数值分析考试复习总结

第一章
1误差
相对误差和绝对误差得概念 例题：
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时 哪些阶段将有哪些误差产生？ 答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果 在这个过程中存在一下几种误差： 建立数学模型过程中产生：模型误差 参数误差 选用数值方法产生：截断误差 计算过程产生：舍入误差传播误差 6 •设a 0.937关于精确数x 有3位有效数字，估计a 的相对误差. 计
f(a)对于f(x)的误差和相对误差. 解 a 的相对误差：由于
1 |E(x)| x a 10 3
2
-^10 2 2 9
f(a)对于f(x)的误差和相对误差.
E r (x)
—10
18
|E(f)| | -.1 x 、1 a| =
般要经历哪几个阶段？在
对于f (x) .J x ，估
x a
E r (x)
(Th1)
| E r (f)| 10 3. 1 a 4 10 3
4=10
2 0.25
2有效数字
基本原则:1两个很接近的数字不做减法：
2:
不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
例题：
4 •改变下列表达式使计算结果比较精确：
1 1 2x
x 1
x
1 cosx
(1)
| 1;
1;
(3)
0,|x|
解(1)
2X 2(1
x)(1 2x).
1 cosx
sin 2 x
sin x
,x 1 x)■
x(1 cosx) 1 cosx
第二章
拉格朗日插值公式(即公式(1))
插值基函数(因子)可简洁表示为
n
其中：n(X)(X X j),
j 0 n X i (X i X j).
j 0
例1 n=1时，线性插值公式P(x) y
o (x X i) (x X o) (X o X i) y1(X i X o)
例2 n=2时，抛物插值公式
牛顿(Newton)插值公式
由差商的引入，知
(1) 过点X o , X1的一次插值多项式为
其中
(2) 过点X o,X1,X2的二次插值多项式为
其中
重点是分段插值：
例题：
1.利用)：
解⑵：
方法一.由Lagrange 插值公式
可得：L3(X) X2(X 12)
方法二•令
3 1
由L a( 1) 3，L S(1)-，定A, B (称之为待定系数法) □
2 2
15.设f(x) x2，求f(x)在区间［0,1］上的分段线性插值函数f h(x)，并估计误差，取等距节
点，且h 1/10.
解f(x) X2，X i ih ，i 0,1, ,10，h 110
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近 主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间L 2[a,b]中讨论
2. 离散意义下
在n 维欧氏空间R n 中讨论，只要求提供f 的样本值
1. 最佳逼近多项式的法方程组
设 L 2[a,b]的 n 1 维子空间 P n =span {1,x,x 2 , x n }, 其中1, x,x 2 , x n 是L 2[a, b]的线性无关多项式系.
n 对
f L 2[a,b]，设其最佳逼近多项式
可表示为： a i x i
i 0
由(f *，) 0,
P n
n
*
即 (x —xHa j (f,x i ), i 0(1) n
(*2)
j 0
其中
称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组) .
由{x i }i n 0的线性无关性，可证明G 正定，即 上述法方程组的解存在且唯一.
11、求f (x) cos x ， x [0,1]的一次和二次最佳平方逼近多项式 解： 设
P 1*(x) a 0 a 1x ， P ； (x) b 0 b 1x b 2x 2
分别为f(x)的一次、二次最佳平方逼近多项式。

内积
(f,g)
；f(x) g(x)dx
计算如下内积:
误差估计:
|f(x)
f h (x) |
^rmax
(X ih)(x (i 1)h)
建立法方程组:
1为什么要进行数值积分 答：梯形复化求积公式和 2:方法好坏的判断：代数精度
误差分析 1•代数精度的概念
等价定义
若求积公式（* ）对1,x,x 2, ,x m 是精确的，但对x m 1不精确，则（* ）具 有m 次代数精度。

3:误差
1等距剖分下的数值求积公式：
公式特点：节点预先给定，均匀分布,系数W j ,i 0（1） n 待定
(1,1) (1, x) (1, x 2)
（X, X ）
(x, x 2) / 2 2
、
(x , x ) (1, f)
(x, f)
(x 2, f)
a o
(1)
1 2a1
于是 P 1 解得: 1 2a
o
，得: a o
12
~2
,a
1
24
~2
1
2 •
24
x
2
2
b 。

