2018高中数学学业分层测评18北师大版

学业分层测评(十八)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为

( )

B ．3

C ．2 2

D ．23

【解析】 双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，点P (2,0)到渐近线的距离为|2b |

a 2＋

b 2

＝

2，所以a 2

＝b 2

，所以双曲线的离心率为2，故选A. 【答案】 A

2．过双曲线x 2

－y 2

3

＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，

B 两点，则|AB |＝( )

B ．23

C ．6

D ．43

【解析】 设A ，B 两点的坐标分别为(x ，y A )，(x ，y B )，将x ＝c ＝2代入渐近线方程y ＝±3x 得到y A ，y B ，进而求|AB |.由题意知，双曲线x 2

－y 2

3＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，

将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.

【答案】 D

3．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2

－y 2

4＝1

B ．x 2

4－y 2

＝1

－x 2＝1

D ．y 2

－x 2

4

＝1

【解析】 由双曲线的性质利用排除法求解．

由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A 、B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.

【答案】 C

4．将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m ＞0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )

A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2

B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2

C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2

D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2

【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小． 由题意e 1＝

a 2＋

b 2

a 2

＝1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ， 离心率e 2＝a ＋m

2

＋b ＋m 2

a ＋m 2

＝

1＋⎝

⎛⎭

⎪⎫b ＋m a ＋m 2.

因为

b ＋m a ＋m －b a ＝m a －b

a a ＋m

，且a ＞0，b ＞0，m ＞0，a ≠b ， 所以当a ＞b 时，

m a －b a a ＋m ＞0，即b ＋m a ＋m ＞b

a

.

又

b ＋m a ＋m ＞0，b

a

＞0， 所以由不等式的性质依次可得⎝

⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2，

所以1＋⎝

⎛⎭

⎪⎫b ＋m a ＋m 2＞

1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫b a 2，即e 2＞e 1；同理，当a ＜b 时，

m a －b

a a ＋m

＜0，可推得e 2＜e 1.综上，当a ＞b 时，

e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2.

【答案】 D

5．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )

B ．3

D ．

5＋1

2

【解析】 设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c,0)，虚轴

端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a

，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c

·b a

＝－

1⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b

a

显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e

2－e －1＝0，解得e ＝

5＋12或e ＝1－5

2

(舍去)． 【答案】 D 二、填空题

6．过双曲线x 24－y 2

3＝1的左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，

则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |的值为________．

【解析】 |MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝|MF 2|＋|NF 2|－(|MF 1|＋|NF 1|)＝(|MF 2|－|MF 1|)＋(|NF 2|－|NF 1|)＝2a ＋2a ＝4a ＝8.

【答案】 8

7．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1的一个焦点．若C 上存在点P, 使线段PF 的中点恰为其

虚轴的一个端点，则C 的离心率为__________．

【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算．

不妨设F (－c,0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c,2b )．又点P 在双曲线上，

则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝c

a

＝ 5. 【答案】

5

8．若双曲线x 2

－y 2

＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为3，则a ＋b ＝________.

【导学号：】

【解析】 由于点P (a ，b )在右支上，所以a －b >0. 又∵|a －b |2

＝3，∴a －b ＝6，又∵a 2－b 2＝1，

∴a ＋b ＝a 2－b 2a －b ＝16＝6

6

.

【答案】

6

6

三、解答题

9．已知双曲线的方程是16x 2

－9y 2

＝144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；