数列-不动点法求通项公式

数列-不动点法求通项公式

2 用不动点法求递推数列d t c b t a t n n n +⋅+⋅=

+1(a 2+c 2≠0)的通项 1．通项的求法 为了求出递推数列d

t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数.

定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d t c b t a t n n n +⋅+⋅=

+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +⋅+⋅=+1

d b t d a t n n +⋅=⇒+1, 记k d a =,c d

b =，则有

c t k t n n +⋅=+1 （k ≠0）, ∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,

由kx+c=x ⇒x=

k c -1,则c t k t n n +⋅=+1⇒)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k

c t n --是公比为k 的等比数列, ∴11)1(1-⋅--=--n n k k c t k c t ⇒11)1(1-⋅--+-=n n k k

c t k c t . (2)当c ≠0时,

数列{n t }的特征函数为：)(x f =d

x c b x a +⋅+⋅ 由x d

x c b x a =+⋅+⋅0)(2=--+⇒b x a d cx 设方程0)(2=--+b x a d cx 的两根为x 1,x 2,则有:

3

0)(121=--+b x a d cx ,0)(22

2=--+b x a d cx ∴12

)(1x a d cx b -+= (1)

22

2)(x a d cx b -+=……(2) 又设2

1211

1x t x t k x t x t n n n n --⋅=--++(其中,n ∈N *,k 为待定常数). 由212111x t x t

k x t x t n n n n --⋅=--++ ⇒2

121

x t x t k x d

t c b t a x d t c b

t a n n n n

n n --⋅=-+⋅+⋅-+⋅+⋅ ⇒2

1

221

1x t x t k dx t cx b at dx t cx b at n n n n n n --⋅=--+--+……(3) 将(1)、（2）式代入(3)式得:

2

1

2222112

1x t x t k ax t cx cx at ax t cx cx at n n n n n n --⋅

=--+--+ ⇒212211))(()

)((x t x t k x t cx a x t cx a n n n n --⋅=---- ⇒2

1cx a cx a k --=

∴数列{21x t x t n n --}是公比为21cx a cx a --(易证02

1

≠--cx a cx a )的等比数列. ∴21x t x t n n --=1

212111-⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⋅--n cx a cx a x t x t ⇒121211

11

21211

1211--⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--⋅---⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--⋅--⋅

-=n n n cx a cx a x t x t cx a cx a x t x t x x t .

2．应用举例

4

例1：已知数列{a n }中，a 1=2，3121+=+n n a a ，求{a n }的通项。

解：因为{a n }的特征函数为：31

2)(+=x x f , 由131

2)(=⇒=+=x x x x f , ∴31

21+=+n n a a ⇒)1(32

11-=-+n n a a

∴数列{a n -1}是公比为32

的等比数列,

∴a n -1=11)32)(1(--n a ⇒a n =1+1

)32

(-n .

例2已知数列{a n }中，a 1=3，1241+-=+n

n n a a

a ，求{a n }的通项。

解：因为{a n }的特征函数为：124)(+-=x x x f , 由2,102312

4)(212==⇒=+-⇒=+-=x x x x x x x x f 设21

2111--⋅=--++n n n n a a k a a ⇒2

1212

41

12

4--⋅=-+--+-n n n

n n n a a k a a a a ⇒214233--⋅=--n n n n a a k a a ⇒21

)2()1(23--⋅=--⋅n n n n a a k a a 23=⇒k 即2

1232111--⋅=--++n n n n a a

a a , ∴数列⎭⎬⎫

⎩⎨⎧--21n n a a 是公比为23

的等比数列. ∴1

112321

21-⎪

⎭⎫ ⎝⎛⋅--=--n n n a a a a