二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点
导数的应用曲线的凹凸区间与拐点导数的应用：曲线的凹凸区间与拐点导数是微积分中一个重要的概念，可以描述曲线在某一点处的斜率或者变化率。
除了这些基本的应用外，导数还可以帮助我们分析曲线的凹凸性质和拐点的存在。
本文将介绍导数在曲线凹凸区间和拐点分析中的应用。
1. 凹凸性质的判断在分析曲线的凹凸性质时，我们可以通过导数的二阶导数来判断。
如果曲线上每一点处的二阶导数大于零，则该曲线在该区间上是凸的；如果二阶导数小于零，则该曲线在该区间上是凹的。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) > 0，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内是凸的，也就是说曲线在该区间上凸起。
同样地，当f''(x) < 0时，我们可以断定f(x)在该区间上是凹的，也就是说曲线在该区间上凹陷。
通过这种凹凸性质的判断，我们可以更好地理解曲线的形状和特性。
2. 拐点的分析拐点是指曲线出现转折的点，也就是曲线的凹凸性发生变化的点。
通过导数的二阶导数，我们可以判断拐点的存在及其位置。
如果导数的二阶导数在某一点处发生变号，即从正数变为负数或者从负数变为正数，那么该点即为拐点。
例如，考虑函数f(x)在区间[a, b]上连续可导，且f''(x) < 0从正变负，那么我们可以得出结论：f(x)在[a, b]范围内存在一个拐点。
通过分析拐点的存在，我们可以进一步了解曲线的特性，并通过优化问题中的拐点来求取最值等。
综上所述，导数在曲线的凹凸区间和拐点分析中起着重要的作用。
通过导数的二阶导数，我们可以判断曲线的凹凸性质以及拐点的存在，在应用中可以更好地理解和运用这些知识。
希望本文对读者对导数的应用有所帮助。
函数二阶导数的几何意义
函数二阶导数的几何意义函数的二阶导数的几何意义是一个非常重要的概念，在微积分和几何学中具有广泛的应用。
二阶导数描述了函数曲线的曲率以及变化率的变化率。
在本文中，我将详细介绍二阶导数的几何意义，包括曲率和曲线形状的描述，以及凹凸性和拐点的判断。
一、曲率和曲线形状的描述曲率是曲线弯曲程度的衡量，可以用来描述曲线在其中一点上的弯曲程度。
对于一个函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以描述函数曲线在x点上的曲率。
考虑一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
它的一阶导数是f'(x) = 2ax + b，二阶导数是f''(x) = 2a。
从二阶导数的值可以看出，曲线的曲率只取决于常数a。
当a>0时，二阶导数为正，曲线向上开口，即为一个凸曲线；当a<0时，二阶导数为负，曲线向下开口，即为一个凹曲线。
这说明曲线的凸凹性与二阶导数的正负有关。
对于一般的函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以被解释为曲线在x点上的局部弯曲程度。
如果二阶导数为正，表示曲线在该点凸起，即向上弯曲；如果二阶导数为负，表示曲线在该点凹陷，即向下弯曲。
二阶导数的绝对值越大，表示曲线的弯曲程度越大。
此外，二阶导数的符号还可以表示曲线的拐点。
二、凹凸性与拐点的判断对于函数f(x)，如果它在区间I上的二阶导数f''(x)恒大于0，那么函数f(x)在区间I上是凸函数；如果它的二阶导数f''(x)恒小于0，那么函数f(x)在区间I上是凹函数。
凸函数和凹函数在数学和经济学中具有重要的应用。
在最优化问题中，凸函数是一类重要的函数形式，可以用来描述最小化问题的约束条件和目标函数。
在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数、生产函数和成本函数等。
拐点是指曲线在该点突然改变弯曲方向的位置。
对于函数f(x)，它的二阶导数f''(x)为0的点就是可能的拐点。
二阶导数的应用
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7
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0
当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为 曲 线上的拐点。
例4.16 讨论曲线y＝x4－1的凹凸性和拐点
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23
[定理4.7]
设函数y＝f(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b) 内f"(x)＞0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的， 如果在(a,b)内f"(x)＜0，那么对应的曲线在(a,b)
内是凸的。
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4
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?
