九年级数学上册第2课时 一元二次方程的根及近似解
九年级数学 二次函数 二次函数与一元二次方程 .2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
1 a＝－250，
∴抛物线的函数表达式为 y＝－2150x2＋1000.
当 y＝0 时，－2150x2＋1000＝0，解得 x1＝500，x2＝－500(舍去)．
∴飞机到 P 处的水平距离 OP 应为 500 m.
12/12/2021
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
素养提升
阅读理解阅读材料，解答问题．
[解析] C 由于当x＝6.18时，y＝－0.01<0；当x＝6.19时，y＝0.02>0，说 明在6.18＜x＜6.19中有一个x的值使y＝0，即在这个范围内有一个x的值使 ax2＋bx＋c＝0.故选C.
12/12/2021
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
2．如图K－18－1 为二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图
图K－18－4
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
三、解答题
7．画出函数y＝－2x2＋8x－6的图象，根据图象回答： (1)方程－2x2＋8x－6＝0的解是什么？ (2)当x取何值时，y＞0? (3)当x取何值时，y＜0？
[解析] 利用描点、连线的方法画出函数y＝－2x2＋8x－6的图象，再根据图 象判断函数的增减性．
12/12/2021
图K－18－7
第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根
[解析] 由题意可知点A与点C的坐标，然后可求出抛物线的函数表达式．
解：由题意可知抛物线的顶点坐标为(0，1000)，点 C 的坐标为(200，840)．
设抛物线的函数表达式为 y＝ax2＋1000.
又∵点
C(200，840)在抛物线上，∴840＝a×2002＋1000，解得
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
九年级数学第二章二次函数与一元二次方程
用函数观点看一元二次方程【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x 轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac =-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b ac x a-±-=0a <△＝00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-0a <△＜00a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）0a <要点进阶：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点进阶：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点进阶： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）． 要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点进阶：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点例1. 已知抛物线22(1)423y k x kx k =+++-．求：(1)k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； (2)k 为何值时，抛物线与x 轴有唯一交点；(3)k 为何值时，抛物线与x 轴没有交点．举一反三：【变式】二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程ax 2+bx+c=0的两个根； （2）写出不等式ax 2+bx+c ＞0的解集； （3）求y 的取值范围．类型二、利用图象法求一元二次方程的解例2. 利用函数的图象，求方程组的解.类型三、二次函数与一元二次方程的综合运用例3. 已知关于x 的二次函数22(21)34y x m x m m =--+++．(1)探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数为2，1，0．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，且22125x x +=与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．举一反三：【变式】已知抛物线)(2442是常数m m mx mx y -+-=．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．例4.如图，二次函数的图象与x 轴交于A （﹣3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ． （1）求二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围；（3）若直线与y 轴的交点为E ，连结AD 、AE ，求△ADE 的面积．【巩固练习】 一、选择题1. 若二次函数241y ax x a =++-的最大值为2，则a 的值是（ ）A.4B.-1C.3D.4或-12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜0B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠33．方程2123x x x++=的实数根的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图所示的二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)240b ac ->；(2)1c >；(3)20a b -<；(4)0a b c ++<．你认为其中错误的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个5．方程2252x x x-++=的正根的个数为( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个6．“如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A ．m ＜a ＜b ＜n B ． a ＜m ＜n ＜b C ． a ＜m ＜b ＜n D ．m ＜a ＜n ＜b二、填空题7． 已知二次函数22(21)44y x m x m m =--+++的图象的顶点在x 轴上，则m 的值为 ．8．如图所示，函数y ＝(k-8)x 2-6x+k 的图象与x 轴只有一个公共点，则该公共点的坐标为 ．第8题 第9题9．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的顶点坐标为(-1，-3.2)及部分图象(如图所示)，由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别为1 1.3x =和2x =________．10．已知二次函数222(1)2y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则此图象的顶点A 和图象与x 轴的两个交点B 、C 构成的△ABC 的面积是________．11．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c ca <<，其中所有正确结论的序号是 ．12．如图是二次函数和一次函数y 2=kx+t 的图象，当y 1≥y 2时，x 的取值范围是 ．三、解答题 13．已知抛物线212y x x k =-+与x 轴有两个不同的交点． (1)求k 的取值范围；(2)设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，点D 是抛物线的顶点，如果△ABC 是等腰直角三角形，求抛物线的解析式．14．如图所示，已知直线12y x =-与抛物线2164y x =-+交于A 、B 两点．(1)求A、B两点的坐标；(2)如图所示，取一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B两点构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．15．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。
九年级数学上册第2课时 一元二次方程的近似解
一元二次方程的解
例 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2 +3x -5m +4=0 有一根为2，求m.
