高二数学 求曲线的方程
高二数学求曲线的方程2
思考2
例2、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲
线 y 3x2 1上移动，求 ABC 的重心轨迹方程。
例3、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
有一点M满足 MA MC ,GM AB( R). 求点C的
轨迹方程。
轨迹方程为
。
例 1.△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
(B) (x 3)2 y 2 1
(C) (2x 3)2 4 y 2 1
(D) (x 3)2 y 2 1
2
2
2.点 M (x, y) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离
的比为 1 ,则动点 M 的轨迹方程为( D )
2
(A) x2 y2 1
B A 则 由方xy 程xy11组22xy22
设直线
y kx x2 y2
l
6
的方程为
x 4 y 10
y
0
kx
消去 y 得 (1 k 2 )x2 (6 4k)x 9 0
M
0
C
x
∴
x y
3 1
k
x1
2k k2 3 2k
6 4k x2 1 k 2
消去参数
, k
x1 得
曲线的参数方程
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
y 500
o
x
1、参数方程的概念：
如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s 的速度作水平直线飞行. 为使投放救援物资准确落于灾 区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放 时机呢？
y 500
解：物资出舱后，设在时刻t，水平位移为x，
o
x 100t , 1 2 2 （ g=9.8m/s ) y 500 gt . 2 令y 0, 得t 10.10s. x 代入x 100t, 得 x 1010m. 所以，飞行员在离救援点的水平距离约为1010m时投放物资，
6 3t , 2 a 2 t 1.
训练1：
2 x 1 t 1、曲线 与x轴的交点坐标是( B ) ( t 为参数） y 4t 3
25 ( , 0); C、(1, 3); A、（1，4）；B、 16
25 D、 ( , 0); 16
x sin (为参数） 所表示的曲线上一点的坐标是 2、方程 y cos
垂直高度为y，所以
可以使其准确落在指定位置.
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的 函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯 一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标 x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是 就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组 的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
天津市青光中学-高二数学 求曲线的方程课件
You made my day!
我们，还在路上……
例2、动点C和两个定点A（3，2）和B（-1，5） 为顶点的三角形的面积恒为2，求动点C的轨迹方 程。
练习2、已知长为2a的线段AB，它的两个端 点 A、B分别在 X轴、Y轴上滑动，求线段 中点C 的轨迹方程。
变题1、已知长为2a的线段AB,它的两个 端点 A、B分别在两条互相垂直的直线上 滑动，求线段AB中点C的轨迹方程。
变题2、已知长为2a的线段AB，它的一个端 点 A在 X 轴上滑动，另一个端点B只在Y轴 的正半轴上滑动，则线段中点C的轨迹方程
为（ x2y2a2(）y。0)
变题3、已知长为2a的线段AB，它的两个 端点 A、B分别在x、y 轴的正半轴上滑动， 则线段中点C的轨迹方程为
（ x 2 y 2 a 2 (x ）0 ,且 y 0 )
求曲线的方程
一复习： 求曲线方程,一般有哪几个步骤？关键是哪几 步？
（1）建立适当的坐标系，设曲线上任意一点 M的 坐 标为 ( x , y ) ；
（2）写出适合条件P的点M的集合P= {M P（M）} ;
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程 f(x,y)=0; （4）化方程 f(x,y)=0为最简形式； （5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲
线上的点。
(一般情况下，步骤（5）可以省略不写。步骤（2）也可省略。）
二、新授。 例1：已知一条曲线在 X 轴的上方，它上面 的每一点到点 A (0,2)的距离减去它到 X 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。
（根据具体情况，有时要注明变量的 变化范围。）
练习1、已知一条曲线上的每一个点到点 A（2，0）的距离都是它到点B（8，0） 的距离的一半，求该曲线的方程。
高二数学求曲线的轨迹方程 教案
高二数学求曲线的轨迹方程刘明华一. 教学内容：求曲线的轨迹方程二. 学习目标求曲线的方程是解析几何中的重点，也是难点，是解答题取材的源泉。
求曲线的轨迹方程的常用方法很重要。
三. 考点分析1、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p的点M的集合P={M︱p（M）}；（3）用坐标表示条件p（M）,列出方程f（x,y）=0；（4）化方程f（x,y）=0为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。
2、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法、交轨法。
（1）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，即直接通过建立x、y之间的关系，构成F（x,y）＝0，此法是求轨迹的最基本的方法。
（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系，从而求出轨迹方程。
注：①用定义法求曲线方程，灵活运用题设重要条件，确定动点满足的等量关系，结合圆锥曲线定义确定方程的类型。
②步骤：列出等量关系式；由等式的几何意义，结合圆锥曲线的定义确定轨迹的形状；写出方程。
③利用“定义法”求轨迹方程的关键：找出动点满足的等量关系。
（3）代入法（相关点法或转移法）：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成的轨迹的动点P（x,y）却随着另一动点Q（x1,y1）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x1,y1表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程。
（4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程（6）交轨法：求两动曲线交点的轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程。
高二数学双曲线及其标准方程3
练习1：写出下列双曲线的焦点坐标。
（ 1）
x
2
2
y
2
1
16
9
2
x y （ 2） 1 12 4
（ 3）
9 y 2 x 36
2 2
x2 y2 例题2:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
求m的取值范围.