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10
[定理4.8]
设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导 数，那么
f(x ) f( 0 ) f'( 0 )x f" 2 ( ! 0 )x 2 f(n n ) ! ( 0 )x n R n (x )
x
x2
x3
无拐点但有间断点x＝0
当x＜0时，f”(x)＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的，
当x＞0时，f"(x)＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。
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5
例4.14 判定曲线y＝cosx在(0,2π)的凹凸性
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
二阶导数凹凸技巧
二阶导数凹凸技巧在微积分中，二阶导数凹凸技巧是解决函数凹凸性质的重要工具。
通过分析函数的二阶导数可以判断函数在某个区间上的凹凸性质，从而对函数的变化趋势有更深入的认识。
本文将介绍二阶导数凹凸技巧的基本原理和应用。
一、二阶导数的概念函数的二阶导数是指对函数的一阶导数再次求导得到的导数。
数学上，我们通常使用f''(x)或者d²y/dx²来表示函数f(x)的二阶导数。
二阶导数描述了函数在某一点上的曲率，可以通过曲率的变化来判断函数的凹凸性质。
二、凹凸性的判断1. 凹函数和凸函数的定义在数学中，如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的下方，则该函数在该区间上是凹函数；如果函数在某个区间上的曲线位于其切线的上方，则该函数在该区间上是凸函数。
2. 利用二阶导数判断凹凸性对于凹凸函数，我们可以通过二阶导数的正负性来判断。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则函数在该区间上是凹函数；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则函数在该区间上是凸函数。
三、二阶导数凹凸技巧的应用1. 极值点的判断对于函数的极值点，我们可以通过分析二阶导数的正负性来判断。
如果函数在某个点的二阶导数大于0，则该点是函数的极小值点；如果函数在某个点的二阶导数小于0，则该点是函数的极大值点。
2. 凹凸区间的判断通过分析函数的二阶导数的正负性，我们可以确定函数的凹凸区间。
具体来说，如果函数的二阶导数在某个区间上恒大于0，则该区间是函数的凹区间；如果函数的二阶导数在某个区间上恒小于0，则该区间是函数的凸区间。
3. 拐点的判断对于函数的拐点，我们可以通过分析二阶导数的变化来判断。
如果函数的二阶导数在某个点发生了正负号的改变，即从正变为负或从负变为正，则该点是函数的拐点。
四、案例分析为了更好地理解二阶导数凹凸技巧的应用，我们来看一个简单的案例。
考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们需要判断该函数的凹凸性质。
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
二阶导计算公式
二阶导计算公式二阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数曲线的曲率变化。
在本文中，我将介绍二阶导数的计算公式及其应用。
一、二阶导数的定义在微积分中，函数f(x)的二阶导数表示为f''(x)，它是函数f(x)的一阶导数f'(x)的导数。
换句话说，二阶导数是函数的斜率的变化率。
二、二阶导数的计算公式1. 使用极限定义法计算二阶导数：根据极限定义法，函数f(x)的二阶导数可以通过以下公式计算：f''(x) = lim [f'(x + h) - f'(x)] / h，其中h趋近于0。
2. 使用链式法则计算二阶导数：对于复合函数，我们可以使用链式法则来计算二阶导数。
假设y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是函数，那么二阶导数可以通过以下公式计算：y''(x) = f''(g(x)) * [g'(x)]^2 + f'(g(x)) * g''(x)三、二阶导数的应用1. 函数的凹凸性分析：二阶导数可以帮助我们分析函数的凹凸性。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处是凹的；如果f''(x) < 0，那么函数在x处是凸的。
2. 极值点的判断：通过二阶导数可以判断函数的极值点。
如果f''(x) > 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最小值；如果f''(x) < 0且f'(x) = 0，那么函数在x处有一个局部最大值。
3. 曲线的拐点分析：二阶导数可以帮助我们分析函数曲线的拐点。
如果f''(x) > 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凹向凸；如果f''(x) < 0，那么函数在x处有一个拐点，曲线从凸向凹。
4. 泰勒展开：在数值计算中，二阶导数也可以用于泰勒展开的计算中。
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点教学目标与要求通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。
教学重点与难点教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点：理解拐点的定义和意义。
教学方法与建议证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用"拉格朗日中值定理”证明外，还可用"泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。
教学过程设计1•问题提出与定义函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还不能准确描绘出函数的图形。
比如，如果在区间［弘切上丿⑴,一］巩町®则我们知道『°）在区间切上单调增，但作图（参见图1）的时fj候，我们不能判断它增加的方式（是弧ROB,还是弧卫盗），即不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性0工态、作图等是很有必要的！在图1中，对于上凸的曲线弧/DE,取其上任意两点，不妨取作割线，我们总会发现不论两点的位置，害V线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式二丄［』（可）+/（%）］来描述。
同理，对于上凹的曲线弧匸：壬‘，总可用不等式I 2来描述。
由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设1 -在区间I上连续，如果对I上任意两点…-，■:，恒有则称 「r i 上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有则称在I 上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于 左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。