分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程.
状元成才路
一元二次方程的近似解
1.一元二次方程近似解的定义：对于一元二次 方程ax2 bxc0(a0)来说，求近似解的过
程就是找到这样的x,使ax2 bxc的值接近_0__,
状元成才路
第2课时 一元二次方程的近似解
北师大版 九年级上册
新课导入
• 什么是方程的解？ • 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的解. • 什么叫做一元一次方程？ • 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的整式方程，叫做一元
一次方程.它的一般形式是：ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
状元成才路
状元成才路
状元成才路
练一练
已 知 矩 形 的 宽 度 为 xcm,长 为 2xcm,面 积 为
24cm2,则 x的 取 值 范 围 为 （ C ）
A.1<x<2
B. 2<x<3
C. 3<x<4
D. 4<x<5
状元成才路
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么收获？
状元成才路
课后作业
1.从教材习题பைடு நூலகம்选取； 2.完成练习册本课时的习题.
状元成才路
推进新课
1.学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底 增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
分析 设这两年的年平均增长率为x,已知去年年底的图书 数是5万册,则今年年底的图书数应是5(1+x)万册.明年 年底的图书数为5(1+x)(1+x)万册,即5(1+x)2(万册).可列 得方程 5(1+x)2=7.2 整理可得 5x2+10x-2.2=0
新北师大版九年级数学上册《2.2用配方法求解一元二次方程》课件(共3课时)
解方程 (2) x2=4.
解方程 (3) (x+2)2=5. 解方程 (4) x2+12x+36=5. 解方程 (5) x2+12x= -31.
做一做
☞
配方法
1.移项:把常数项移到方程的右边;
2.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一 半的平方; 3.变形:方程左边配方,右边合并同类项;
独立 作业
1. 解下列方程:
知识的升华
(1).x2 +12x+ 25 = 0; (2).x2 +4x =1 0; (3).x 2 –6x =11; (4). x2 –2x-4 = 0.
独立 作业
知识的升华
2.如图,在一块长35m,宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行）,剩余部分栽种 花草,要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应是多少？ 35m 解：设道路的宽为 x m，根据题意得
你能行吗
用配方法解下列方程. 2 +8x –3=0 ; 5.3x 2 1.x – 2 = 0; 这个方程与前4个方程不 一样的是二次项系数不是 1,而是3. 2.x2 -3x- 1 =0 ; 4 基本思想是: 如果能转化为前4个方程 3.x2＋4x＝2； 的形式,则问题即可解决.
2.用配方法求解一元 二次方程（1）
回顾与复习 1
如何求一元二次方程 的精确解
我们利用“先确定大致范围;再取值计算,逐步逼近
”的方法求得了一元二次方程的近似解. 如方程2x2-13x+11=0的解为x=1;即花边宽为1m. 如方程x2+12x-15=0的解约为1.2;即梯子底端滑动 的距离约为1.2m. 如方程x2-8x-20=0的解为x=10或x=-2;即五个连续 整数为-2,-1,0,1,2;或10,11,12,13,14.
九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件新版新人教版
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
情境导入
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根 为x1, x2,试求出x1 x2, x1 • x2的值. 你能看出x1 x2, x1 • x2的值与方程 的系数有何关系？
2
本节目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系。 2.能运用根与系数的关系求：已知方程的 一个根，求方程的另一个根及待定系数； 根据方程求代数式的值。
【答案】（1） 6.5；（2）7；
随堂检测
8.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0.若该方 程的一个根为1，求a的值及该方程的另一 根.
【答案】a=0.5；另一根为-1.5．
A、-4 B、-3 C、3 D、4
2.已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，
则 的值为D（ ）
x1 x2 x2 x1
A、4 B、6 C、8
D、10
随堂检测
3.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1， x2=2，则这个方程是（ B ） A．x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 4.若a、b是方程x2-2x-3=0的两个实数根， 则a2+b12=0 ____。
2a
= 2b
b
=
2a a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
X1x2=
2a
●
2a
ac =
(b)2 ( b2 4ac )2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
课堂探究
如果方程x2+1+x2= x1x2=
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …
最新人教版初中九年级上册数学【一元二次方程的根的判别式(2)】教学课件解
4b2 4a2 4c2 0. ∴ 4a2 4b2 4c2. ∴ a2 b2 c2.