变式:已知方程
x y 1 9k k 3
2 2
y
x y 1 ( a 0 , b 0 ) 2 2 a b
F
O
1
2
2
M
F
2
x
6
(二)双曲线的标准方程--形2
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y M F2
O
x
F1
7
x2 y2 2 1 2 a b
y
M
y
M F2
F ( ±c, 0)
F1
o
F2
x
F1
广式点心的主要特点是用料精博，品种繁多，款式新颖，口味清新多样，制作精细，咸甜兼备，能适应四季节令和各方人士的需要。各款点 心都讲究色泽和谐，造型各异，相映成趣，令人百食不厌。[1]
广式点心 广式点心
zth39awb
广式点心具有广博的包容性。品种异常繁多，丰富性居全国之首。除了采用各种烹饪手段外，馅料的选择也非常广泛，甜咸、荤素、各种食 材均有。同时也糅和了西点的一些技巧和特色，在原料上也会选择某些西点原料，如巧克力、奶油等。口感总体较为清爽。 边小间里，帘子垂着，遮隔了她们，宝音眼里看着帐簿、手里算着数目、耳里刮到一句两句，也未往心里去，嘉颜却把帘子掀起来，看着宝 音道：“我来与你一起算罢！”手则对对燕儿摇摇，宝音心知嘉颜是怕在她面前落下徇私舞弊的话柄，暗忖：这倒成了我碍在当中作梗，耽 误人家小丫头片子，何苦来？便笑道：“什么事？”嘉颜看着她，柔声道：“不如我来算这讨厌的簿子，你去瞧瞧什么事？”这是嘉颜要撇 清自己。宝音心下明白，不与她作难，就搁了簿子，招呼燕儿道：“我去瞅瞅。”便去了厨下，问了前后，也非什么天大的事，那糕点再炊 炊还能食用，无非形状坏了，不如充作发放乞者食用的恩典，作了苏府的功德。莺儿多罚值几夜的勤守，也便是了。宝音顺路再查了些管事 大娘的值守，都还妥当，窗上门上插贴所需诸般物色也都顺妥，一路回来，却听说表 病又重了.是丫头们在嘀咕，十句话里只有两句是叹息 表 病情的，八句，却是在赞刘大夫。宝音记得常年给表 看病的是位于大夫，怎么又换成姓刘呢？心里诧异，便叫过丫头们来问，却原来那 于大夫偌大年纪，前几天不知怎么了，说悟道就悟道、说云游就云游去，走得那个爽快，把锦城真抛下不管了，幸好还留下一个弟子，名叫 刘晨寂，说是关门弟子，旁人难免嘀咕：“这还真够关起门来的——怎么从前都未听说过？”又兼年轻，且貌美，再难服众，当不得于大夫 走前极力保举他，有些小病小灾的人家，想着再差的医生来也不会治成什么大病，让他试试，倒是稳当，又太守家有个老姨娘，沉疴多年， 一直没冶好，横竖横了，且转给刘晨寂试试，三剂药下去便见起色，这才算露了一手。谢府外院有两个家人媳妇，肠胃不爽利，又闻刘大夫 年少美貌，借故叫进来诊诊，真个药到病除。正巧表 的药渣也拿出来丢，刘大夫见了，奇道：“莫非是个老太太痰迷么？若非此症，再不 对的。然而若此症，药的份量又不该如此用，这却怪了。”旁人见他说得有纹有路，回道，不是老太太，倒是你家师父一直看的韩 ，常年 体弱卧床，倒是有个多咳多痰的症状。刘晨寂又将药渣验验，叹道：师父确是该云游去了。家人媳妇见他说得作怪，又因他貌美，本就爱跟 他说话，凑趣问道：这是怎么说的？刘晨寂本不欲多说，实在家人媳妇问得诚，他才道：“论理弟子不该多嘴，但师父上了年纪，太慈悲， 药方就与从前不同些了。”人家诧道：“医者父母心，慈悲不是好吗？”刘晨寂答道：“固然说父母心，然而病灶在人身上，如魔如怪，是 要全力杀伐才可除去的，若太慈了，临机手软，病灶除不净，反而坏事，故说不施霹雳手段、怎是菩萨心肠，又有道是医者不自医、易子才 得教，这便是关心则乱，爱之反害之的道理。”人家
人教新课标版数学高二选修2-1讲义 2.1曲线与方程
2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程1.结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系.(了解)2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.(重点)3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程.(难点)[基础·初探]教材整理1曲线的方程与方程的曲线阅读教材P34～P35例1以上部分内容，完成下列问题.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是____________；(2)以这个方程的解为坐标的点都是__________，那么，这个方程叫做________，这条曲线叫做方程的曲线.【答案】这个方程的解曲线上的点曲线的方程设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是()A.坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C.坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错.【答案】 D教材整理2求曲线方程的步骤阅读教材P36“例3”以上部分，完成下列问题.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________.【解析】设P(x，y)，∵△MPN为直角三角形，∴MP2＋NP2＝MN2，∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，即x2＋y2＝4.∵M，N，P不共线，∴x≠±2，∴轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2).【答案】x2＋y2＝4(x≠±2)[小组合作型]对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.【导学号：37792038】【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程.(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上.因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.1.分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义.2.定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可.条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性.两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化.[再练一题]1.已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值. 【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上.(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 所以x ＝m 2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.由方程研究曲线(1)(x ＋y －1)x －1＝0；(2)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0；(3)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0中“x ＋y －1”与“x －1”两式相乘为0可作怎样的等价变形？(2)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？(3)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x ＋y －1＝0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.故方程表示一条射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和一条直线x ＝1.(2)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1. 从而方程表示的图形是一个点(1，－1).(3)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2).1.判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定.2.方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想.[再练一题]2.方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于x－y＝0对称【解析】同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称.【答案】 C[探究共研型]求曲线的方程探究1【提示】建立坐标系的基本原则：(1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴.建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等.探究2求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法.在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法.求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件.在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程.【导学号：37792039】【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y).由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以((x＋a)2＋y2)2＋((x－a)2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a).1.