投资学题目

1、单一资产风险的衡量
一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的偏离，数学上可以用预
期收益的方差来衡量。公式为：
n
σ2＝ pi [Ri-E(Ri)]2
i 1
方差的平方根为标准差，公式为：
n
σ＝
pi [Ri E(Ri )]2
i 1
方差或标准差越大，随机变量与数学期望的偏离越大，风险就越大。
风险溢价（Risk Premium）
证券？
对于一个风险规避的投资者，虽然证券 B 的期望收益为 10％，
但它具有风险，而证券 A 的无风险收益为 10％，显然证券 A 优于证
券 B。
E(rA ) E(rB )
2 A
2 B
则该投资者认为“A 占优于 B”，从而该投资者是风险厌恶性的。
资产组合的收益和风险衡量
资产组合的预期收益 E(rp)是资产组合中所有资产预期收益的加
UA=10-（0.005×3×424.2）=3.64% 对于投资者 B 来说，其投资的效用值为：
UB=10-（0.005×2×424.2）=5.76%
6
两种风险资产组合的可行集
若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则可知两种资
产构成的组合之期望收益和方差为
rp w1r1＋w2r2
p2＝w12
2 1
w22
2 2
2w1w212
＝w12
2 1
w22
2 2
2w1w21 212
由于w1＋w2 1，则
rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
p (w1)＝
w12
2 1
(1
w1
)2
2 2
2w1 (1
w1)1 212
两种资产完全正相关的可行集（ρ12 ＝1）
完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。
2、假设该基金风险资产组合包括以下几种比率的投资资产：股票 A 为 25%；股票 B 为 32%；股票 C 为 43%。那么你包括短期国库券头 寸在内的总投资中各部分投资比例各是多少？
10
3、假如你决定将占总投资预算为ｘ的投资额投入该基金，目标是获 得 16%的期望收益率。 (1)、X 为多少？ (2)、你在三种股票上和短期国库券基金方面的投资比例各是多少？ (3)、你的资产组合风险为多大？
E(Ri)
SML
证券市场线的表达式
M
E(RM)
E(Ri) Rf [E(Rm) Rf ]
Rf
β=1 SML 的斜率＝E(RM)-Rf
cov(Ri; Rm)
2 m
β
1、在 2009 年，短期国库券（被认为是无风险的）的收益率为 5%。 假定一份资产组合，其贝塔值为 1 的市场要求的期望收益率是 12%， 根据资本资产定价模型（证券市场线）计算： （1）、市场资产组合的期望收益率是多少？
证明：
当w1
2 1 2
时
p
( w1 )
w11
(1
w1
)
，则可以
2
得到w1 f ( p )，从而
rp (
p)
p＋ 2 1 2
r1＋(1
p＋ 2 1 2
)r2
r1
1
r2
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
同理可证
当w1
2 1 2
时,
p (w1 )
(1
w1 ) 2
w1
，则
1
rp (
p)
r1
1
r2
企业投资中的应用 3、某项目未来期望收益为 1000 万美元,由于项目与市场相关性较 小,β=0.6，若当时短期国债的平均收益为 10％,市场组合的期望收益 为 17％,则该项目最大可接受的投资成本是多少？
14
因素模型:
单因素模型 单指数模型 多因素模型
因素模型：是一种假设证券的回报率只与不同的因素波动或者指标的运动有关的证券 定价模型。 具有三个特点： 1.因素模型中因子应该是系统影响所有证券价格的经济因素； 2.模型中，假设两个证券的回报率相关（一起运动）仅仅是由它们对因子运动的共同 反应导致的； 3.证券回报率中不能由因子模型解释的部分是该证券所独有的，与别的证券回报率的 特有部分无关，也与因素的运动无关。
(1)、求股票基金的期望收益率、方差和标准差。
(2)、求债券基金的期望收益率、方差和标准差。
(3)、求投资组合的期望收益率、方差和标准差。
5
投资者的效用 投资学一个基本理念是风险与收益的最优匹配。 权衡收益与风险之间的关系引入投资者效用概念 效用是一个主观范畴，指人们从某事或某物上所得到的主观上的满足程 度。投资效用函数(U)：