所以以正数a，b，c为边长的三角形的形状为直角三角形.
课堂小结
1. 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 根的判别式和方程根的情况之间的关系:
b2 4ac 0
b2 4ac 0
m 4. ∴m的取值范围是m≤4且 m 0.
综上所述， m≤4.
例4 已知：关于x的方程 mx2 4x 1 0 有实数根． （2）若方程的根为有理数，求正整数m的值． （2）解：∵ m为正整数， ∴m可取1，2，3，4．
∴ m 0, 方程为一元二次方程．
分析 ax 2 bx c 0 (a 0) 0.
例1 如果关于x的一元二次方程 x2 4x k 5 0 有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
解：a 1, b 4, c k 5.
b2 4ac 42 41 k 5
b2 4ac 0
16 4k 20
36 4k.
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ 36 4k 0. ∴ k 9.
若方程有两个相等的实数根，请比较a,c的大小，并说明理由.
0
解：由题意，得
a 0 0
(2a)2 4ac 0,
a 0,
4a2 4ac 0. 4a(a c) 0.
a c 0. a c.
例4 已知：关于x的方程 mx2 4x 1 0 有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的根为有理数，求正整数m的值．
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0), 方程有两个不相等的实数根，则 b2 4ac _____ 0; 方程有两个相等的实数根，则 b2 4ac _____ 0; 方程没有实数根，则 b2 4ac _____ 0.
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2
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九年级 数学 上册 北师版
典例导学 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，运动员必须在距水面 5 m
以上完成规定动作，否则容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和距离水面高度 h(m)满足：h＝10＋3t－5t2，那么他最多有多长时 间完成规定动作？(精确到 0.1 s) 【思路分析】先把函数关系转化成一元二次方程，并把方程化成一元二 次方程的一般形式．结合实际问题在 t 的取值范围内列表，采用“夹逼” 的方法求 t 的近似值．
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17．如图，现有篱笆长 11 m，一面靠墙，要建一个矩形养鸡场．
(1)设宽为 xm，则长为((1111－－22xx)) m，面积为((－－22xx22＋＋1111xx) )m2；
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(2)填写下列表格：
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14．一元二次方程(a＋1)x2＋ax＋1－a2＝0 的一个根为 0，求 a 的值． a＋1≠0，
解：由题意，得1－a2＝0， ∴a＝1.
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15．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为 1，且 a，b 满足等式 b＝ a－3＋ 3－a＋3，求 c 的值．
＝2 的根是
（D ）
x
北师版九年级数学上册第2章1认识一元二次方程
知5－讲
知5－练
例 5 【母题 教材P35习题T2】有一根长为7.2 m 的木料， 做成如图2-1-1 的窗框(宽< 高)，当窗框的宽为多少时， 这个窗框的面积约为2 m2 ？(不考虑木料加工时的损 耗和中间木框所占的面积) 解题秘方：建立一元二次方程模型，紧 扣列表取值法求一元二次方程的近似解.
知2－讲
知2－讲
图解：任何一元二次方程进行整理(去分母、去括号、 移项、合并同类项)后都可以化为一元二次方程的一般形 式：ax2＋bx＋c= 0(a，b，c 为常数，a ≠ 0).
知2－讲
2. 特殊形式
特殊形式
二次项系数 一次项系数 常数项
ax2＋bx=0(a ≠ 0，b ≠ 0)
a
ax2＋c=0(a ≠ 0，c ≠ 0)
知2－练
2-1. 将一元二次方程3x2－2=－4x 化成一般形式ax2＋bx＋ c=0(a ＞ 0)，其中一次项和常数项分别是( C ) A.－4，2 B.－4x，2 C.4x，－2 D.3x2，2
知2－练
2-2.[中考·牡丹江] 关于x 的一元二次方程(m－ 3)x2 ＋ m 2x =9x＋5 化为一般形式后不含一次项， 则m 的值 为( D ) A.0 B.±3
第一步：
x
Байду номын сангаас
1
x2－3x－1 －3
知5－练
2
3
4
－3 __－__1__ ___3___
所以 __3___<x<__4___.