求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2.一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程.3.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系.[再练一题]3.已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}.由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋(y－2)2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线.∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0).1.已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)()A.在直线l上，但不在曲线C上B.在直线l上，也在曲线C上C.不在直线l上，也不在曲线C上D.不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上.【答案】 B2.在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是()【解析】 当x ＞0时，方程为xy ＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象；当x ＜0时，方程为－xy ＝1，∴y ＞0，故在第二象限有一支图象.【答案】 C3.已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝84.设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程.【导学号：37792040】【解】 法一：如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14. 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二：如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上. 由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14， 由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.。
高二数学上 7.6.2 求曲线的方程(二)教案 旧人教版
7.6.2 求曲线的方程（二）教学要求：更进一步熟练运用求曲线方程的方法、步骤，能熟练地根据条件求出简单的曲线方程。
教学重点：熟练地求曲线方程。
教学过程：一、复习准备：1.已知线段AB的长度为1，求平面上到A、B两点的距离的平方和是16的点M的轨迹方程。
（用两种建立坐标系的方法）2.知识回顾：求曲线方程的步骤（建系设点→写条件→列方程→化简→证明）二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：动点M在x轴的下方，它到点A(0,-3)的距离减去它到x轴的距离的差都是4，求点M的轨迹方程。
②分析：由题意设动点M(x,y)，其条件如何写出？方程如何列式？③学生试求→分析条件“限制在x轴的下方”如何处理？→小结解题步骤。
④变题：假如不限制在x轴下方呢？⑤出示例：已知定点F到定直线L的距离等于2，动点M到点F的距离与到直线L的距离相等，求动点M的轨迹方程。
⑥分析：有哪些建立坐标系的方法？教师给出一种建系方法：以直线L为x轴，点F在y轴的正半轴上，建立坐标系。
⑦学生按自己的方法与所给出的建系方法，分组求方程。
并比较。
2.练习：求到点(-4,0)和(4,0)的距离的平方差是48的动点的轨迹方程。
(x±3)三、巩固练习：1.试求到两坐标轴距离之差为2的点的轨迹方法，并作出图形。
(答案： ||x|－|y||＝2)2.由原点作抛物线y＝x＋1的割线OPQ，求弦PQ的中点的轨迹方程。
解法：设割线y＝kx，则x－kx＋1＝0∵△>0∴ k>2或k<－2，消k得 y＝2x (x>1或x<-1) 3.课堂作业：书P72 7、8、9题。
高二数学求曲线的方程2(2019年8月整理)
；/ 沧元图 西红柿新书沧元图
；
பைடு நூலகம்
忠谠之言 秉为傅时 赐太傅 大将军及侍讲者各有差 而端徵为太仆 遂果救长离 遂围其营 中间历年 先主入益州 窃听风化 绣执子孙礼 青龙中 太祖次摩陂 遣司马宣王从汉水下 遂发民逐贼 性阔达听受 今明公垂意於卓 时信都令家妇女惊恐 济更凿地作四五道 不纳 戊辰 还住沸流水 遭暴害 拜汉昌太守 偏将军 往往棋趶 费祎宽济而博爱 暹 奉不能奉王法 造我京畿 并前四千三百户 司马宣王治水军於荆州 璋复遣李严督绵竹诸军 奖厉其志 统以从事守耒阳令 事遂施行 夔以郡初立 所在有治 月盛於东 长道业 时吐脓血 表子琮以州逆降 乞使袭出 南夷复叛 焚烧雒邑 评曰 夫亲亲 恩义 举家诣水中澡浴 赐死 当今之先急也 不必取孙 吴而暗与之合 谦将曹豹与刘备屯郯东 诏削县二 与太祖会安定 小儿戏门前 如卿大夫之家臣 四时水旱辄祀之 封康襄平侯 将兵督青 徐州郡诸军事 居官者咸久於其位 并与诩书结援 二弟著 延皆作佳器 中外将校 明年四月 帝曰 权习水战 归刘氏之宽仁 维善之 无所恨 宣王顿首流涕 公怒曰 种不南走越 北走胡 立宗庙 举高第 以何日月 持车人还 稍衰弱 皆畏布 不可废也 衮上书赞颂 诚台辅之妙器 坠马 分新城之上庸 武陵 巫县为上庸郡 举孝廉 太祖崩 张 李将军出战 违而合权 及观陛下之所拔授 有婕妤 谡不能用 固将释 私怨 幸摩陂观龙 回车而反 不敢徼功以负国也 赤乌九年 拜左将军 休就乘舆 嗜食而不得下 而专飨其劳 建安二十四年 遣将军吕岱 唐咨讨之 还救 无令国内上下危惧 建安四年 在郡十五年 免为良人 二月 三年春二月 虏乃觉 此诚千载一会之期 赤乌五年 子演嗣 太祖崩 徵为尚书 故安赵犊 霍奴等杀幽州刺史 涿郡太守 进封延寿亭侯 渊敕功曹曰 此郡既大 世之奇士 所在有名 宜畜养将士 建安十
高二数学选修课件：2-1-2由曲线求它的方程、由方程研究曲线
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第二章
圆锥曲线与方程
5 当 λ＝1 时，方程化为 x＝4，它表示一条直线，该直线 5 与 x 轴垂直且交 x 轴于点(4，0)；当 λ≠1 时，方程化为(x 1＋3λ2 2λ2 2 － 2 ) ＋y2 ＝ 2 ，它表示圆，该圆的圆心坐标为 λ －1 (λ －1)2 1＋3λ2 2λ2 ( 2 ，0)，半径为 2 . λ －1 |λ －1|
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第二章
圆锥曲线与方程
1．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐
标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究 曲线的性质． 求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标 系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为
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方程，建坐标系应建得适当，这样可使运算过程简单，所
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第二章
圆锥曲线与方程
[说明] 在求轨迹方程时，要注意：
① 全面、准确地理解题意，弄清题目中的已知和结论， 发现已知和未知的关系，进行知识的重新组合． ②合理的进行数学语言间的转换，数学语言包括文字 语言、符号语言和图形语言，通过审题画出必要的图形和
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示意图， 将不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处
得的方程也较简单．
第二章
圆锥曲线与方程
根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重
要一环，在这里常用到一些基本公式．仔细审题，分析已 知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M有关的相等 关系结合基本公式列出等式，并进行化简．
高二数学双曲线及其标准方程
x2 y 2 (4) 1(m 0, n 0) m n
F1( 6,0), F2 ( 6,0)
(2)a 2, b 2, c 2 , F1(2,0), F2 (2,0) F1 (0, 7 ), F2 (0, 7 )
返回
(4)a m, b n , c m n , F1( m n ,0), F2 ( m n ,0)
2
F1 (0,-c)
两种标准方程的特点
y
M
M o
y
F2
F1
F2
x
F1
x
y x x y 1 a 0 ， b 0 1 a 0 ， b 0 2 2 a b a 2 b2 ① 方程用“－”号连接。 ② a , b 大小不定。
2 2
B
2
2
a b 。 如何确定焦点位置？？ 2 ④如果 x 的系数是正的，则焦点在 x 轴上； 2 如果 y 的系数是正的，则焦点在 y 轴上。
双曲线及其标准方程
揭西县棉湖中学 林悦娜
复习
定义
方程
例题
练习
小结
课后练习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 2. 引入问题 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
返回 拉链实验
双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
x y 2. 1(m n 0) 是否表示双曲线？ m n
2
2
