初中数学-相似三角形教材分析及练习题

图2

∽ 平行型

斜交型

..

垂直型

《相似》教材分析

其知识结构框图如下：

相似三角形的常见图形及其变换：

（1）相似三角形的判定

方法：①平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形，与原三角形相似。 ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。 ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 在学生了解所有的判定方法后，可以安排适当的题组进行训练，总结规律，形成技能。 例1、（2006苏州）梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=2CD ，E 、F 分别为AB 、

BC 的中点，EF 与BD 交于M 。

（1） 求证：△EDM ∽△FBM ； （2） 若DB=9，求MB 的长。

例2、（1）如图1，△ABC 中，BD ⊥AC 于D ， CE ⊥AB 于E ，BD 、CE 交于H ，指出图中哪几个三角形相似？ （2）连接ED 后，（如图2）新增加哪些三角形相似？

A B C D

E

F

A

例3、已知：如图AD 为△ABC 的角平分线， AD 的垂直平分线交BC 的延长线于E ，交AB 于F 。

求证：（1）△BAE ∽△ACE ；（2）CE BE AC

AB 2

2 。 例4、（2008.1西城）如图，ABC 和CDE 都是直角三角形， 90A DCE ，DE 与BC 相交于点F ，AB=6，

AC=9，CD=4，CE=6，问EFC 是否为等腰三角形？

试说明理由。

例5、（2007.5西城）在△ABC 中，∠C=90°，D 、E 在BC 上，BD=DE=EC=AC ，指出图中哪两个三角形相似，并证明你的结论。

例6、如图：△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF ，分别交AC 、DC 、DE 于点P 、Q 、R 。 （1）求证：△BFG ∽△FEG ，并求出BF 的长。

（2）观察图形，请你提出一个与点P 相关的

问题，并解答。

例7、已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：BP 2＝PE ·PF ．

例8、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为边向外作正方形BEDC ，连结AE 交BC 于F ，作FG ∥BE 交AB 于G ． 求证：FG ＝FC ．

判定方法的总结

（2）相似三角形的性质及其应用： 相似三角形的基本性质： ①对应角相等； ②对应边成比例；

③对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比； ④周长比等于相似比；

⑤面积比等于相似比的平方。 例1、（2007.5朝阳）如图，要在一个三角形ABC 的花坛中，种满花草，工

B

B

B

作人员沿与AB 平行的方向画一条直线，将原花坛分割出一片三角形的的地块，测出△CDE 的面积为10m 2， CE 长为4m ，BE 长为6m ，请你根据测得的数据，计算出整个花坛△ABC 的面积是多少？

例2、（2007.5海淀）如图7，在矩形ABCD 中，AB=2cm ，BC=3cm ，点E 是BC 边上一点，且BE ＝1cm ，求点D 到AE 的距离．

例3、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 相交于点O.已知ACD AOD S :S =1：3，求BOC AOD S :S .

例4、如图：在△ABC 中，∠C ＝90°AC=CB ，点D 在BC 上，∠AD C ＝60°，在AD 上取一点E ，使AE=2ED.过点E 作EF ∥BC ，交AB 于点F ，连接CF ，交AD 于点P ， 求DCP EFP S :S .

例5 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD 于E ，DE=2AE.已

知△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积.

例6、如图，P 为△ABC 内部任意一点，过点P 作各边的平行线，把△ABC 分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积321S ,S ,S 分别为1、1、2，求△ABC 的面积.

例7、（2006南通）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点为，B （5,0），M 为等腰梯形OBCD 底边OB 上一点，OD ＝BC ＝2，∠DMC ＝∠DOB ＝60°． （1）求直线CB 的解析式； （2）求点M 的坐标；

（3）∠DMC 绕点M 顺时针旋转α （30°＜α＜60°）后，得到∠D 1MC 1（点D 1，C 1依次与点D ，C 对应），射线MD 1交直线DC 于点E ，射线MC1交直线CB 于点F ，

设DE ＝m ，BF ＝n .求m 与 n 的函数关系式． （3）位似：

例1、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF

△ABC △的面积比是（ ） A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:2

例2、给定△ABC ，作一个正方形，使其一边在BC 上，两个顶点分别在AB 、AC 上.

例3、在已知半圆内作一个内接正方形，使它的一边在半圆的直径上，其它两个顶点在半圆上.

例4、（2008陕西）如图，矩形ABCD 的长、宽

分别为32和1，且1OB ，点322E ，，连接

AE ED ，．（1）求经过A E D ，，三点的抛物线

的表达式；

（2）若以原点为位似中心，将五边形AEDCB 放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍．请在下图网格中画出放大后的五边形A E D C B ；

（3）经过A E D ，，三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平移得到？请说明理由．

图形的变换是新课标中加强的部分，这部分教学应注意：

巩固基本知识与基本技能，并注意基本规律的总结。

通过大量地观察、动手操作、图案设计等实践活动理解其内涵，抓关键点。

注意观察现实生活中图形变换的案例，认识和欣赏各种图形变换在现实生活中的作用。

认真审题，注意观察图形在变换过程中哪些元素是不变的，哪些元素是变化的，怎么变的，从而抓住变化过程中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量，不变关系或特殊关系，通过建立函数模型或方程模型来解题

（三）把握难度要求，适当进行综合题分类训练

1．相似与圆： 例1、（2008.6西城）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ABE ～ABD ；

(2) 求tan ADB 的值；

（3）延长BC 至F ，连接FD ，使

B

F