第二步：
x
3.1 3.2 3.3 3.4
x2－3x－1 －0.69 －0.36 －0.01 0.36
九年级数学上册第2课时 一元二次方程的根及近似解 (3)
编号：85989385000400012744523444276565学校：施理本市模工同镇高录小校*教师：英物记*班级：启明星玖班*第2课时一元二次方程的根及近似解【知识与技能】会进行简单的一元二次方程的试解.【过程与方法】根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.【情感态度】理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.一、情境导入，初步认识学生活动：请同学独立完成下列问题.问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为x2+82=102.整理，得x2-36=0.列表：问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.根据题意，得x（x+2）=120.整理，得x2+2x-120=0.列表：【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.二、思考探究，获取新知提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0老师点评：的解.（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.三、运用新知，深化理解1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.4.x（x-1）=2的两根为（D）A.x1=0，x2=1B.x1=0，x2=-1C.x1=1，x2=2D.x1=-1，x2=25.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）A.x1=b，x2=aB.x1=b，x2=1/aC.x1=a，x2=1/aD.x1=a2，x2=b26.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.解：由已知，得a+b=-3，原式=（a+b）2=（-3）2=98.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.解：由题意可知：a+c=b，a-b+c=0，把x=-1代入原方程，得ax2+bx+c=a×（-1）2+b×（-1）+c=a-b+c=0∴-1必是该方程的一个根.9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（21xx-）2-2×21xx-+1=0，令21xx-=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；当x2-1=-1时，x3=x4=0.∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.四、师生互动，课堂小结本节课应掌握：1.一元二次方程根的概念；2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；3.求一元二次方程的根的方法.1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.2.完成练习册中相应练习.本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数2 二次函数与一元二次方程
路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h
（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系： =
− .考虑以下问题：
球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？
说一说为什么会有两个时间点，球的飞行高度是15m？
D. x₁=-1, x₂=
例5:如图，抛物线y=ax²+bx+c 经过点A(0,3),B(2,3),C(-1,0), 直线 y=mx+n
经过点 B,C.
(1)该抛物线的对称轴为直线 ___________.
x=1
x₁=-1,x2=3
(2)关于x的一元二次方程αx²+bx+c=0 的解为 ___________.
22.2 二次函数与一元二次方程
1.通过类比的方法理解一元二次方程 2 + + = ( ≠ 0)
根的情况与抛物线 = 2 + + 和直线 = 交点的情
况之间的关系，提高学生分析问题、解决问题的能力.
2.通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一
（3）观察图象求得方程的解（由于作图或观察存在误差，故由
图象求得的解一般是近似的）
教师讲评
知识点3．二次函数与不等式（难点）
1.函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不
等式，解不等式求得自变量x的取值范围。
2.利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取
值范围，可作图利用交点直观求解，也可以利用两个函数解析式
自主探究
2.画出函数ℎ = 20 − 52的图象，思考：
人教部初三九年级数学上册 一元二次方程根的判别式 名师教学PPT课件
当方程有两个相等的实数根时， 0 ； 当方程没有实数根时， 0 .
掌握新知
例1 不解方程，判别下列方程的根的 情况：
13x2 5x 2;
2 4x2 2x 1 0;
4
34 y
2
1 y 0.
例2：按要求完成下列表格：
方程
2y2 2 4y
Δ的值
0 0
根的 情况
有两个相等 的实数根
Δ＝a2－4a＋8＝(a－2)2＋4>0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
巩固练习
1式.方△程＝___4_x_2 _-2_33x_， 2它的的0根根的的判情别况
无实数根
是__________2x_2__．mx 1 0
2.已知方程
的判
别式的值是16，则m＝_2__3 __．
3.方程 9x 2 (k 6)x k 1 有0 两个 相等的实数根，则k＝ __0或__24__．
实数根： 当b2
x1
x2
b 2a
;
4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
数范围内，负数没有平方根.所以，方程没有实数根.
思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况 b2 4ac
反过来，对于方程ax2 bx c 0a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么b2 4ac 0; 如果方程有两个相等的实数根，那么 b2 4ac 0; 如果方程没有实数根，那么 b2 4ac 0.