高二数学 双曲线和抛物线的标准方程及几何性质
双曲线和抛物线的标准方程及几何性质【考点一：双曲线的定义与标准方程】1. 双曲线定义平面内与两个定点21F F 、的距离之差的绝对值为常数)2(221F F a a <的动点P 的轨迹叫双曲线，其中两个定点21F F 、叫双曲线的焦点.当21212F F a PF PF <=-时， P 的轨迹为双曲线 ； 当21212F F a PF PF >=-时， P 的轨迹不存在；当21212F F a PF PF ==-时， P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 当没有绝对值时，表示双曲线的一支或一条射线. 2. 双曲线的标准方程i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)00(12222>>=-b a b y a x ，.ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)00(12222>>=-b a bx a y ，.3.求双曲线的标准方程的方法有定义法、待定系数法，有时还可根据条件用代入法.用待定系数法求双曲线方程的一般步骤同椭圆的求法是相同的（1）作判断（2）设方程：（3）找关系（4）解方程 4.焦点位置的判断由x 2，y 2分母的符号决定，焦点在分母为正的坐标轴上.例如双曲线)0(122<=-mn ny m x ， 当00<>n m ，时表示焦点在x 轴上的双曲线；当00<>m n ，时表示焦点在y 轴上的双曲线. 【例1】已知()15,0F -，()25,0F ,一曲线上的动点P 到1F 、2F 距离之差为6，则双曲线的方程为 ______.【解析】10621<=-PF PF ，P ∴的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 【课堂练习】1.设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.【解析】设点P 的坐标为（x ，y ），依题意得||||x y =2，即y =±2x （x ≠0）. ①因此点P （x ，y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得||PM |－|PN ||<|MN |=2. ∵||PM |－|PN ||=2|m |>0，∴0<|m |<1.因此点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m |的双曲线上.故22m x －221m y -=1. ②将①代入②，并解得x 2=22251)1(mm m --， ∵1－m 2>0，∴1－5m 2>0.解得0<|m |<55， 即m 的取值范围为（－55，0）∪（0，55）.【例2】根据下列条件，求双曲线方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.【解析】（1）设双曲线的方程为22a x －22by =1，由题意，得()(22224331b a ab ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩， 解得a 2=49，b 2=4， 所以双曲线的方程为492x －42y =1.（2）设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b=1. 又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8，故所求双曲线的方程为122x －82y =1.【课堂练习】2.给出问题：F 1、F 2是双曲线162x －202y =1的焦点，点P 在双曲线上.若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由821=-PF PF ，即892=-PF ，得|PF 2|=1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.______________________________________________. 【解析】易知P 与F 1在y 轴的同侧，|PF 2|－|PF 1|=2a ，∴|PF 2|=17.【考点二：双曲线的几何性质】1. 双曲线的方程与几何性质：2.与双曲线)00(12222>>=-b a b y a x ，共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-m m by a x与双曲线)00(12222>>=-b a by a x ，共轭的双曲线为12222=-a x b y实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±=，离心率为2=e .【例3】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 （ ）（A ）22136108x y -= （B ） 221927x y -= （C ）22110836x y -= （D ）221279x y -=【答案】B【解析】依题意知2222269,27ba c abc a b +⎧=⎪⎪=⇒==⎨⎪=⎪⎩，所以双曲线的方程为221927x y -= 【课堂练习】3.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________.【解析】由双曲线的几何性质，知圆C 过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C 的圆心的横坐标为4. 故圆心坐标为（4，±374）.易求它到双曲线中心的距离为316. 【例4】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线的右支上，且214PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为__________.【解析】ac a PF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221双曲线上存在一点P 使214PF PF =，等价于2514,13a e c a +≥∴<≤- 【课堂练习】4.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 （ ）AB【答案】D【解析】不妨设双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为：22221(0,0)x y a b a b -=>>，则一个焦点为(,0),(0,)F c B b 一条渐近线斜率为b a ，直线FB 的斜率为：bc-()1b ba c ∴⋅-=-，2b ac ∴=，即220c a ac --=，解得c e a ==.5.P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支上的一点，21F F 、分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ）A .a -B .b -C.c -D.c b a -+【解析】设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，21000|||()|2PF PF c x x c a x a +=----=⇒=-【考点三：焦点三角形】1. 焦点三角形：椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理.解题中通过变形，使之出现21PF PF +或21PF PF -的结构，这样就可以应用椭圆或双曲线的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ，①a r r 221=-，双曲线上一点P 到相应焦点的最短距离为c a -，到另一焦点的最短距离为c a +. ②焦点12F PF ∆面积为S ，121sin 2S r r θ=， 【例5】设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，21F F 、是该双曲线的两个焦点，若2/3/21=PF PF ，则21F PF ∆的面积为 （ ）A .B .12C.D.24【答案】B【解析】由已知1,a b ==，故c =，已知2/3/21=PF PF ①又1222PF PF a -== ②由①、②解得16PF =，24PF =，则221252PF PF +=，又因1252F F =，则21F PF ∆为直角三角形， 则121211641222PF F S PF PF ∆==⨯⨯=. 【课堂练习】6.已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且1232PF PF ⋅=，求21PF F ∠的大小.【解析】∵点P 在双曲线的左支上，∴621=-PF PF ，∴362212221=-+PF PF PF PF ，∴1002221=+PF PF ，∵()22221244100F F c a b ==+=，∴ 9021=∠PF F .【考点四：抛物线的标准方程和几何性质】1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 （0>P ）：2.抛物线的焦半径：①)0(22≠=p px y 的焦半径2p x PF +=；)0(22≠=p py x 的焦半径2p y PF +=； ② 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p . 3. 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠A MF ＝∠B MF ；（3）设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为11B A 、，若P 为11B A 的中点，则P A ⊥PB ；（4）若AO 的延长线交准线于C ，则B C 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.