基于目标函数的梯度信息，通过沿着负梯度的方向搜索，寻找函数的最小值。适用于目标函数连续且可微的情况。
最速下降法
利用目标函数的负梯度方向作为搜索方向，逐步逼近函数的最小值点。适用于凸函数或非凸函数，但需要满足一 定的收敛条件。
二阶方法：牛顿法、拟牛顿法等
最优化理论和方法-第一章 引言
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
注2. 数据拟合、参数估计、回归分析等许多问题中 均涉及此类优化问题.有专用的算法求解.(5.4节)
或者
(见习题7.19)
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
变分法的例子
例3 图像处理的偏微分方程法 L.I. Rudin. Nonlinear total variation based noise removal algorithm, Physica D: Nonlinear Phenomena, 1992,60(1-4):259-268
优化研究之数学规划和科学计算角度
• 数学规划层面
➢ 重点研究“优化问题和算法的基本性质”. ➢ 核心问题：解的存在性及描述、算法的收敛性和收敛速
度等.
• 科学计算层面
➢ 受数学性质和(为了有效和实用目的)实现的强烈影响. ➢ 研究问题：数值稳定性、算法步骤的病态性、计算复杂
度等.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
LHY-SMSS-BUAA
优化研究之运筹和工程角度
• 运筹层面
➢ 主要关注优化问题的表述并研发求解策略，通常使 用已经研究好的算法或者成熟软件.
➢ 这个层次碰到的许多问题含有线性约束和离散变量.
• 工程层面
➢ 将优化策略应用到具有挑战性的(通常定义的很差 的)实际问题中.
➢ 这个层次的优化知识混杂了可应用方法的有效性和 可靠性，主要研究内容：解的分析，求解方法失败 的诊断及恢复.
第 2 章 线性规划: 基本理论与方法
数学规划基础
最优化及最优化方法讲稿
最优化及最优化方法讲稿ppt xx年xx月xx日CATALOGUE目录•最优化问题概述•线性规划问题及其求解方法•非线性规划问题及其求解方法•动态规划问题及其求解方法•最优化算法的收敛性分析•最优化算法的鲁棒性分析•最优化算法的应用举例 - 解决生产调度问题01最优化问题概述最优化问题是一个寻找某个或多个函数的特定输入，以使该函数的输出达到最小或最大的问题。
定义根据不同的分类标准，可以将最优化问题分为线性规划、非线性规划、多目标规划、约束规划等。
分类最优化问题的定义与分类描述所追求的最小或最大值的函数。
目标函数约束条件数学模型限制搜索范围的约束条件。
目标函数和约束条件的数学表达。
03最优化问题的数学模型0201最优化问题的求解方法牛顿法利用目标函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）进行搜索。
梯度下降法迭代搜索，逐步逼近最优解。
混合整数规划将整数变量引入优化模型中，求解整数规划问题。
模拟退火算法以概率接受劣质解，避免陷入局部最优解。
进化算法模拟生物进化过程的启发式搜索算法。
02线性规划问题及其求解方法线性规划问题定义：在一组线性约束条件下，求解一组线性函数的最大值或最小值的问题。
数学模型：将实际问题转化为线性规划模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。
线性规划问题的求解方法 - 单纯形法基本概念：介绍单纯形法的相关概念，如基、可行解、最优解等。
单纯形法步骤：阐述单纯形法的基本步骤和算法流程，包括初始基可行解的求解、最优解的迭代搜索和最终最优解的确定。
单纯形法改进：介绍一些改进的单纯形法，如简化单纯形法、对偶单纯形法等。
线性规划问题的定义与数学模型通过一个具体的生产计划问题，说明如何建立线性规划模型并进行求解。
生产计划问题通过一个配货问题，说明如何运用线性规划模型解决实际问题。
配货问题通过一个投资组合优化问题，说明如何运用线性规划进行风险和收益的平衡。
投资组合优化问题线性规划问题的应用举例03非线性规划问题及其求解方法非线性规划问题定义：非线性规划问题是一类求最优解的问题，其中目标函数和约束条件均为非线性函数。
北邮最优化课件 8算法
义为
映射在下图中说明
2013-8-6
最优任何初始点x12, 由映射A产生的任何序列都收敛于点 x*=2，对初始点x1<2, 由映射A产生的任何序列都收敛于点 x^=1. 此例表明算法在区间(-,2)上 收敛于集中点，而在[2，) 上却不收敛于中点， 从而算法不是闭的
2013-8-6
最优化理论
21
Ch8 算法-收敛定理
• 8.2.2实用收敛准则
•正如在收敛定理中所指出，若我们达到解集中的一个 点时，就终止算法。然而，在大多数情形下，收敛于中 的点仅仅出现在极限意义上，因此我们必须依靠终止迭 代过程的某些实际规则，下面给出一些常用的终止规则。 这里0和正整数N是预先给定的。 1) ||xk+Nxk||< 如果应用映射A的N次后移动的距离小于时，算法终止
2),
xk 1 - xk or xk 1 - xk xk
2013-8-6
最优化理论
22
Ch8 算法-收敛定理
3), 当函数值(或下降函数值)的下降量充分小时停止计算, 即 f ( xk 1 ) - f ( xk ) 或 f ( xk 1 ) - f ( xk ) f ( xk ) f ( xk )
时, 通常取 f ( x) 或f ( x)作为下降函数
2013-8-6 最优化理论 9
Ch8 算法－概念
• 8.1.4 闭映射
Df 8.1.3 设X 和Y 分别是空间R p 和R q中的非空闭集。 A : X Y 为点到集映射，若 x(k ) X , x(k ) x y ( k ) A( x ( k ) ), y ( k ) y 蕴含y A( x), 则称映射A在x X 处是闭的。 如果映射A在集合Z X上每一点是闭的，则称映射A 在集合Z上是闭的
映射在下图中说明
2013-8-6
最优任何初始点x12, 由映射A产生的任何序列都收敛于点 x*=2，对初始点x1<2, 由映射A产生的任何序列都收敛于点 x^=1. 此例表明算法在区间(-,2)上 收敛于集中点，而在[2，) 上却不收敛于中点， 从而算法不是闭的