4．如果关于x的方程 x 2 5x c 0 没有实数根，则c的取值范围是 __c _ 2_45_．
5.已知关于x的方程 x2 (2k 1)x k 2 1 0
有两个不相等的实数根，试确定的取值。
6.求证：关于 x的方程 k 2 x2 2kx (k 2 1) 0
1 第2课时 一元二次方程的根及近似解
全品教学课件
数学
九年级 上册
新课标（BS）
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第二章 一元二次方程
第2课时 一元二次方程的根
及近似解
知识回顾
情知景识导回入顾
获取新知
例知题识讲回解顾
随堂演练
课堂小结
第2课时 一元二次方程的根及近似解 问1：一元二次方程有哪些特点？
① 只含有一个未知数; ②未知数的最高次项系数是2; ③整式方程； ④二次项的系数不能为0
问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 +bx + c = 0(a , b , c为常数, a≠0)
第2课时 一元二次方程的根及近似解
情景导入
上节中我们遇到了这样一个问题 １．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去， 横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门 的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你 知道竹竿有多长吗？ 我们得到了方程x2－12 x ＋20 ＝ 0 如何求解x呢？
第2课时 一元二次方程的根及近似解
（2）继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…
x
2.2
2.3
2.4
2.5
…
x2 - 2x - 1 -0.79 -0.31 -0.04
0.25
…
由表发现，当2.4＜x＜2.5时,-0.04＜ x2 -2x-1＜0.25; （3）取x=2.45,则x2 - 2x - 1≈0.1025. ∴2.4＜x＜2.45, ∴x≈2.4.
根据题意,x的取值范围大致是0 < x < 11. 解方程 x2 + 2x - 120 = 0. 完成下表(在0 < x < 11这个范围内取值计算,逐步逼近):
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程 什么是一元二次方程的根？素材
学必求其心得，业必贵于专精
什么是一元二次方程的根?
答案：
使方程两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根.一元二次方程可以无解,若有解，就一定有两个解。
【举一反三】
典例:下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？—4，—3，-2，-1，0，1，2，3,4．
思路导引：一般来说,要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式,使等式两边相等即可．将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=—2或x=—3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
标准答案：x=-2或x=-3是一元二次方程
2x2+10x+12=0的两根．
1。
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作品编号：51897654258769315745896
学校：五朱角市鸟砟镇四灵小学*
教师：猴挪黑*
班级：占卜参班*
第2课时一元二次方程的根及近似解
【知识与技能】
会进行简单的一元二次方程的试解.
【过程与方法】
根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.
【情感态度】
理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.
【教学重点】
判定一个数是否是方程的根.
【教学难点】
会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.
一、情境导入，初步认识
学生活动：请同学独立完成下列问题.
问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？
设梯子底端距墙为xm，那么，
根据题意，可得方程为x2+82=102.
整理，得x2-36=0.
列表：
问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？
设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.
根据题意，得x（x+2）=120.
整理，得x2+2x-120=0.
列表：
【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.
二、思考探究，获取新知
提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？
老师点评：
（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解.
（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.
为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.
回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.
【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.
三、运用新知，深化理解
1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.
分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.
解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.
2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.
分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）3x2-6=0
（3）x2-3x=0
分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.
4.x（x-1）=2的两根为（D）
A.x1=0，x2=1
B.x1=0，x2=-1
C.x1=1，x2=2
D.x1=-1，x2=2
5.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）
A.x1=b，x2=a
B.x1=b，x2=1/a
C.x1=a，x2=1/a
D.x1=a2，x2=b2
6.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1= 9 ，x2= -9 .
7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.
解：由已知，得a+b=-3，
原式=（a+b）2
=（-3）2
=9
8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.
解：由题意可知：
a+c=b，a-b+c=0，
把x=-1代入原方程，得
ax2+bx+c
=a×（-1）2+b×（-1）+c
=a-b+c
=0
∴-1必是该方程的一个根.
9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在
（
21
x
x
-
）2-2×
21
x
x
-
+1=0，令
21
x
x
-
=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思
想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.
解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，
当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；
当x2-1=-1时，x3=x4=0.
∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.
【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.
四、师生互动，课堂小结
本节课应掌握：
1.一元二次方程根的概念；
2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；
3.求一元二次方程的根的方法.
1.布置作业：教材“习题
2.2”第1、2题.
2.完成练习册中相应练习.
本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.。