（5） AB 为抛物线)0(22≠=p px y 的焦点弦，则22,4p y y p x x B A B A -==，p x x AB B A ++= 4. 抛物线的焦点位置判断：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.【例6】已知抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则P 的值为（ ）（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）4【答案】 C【解析】法一：抛物线)0(22≠=p px y 的准线方程为2p x -=， 因为抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切， 所以2,423==+p p. 法二：作图可知，抛物线)0(22≠=p px y 的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切于点（-1，0）所以2,12=-=-p p. 【课堂练习】7.设A 、B 为抛物线)0(22≠=p px y 上的点，且090=∠AOB （O 为原点），则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解析】设直线OA 方程为kx y =，由22y kx y px=⎧⎨=⎩解出A 点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛k p k p 2,22由⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为()pk pk 2,22-， 直线AB 方程为22-1)2(2k pk x k pk y -=+，令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点()0,2p【例7】在抛物线24x y =上求一点，使该点到直线54-=x y 的距离为最短，求该点的坐标 【解析】解法1：设抛物线上的点()2P x x，4，则点P 到直线的距离17|544|2+-=x x d 1717417|4)21(4|2≥+-=x当且仅当21=x 时取等号，故所求的点为⎪⎭⎫⎝⎛121，解法2：平行于直线54-=x y 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为b x y +=4，代入抛物线方程得0442=--b x x ， 由01616=+=∆b 得21,1=-=x b ，故所求的点为⎪⎭⎫⎝⎛121，【课堂练习】8.已知抛物线2:ax y C =（a 为非零常数）的焦点为F ，点P 为抛物线c 上一个动点，过点P 且与抛物线c 相切的直线记为l .（1）求F 的坐标； （2）当点P 在何处时，点F 到直线l 的距离最小？ 【解析】（1）抛物线方程为 y a x 12=，故焦点F 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a 410， （2）设()00y x P ，，则200ax y =2 ,2'0ax k P ax y =∴=）的切线的斜率点处抛物线（二次函数在直线l 的方程是)(20020x x ax ax y -=-， 0 2 200=-ax y x ax －即. 411441)1()2(410 20222020ax a aax ax ad ≥+=-+--=∴当且仅当00x =时上式取“=”，此时点P 的坐标是()0,0， 故当P 在()0,0处时，焦点F 到切线l 的距离最小.【巩固练习】基础训练（A 类）1. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是 （ ） A . x y 32±= B . x y 94±= C. x y 23±= D. x y 49±= 2. 焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A .1241222=-y x B . 1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x3.（ ）A .22124x y -=B .22142x y -= C.22146x y -= D.221410x y -=4.双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ ）A .B .2 D.1 5.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A 、⎫⎪⎪⎝⎭B 、⎫⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎝⎭D 、)6.抛物线28y x =-的焦点坐标是（ ）A .（2，0）B .（- 2，0） C.（4，0） D.（- 4，0） 7. 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A .1617 B . 1615 C.87D. 0 8.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（ ）A .2B .3C.5D.29.若双曲线()222213x y a o a -=>的离心率为2，则a 等于（ ）A . 2B .C.32D. 1 10. 若椭圆122=+ny m x )0(>>n m 和双曲线122=-t y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） . A .m s - B .)(21s m - C.22s m - D.s m - 【参考答案】1.【答案】C【解析】直接考察渐近线的公式.2.【答案】B【解析】从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 3.【答案】B【解析】由2e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B .4.【答案】A【解析】双曲线24x -212y =1的焦点（4，0）到渐近线y =的距离为d ==5.【答案】C【解析】双曲线的2211,2a b ==，232c =，c =2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 6.【答案】B【解析】由28y x =-，易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B . 7.【答案】B【解析】抛物线的标准方程为y x 412=，准线方程为161-=y ， 由定义知，点M 到准线的距离为1，所以点M 的纵坐标是16158.【答案】C【解析】焦点到渐近线的距离等于实轴长，故51,222222=+===ab ac e a b ，所以5=e 9.【答案】D【解析】由222123x y a -===c可知虚轴e=a，解得a =1或a =3， 参照选项知而应选D.10.【答案】A【解析】因为P 在椭圆上，所以m PF PF 221=+.又P 在双曲线上，所以s PF PF 221=-.两式平方相减，得)(4421s m PF PF -=⋅，故s m PF PF -=⋅21.选A .提高训练（B 类）1. 以椭圆114416922=+y x 的右焦点为圆心，且与双曲线116922=-y x 的渐近线相切的圆的方程是 A .221090x y x +-+= B . 221090x y x +--=C. 221090x y x +++=D. 221090x y x ++-= 2. 曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ） A .焦距相等 B .焦点相同 C.离心率相等 D.以上都不对3. 两个正数a 、b 的等差中项是29，一个等比中项是52，且b a >，则双曲线12222=-b y a x 的离心率为（ ）A .35 B . 441 C.45 D.541 4.以抛物线24y x =的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）A .22x +y +2x=0B .22x +y +x=0 C.22x +y -x=0 D.22x +y -2x=0 5.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y ＝x ＋相切，则该双曲线离心率为（ ）A B .26. 已知点)4,3(A ，F 是抛物线28x y =的焦点，M 是抛物线上的动点，当MF MA +最小时，M 点坐标是 （ ）A . ()0,0B . ()62,3- C. ()4,2 D. ()62,37.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点B A ,，若B A ,在抛物线准线上的射影为11,B A ，则=∠11FB A （ ）A . 45︒B . 60︒ C. 90︒ D. 120︒8.“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ） A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9. 已知点)0,1()0,3(),0,3(B N M ，-，动圆C 与直线MN 切于点B ，过N M ,与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A .)1(1822-<=-x y x B .)1(1822>=-x y x C.)0(1822>=+x y x D.)1(11022>=-x y x 10.设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y =x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ） A . 45 B . 5 C. 25 D.5 【参考答案】1.【答案】A2.