高二数学 求曲线的方程

课题：求曲线的方程

教学目标：(1)能叙述求曲线方程的一般步骤,并能根据所给条件,选择适当的坐标系,求出曲线的方程。

(2)在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归

纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。

(3)在问题解决过程中,培养学生积极探索和团结协作的

科学精神。

教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。

教学难点：由已知条件求曲线的方程。

教学方法：启发式。

教学手段：运用多媒体技术和实物投影仪。

教学过程：

举出实例（放录象剪辑）：

(1)鸟类迁徙 (2)鱼群洄游 (3)行星运动 (4)卫星发射

(5)导弹攻击 (6)台风移动

思考：(1)这些现象有何共同之处?

(2)是否有必要研究这些现象？(揭示研究物体运动轨迹的

意义。)

揭示课题：求曲线的方程

引例：在南沙群岛中，甲岛与乙岛相距8海里，一艘军舰在海面上巡逻。巡逻过程中，从军舰上看甲、乙两岛，保持视角为直角。你能否为军舰巡逻的路线写一个方程？

分析：如果把甲、乙两岛和军舰看成三个点的话，甲、乙两岛是两个定点，而军舰则是一个动点。动点的运动具有一定的规律。

猜测: 军舰巡逻的路线是什么轨迹？

(电脑演示军舰巡逻的动画效果。)

问题：如何利用动点运动的规律求出其运动轨迹方程？(引而不发)

例1．设A、B两点的坐标是(-1，-1)、(3，7)，求线段AB的垂直平分线的方程。

(先请学生利用所学知识求直线方程。)

思考：(1)如果把这条垂直平分线看成是动点运动的轨迹，那么，这条垂直平分线上任意一点应该满足怎样的几何条件?

(2)几何条件能否转化为代数方程? 用什么方法进行转

化?

(3)用新方法求得的直线方程，是否符合要求？为什么？

(提示：方程与曲线构成对应关系，必须满足什么条件？)

(学生回答时，教师边规范语言表达边板书。)

解题反思：你能否归纳一下求曲线方程的一般步骤?

(1)设点----用(x,y)表示曲线上的任意一点M的坐标;

(2)寻找条件----写出适合条件P的点M的集合P＝{ M

|p(M)};

(3)列出方程----用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)＝0;

(4)化简----化方程f(x,y)＝0为最简形式;

(5)证明----证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

例2．已知点C到直线L的距离为4，若动点P到点C和直线L

的距离相等，求动点P的轨迹方程。

思考：(1)与例1相比，有什么显著的不同点?

(2) 你准备如何建立坐标系? 为什么？

(3) 比较所求轨迹方程是否有区别? 从中得到什么体会?

(根据思考题，在独立思考、相互交流讨论的基础上，教师

适时点拨，学生自主解决。)

解题反思：

(1) 没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立坐标

系；

(2) 坐标系选取得适当,可以使运算简单,所得到的方程

也较简单；

(3) 同一条曲线,在不同的坐标系中一般会有不同的方

程。

根据例2的求解过程，请学生对求曲线方程的一般步骤进行充实：

(1)改为:“建系设点----建立适当的直角坐标系, 用(x,y)表示

曲线上的任意一点M的坐标;”

阅读教材：第52—53页。

回头再看引例：

思考：(1) 如何把实际问题转化为数学问题?

(2)你觉得应如何建立直角坐标系?

(3)“从军舰看甲、乙两岛，保持视角为直角”可转化

为哪些几何条件?

(4) 所求方程与军舰巡逻的路线是否对应?

解题反思：(1) 在同一坐标系中,用不同的几何条件求得的曲线方程是相同的；

(2) 寻找合适的几何条件,可以简化运算；

(3) 解题过程中应考虑实际意义。

课堂小结：(1) 数学知识；

(2) 数学思想；

(3) 由本节课的学习得到的体会和引起的想法。

布置作业：

(1)阅读: 教材第50—53页;

(2)练习:

必做题：教材第54页练习—1(给出完整证明)

第59页习题四—3,5,6;

选做题：第59页习题四—4。

“求曲线的方程”说课

一．对教学目标和教学内容的认识：

本节课内容是平面解析几何第二章《圆锥曲线》第二节《求曲线的方程》中的第一课时（共两课时）。

学生在函数及其图象部分已经学习里平面解析几何的第一个概念----点的坐标，在本单元又学习了平面解析几何的第二个概念----曲线和方程。点和坐标、曲线和方程的对应，集中反映了解析几何的基本思想和方法。而从求曲线的方程开始，我们开始进入对解析几何基本问题的研究。本节内容为以后的圆锥曲线内容作了理论和方法上的准备，是解析几何中承上启下的关键章节。

根据数学学科的特点、学生身心发展的合理需要和社会的政治经济、科学技术的需求，确立教学目标：

(1)知识目标----能叙述求曲线方程的一般步骤，并能根据所给条件，选择适当的坐标系，求出曲线的方程；

(2)能力目标----在问题解决过程中,培养学生发散性思维和转化、归纳、数形结合等数学思想方法，提高分析、解决问题能力。

(3)情感目标----在问题解决过程中，培养学生积极探索和团结协作的科学精神。

教学重点：求曲线方程的基本方法和步骤。

教学难点：由已知条件求曲线的方程。此教学难点中，面临着三个问题：(1)如何建立适当的坐标系? (2)如何从形成曲线的几何条件中寻找等量关系? (3)如何将几何等量关系转化为曲线的方程?

二．对学法指导的思考：

对学生原有的认知结构的分析：

(1)学生在日常生活中对物体运动产生轨迹有较深刻的感性认识，知道一些常见曲线图形；

(2)初中学习中，学生已经掌握了轨迹的概念和和一些常见轨迹的定义。

(3)通过“直线”一章的学习，学生已经掌握了求直线方程的基本方法。

(4)通过“曲线与方程”的学习，学生对数形结合思想有了初步的认识。

学生在尝试进行问题解决的过程中，常常会在问题解决的思维方向、新旧知识联系、方法策略选择、思想方法运用等方面遇到一定的困难。这就需要教师进行学法指导。

本节课采用了以下几种数学活动方式进行学法指导：

(1)重温与问题解决有关的知识、技能和思想方法，为良好的认知结构的形成提供条件；

(2)给予学生思考的时间与机会，让学生在尝试解决问题的过程中，提高思维能力；

(3)以听、说、读、写的形式开展小组或全班的数学交流活动，暴露学生的思维过程，提高语言表达能力，培养和鼓励学生共同探索的精神；

(4)以对解题过程进行反思的形式培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，提高学生思维的自我评价水平。

三．教学设计的构思：

本节课的教学设计力求体现以学生发展为本，培养学生的创新精神和实践能力，遵循学生的认知规律，体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则，通过问题情境的创设，激发兴趣，使学生在