2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高一(上)段考数学试卷(10月份)
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2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高一(上)段考数学试卷(10月份)
一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6},集合A ={2, 3, 5, 6},集合B ={1, 3, 4, 6},则集合A ∩(∁U B)=( ) A.{2, 5} B.{3, 6} C.{2, 5, 6} D.{2, 3, 5, 6}
2. 下列函数中,是同一函数的是( ) A.y =x 2与y =x|x| B.y =√x 2与y =(√x)2 C.y =x 2+x x
与y =x +1
D.y =2x +1与y =2t +1
3. 已知函数f(x)={x 2
+1(x ≥2)
f(x +3)(x <2) ,则f(1)=( )
A.2
B.12
C.7
D.17
4. 下列函数中,值域是(0, +∞)的是( ) A.y =2x +1(x >0) B.y =x 2
C.y =
√x 2−1
D.y =2
x
5. 若命题“存在x ∈R ,使得x 2+(a −1)x +1<0”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.[−1, 3]
B.(−1, 3)
C.(−∞, −1]∪[3, +∞)
D.(−∞, −1)∪(3, +∞)
6. 设f(x)是奇函数且在(−∞, 0)上是减函数,f(−1)=0,则不等式xf(x)<0的解集为( ) A.(−∞, −1)∪(1, +∞) B.(−1, 0)∪(0, 1) C.(−1, 0)∪(1, +∞) D.(−∞, −1)∪(0, 1)
7. 已知m >0,xy >0,当x +y =2时,不等式4
x +m y
≥9
2恒成立,则m 的取值范围是( )
A.[1
2,+∞) B.[1, +∞) C.(0, 1]
D.(0,1
2]
8. 已知函数f(x)=2x 2+(4−m)x +4−m ,g(x)=mx ,若对于任一实数x ,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( ) A.[−4, 4]
B.(−4, 4)
C.(−∞, 4)
D.(−∞, −4)
二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
设A ={x|x 2−8x +15=0},B ={x|ax −1=0},若A ∩B =B ,则实数a 的值可以为( ) A.1
5
B.0
C.3
D.1
3
设a >b ,c <0,则下列结论正确的是( ) A.c
a
>c
b
B.ac <bc
C.b a
>
b−c a−c
D.ac 2>bc 2
使不等式1+1
x >0成立的一个充分不必要条件是( )
A.x >2
B.x ≥0
C.x <−1或x >1
D.−1<x <0
下列命题中是真命题的是( )
A.y =√x 2+2+
√x 2+2
的最小值为2
B.当a >0,b >0时,1
a +1
b +2√ab ≥4 C.若a 2+b 2=2,则a +b 的最大值为2
D.若正数a ,b 满足a +b =2,则1
4a+2+1
b+2的最小值为1
2 三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
已知f(√x −1)=x +2√x ,则f(x)________.
已知−4≤a −c ≤−1,−1≤4a −c ≤5,则2a +c 的取值范围________.
已知x ,y ∈R ,x 2−xy +9y 2=1,则x +3y 的最大值为________2√15
5
.
若f(x)为偶函数,且当x ≤0时,f(x)=2x −1,则不等式f(x)>f(2x −1)的解集________|________>1或
________<1
3
} .
四、解答题(共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
已知集合A={x|a<x<3a, a>0},集合B={x|2<x≤3}.
(1)当a=1时,求A∩B,A∪B;
(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=x+a
x−2
,x∈(2, +∞).
(1)若a=4,判断函数f(x)在定义域上的单调性,并利用单调性定义证明你的结论.
(2)若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减,写出a的取值范围(无需证明).
(1)解关于x的不等式ax2−(2a+3)x+6>0(a≠0);
(2)若对任意a∈[−1, 1],ax2−(2a+3)x+6>0恒成立,求实数x的取值范围.
(1)作出f(x)=x|x−4|的图象,并讨论方程f(x)=m的实根的个数;
(2)已知函数f(x)=x|x−a|−a(a∈R),若存在x∈[3, 5],使f(x)<0成立,求实数a的取值范围.