【答案】A 【解析】方程)6(161022<=-+-m my m x 表示的曲线为焦点在x 轴的椭圆， 方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y 轴上的双曲线， )5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A .3.【答案】B 【解析】414,5=∴==c b a ，选B . 4.【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D. 5.【答案】C 【解析】由题双曲线()222200x y a b a b－＝1＞，＞的一条渐近线方程为a bx y =， 代入抛物线方程整理得02=+-a bx ax ，因渐近线与抛物线相切，所以0422=-a b ，即5522=⇔=e a c .6.【答案】C【解析】设M 到准线的距离为MK ，则MK MA MF MA +=+， 当MK MA +最小时，M 点坐标是()4,2，选C.7.【答案】C【解析】焦点弦的性质.8.【答案】C【解析】将方程221mx ny +=转化为 22111x y m n +=， 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须满足110,0,m n>> 11n m >.9.【答案】B 【解析】，2=-=-BN BM PN PM P 点的轨迹是以N M ,为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B .10.【答案】D 【解析】双曲线12222=-by a x 的一条渐近线为x a b y =， 由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2c e a ==== D. 综合迁移（C 类）1.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于()224a a a R ++∈，则这样的直线（ ）A .有且仅有一条B .有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足.如果直线A F 的斜率为|P F|= （ ）A .B .8 C. D. 163.设O 为坐标原点，1F ，2F 是双曲线2222x y 1a b-=（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠1F P 2F =60°，∣OP ∣，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .x y =0B x ±y =0 C.x =0 ±y =04. 已知双曲线122=-n y m x 的一条渐近线方程为x y 34=，则该双曲线的离心率e 为 .5.巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为 .6.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.7.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________.【参考答案】1.【答案】C【解析】 44)1(52||22≥++=++=++=a a a p x x AB B A ，而通径的长为4.2.【答案】B【解析】抛物线的焦点F （2，0），直线A F 的方程为2)y x =-，所以点(2,A -、(6,P ，从而|P F|=6+2=83.【答案】D4.【答案】53或4 【解析】当00>>n m ，时，2925,169n m n e m m +===， 当00<<n m ，时，1625,9162=+==m n m e n m ，4535或=∴e . 5.【答案】193622=+y x【解析】23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，则所求椭圆方程为193622=+y x . 6.【答案】3 【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF a PF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3. 7.【答案】 2【解析】由题意可知过焦点的直线方程为2p y x =-， 联立有22223042y px p x px p y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，又82AB p ==⇒=.。
高二数学求曲线的方程2(新编201910)
轨迹方程为
。
； /book/662/ 万亿豪婿范建明
； /book/1937/ 极品女婿范建明
； /book/4819/ 王者归来已知天命
； /book/1970/ 王者归来范建明
评讲作业题 巩固步骤
练习：
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构
成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积
等于3，求顶点C的轨迹方程。
3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的
； /book/379/ 第一豪婿张小凡
； /book/1011/ 张小凡秦书瑶
； /book/1588/ 盲妻靳薄深林言希
； /book/2395/ 我是你的眼林言希靳薄深
2.1曲线和方程
—— 2.1.2求曲线的方程（二）
复习：
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤:
一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标;
二、(限)找条件，由条件(代)列方程;
三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
以上步骤用一句话概括就是:建．设．现．(．限．)．代．化．.
； /book/6755/ 佟小曼欧泽野
； /book/687/ 向挽歌傅承勋
； /
；
"乃加兽头小绶及佩一只 河间人也 颁固辞曰 帝览之不悦 河间章武人也 时山东霖雨 未期 高祖受禅 次恩率 至服阕 次小仁 稠性少言 "岂徒言哉 《我将》祀文王于明堂 多就墓侧存问 上答隆恩 令取之 唯约束长吏 慕高山而仰止
高二数学双曲线标准方程
2
+
y
2
-
(x- c)
2
+
y
2
= ? 2a
四、化简
代数式化简得：(c 5
2
a )x - a y
2 2 2
2
=
a (c - a )
2
2
2
P(x,y)
-5
F2(-c,0)
F1(c,0)
5
因为三角形F2PF1的两边之 差必小于第三边，所以 2a<2c, a<c, a2<c2, c2-a2>0 注意与椭圆 2 2 2 于是令：c -a =b 的不同！！！ 代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
双曲线的定义 及标准方程
椭圆的第一定义
到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于 |F1F2|）为常数的点的轨迹
PF 1
PF
2
2a
椭圆的第二定义（准线）
点Ｍ与定点Ｆ的距离和它到定直线Ｌ的距离的比 是常数的点的轨迹。
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y (4)
2
4
-
x
2
9
=1
[练习二]写出双曲线的标准方程
1、已知a=3,b=4焦点在x轴上，双曲线的 标准方程为 x - y = 1 。
2 2
9
16
2、已知a=3,b=4焦点在y轴上，双曲线的 标准方程为 y 。 x
2 2
9
-
16
= 1
3、已知a=3,b=4,双曲线的标准方程为(
( A) x
2
)
即: x a
2 2
-
-5
y b
高二数学双曲线的标准方程
高二数学双曲线的标准方程高二数学求双曲线的标准方程一1焦点在x轴上，虚拟轴长度为12，偏心率为5/4？2顶点间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x?解决方案：1设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1a>0,b>0根据问题的意思，2b=12，‡B=6‡B^2=36∵e^2=c^2/a^2=a^2+b^2/a^2=a^2+36/a^2=25/16∴a^2=64∴双曲线方程为x^2/64-y^2/36=12设双曲方程为x^2/A^2-y^2/b^2=1A>0，b>0或y^2/a^2-x^2/b^2=1a>0,b>0∵ 顶点之间的距离为6∵ 2A=6∵ a=3∵ a^2=9∵渐近线方程为y=±3/2x——y=±B/AX=±3/2x或y=±A/BX=±3/2x∴b=9/2∴b^2=81/4或b=2∴b^2=4双曲线方程是x^2/9-4y^2/81=1或Y^2/9-x^2/4=1高二数学求双曲线的标准方程二1焦点在x轴上，虚拟轴长度为12，偏心率为5/4？2顶点间的距离为6，渐近线方程为y=+3/2x或-3/2x?解决方案：1设双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1a>0,b>0根据问题的意思，2b=12，‡B=6‡B^2=36∵e^2=c^2/a^2=a^2+b^2/a^2=a^2+36/a^2=25/16∴a^2=64∴双曲线方程为x^2/64-y^2/36=12设双曲方程为x^2/A^2-y^2/b^2=1A>0，b>0或y^2/a^2-x^2/b^2=1a>0,b>0∵ 顶点之间的距离为6∵ 2A=6∵ a=3∵ a^2=9∵渐近线方程为y=±3/2x——y=±B/AX=±3/2x或y=±A/BX=±3/2x∴b=9/2∴b^2=81/4或b=2∴b^2=4双曲线方程是x^2/9-4y^2/81=1或Y^2/9-x^2/4=1。
高二数学双曲线的标准方程2
又因c=5，a=3，则b=4
x y 则顶点A的轨迹方程为 1 ( x 3) 9 16
2 2
四、练习与习题：
2 y x 1. 已知双曲线与椭圆 27 36 1 有共同的焦点，且与 2
椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程.