U E(r) 0.005 A 2
例：若E(r) 22%， 34%，A 3 则U 22 0.0053342 4.66%
对该投资者来说，该投资与 4.66%的无风险收益率等价：确定等价收益率
例题：如果某股票的期望收益率为 10%，方差 424.2%，假定无风险利率 为 4%。如果某投资者 A 的风险厌恶指数为 3，而另一投资者 B 的风险厌 恶指数为 2。请问这两个投资者该如何进行投资（资产）选择？ 解：根据投资者效用公式： 对投资者 A 来说，如果他投资了该股票，则效用值为：
2
p
r1
1
r2
2
2
r2
命题成立，证毕。
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两种资产不完全相关的可行集（1＞ρ12 ＞-1）
当1 1时 rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
p (w1)＝
w12
2 1
(1
w1
)2
2 2
2w1 (1
w1)1 212
尤其当＝0时
p (w1)＝
w12
2 1
(1
w1
)2
2 2
这是一条二次曲线，
协方差被用于揭示一个由两种证券构成的资产组合中这两种证券未来可
能收益率之间的相互关系。
COVAB E[(rA ErA )(rB ErB )]
相关系数反映两个随机变量的联系程度。计算公式为：
ρij=
ij i
j
ρij 为资产 A 与 B 的相关系数，其取值为≥－1，≤＋1。正号表示正相
关，负号表示负相关；＝1 时为完全正相关，＝－1 时为完全负相关，＝0
经济状态 概率
期末价/(元/股)
繁荣 0.25 15
正常运行 0.50 12
萧条 0.25
7
2、假设由两项资产构成投资组合，x1＝0.40，σ1＝0.30，x2＝ 0.60，σ2＝0.20，且 σ12＝0.01，计算该组合方差及两资产的相关系 数,并对计算结果进行简要分析。
3
协方差及相关系数
协方差指两个或更多的随机变量之间的相互依赖关系。
rp ( p ) w1r1 (1 w1)r2 (( p－ 2 ) /(1 2 ))r1 (1 ( p－ 2 ) /(1 2 ))r2
r2
r1 1
r2 2
2
r1 1
r2 2
p
故命题成立，证毕。
7
两种资产完全负相关的可行集（ρ12 ＝-1）
完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。
n
E(Ri)= pi Ri
i 1
式中，E(Ri)为预期收益率；Ri 为第 i 个资产的收益预期；pi 为第 i 个资
产的预期收益可能发生的概率。
1
风险与收益的权衡
如果证券 A 可以无风险的获得回报率为 10％，而证券 B 以 50％
的概率获得 20％的收益，50％的概率的收益为 0，你将选择哪一种
4、如果你的风险厌恶程度为 3.5，那么： (1)、应将占总投资的多少（x）投入到该基金中？ (2) 、你的最佳资产组合的期望收益率与风险各是多少？
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市场组合与资本市场线
市场组合:(Market Porfolio)即把所有个人投资者的资产组合加总，此 时借和贷互相抵消，加总的风险资产组合价值等于整个经济中全部财富的 价值，这就是市场资产组合 M。 资本市场线:(Capital Market Line，CML)
时不相关。（两资产的相关系数为正，但趋近于 0，从而才导致例题的组
合风险低于单个的资产风险。相关系数越大，组合的风险越大。）
相关系数与方差 两资产组合的方差可由相关系数表示为：
2 p=x21 2 1+x22 2 2+2x1x2ρ12σ1σ2 由式可见，ρ12 越大，σ2p 越大。这说明，资产的相关度越高，资产组 合的风险越大；或者说，选择相关度小的资产组合，可降低投资风险。
CAL
R f
0
E(RP)
R f0
市场中（部分）风险资产 δ(RP)
CM L
市场中全部风险资产 δ(RP)
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证券市场线(Security Market Line, SML)
即预期收益－贝塔关系线，将这一关系表示在以预期收益和 β 值为坐标的平面上，即 构成一条以 Rf 为起点的射线，该射线即为证券市场线。
是指超过无风险资产收益的预期收益，这一溢价为投资的风险提供了