(12)b 1
3b 2
o %
-b 2 2
2 2
3 4
3b o ;b 1
訊
2 2
12 24
2
，a 2 ，b 2 于是: P 2（X ） 12
~2
24
2 x .
第四章
?常用哪些公式，方法？ simps on 复化求
定义若求积公式
b
a f(x)dx
n
w i f (x i )
( * )对所有次数
i 0
m 的多项式是精确
的，但对m 1次多项式不精确，则称（*）具有m 次代数精度。

(x
) b o
0,
利用插值多项式p n (x)近似代替f(x)，即得插值型求积公式Newton-Cotes 公式 2给定节点数下的具有最佳逼近性质(具有最高次代数精度)的数值求积公式： Gauss
求积公式 公式特点：系数w i ,i 0(1)n 和节点x i ,i 0(1)n 均待定 3分段插值多项式n (x)近似代替f(x)(分段求积)复化求积公式 复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值 分而治之： 分段+低次求积公式 ------- 称为复化求积法 两类低次(n 4)求积公式： 1.
Newton — Cotes 型：矩形、梯形、Simpson 、Cotes 公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2.
Gauss 型： 一点、两点、三点Gauss 求积公式
称为复化一点、两点、三点 Gauss 公式
复化梯形公式(T n )
[f (x n 1) 4 f (X n *)
f (X n )]}
6【f (a) 4 " f (x k 1)
/ 1 f (X k ) f (b)] 6
k 1
2
k 1
其中 h b 一a ，X k 1/2为e k 的中点
n
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。

常采用其等价形式： 复化柯特斯公式
其中，h
X k 2为[X k 1,X k ]的中点,
T n
2{[ f(x Q ) fg] [f(X 1) f(X 2)]
h
n 1
h
【f(a) 2
f(xQ
f (b)],
h
2
k 1
[f (x n 1) b a
n
f (x n )]}
复化
辛甫生公式： (每个e k 上用辛甫生公式求
4f(x
p
f (X 2)]
f (X 1)] [ f (X 1) 4f(x
p
X k 1, X k 3为［X k 1 , X订的四等分的分点自适应复化求积法
计算时，要预先给定n或步长h，在实际中难以把握
因为，h取得太大则精度难以保证，h太小则增加计算工作量
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
步1n 1,h ba, T i ，【f 心)f(^】
步2
步3判断|T2 T i l ?若是，则转步5；
步 4 n 2n,h h/2, T i T2，转步2；
步5输出T2.
第五章
1:常用方法：
(1) .直接解法：
Gauss逐步(顺序)消去法、
Gauss 主元素法、矩阵分解法等；
(2) .迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①•经典迭代法
Jacobi 迭代法、Gauss Seidel迭代法、
逐次超松弛(SOR迭代法等；
② .Krolov子空间的迭代法
根据A的对称性，又分为：A对称正定——共轭梯度法
A非对称----- BICG 、GMRes最小残量法)
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
2:几类迭代法优缺点比较：
3:迭代方法
目标：求解Ax b 其中，A非奇异。

基本思想：
把线性方程组Ax b的解x,化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。

构造迭代格式基本步骤：
1. 将A分裂：A： B C ,其中，B非奇异
2. 构造迭代格式
其中G B 1C,称之为迭代矩阵，g B 1b
其中，b Ax(k)为勺X
（k）
的残余向量
此时，G I B1A,g B 1b
常用的迭代方法
将A （aj分裂为
A D L U其中
00 0 a12a 1n
a 21
L0
，U
a n 1,n
a n1a n,n 1
0 00 Jacobi迭代方法
若a i 0，迭代格式
x(k 1)G J x(k)g①其中Jacobi迭代矩阵：G J D 1(L U)
①式可写为分量形式
x(k1)丄[b i
n
(k)i
a
ij
x
j ],k
0. ( *1)
a
ii j 1
j i
方法（*1 ）或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss— Seidle迭代方法
若a i 0，迭代格式
x(k 1) G G x(k)g②其中，
Gauss-Seidel 迭代矩阵: G G(D L) 1U 其分量形式
1i 1
(k 1) 1 (k X i [b aqX j
n
1)a j x(k)] ,i 1,2, , n .（*2）
a ii j 1j i1即,
在计算新分量x(k 1)时，利用新值x(k 1), j 1,2, ,i 1 迭代法(*2 )或②称为Gauss-Seidel迭代方法。