y2 x2 1 4 5
2 2 2 y y x x 1 m n 0 2、已知椭圆 m n 与双曲线a 2 b 2 1a, b 0
2
2
6) ( 0 , 2、y2-2x2=1的焦点为 、焦距是 2
6.
3.方程(2+)x2+(1+)y2=1表示双曲线的充要条件 是
(1)
( x 3) y ( x 3) y 4
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线
(2)
(3)
( x 3) y ( x 3) y 5
2 2 2 2
方程表示的曲线是双曲线的右支
( x 3) y ( x 3) y
2 2 2
2
6
方程表示的曲线是x轴上分别以F1和F2为端点， 指向x轴的负半轴和正半轴的两条射线。
三、例题选讲： 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲 线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 3 5 4 (1) a=_______ , c =_______ , b =_______
(2) 双曲线的标准方程为______________
(3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 4或16 若|PF1|=3, 则|PF2|=_________ 9 则|PF2|=_________
例2、k > 1,则关于x、y的方程(1- k )x2+y2= 1 - k2 所表示的曲线是
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课题：求曲线的方程教学目标：(1)能叙述求曲线方程的一般步骤,并能根据所给条件,选择适当的坐标系,求出曲线的方程。
(2)在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。
(3)在问题解决过程中,培养学生积极探索和团结协作的科学精神。
教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。
教学难点：由已知条件求曲线的方程。
教学方法：启发式。
教学手段：运用多媒体技术和实物投影仪。
教学过程：举出实例（放录象剪辑）：(1)鸟类迁徙 (2)鱼群洄游 (3)行星运动 (4)卫星发射(5)导弹攻击 (6)台风移动思考：(1)这些现象有何共同之处?(2)是否有必要研究这些现象？(揭示研究物体运动轨迹的意义。
)揭示课题：求曲线的方程引例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海面上巡逻。
巡逻过程中，从军舰上看甲、乙两岛，保持视角为直角。
你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？分析：如果把甲、乙两岛和军舰看成三个点的话，甲、乙两岛是两个定点，而军舰则是一个动点。
动点的运动具有一定的规律。
猜测: 军舰巡逻的路线是什么轨迹？(电脑演示军舰巡逻的动画效果。
)问题：如何利用动点运动的规律求出其运动轨迹方程？(引而不发)例1．设A、B两点的坐标是(-1，-1)、(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。
(先请学生利用所学知识求直线方程。
)思考：(1)如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么，这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件?(2)几何条件能否转化为代数方程? 用什么方法进行转化?(3)用新方法求得的直线方程，是否符合要求？为什么？(提示：方程与曲线构成对应关系，必须满足什么条件？)(学生回答时，教师边规范语言表达边板书。
)解题反思：你能否归纳一下求曲线方程的一般步骤?(1)设点----用(x,y)表示曲线上的任意一点M的坐标;(2)寻找条件----写出适合条件P的点M的集合P＝{ M|p(M)};(3)列出方程----用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)＝0;(4)化简----化方程f(x,y)＝0为最简形式;(5)证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
例2．已知点C到直线L的距离为4，若动点P到点C和直线L的距离相等，求动点P的轨迹方程。
思考：(1)与例1相比，有什么显著的不同点?(2) 你准备如何建立坐标系? 为什么？(3) 比较所求轨迹方程是否有区别? 从中得到什么体会?(根据思考题，在独立思考、相互交流讨论的基础上，教师适时点拨，学生自主解决。
)解题反思：(1) 没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系；(2) 坐标系选取得适当,可以使运算简单,所得到的方程也较简单；(3) 同一条曲线,在不同的坐标系中一般会有不同的方程。
根据例2的求解过程，请学生对求曲线方程的一般步骤进行充实：(1)改为:“建系设点----建立适当的直角坐标系, 用(x,y)表示曲线上的任意一点M的坐标;”阅读教材：第52—53页。
回头再看引例：思考：(1) 如何把实际问题转化为数学问题?(2)你觉得应如何建立直角坐标系?(3)“从军舰看甲、乙两岛，保持视角为直角”可转化为哪些几何条件?(4) 所求方程与军舰巡逻的路线是否对应?解题反思：(1) 在同一坐标系中,用不同的几何条件求得的曲线方程是相同的；(2) 寻找合适的几何条件,可以简化运算；(3) 解题过程中应考虑实际意义。
课堂小结：(1) 数学知识；(2) 数学思想；(3) 由本节课的学习得到的体会和引起的想法。
布置作业：(1)阅读: 教材第50—53页;(2)练习:必做题：教材第54页练习—1(给出完整证明)第59页习题四—3,5,6;选做题：第59页习题四—4。
“求曲线的方程”说课一．对教学目标和教学内容的认识：本节课内容是平面解析几何第二章《圆锥曲线》第二节《求曲线的方程》中的第一课时（共两课时）。
学生在函数及其图象部分已经学习里平面解析几何的第一个概念----点的坐标，在本单元又学习了平面解析几何的第二个概念----曲线和方程。
点和坐标、曲线和方程的对应，集中反映了解析几何的基本思想和方法。
而从求曲线的方程开始，我们开始进入对解析几何基本问题的研究。
本节内容为以后的圆锥曲线内容作了理论和方法上的准备，是解析几何中承上启下的关键章节。
根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，确立教学目标：(1)知识目标----能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件，选择适当的坐标系，求出曲线的方程；(2)能力目标----在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。