一种药在病人血液中的含量不低于2克时,它才能起到有效治疗的作用,已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)个单位的药剂,药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y=m⋅f(x),其中
f(x)={
10
4+x
,0≤x<6
4−x
2,6≤x≤8
.
(1)若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达多少小时?
(2)若病人第一次服用2个单位的药剂,6个小时后再服用m个单位的药剂,要使接下来的2小时中能够持续
有效治疗,试求m的最小值.
已知函数y=x+a
x
有如下性质:如果常数a>0,那么该函数在(0,√a]上是减函数,在[√a,+∞)上是增函数.
(1)若函数ℎ(x)=x+4
x ,x∈[1,3],求ℎ(x)的最值;
(2)已知f(x)=4x
2−12x−3
2x+1
,x∈[0,1],求函数f(x)的值域;
(3)对于(2)中的函数f(x)和函数g(x)=kx−2,若对任意x1∈[0, 1],总存在x2∈[1, 2],使得g(x2)=
f(x1)成立,求实数k的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省金华市东阳中学高一(上)段考数学试卷(10月份)
一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
进行补集和交集的运算即可.
【解答】
∵U={1, 2, 3, 4, 5, 6},A={2, 3, 5, 6},B={1, 3, 4, 6},
∴∁U B={2, 5},A∩(∁U B)={2, 5}.
2.
【答案】
D
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
由题意利用函数的三要素得出结论.
【解答】
根据函数的三要素,函数y=x2的值域为[0, +∞),而函数y=x|x|的值域为(−∞, +∞),故它们不是同一个函数;
函数y=√x2的定义域为(−∞, +∞),而函数y=(√x)2的定义域为[0, +∞),故它们不是同一个函数.
函数y=x 2+x
x
=x+1(x≠0)的定义域为{x|x≠0},而函数y=x+1的定义域为(−∞, +∞),故它们不是同一
个函数.
函数y=2x+1与y=2t+1具有相同的定义域为(−∞, +∞),值域为(−∞, +∞),对应关系都是乘以2再加上1,故它们为同一个函数.
3.
【答案】
D
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
由函数性质得f(1)=f(4),由此能求出结果.
【解答】
∵函数f(x)={x2+1(x≥2)
f(x+3)(x<2)
,
∴f(1)=f(4)=42+1=17.故选:D.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
结合一次函数,二次函数,反比例函数的性质分别检验各选项即可判断.
【解答】
解:A,当x>0时,y=2x+1>1,即值域为(1, +∞),不符合题意,
B,y=x2≥0,即值域为[0, +∞),不符合题意;
C,由√x2−1>0,得y>0,即值域为(0, +∞),符合题意;
D,由反比例函数的性质可知y=2
x
≠0,即值域为(−∞,0)∪(0, +∞),不符合题意.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
全称命题与特称命题
全称量词与存在量词
【解析】
因为不等式对应的是二次函数,其开口向上,若“∃x∈R,使得x2+(a−1)x+1<0”,则相应二次方程有
重根或没有实根.
【解答】
∵ “∃x∈R,使得x2+(a−1)x+1<0是假命题,
∴x2+(a−1)x+1=0没有实数根或有重根,
∴△=(a−1)2−4≤0
∴−1≤a≤3
6.
【答案】
A
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
本题可以利用f(x)在(−∞, 0)上是减函数,f(−1)=0,得到函数有y轴左侧的图象草图,得到f(x)的相应函数值的正负情况,再根据f(x)是奇函数,得到函数有y轴右侧的图象草图,得到f(x)的相应函数值的正负情况,通过分类讨论,将不等式xf(x)<0转化为不等式组,解不等式组,得到本题结论.
【解答】
∵f(x)在(−∞, 0)上是减函数,f(−1)=0,
∴当x<−1时,f(x)>0;
当−1<x<0时,f(x)<0.
又∵f(x)是奇函数,
∴由图象的对称性知:
当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.
若f(0)有意义,则f(0)=0.∵不等式xf(x)<0,
∴{x>0
f(x)<0或{x<0
f(x)>0,∴x>1或x<−1.
7.