补偿。其中的无风险（risk-free）资产，是指其收益确定，从而方差为零
的资产。一般以货币市场基金或者短期国债作为无风险资产的代表品。
对资产收益的估计可用数学期望方法进行，即对每一收益率的估计都
给出其实现的概率，再对各收益率及其概率加权平均。 公式为：
如果一个资产组合由风险资产和无风险资产构成，那么，这个资产组合的预期收益率和风险之间 存在着线性关系。
E(RP) Rf E(RS) - Rf (Rp) (Rs)
E(RP)
R f
0
C AL
δ(RP)
9
有一基金，投资于风险资产组合，其期望收益率为 18%，标准差为 28%。同期短期国债债利率为 8%。 1、如果你是投资者，将自己的资产组合 70%投入到该基金中，另外 30%投入到货币市场的短期国库券基金，则你的资产组合的期望收益 率与标准差各是多少？
p (w1 )＝w11 (1பைடு நூலகம் w1 ) 2
rp (w1 ) w1r1＋(1 w1 )r2
当w1＝1时， p＝1，rp r1 当w1＝0时， p＝ 2，rp r2
所以，其可行集连接两点
（r1，
1）和（r2，
）的直线。
2
证明：由资产组合的计算公式可得
p (w1) w11 (1 w1) 2 则 w1 ( p－ 2 ) /(1 2 ) 从而
事实上，当1 1时，可行集都是二次曲线。
完全资产组合 是指在该组合中既包括了风险资产又包括了无风险资产所形成的组合。
无风险资产 是指其收益率是确定的，从而其资产的最终价值也不存在任何不确定
性。换言之，无风险资产的预期收益率与其实际收益率不存在任何偏离， 也即其方差（标准差）为零。 资本配置
是根据风险与收益相匹配的原则，将全部资产投资于风险资产和无风险 资产中，并决定这两类资产在一个完全资产组合中的比例（权重）。 资本配置线（Capital Allocation Line, CAL）
4
投资组合的收益率与期望收益率（p81）
项目
股票基金
经济状态 收益率 概率
期望收益 率/%
方差
萧条 正常 繁荣
-7% 33.30% 12% 33.30% 28% 33.30%
债券基金
收益 率
17%
概率 33.30%
7% 33.30%
-3% 33.30%
投资组 合
两个基 金的比 重各占
50%
标准差
Ρ12= -0.248
是在以预期收益和标准差为坐标的图中，表示风险资产的有效组合与 一种无风险资产再组合的有效组合线。是最优资本配置线(CAL)与风险资 产有效边界的切线描述了在市场均衡时有效资产组合的期望收益和风险 之间的关系
E(RP) Rf E(Rm) - Rf (Rp) (Rm)
资本配置线与资本市场线对比
E(RP)
对 n 个资产的组合，计算方差的一般公式为：
σ2p=
n
xi2
2 i
nn
＋ xi x j cov(xi , x j )
i 1
i1 j1
（其中，i j）
公式表明，资产组合的方差是资产各自方差与它们之间协方差的
加权平均。
2
1、假定投资于某股票，初始价格 10 元，持有期 1 年，现金红利 为 4 元，预期股票价格在表所示的不同经济运行状态下有如下三种 可能，求各种可能下的收益率，并求该股票的期望收益和方差。
p (w1)=
w12
2 1
(1
w1)2 22－2w1(1
w1 )1 2
| w11 (1 w1) 2 | rp (w1) w1r1＋(1 w1)r2
当w1
2 1 2
时, p
0
当w1
2 1
2
时，
p
( w1 )=w1 1
(1
w1 )
2
当w1
2 1 2
时， p (w1)=(1
w1) 2
w11
（2）、贝塔值为 0 的股票的期望收益率是多少？
（3）、假定投资者正考虑买入一股股票，价格为 40 元。该股票预计 来年派发红利 3 元。投资者预期可以以 41 元卖出。股票风险的贝塔 值为 0.5，该股票是被高估还是被低估了？
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2、一股股票今天的售价为 50 元，在年末将支付每股 6 元的红利。 假定无风险利率为 6%，市场收益率为 16%，该股票的贝塔值为 1.2。 那么，预期在年末该股票售价是多少？
权平均，其中的权数 xi 为各资产投资占总投资的比率。公式为：
n
E(rp)= xiE(ri )
其中：i=1，2，···n；x1+x2+···xn=1。
i 1
资产组合的方差不是各资产方差的简单加权平均，而是资产组合
的收益与其预期收益偏离数的平方，即：
σ2p=E[rp-E(rp)]2
式中，rp 为资产组合的收益率。