超松弛方法(SOR)方法
定义SOF方法的迭代格式如下：
1
i 1
(k 1)1
z i [b i a i
a ii j 1
(k 1) (k 1)
X：z, (1
n
(k 1) (k) !
j X j a j X j ],
j i 1
\ (k) -
)X i ,
1
1,2,,n(*3)
称为松弛因子，1即为G S方法.
其矩阵形式
其中，
SOR 法的迭代矩阵：G(D L) 1[(1)D U]
g (D L) 1b .
第七章
1:解非线性方程与方程组的方法：
1. 准确方法
女口：用求根公式对n 4次的代数多项式求根。

但：绝大多数的方程并无准确方法可用。

如：n 5次的代数多项式并无求根公式。

2. 数值方法(实际中大多采用)
基本思想：设法找到一个能收敛到方程的解的序列。

(1) .区间套法——二分法。

(2) .迭代法：
①•简单迭代法；②.Newton迭代法；
割线法；④.加速算法。

2:收敛条件：
二分法无条件
简单迭代法条件：
定理1如果(x)满足以下条件：
1) x [a,b], (x) [a,b];
2) 常数L: 0 L 1,使得对任意两点X1,X2 [a,b],都有
(X1 ) (X2) LX1 X2 ,
则：方程(*)在［a,b］上的解存在唯一,且对任给的初值x o,由迭代过程(* *) 所产生的序列X k收敛到.
例题：
2. 为求方程x3 x2 1 0在X。

1.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相
应的迭代公式：
(1)X 1 1/X2，迭代公式X n 1 1 1/X：
(2)X3 1 X2，迭代公式X n 1 (1 X；)"3，
(3)X2 1/(X 1)，迭代公式X n 1 1 (X n 1)"2，
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解: 取X0 1.5的邻域［1.3, 1.6］来考察
(1)(X) 1 1/X2，(X)2/X32/1.330.901 1，故迭代公式(1)收敛
⑵(X)(1 X2)'3,
(X) 2X/[3(1 X2)2/3] 2 1.6/[3(1 1.32)]2/30.5515,
故迭代公式(2)也收敛。

⑶(x) 1/(X 1)1/2,
故迭代公式(3)发散.
由于(X。

)越小，越快地收敛于根，故(2)式收敛最快。

□
第八章
解一阶常微分方程的常用方法：Euler 方法Run ge-Kutta 方法
2阶常微分方程边值问题的差分方法
1.三类边值问题
1 )第一类边值问题：
y (X) f (x,y(x), y (X)), a X b，(3.1)
y(a) , y(b) o (3.2)
2 )第二类边值问题:
y(X m ) We)川“1)
2h y ( m ), m 1,2, N y (x)
f (x,y(x), y (x)), a x b (3.3)
y (a) ,y(b) o (3.4)
3)第三类边值问题：
y (x)
f (x,y(x), y (x)), a x b (3.5) y (a)
o y(a) 1, y (b) °y(b) 1， (3.6) 其中， 0, 0 0, 0 0 0 o
2. 差分格式的建立
针对方程(3.1 )而言.
Step 1 取 [a,b]的离散节点:
a x 0 x 1
x N b ，第 m rH rH [x. 步步长 h m X m X m 1 , 一般可取等
步长：h m h , m 1,2, N.
其中， X m 1 m X m
两式相减得
Step 2 将 y (X m )用二阶差商、
y (X m )用一阶差商近似: y (X m ) y(X m 1) 2y(X m )
y(X m 1) y (X m ) h 2
m 1,2, y(X m 1) y(X m 1)
2h 1,2,
理由：由Taylor 两式相加得
展开，有
y(X m ) g
2y(X m ) y(X m 1) h 2 h 2 (4), 12y ( m ), m 1,2, N 1，
2
Step 3 略去O(h )项,并记y m y(x m ),则由方程(3.1)有：
....................... (3.7)
所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2) 的差分格式：
f(X m ,y m ,^^), m 012 N 1.…(陶 y o , y N . ................................. (3.9) 对第二边值条件(3.3),由于
y
m 1 2y m
y m 1
f (X y y m 1 y m 1 ) m 012 N 1 h 2 f (X m , y m , ), m 0,l,2,
N 1
3y o
4y 1 y 2 3y N 4y N 1 y N 2 2h
, 2h . 其中， X 0 2 X 1 , X N 1 ?N X N , 已及
所以可得到第二类边值问题(3.3)-(3.4)的差分格式： …(3.10) (3.11)
其中,
X m 1 y m 1 2y m y m 1
h"
m。