【答案】
B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
根据“乘1法”,可得4
x +m
y
=1
2
(4
x
+m
y
)(x+y),展开后,结合基本不等式可推出4
x
+m
y
≥1
2
(4+m+2√4m)≥9
2
,
解此不等式即可.
【解答】
∵xy>0,且x+y=2,∴x>0,y>0,
∴4
x +m
y
=1
2
(4
x
+m
y
)(x+y)=1
2
(4+m+4y
x
+mx
y
)≥1
2
(4+m+2√4y
x
⋅mx
y
)=1
2
(4+m+2√4m),
当且仅当4y
x =mx
y
即√mx=2y时,等号成立,
∵不等式4
x +m
y
≥9
2
恒成立,
∴1
2(4+m+2√4m)≥9
2
,化简得,m+4√m−5≥0,
解得√m≥1,即m≥1,
∴m的取值范围是[1, +∞).
8.
【答案】
C
【考点】
二次函数的性质
二次函数的图象
【解析】
对函数f(x)判断△=m2−16<0时一定成立,可排除D,再对特殊值m=4和−4进行讨论可得答案.
【解答】
解:当△=m2−16<0时,即−4<m<4,显然成立,排除D
当m=4,f(0)=g(0)=0时,显然不成立,排除A;
当m=−4,f(x)=2(x+2)2,g(x)=−4x显然成立,排除B;
故选C.
二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
【答案】A,B,D
【考点】
集合关系中的参数取值问题
交集及其运算
【解析】
推导出B⊆A,从而B=⌀或B={3}或B={5},进而1
a
不存在,或1
a
=3,或1
a
=5.由此能求出实数a的值.【解答】
解:∵A={x|x2−8x+15=0}={3, 5},B={x|ax−1=0}={1
a
},A∩B=B,
∴B⊆A,
∴B=⌀或B={3}或B={5},
∴1
a
不存在或1
a
=3或1
a
=5,
解得a=0或a=1
3
或a=1
5
,
∴实数a的值可以为0,1
5
,1
3
.
故选ABD.
【答案】
B,D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
根据特殊值法判断A,C,根据不等式的基本性质判断B,D即可.
【解答】
对于A:令a=1,b=−1,c=−1,显然错误;
对于B:∵a>b,c<0,∴ac<bc,故B正确;
对于C:令a=1,b=−1,c=−1,显然错误;
对于D:a>b,c<0,则c2>0,故ac2>bc2,故D正确;
【答案】
A,C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
不等式1+1
x
>0,即x+1
x
>0,x(x+1)>0,解得x范围,即可判断出结论.
【解答】
解:不等式1+1
x
>0,即x+1
x
>0,
∴x(x+1)>0,解得x>0或x<−1.
∴选项中满足不等式1+1
x
>0成立的充分不必要条件是:
x>2,及x<−1或x>1,
选项AC符合题意.
故选AC.
【答案】
B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
可令t=√x2+2(t≥√2),结合对勾函数的单调性可判断A;由基本不等式计算可得最小值,可判断B;运用不等式a+b≤2√a2+b2
2
,计算可判断C;由(4a+2)+(4b+8)=18,结合乘1法和基本不等式可判断D.【解答】
对于A,令t=√x2+2(t≥√2),y=√x2+2
√x2+2=t+1
t
在[√2, +∞)递增,可得y min=√2+
2
=3√2
2
,
此时x=0,故A错误;
对于B,a>0,b>0时,1
a +1
b
+2√ab≥2√1
ab
+2√ab≥2√2√1
ab
⋅2√ab=4,当且仅当a=b=1时取得等
号,故B正确;
对于C,若a2+b2=2,则a+b≤2√a2+b2
2
=2,当且仅当a=b=±1时,取得等号,故C正确;对于D,若正数a,b满足a+b=2,即为(4a+2)+(4b+8)=18,
则1
4a+2+1
b+2
=1
18
[(4a+2)+(4b+8)](1
4a+2
+4
4b+8
)=1
18
(1+4+4b+8
4a+2
+4a+2
b+2
)≥1
18
×(5+4)=1
2
,当且仅当
a=b=1时,取得等号,故D正确.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
【答案】
x2+4x+3(x≥−1)
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
令t=√x−1,将已知等式中的x一律换为t,求出f(t)即得到f(x).注意定义域.【解答】
令t=√x−1(t≥−1)则x=(t+1)2
所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t2+4t+3(t≥−1)
所以f(x)=x2+4x+3(x≥−1)
【答案】
[1, 13]
【考点】
简单线性规划
【解析】
设2a+c=m(a−c)+n(4a−c)=(m+4n)a−(m+n)c,解出m,n即可得出.【解答】
设2a+c=m(a−c)+n(4a−c)=(m+4n)a−(m+n)c,
∴{m+4n=2
m+n=−1
,解得m=−2,n=1,
∵−4≤a−c≤−1,−1≤4a−c≤5,
∴2≤−2(a−c)≤8,−1≤4a−c≤5,∴1≤2a+c≤13,
∴2a+c的取值范围是[1, 13].