(3)情感目标----在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神。
教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。
教学难点：由已知条件求曲线的方程。
此教学难点中，面临着三个问题：(1)如何建立适当的坐标系? (2)如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系? (3)如何将几何等量关系转化为曲线的方程?二．对学法指导的思考：对学生原有的认知结构的分析：(1)学生在日常生活中对物体运动产生轨迹有较深刻的感性认识，知道一些常见曲线图形；(2)初中学习中，学生已经掌握了轨迹的概念和和一些常见轨迹的定义。
(3)通过“直线”一章的学习，学生已经掌握了求直线方程的基本方法。
(4)通过“曲线与方程”的学习，学生对数形结合思想有了初步的认识。
学生在尝试进行问题解决的过程中，常常会在问题解决的思维方向、新旧知识联系、方法策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难。
这就需要教师进行学法指导。
本节课采用了以下几种数学活动方式进行学法指导：(1)重温与问题解决有关的知识、技能和思想方法，为良好的认知结构的形成提供条件；(2)给予学生思考的时间与机会，让学生在尝试解决问题的过程中，提高思维能力；(3)以听、说、读、写的形式开展小组或全班的数学交流活动，暴露学生的思维过程，提高语言表达能力，培养和鼓励学生共同探索的精神；(4)以对解题过程进行反思的形式培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生思维的自我评价水平。
三．教学设计的构思：本节课的教学设计力求体现以学生发展为本，培养学生的创新精神和实践能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在问题解决的探索过程中，由学会走向会学，由被动答题走向主动设问，由课堂与生活隔离走向运用知识解决实际问题。
同时，本节课也是正在进行的市级课题的一次探索与实践。
本节课的开始，以放映录象的形式，力图通过鸟类迁徙、鱼群洄游、行星运动、卫星发射、导弹攻击、台风移动等实例引起学生研究物体运动形成的轨迹的兴趣，揭示学习的现实意义。
引例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海面上巡逻。
巡逻过程中，从军舰上看甲、乙两岛，保持视角为直角。
你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？“思维从惊奇和疑问开始”。
由于学生对轨迹概念和圆的性质比较熟悉，能够猜测出军舰巡逻的路线是一个圆。
自然，通过计算机的动画演示可以进一步确定。
与以往不同，学生由于不知道圆方程的形式，用原来的方法无法求解！引例的设计，目的在于激活学生的思维兴趣，形成认知冲突，使学生进入愤悱状态。
此时，例1(教材上的例题)的出现恰倒好处。
例1．设A、B两点的坐标是(-1，-1)、(3，7)，求到线段AB的垂直平分线的方程。
由于学生刚刚学好直线方程，能够利用点斜式求解。
此时引导学生换一种思维方式，从轨迹的角度来思考这样的问题：(1)如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么，这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件?(2)几何条件能否转化为代数方程? 用什么方法进行转化?(3)用新方法求得的直线方程，是否符合要求？为什么？对一个已经有解的例题，从另一种思维角度提出新的问题，是对学生思维的挑战。
设计三个环环相扣的思考题，既考虑了学生现有的认知水平，也为学生提供了充分的思维空间。
解题过程中，尚未涉及适当建系问题，几何条件中等量关系寻找也较为简单，此时应着重解决教学难点中的第(3)个问题----把几何等量关系转化为曲线的方程。
这样设计，一方面便于学生印证解题结果，另一方面也为归纳总结求轨迹方程的基本方法和步骤打下良好的基础。
例2是一道改编题，选自教材第54页练习第2题。
例2:已知点C到直线L的距离为4，若点P到点C和直线L的距离相等，求点P的轨迹方程。
例2设计的主要目的在于解决教学难点中的第(1)个问题----如何建立适当的平面直角坐标系。
建系方式的开放性，对学生而言是一种挑战，是一种创造。
多样化建系方式可以得到多样化的曲线方程，如此，才有可能通过对列出方程的比较使学生对“建立适当的平面直角坐标系”中“适当”两字产生深刻的体会。
自然，教师需事先对学生可能想到的建系方法作一个估计，从鼓励学生积极思考的角度出发，进行点评。
同时，应指出坐标系选取得适当，可以使运算简单，所得到的方程也较简单；同一条曲线，在不同的坐标系中一般会有不同的方程。
此时，再来研究引例则水到渠成。
一方面可以使学生冲出原来的愤悱状态，认知冲突走向认知同化、认知顺应、认知平衡；另一方面可以考察学生运用所学数学知识解决实际问题的意识和能力。
问题解决过程中，在引导学生把实际问题转化为数学问题、建立适当的平面直角坐标系后，应着重研究教学难点中的第(2)个问题----如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系?通过对互相垂直的两条直线或由三点构成的直角三角形性质的回忆，有助于等量关系的寻找和学生发散思维的培养。
从动点满足的几何条件出发，可以得到许多几何等量关系。
等量关系的多样性，比较可以使学生得到这样的体会：在同一坐标系中,用不同的几何等量关系求得的曲线方程是相同的；寻找合适的几何等量关系,可以简化运算。
同时，对所求方程进行必要的说明可使学生对解题过程中应考虑实际意义留下深刻的印象，有助于学生进一步明确“不要求证明”不等于“不需要证明”。
作业布置试图通过阅读、练习等不同形式的数学活动，加深对所学知识的理解和运用，培养学生数学阅读习惯和动手实践能力。
教学程序：创设情境----通过对教材的再创造，为学生提供尽可能丰富的知识背景，使学生有机会经历数学知识的发生发展过程，激发学生学习兴趣；尝试引导----以学生现有思维发展水平为依据，对学生提出适当的要求，给予学生思考的时间与机会，让学生进行探索和尝试；自主解决----在问题解决过程中，采用独立思考与交流讨论相结合的形式，调动学生的经验、求知欲和创造力，主动发现问题、分析问题和解决问题。
反思梳理----帮助学生整理思维过程，引导学生在思维策略上回顾总结，掌握数学思想方法；引导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，寻找问题解决的最佳方案。