2013-8-6
最优化理论
21
Ch8 算法-收敛定理
• 8.2.2实用收敛准则
•正如在收敛定理中所指出，若我们达到解集中的一个 点时，就终止算法。然而，在大多数情形下，收敛于中 的点仅仅出现在极限意义上，因此我们必须依靠终止迭 代过程的某些实际规则，下面给出一些常用的终止规则。 这里0和正整数N是预先给定的。 1) ||xk+Nxk||< 如果应用映射A的N次后移动的距离小于时，算法终止
2),
xk 1 - xk or xk 1 - xk xk
2013-8-6
最优化理论
22
Ch8 算法-收敛定理
3), 当函数值(或下降函数值)的下降量充分小时停止计算, 即 f ( xk 1 ) - f ( xk ) 或 f ( xk 1 ) - f ( xk ) f ( xk ) f ( xk )
时, 通常取 f ( x) 或f ( x)作为下降函数
2013-8-6 最优化理论 9
Ch8 算法－概念
• 8.1.4 闭映射
Df 8.1.3 设X 和Y 分别是空间R p 和R q中的非空闭集。 A : X Y 为点到集映射，若 x(k ) X , x(k ) x y ( k ) A( x ( k ) ), y ( k ) y 蕴含y A( x), 则称映射A在x X 处是闭的。 如果映射A在集合Z X上每一点是闭的，则称映射A 在集合Z上是闭的
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
最优化理论与算法(第一章)(汇编)
最优化理论与算法（数学专业研究生）第一章 引论§1.1 引言一、历史与现状最优化理论最早可追溯到古老的极值问题，但成为一门独立的学科则是在20世纪四十年代末至五十年代初。
其奠基性工作包括Fritz John 最优性条件（1948），Kuhn-Tucker 最优性条件（1951），和Karush 最优性条件(1939)。
近几十年来最优化理论与算法发展十分迅速，应用也越来越广泛。
现在已形成一个相当庞大的研究领域。
关于最优化理论与方法，狭义的主要指非线性规划的相关内容，而广义的则涵盖：线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、几何规划、多目标规划、随机规划甚至还包括变分、最优控制等动态优化内容。
本课程所涉及的内容属于前者。
二、最优化问题的一般形式 1、无约束最优化问题min ()nx Rf x ∈ （1.1） 2、约束最优化问题min ()()0, ..()0, i i f x c x i E s t c x i I=∈⎧⎨≥∈⎩ （1.2）这里E 和I 均为指标集。
§1.2数学基础一、 范数 1. 向量范数max i x x ∞= （l ∞范数） （1.3）11ni i x x ==∑ （1l 范数） （1.4）12221()ni i x x ==∑ （2l 范数） （1.5）11()np pi pi xx ==∑ （p l 范数） （1.6）12()TAxx Ax = （A 正定） （椭球范数） （1.7）事实上1－范数、2－范数与∞-范数分别是 p －范数当 p ＝1、2和p →∞时情形。
2．矩阵范数定义1.1 方阵A 的范数是指与A 相关联并记做A 的一个非负数，它具有下列性质： ① 对于0A ≠都有0A >，而0A =时0A =； ② 对于任意k R ∈，都有kA k A =； ③ A B A B +≤+； ④ AB A B ≤； 若还进一步满足： ⑤ pp AxA x ≤则称之为与向量范数p相协调（相容）的方阵范数。
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13
2 运输问题
设某种物资有m个产地A1,A2,…Am,各产地的产量是 a1,a2,…,am;有 n个销地B1,B2,…,Bn.各销地的销量是 b1,b2,…,bn.假定从产地Ai(i=1,2,…,m)到销地 Bj(j=1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij问怎样调运 这些物品才能使总运费最小？
最优化理论与算法
帅天平
北京邮电大学数学系
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1
提纲
使用教材：
最优化理论与算法 陈宝林
参考书 ：
数学规划 黄红选， 韩继业 清华大学出版社
1. 线性规划 对偶定理
2. 非线性规划 K-K-T 定理
3. 组合最优化 算法设计技巧
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2
其他参考书目
Nonlinear Programming - Theory and Algorithms
min Байду номын сангаас (x) x:数
欧拉,1755
df(x) 0 dx
Min f(x1 x2 ···xn )
f(x)=0
TP SHUAI
8
拉格朗日，1797
Min f(x1 x2 ···xn)
s.t. gk (x1 x2 ···xn )=0, k=1,2,…,m 欧拉，拉格朗日：无穷维问题，变分学 柯西：最早应用最速下降法
几何规划 动态规划 不确定规划：随机规 划、模糊规划等
多目标规划 对策论等
随机过程方法
统计决策理论 马氏过程 排队论 更新理论 仿真方法 可靠性理论等
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统计学方法
回归分析 群分析 模式识别 实验设计 因子分析等
6
优化树
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7
•最优化的发展历程
费马:1638;牛顿,1670
3
其他参考书目
Linear Programming and Network Flows M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis, John Wiley & Sons, Inc., 1977.