【答案】
2√15
5
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
由x2+9y2=1+xy≥2⋅x⋅3y,可推出xy≤1
5
,而(x+3y)2=x2+6xy+9y2=1+7xy,代入所得结论即可.
【解答】
∵x2−xy+9y2=1,
∴x2+9y2=1+xy≥2√x2⋅9y2=6xy,即xy≤1
5
,
当且仅当x=3y,即x=3√15
11
,y=√15
15
时,等号成立,
∴(x+3y)2=x2+6xy+9y2=1+7xy≤1+7×1
5
=12
5
,
∴−2√15
5
≤x+3y≤2√15
5
,
∴x+3y的最大值为2√15
5
.
【答案】
{x,x,x
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.
【解答】
因为f(x)为偶函数,且当x≤0时,f(x)=2x−1单调递增,
根据偶函数的对称性可知,当x>0时,函数单调递减,距离对称轴越远,函数值越小,
则由不等式f(x)>f(2x−1)可得|x|<|2x−1|,
两边平方可得,x2<4x2−4x+1,
整理可得,(3x−1)(x−1)>0,
解可得,x>1或x<1
3
.
四、解答题(共6小题,共70分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
【答案】
当a=1时,集合A={x|1<x<3},集合B={x|2<x≤3}.
∴A∩B={x|2<x<3},
A∪B={x|1<x≤3}.
∵集合A={x|a<x<3a, a>0},集合B={x|2<x≤3}.
A∩B=⌀,
∴当A=⌀时,a≥3a,解得a≤0,不合题意,
当A ≠⌀时,{a <3a a ≥3 或{a <3a
3a ≤2 ,
解得a ≥3或a ≤2
3.
又∵ a >0,故实数a 的取值范围是(0, 2
3]∪[3, +∞). 【考点】
并集及其运算 交集及其运算
【解析】
(1)当a =1时,求出集合A ,由此能求出A ∩B ,A ∪B .
(2)当A =⌀时,a ≥3a ,当A ≠⌀时,{a <3a a ≥3 或{a <3a
3a ≤2 ,由此能求出实数a 的取值范围.
【解答】
当a =1时,集合A ={x|1<x <3},集合B ={x|2<x ≤3}. ∴ A ∩B ={x|2<x <3}, A ∪B ={x|1<x ≤3}.
∵ 集合A ={x|a <x <3a, a >0},集合B ={x|2<x ≤3}. A ∩B =⌀,
∴ 当A =⌀时,a ≥3a ,解得a ≤0,不合题意, 当A ≠⌀时,{a <3a a ≥3 或{a <3a
3a ≤2 ,
解得a ≥3或a ≤2
3.