曲线的凹凸性与拐点
y
a<0
o
b 3a
x
二、曲线的拐点及其求法
定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点.
注意: 由于拐点是曲线凹凸的分界点, 所以拐点左右两侧
近旁f ( x )必然异号.因此, 曲线拐点( x0 , f ( x0 ))的横坐标x0 , 只可能是使f ( x ) 0的点或f ( x )不存在的点.
当a>0时, y 0 ,抛物线开口向上,曲线是凹的. 当a<0时, y 0 ,抛物线开口向下,曲线是凸的. y
a>0
o x
y o
a<0 x
例2 讨论三次函数 y ax3 bx2 cx d 在定义域内的凹凸性. 解：函数的定义域为 (,)
2
b y 3ax 2bx c y 6ax 2b 6a x 3a b 令 y 0 ，得 x 3a 当a>0时,如下表
一阶和二阶导数 , 若在 (a , b) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在[a , b] 上的图形是凸的 .
说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释
y
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
（2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则： +
y Βιβλιοθήκη 0, >y 0,
例1 利用二阶导数验证二次函数 y ax bx c
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。
1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。
凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。
举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。
如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。
2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。
凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。
举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。
我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。
如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。
请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。
二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。
通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。
1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。
首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。
然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。
- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。
需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
函数二阶导数的几何意义
函数二阶导数的几何意义函数的二阶导数的几何意义是描述函数的曲率。
曲率是描述曲线弯曲程度的一个概念，它体现了曲线在其中一点的弯曲程度，即曲线弯曲的快慢。
函数的二阶导数即为函数的斜率的变化率，通过它可以判断曲线的凸凹性以及顶点、拐点等几何特征。
要理解二阶导数的几何意义，首先需要了解一阶导数的几何意义。
一阶导数表示函数在其中一点的切线的斜率，也可以理解为函数曲线在该点的斜率。
对于一阶导数为正的函数，曲线向上倾斜；一阶导数为负的函数，曲线向下倾斜；一阶导数为0的函数，曲线水平。
那么二阶导数如何描述曲线的凹凸性呢？1.二阶导数大于0表示函数的斜率在增大，也即曲线向上凹。
在凸凹性的判定中，凹是指曲线上下颠倒的形态。
二阶导数大于0意味着函数的一阶导数是单调递增的，即斜率在增大。
这种情况下，曲线在这一段区间上呈现凹曲线的特征。
2.二阶导数小于0表示函数的斜率在减小，也即曲线向下凹。
二阶导数小于0意味着函数的一阶导数是单调递减的，即斜率在减小。
这种情况下，曲线在这一段区间上呈现凹曲线的特征。
通过凹凸性的判断，我们可以找到函数的极值点、拐点等重要特征。
极值点是指在曲线上具有极大值或极小值的点，在极值点处，一阶导数为0。
如果极值点对应的二阶导数大于0，则该极值点为函数的极小值点；如果二阶导数小于0，则该极值点为函数的极大值点。
拐点是指曲线方向发生突变的点，也即曲线在拐点之前和之后的凹凸性不同。
在拐点处，一阶导数是连续的，但它的斜率发生突变。
拐点对应的二阶导数为0，这是因为拐点处斜率的变化率从正值转为负值或者从负值转为正值。
二阶导数还可以用来判断曲线的转弯情况。
具体来说，二阶导数连续而且变号时，说明曲线有拐点。
如果二阶导数连续但没有变号，则说明曲线在这个区间上没有拐点。
总结起来，函数的二阶导数的几何意义主要体现在描述曲线的凹凸性、极值点和拐点。
通过计算二阶导数并对其进行分析，我们可以了解曲线的弯曲程度、找到函数的极值点、拐点，从而更好地理解和描绘函数的几何形态。
求函数的凹凸区间及拐点的步骤
求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。
这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。
下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。
1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。
对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。
2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。
二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。
我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。
1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。
这一步是求凹凸区间及拐点的基础。
2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。
这些点就是函数可能存在拐点的位置。
3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。
在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。
4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。
