人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》拓展练习

《垂直于弦的直径》拓展练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）
A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm
2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）
A．4B．5C．6D．6
4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）
A．4m B．5m C．6m D．8m
5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）
A．5米B．7米C．米D．米
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为．
7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面米．
8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于寸．
9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是mm．
10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为m．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？
12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC
∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．
（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．
（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．
14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．
②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
《垂直于弦的直径》拓展练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆的半径OB＝10dm，水面宽AB 是16dm，则截面水深CD是（）
A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm
【分析】由题意知OD⊥AB，交AB于点C，由垂径定理可得出BC的长，在Rt△OBC 中，根据勾股定理求出OC的长，由CD＝OD﹣OC即可得出结论．
【解答】解：由题意知OD⊥AB，交AB于点E，
∵AB＝16，
∴BC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OBE中，
∵OB＝10，BC＝8，
∴OC＝＝6，
∴CD＝OD﹣OC＝10﹣6＝4．
故选：B．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意在直角三角形运用勾股定理列出方程是解答此题的关键．
2．（5分）如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为（）
A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD＝8，OD＝13，
∴OC＝5，
又∵OB＝13，
∴Rt△BCO中，BC＝＝12，
∴AB＝2BC＝24．
故选：C．
【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键．
3．（5分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）
A．4B．5C．6D．6
【分析】根据垂径定理求出BC，根据勾股定理求出OC即可．
【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝AC＝AB＝×16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝＝6，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用；由垂径定理求出BC是解决问题的关键．
4．（5分）乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）
A．4m B．5m C．6m D．8m
【分析】连接OA，设OB＝OC＝x，则OD＝8﹣x，根据垂径定理得出BD，然后根据勾股定理得出关于x的方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：连接BO，
由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，
则DO＝（8﹣x）m，
由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，
解得：x＝5．
故选：B．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理．
5．（5分）如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）
A．5米B．7米C．米D．米
【分析】根据垂径定理和勾股定理可得．
【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，
由垂径定理得AD＝5米，
设圆的半径为r，
由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，
即（7﹣r）2+52＝r2，
解得r＝米．
故选：D．
【点评】考查了垂径定理、勾股定理．特别注意此类题经常是构造一个由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行计算．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为1.8米，门洞下沿CD宽为1.2米，则该圆形门洞的半径为1米．
【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可．
【解答】解：设该圆形门洞的半径为r，
∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，
连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（1.8﹣r）2+0.62，
解得：r＝1，
故答案为：1米
【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．
7．（5分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为3.5米，路面宽AB 为4.2米，则该隧道最高点距离地面 6.3米．
【分析】连接OA．由垂径定理可知AD＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD即可解决问题．【解答】解：连接OA．
∵OD⊥AB，
∴AD＝DB＝2.1米，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝2.8（米），
∴CD＝OC+OD＝6.3（米）
故答案为6.3．
【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
8．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝1寸，CD＝10寸，则⊙O的直径等于26寸．
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD 的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图所示，连接OC．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DE＝CD＝5寸，
设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得：x＝13，
∴AB＝26寸，
即直径AB的长为26寸．
故答案为：26．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
9．（5分）如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，则水的最大深度CD是200mm．
【分析】先求出OA的长，再由垂径定理求出AC的长，根据勾股定理求出OC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的直径为1000mm，
∴OA＝OA＝500mm．
∵OD⊥AB，AB＝800mm，
∴AC＝400mm，
∴OC＝＝300mm，
∴CD＝OD﹣OC＝500﹣300＝200（mm）．
答：水的最大深度为200mm．
故答案为：200．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理求出OC的长是解答此题的关键．10．（5分）王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB 为6m，则桥拱半径OC为5m．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝3，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即OC2＝（9﹣OC）2+32，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦是解题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE ＝4米时，是否要采取紧急措施？
【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
【解答】解：（1）连结OA，
由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，
解得，r＝34；
（2）连结OA′，
∵OE＝OP﹣PE＝30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，
∴A′B′＝32．
∵A′B′＝32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
12．（10分）图1是某奢侈品牌的香水瓶．从正面看上去（如图2），它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分与矩形ABCD组合而成的图形（点B、C在⊙O上），其中BC ∥EF；从侧面看，它是扁平的，厚度为1.3cm．
（1）已知⊙O的半径为2.6cm，BC＝2cm，AB＝3.02cm，EF＝3.12cm，求香水瓶的高度h．
（2）用一张长22cm、宽19cm的矩形硬纸板按照如图3进行裁剪，将实线部分折叠制作成一个底面积为S MNPQ＝9cm2的有盖盒子（接缝处忽略不计）．请你计算这个盒子的高度，并且判断上述香水瓶能否装入这个盒子里．
【分析】（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．解直角三角形分别求出OG，OH即可解决问题；
（2）设盒子的高为xcm．根据S MNPQ＝9，构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）作OG⊥BC于G，延长GO交EF于H，连接BO、EO．
∵EF∥BC，
∴OH⊥EF，
∴BG＝BC，EH＝EF
∴GO＝＝2.4；OH＝＝2.08，
∴h＝2.4+2.08+3.02＝7.5cm．
（2）设盒子的高为xcm．
由题意：（22﹣2x）•＝9
解得x＝8或12.5（舍弃），
∴MQ＝6，MN＝1.5
∵2.6×2＝5.2＜6；1.3＜1.5；7.5＜8，
∴能装入盒子．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，翻折变换，一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
13．（10分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1m，水面宽AB＝1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，求此时排水管水面的宽CD．
【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，
∵AB＝1.2m，OE⊥AB，OA＝1m，
∴OE＝0.8m，
∵水管水面上升了0.2m，
∴OF＝0.8﹣0.2＝0.6m，
∴CF＝＝0.8m，
∴CD＝1.6m．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
14．（10分）某隧道的截面是由如图所示的图形构成，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝10米，BC＝2.5米，隧道设双向通车道，中间有宽度为2米的隔离墩，一辆满载家具的卡车，宽度为3米，高度为4.9米，请计算说明这辆卡车是否能安全通过这个隧道？
【分析】如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O 于F，连接OF．求出FK的值与4.9比较即可判断．
【解答】解：如图，作OM⊥AB于M，交AB于M，图中KN＝3，作KF⊥CD于H，交⊙O于F，连接OF．
易知四边形OHKN是矩形，四边形ABCD是矩形，OH＝KM＝4，AB＝CD＝10，OF＝
OD＝5，
在Rt△OHF中，FH＝＝＝3，
∵HK＝BC＝2.5，
∴FK＝2.5+3＝5.5，
∵5.5＞4.9，
∴这辆卡车能安全通过这个隧道．
【点评】本题考查矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．（10分）在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．
①若油面宽AB＝16dm，求油的最大深度．
②在①的条件下，若油面宽变为CD＝30dm，求油的最大深度上升了多少dm？
【分析】①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，根据垂径定理求出AF的长，根据勾股定理求出OF，计算即可；
②连接OC，根据垂径定理求出CE的长，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：①作OF⊥AB交AB于F，交圆于G，连接OA，
∴AF＝AB＝8，
由勾股定理得，OF＝＝15，
则GF＝OG﹣OF＝2dm；
②连接OC，
∵OE⊥CD，
∴CE＝EF＝15，
OE＝＝8，
则EF＝OG﹣OE﹣FG＝7dm，
答：油的最大深度上升了7dm．
【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．。