又∵ a >0,故实数a 的取值范围是(0, 2
3]∪[3, +∞). 【答案】
根据题意,若a =4,则f(x)=x+4x−2
=
x−2+6x−2
=1+
6
x−2
,在定义域上为减函数,
设2<x 1<x 2, 则f(x 1)−f(x 2)=(1+6
x
1
−2
)−(1+6
x 2
−2
)=6(x 2−x 1)
(x 1−2)(x 2
−2)
, 又由2<x 1<x 2,则(x 1−2)>0,(x 2−2)>0,(x 2−x 1)>0,
则f(x 1)−f(x 2)>0,
f(x)在定义域上为减函数, f(x)=x+a
x−2=
x−2+a+2x−2
=1+a+2
x−2,
若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减,必有a +2>0,即a >−2, a 的取值范围是(−2, +∞). 【考点】
函数单调性的性质与判断 【解析】
(1)根据题意,将函数的解析式变形为f(x)=1+6
x−2,设2<x 1<x 2,由作差法分析可得结论,
(2)根据题意,由反比例函数的性质以及函数平移的性质可得结论.
【解答】
根据题意,若a =4,则f(x)=x+4x−2=x−2+6x−2
=1+6
x−2,在定义域上为减函数,
设2<x 1<x 2, 则f(x 1)−f(x 2)=(1+6
x
1
−2
)−(1+6
x 2
−2
)=6(x 2−x 1)
(x 1−2)(x 2−2)
,
又由2<x 1<x 2,则(x 1−2)>0,(x 2−2)>0,(x 2−x 1)>0, 则f(x 1)−f(x 2)>0,
f(x)在定义域上为减函数, f(x)=
x+a x−2
=
x−2+a+2x−2
=1+
a+2x−2
,
若函数f(x)在区间(2, +∞)上单调递减,必有a +2>0,即a >−2, a 的取值范围是(−2, +∞). 【答案】
ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0), 即(ax −3)(x −2)>0,
当a <0,(x −3
a )(x −2)<0,即有3
a <x <2; 当3
a =2即a =32时,(x −2)2>0,即x ≠2;
当3
a
>2即0<a <3
2时,(x −3
a )(x −2)>0,可得x <2或x >3
a ;
当0<
3a
<2即a >32
时,(x −3
a
)(x −2)>0,可得x >2或x <3
a
,
综上可得,当a <0,解集为{x|3
a <x <2};
当a =32
时,解集为{x|x ∈R 且x ≠2};当0<a <32
时,解集为{x|x <2或x >3a
};
当a >32时,解集为{x|x >2或x <3
a };
对任意a ∈[−1, 1],ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立, 可得a(x 2−2x)+6−3x >0,
设f(a)=a(x 2−2x)+6−3x ,a ∈[−1, 1],
可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ,即有{−3<x <2x >3x <2 ,
可得−3<x <2. 【考点】
不等式恒成立的问题 其他不等式的解法 【解析】
(1)对a 讨论,分当a <0时,当a =3
2时,当0<a <3
2时,当a >3
2时,运用二次不等式的解法,可得所求解
集;
(2)a(x 2−2x)+6−3x >0,设f(a)=a(x 2−2x)+6−3x ,a ∈[−1, 1],由恒成立思想可得f(−1)>0,且f(1)>0,解不等式可得所求范围. 【解答】
ax 2−(2a +3)x +6>0(a ≠0), 即(ax −3)(x −2)>0,
当a <0,(x −3
a
)(x −2)<0,即有3
a
<x <2;
当3a =2即a =3
2时,(x −2)2>0,即x ≠2;
当3
a >2即0<a <3
2时,(x −3
a )(x −2)>0,可得x <2或x >3
a ; 当0<3
a <2即a >3
2时,(x −3
a )(x −2)>0,可得x >2或x <3
a , 综上可得,当a <0,解集为{x|3
a <x <2};
当a =3
2
时,解集为{x|x ∈R 且x ≠2};当0<a <3
2
时,解集为{x|x <2或x >3
a
};
当a >32时,解集为{x|x >2或x <3
a };
对任意a ∈[−1, 1],ax 2−(2a +3)x +6>0恒成立, 可得a(x 2−2x)+6−3x >0,
设f(a)=a(x 2−2x)+6−3x ,a ∈[−1, 1],
可得{f(−1)>0f(1)>0 即{−(x 2−2x)+6−3x >0x 2−2x +6−3x >0 ,即有{−3<x <2x >3x <2 ,
可得−3<x <2. 【答案】
f(x)=x|x −4|={x 2−4x,x ≥4−x 2+4x,x <4 ,
其图象如图:
由图可知,当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时,方程f(x)=m 有1个实根, 当m =0或4时,方程f(x)=m 有2个实根, 当m ∈(0, 4)时,方程f(x)=m 有3个实根; 函数f(x)=x|x −a|−a(a ∈R),
命题若存在x ∈[3, 5],使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立. 下面求使命题∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立的a 的范围.