这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。
三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。
在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。
个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。
二阶导数的应用
4 把x1＝4 4 ，4 x2＝ 54
44
代入原函数计算得
4
f( )＝
4
2
、f( 5
4
)＝－
2
。所以当x＝
4
时，
y极大＝
2 ，x＝ 5
4
时，y极小＝－
2
[注意]
如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本
定理无效，则需要考察点x0两边f'(x)的符号来判
定是否为函数的极值点。
4.6 函数的凹凸性和拐点 1. 曲线的凹凸性
例4.27
证明当a＞s0时inn ，x lim x
ln x x
＝0
证明：根据罗必塔法则
1
xl im lxn xxl im xx 1xl im 1 x0
这表明，无论是α一个多么小的正数，xα趋于＋∞
的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
[作业]
P.198 1 ,2 ⑴⑵⑷,3 ⑴⑵⑶,4 ⑴⑵⑷ P.207 4 ，5 复习题四 1 ,2 ,7 ,8 ,13 ⑵⑶⑷⑹⑺⑻
⑵ 计算f’(x)，令f’(x)＝0求出f(x)的驻点、极 值 点和增减区间； ⑶ 计算f“(x)，令f”(x)＝0求出f(x)的拐点和凹 凸 区间； ⑷ 计算驻点、拐点处的函数值；
三、高阶导数的应用
4.8 用多项式近似表达函数──泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示
一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么
于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：
sx i n x x 3 x 5 ( 1 )n 1 x 2 n 1 O (x 2 n )
3 ! 5 !
导数与函数的凹凸性与拐点
导数与函数的凹凸性与拐点在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。
通过导数的概念，我们不仅可以得到函数在某一点的斜率，更可以推测函数的凹凸性和拐点。
本文将介绍导数与函数的凹凸性以及拐点的相关概念和性质。
1. 导数的定义在一元函数中，导数表示函数在某一点上的变化速率。
设函数f(x)在某一点x处可导，则其导数f'(x)的定义如下：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x)) / h]2. 凹凸性与导数在导数的基础上，我们可以通过二阶导数来判断函数的凹凸性。
二阶导数描述了函数的变化率的变化率，其计算公式为f''(x) = (f'(x))'。
当函数f(x)的二阶导数f''(x)大于0时，即f''(x) > 0，表示函数在该点上凸起，称为凸函数；当f''(x)小于0时，即f''(x) < 0，表示函数在该点上凹陷，称为凹函数。
凹凸性与导数之间的关系在微积分中经常被用于优化问题，例如求函数的最大值最小值的问题。
3. 拐点与导数拐点是函数曲线上的一个特殊点，该点处函数的凹凸性发生了变化。
通过导数来推测函数的拐点是常见的方法。
设函数f(x)在某一点x处二阶导数f''(x)存在，则x为函数的拐点的充分条件为f''(x) = 0或f''(x)不存在。
此外，对于使得f''(x) = 0的点，还需要进一步判断该点的左右邻域内二阶导数的符号。
若f''(x) > 0，则函数在x点左邻域内凹，右邻域内凸，此时x为拐点；若f''(x) < 0，则函数在x点左邻域内凸，右邻域内凹，此时x也为拐点。
4. 导数、凹凸性和拐点的应用举例考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，我们可以通过导数、二阶导数来分析其凹凸性和拐点。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、 曲线的凹凸性 从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义1 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理1 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的； （2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解 函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的. 例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解 函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、 曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义2 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x ''必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1） 求()f x ''；（2） 令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3） 对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解 函数的定义域为(,)-∞+∞ 3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当 1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点.解 定义域为(,)-∞+∞， 2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>， 即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、 函数绘图 1、渐近线定义3 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定 直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b -=+=为双曲线12222=-by a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解 （1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321lim 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2） 因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1） 确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性； （2） 确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点； （3） 考察渐近线；（4） 作一些辅助点；（5） 由上面的讨论，画出函数的图形例6 作函数32()31fx xx =-+的图形.