组合最优化算法和复杂性 蔡茂诚、刘振宏
清华大学出版社，1988
Combinatorial Optimization Algorithms and Complexity
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12
1. 食谱问题（续）
令x表示要买的奶的量，y为要买的蛋的量。食谱问题可以写 成如下的数学形式：
Min 3x +2.5y s.t. 2x + 4y 40
3x + 2y 50 x, y 0.
极小化目标函数
可行区域（单纯形） 可行解
运筹学工作者参与建立关于何时出现最小费用 （或者最大利润）的排序，或者计划，早期被标示为programs。 求最优安排或计划的问题，称作programming问题。
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11
1. 食谱问题
我每天要求一定量的两种维生素，Vc和Vb。 假设这些维生素可以分别从牛奶和鸡蛋中得到。
维生素
Vc(mg) Vb(mg) 单价(US$)
奶中含量
2 3 3
蛋中含量
4 2 2.5
每日需求 40 50
需要确定每天喝奶和吃蛋的量， 目标以便以最低可能的花费购买这些食物， 而满足最低限度的维生素需求量。
如果运输问题的总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i1
j 1
则称该运输问题为产销平衡问题；反之，称产销不平 衡问题。
TP SHUAI
14
2 运输问题（续）
令xij表示由产地Ai运往销地Bj的物品数量，则产销平衡 问题的数学模型为：
nm
minz
cijxij
i1 j1
n
xij ai
j1
m
s.t xij b j
Convex Analysis R. T. Rockafellar Princeton Landmarks in Mathematics and Physics, 2019.
Optimization and Nonsmooth Analysis
Frank H. Clarke
SIAM, 1990.
TP SHUAI
最优化首先是一种理念, 运筹学的“三个代表”
其次才是一种方法.
• 模型
• 理论
• 算法 TP SHUAI
5
绪论---运筹学（Operations Research - OR）
运筹学方法
最优化/数学规划方法
连续优化：线性规划、 非线性规划、非光滑优 化、全局优化、变分法、 二次规划、分式规划等
离散优化：组合优化、 网络优化、整数规划等
Printice-Hall Inc.,1982/2019
运筹学基础手册 徐光辉、刘彦佩、程侃 科学出版社，2019
TP SHUAI
4
1,绪论----学科概述
• 最优化是从所有可能的方案中选择最合理 的一种方案,以达到最佳目标 的科学. • 达到最佳目标的方案是最优方案,寻找最优 方案的方法----最优化方法(算法) • 这种方法的数学理论即为最优化理论. • 是运筹学的方法论之一.是其重要组成部分.
Mokhtar S. Bazaraa, C. M. Shetty John Wiley & Sons, Inc. 1979 (2nd Edit, 1993，3nd Edit，2019)
Linear and Nonlinear Programming David G. Luenberger Addison-Wesley Publishing Company, 2nd Edition, 1984/2019..
法，Duffin，Zener等几何规划，Gomory，整数规 划,Dantzig等随机规划 6-70年代：Cook等复杂性理论，组合优化迅速发展
TP SHUAI
10
最优化应用举例
• 具有广泛的实用性 • 运输问题，车辆调度，员工安排，空运控制等 • 工程设计，结构设计等 • 资源分配，生产计划等 • 通信：光网络、无线网络，ad hoc 等. • 制造业：钢铁生产，车间调度等 • 医药生产，化工处理等 • 电子工程，集成电路VLSI etc. • 排版（TEX,Latex,etc.）
TP SHUAI
9
电子计算机---------- 最优化
1930年代，康托诺维奇：线性规划 1940年代，Dantzig：单纯形方法，
冯 诺依曼：对策论 1950年代，Bellman：动态规划，最优性原理；
KKT条件； 1960年代：Zoutendijk,Rosen,Carroll,etc.非线性规划算