①若a <3,则x =3时,f(x)在[3, 5]上取得最小值,f(3)=3(3−a)−a =9−4a ,
∴ 9−4a ≥0,即a ≤9
4
;
②若3≤a ≤5,则x =a 时,f(x)取得最小值为f(a)=−a ,−a <0不满足f(x)≥0恒成立; ③若a >5,f(x)min =min {f(3), f(5)}=min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0, 解得a ≥
254
.
综上可得,∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 9
4]∪[25
4,+∞), 则存在x ∈[3, 5],使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94
,25
4).
【考点】
函数的零点与方程根的关系 【解析】
(1)写出分段函数解析式,作出图象,数形结合得答案;
(2)写出命题存在x ∈[3, 5],使f(x)<0成立的否定,即∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立,分类求解a 的取值范围,再由补集思想得答案. 【解答】
f(x)=x|x −4|={x 2−4x,x ≥4
−x 2+4x,x <4 ,
其图象如图:
由图可知,当m ∈(−∞, 0)∪(4, +∞)时,方程f(x)=m 有1个实根, 当m =0或4时,方程f(x)=m 有2个实根, 当m ∈(0, 4)时,方程f(x)=m 有3个实根; 函数f(x)=x|x −a|−a(a ∈R),
命题若存在x ∈[3, 5],使f(x)<0成立的否定为∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立. 下面求使命题∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立的a 的范围.
①若a <3,则x =3时,f(x)在[3, 5]上取得最小值,f(3)=3(3−a)−a =9−4a , ∴ 9−4a ≥0,即a ≤9
4;
②若3≤a ≤5,则x =a 时,f(x)取得最小值为f(a)=−a ,−a <0不满足f(x)≥0恒成立; ③若a >5,f(x)min =min {f(3), f(5)}=min {3(a −3)−a, 5(a −5)−a}≥0, 解得a ≥
254
.
综上可得,∀x ∈[3, 5],使f(x)≥0成立的a 的范围是(−∞, 9
4]∪[25
4,+∞), 则存在x ∈[3, 5],使f(x)<0成立的a 的取值范围为(94,25
4).
【答案】
∵m=3,∴y={
30
4+x
,0≤x<6
12−3x
2,6≤x≤8
;
当0≤x<6时,30
4+x >30
4+6
=3>2;
当6≤x≤8时,12−3
2x≥2得,x≤20
3
;
故若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达20
3
小时.
当6≤x≤8时,y=2(4−1
2x)+m[10
4+x−6
]
=8−x+10m
x−2
,
∵8−x+10m
x−2
≥2对6≤x≤8恒成立,
故m≥x 2−8x+12
10
对6≤x≤8恒成立,
令g(x)=x 2−8x+12
10
,
则g(x)在[6, 8]上是增函数,故g max(x)=6
5
;
故m≥6
5
;
故m的最小值为6
5
.
【考点】
分段函数的应用
根据实际问题选择函数类型函数恒成立问题
【解析】
(1将m=3代入得y={
30
4+x
,0≤x<6
12−3x
2,6≤x≤8
;从而解不等式即可.
(2)当6≤x≤8时,y=2(4−1
2x)+m[10
4+x−6
]=8−x+10m
x−2
,即8−x+10m
x−2
≥2对6≤x≤8恒成立,即
m≥x2−8x+12
10
对6≤x≤8恒成立,从而化为最值问题.【解答】
∵m=3,∴y={
30
4+x
,0≤x<6
12−3x
2,6≤x≤8
;
当0≤x<6时,30
4+x >30
4+6
=3>2;
当6≤x≤8时,12−3
2
x≥2得,x≤20
3
;
故若病人一次服用3个单位的药剂,则有效治疗时间可达20
3
小时.