解 （1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-， 令()0f x '= 得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的，”表示上升且为凹的.（3（4）取辅助点（1,3)--、（3，1）；（6） 画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 的图形.解 定义域为),2()2,(+∞⋃-∞ 342)2()2()2)(1(2)2(--=-----='x xx x x x y 令0='y ，得0=x ； 4623)2()1(2)2()2(3)2(-+=-----=''x x x x x x y ， 令0=''y ，得1-=x ；列表：渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题1、判定下列曲线的凹凸性： （1）)0(2≠++=a cbx ax y ； （2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ； （2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ； （2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=； （4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ； （2）2x e y -=； （3）3443x x y -=； （4）xxe y -=.。
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二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
教学目标与要求
通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图
形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。
教学重点与难点
教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点：理解拐点的定义和意义。
教学方法与建议
证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果
利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的
思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所
选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。
教学过程设计
1.问题提出与定义
函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性
还不能准确描绘出函数的图形。
比如，如果在区间上，
，则我们知道在区间上单调增，但作图（参见
图1）的时候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧
），即不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对
于把握函数的性态、作图等是很有必要的！
在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取
作割线，我们总会发现不论两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式
来描述。
同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式
1/3
来描述。
由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：
凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有
则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有
则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲
线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。
2.凹凸性判定定理的引入
y y y=f(x)
y=f(x)
O xO x
曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复
杂的函数来说判断起来也不容易。
因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。
函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和有关？
经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。
定理4.3设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么：
（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；
（2）若在内<0，则在上的图形是凸的。
3.判别凹凸性和拐点举例
例1判断曲线yx3的凹凸性
解y3x2y6x由y0得x0
因为当x<0时y <0所以曲线在( 0]内为凸的
因为当x>0 时y>0所以曲线在[0 )内为凹
的
2/3
例2求曲线y2x33x22x14的拐点
解y6x26x 12y 12x 612(x 1)令y0得x 1
2 2
因为当x 1 时y 0当x 1 时y 0 所以点(1201)是曲线的拐点
2 2 2 2
例3求函数y 3x4 4 x31的凹凸区间和拐点．
解：函数的定义域为( , )，
且y12x312x2，y 36x224x36x(x 2)，
2
3
令y 0，得x10,x2．
3
列表：
x （,0）0 (0,2) 2 (2,)
3 3 3
y + 0 －0 +
y有拐点有拐点
由表可知，当x10,x2 2 时，曲线有拐点A(0,1)和B(2,11)，
3 3 27
表中表示曲线是凹的，⌒表示曲线是凸的．函数的图像如
图（3）所
示.
4.确定曲线yf(x)的凹凸区间和拐点的步骤
(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求出在二阶导数f`(x)
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点
(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点
注根据具体情况（1）（3）步有时省略
5学生黑板练习
练习 1. 判定下列曲线的凹凸性及拐点.
2
（1）y 4xx2，（2）yx36x2x1，（3）yx3。
6.小结
1在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
2对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对
判别法的理解。
作业P75:1,2,3
3/3。