哈工大理论力学第五章 点的运动学

dvz d 2 z az 2 dt dt
例 5-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；
ax (l a ) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay (l a ) sin t cos( a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动， 它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t ) x t i y (t ) j z (t )k
速度
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
③ 速度；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l Biblioteka a） (l a )速度
l a sin t vx x (l a) cost vy y v vx 2 v y 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t
vx (l a ) sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2 t vy (l a ) cos t cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2 t
l 2 a 2 2al cos 2 t
有 v at t
v 15m/s at 0.125m/s 2 t 120s
①
t 0, an 0
a at 0.125m/s 2
② t 2min 120s
v 2 (15m/s) 2 an 0.281m/s 2 R 800m
a a 2 t a 2 n 0.308m/s 2
求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程
x A b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin(t )
B r cost vB x aB xB r 2 sin t 2 xB
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， 求：点运动轨迹的曲率半径 。 z=4t m。 解： 由点M的运动方程，得
8 cos 4t , a x 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y
4, a z vz z z0
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay a z2 32m s 2
v2 故 2.5m an
dv at 0, an a 32 m/s 2 dt
例5-6
已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 （称为纯滚动），设轮子转角 t ( 为常值）， 如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一 点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法 向加速度。
v v v r 2(1 cos t ) 2r sin
2 x 2 y
t
2
（0 t 2 )
s vdt 2r sin
0 0
t
t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 π)
ax x r 2 sin t , a y y r 2 cos t
第五章 点 的 运 动 学
点的三维变速曲线运动
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
v dr dt r
单位
m/s
加速度
a
dv dt

d r
2
dt
2
v r
单位 m/s 2
提问：如何确定速度和加速度的方向？
矢端曲线
周期运动 B点的速度和加速度
x(t T ) x t 1 f 频率 T
例5-3 已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套 筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 求：活塞的运动规律。
（ v 为活塞的速度， k 为比例常数)，初速度为 v0 。
a kv
解：
解： M点作曲线运动，取
直角坐标系如图所示。
由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O1 M sin r ( t sin t )
y O1C O1M cos r 1 cost
r 1 cos t , v y y r sin t vx x
0
t
外啮合齿轮
分析齿轮上一点的运动
§ 5-3
自然法
自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。 1.弧坐标 2.自然轴系
s f (t )
切向单位矢量


主法线单位矢量
n
b n
副法线单位矢量
曲线在P点的密切面形成
自然坐标轴的几何性质
?
因为
d d d d 1 ds d ds ds
d n ds


方向同 n
所以
3.速度
dr dr v dt ds 4.加速度 a
代入
则
ds ds v dt dt dv dv d v dt dt dt d d ds v n dt ds dt
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
加速度
dv dvx dv y dvz a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt
dv x d 2 x ax 2 dt dt
ay dv y dt d2 y dt 2
1 at 常数 , v v0 at t , s s0 v0t at t 2 2
例5-4 已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速
运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达
54km/h。
求：列车起点和未点的加速度。
解： 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。 由 at 常数 , v0 0
2 2 a ax ay r 2
又点M的切向加速度为
an
2 2
at v r cos
2 2
t
2
a at r sin
t
2
活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
dv 由 a kv dt v dv t 得 k dt v0 v 0
v ln kt , v v0e kt v0 dx 由 v v0e kt dt
得
v0 x x0 1 e kt k

x
x0
dx v0e kt dt
加速度
x l a 2 cost ax v x y l a 2 sin t ay v y 2 2 2 2 4 a ax ay l a 4 cos2 t (l a） sin 2 t
2 l 2 a 2 2al cos 2t
dv v 2 a n at an n dt
dv d 2 s at 2 dt dt
1 ds 2 an ( ) dt v2
——切向加速度 ——法向加速度
a a2 t a2n
曲线匀速运动 曲线匀变速运动
at 0, v v0 常数 , s s0 v0t