当6≤x≤8时,y=2(4−1
2
x)+m[10
4+x−6
]
=8−x+10m
x−2
,
∵8−x+10m
x−2
≥2对6≤x≤8恒成立,
故m≥x
2−8x+12
10
对6≤x≤8恒成立,
令g(x)=x
2−8x+12
10
,
则g(x)在[6, 8]上是增函数,
故g max(x)=6
5
;
故m≥6
5
;
故m的最小值为6
5
.
【答案】
由题意知,函数ℎ(x)=x+4
x
在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增,
而ℎ(1)=1+4=5,ℎ(3)=3+4
3
=13
3
,
∴ℎ(x)min=ℎ(2)=2+2=4,
ℎ(x)max=ℎ(1)=5.
f(x)=4x2−12x−3
2x+1
=(2x+1)2−8(2x+1)+4
2x+1
=(2x+1)+4
2x+1
−8,
∵x∈[0, 1],∴2x+1∈[1, 3],
由(1)可知,f(x)min=f(1
2
)=4−8=−4,
f(x)max=f(0)=5−8=−3,
∴函数f(x)的值域为[−4, −3].
对于函数g(x2)=kx2−2,x2∈[1, 2],
①当k>0时,g(x2)单调递增,其值域为[k−2, 2k−2],
∵对任意x1∈[0, 1],总存在x2∈[1, 2],使得g(x2)=f(x1)成立,
∴[−4, −3]⊆[k−2, 2k−2],即{k−2≤−4
2k−2≥−3
,无解;
②当k<0时,g(x2)单调递减,其值域为[2k−2, k−2],
同理可得,[−4, −3]⊆[2k−2, k−2],即{
2k−2≤−4
k−2≥−3
,解得k=−1;
③当k=0时,g(x2)=−2恒成立,g(x2)的值域为{−2},
而[−4, −3]⊈{−2},不符合题意,舍去,
综上,实数k 的值为−1. 【考点】
函数与方程的综合运用 函数单调性的性质与判断 【解析】
(1)由题意知,函数ℎ(x)=x +4
x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增,计算ℎ(1),ℎ(2),ℎ(3)的值,即
可得解;
(2)将f(x)化简成f(x)=(2x +1)+4
2x+1−8,结合(1)的结论即可得解;
(3)先将原问题转化为f(x)的值域是g(x)的值域的子集,再分k >0、k <0和k =0三种情况讨论函数g(x)的值域,然后针对每种情况列出关于k 的不等式组,解之即可. 【解答】
由题意知,函数ℎ(x)=x +4
x 在[1, 2)上单调递减, 在(2, 3]上单调递增, 而ℎ(1)=1+4=5,ℎ(3)=3+4
3=133
,
∴ ℎ(x)min =ℎ(2)=2+2=4, ℎ(x)max =ℎ(1)=5. f(x)=
4x 2−12x−3
2x+1
=
(2x+1)2−8(2x+1)+4
2x+1
=(2x +1)+
42x+1
−8,
∵ x ∈[0, 1],∴ 2x +1∈[1, 3], 由(1)可知,f(x)min =f(1
2)=4−8=−4,
f(x)max =f(0)=5−8=−3, ∴ 函数f(x)的值域为[−4, −3].
对于函数g(x 2)=kx 2−2,x 2∈[1, 2],
①当k >0时,g(x 2)单调递增,其值域为[k −2, 2k −2],
∵ 对任意x 1∈[0, 1],总存在x 2∈[1, 2],使得g(x 2)=f(x 1)成立, ∴ [−4, −3]⊆[k −2, 2k −2],即{k −2≤−4
2k −2≥−3 ,无解;
②当k <0时,g(x 2)单调递减,其值域为[2k −2, k −2],
同理可得,[−4, −3]⊆[2k −2, k −2],即{2k −2≤−4
k −2≥−3 ,解得k =−1;
③当k =0时,g(x 2)=−2恒成立,g(x 2)的值域为{−2}, 而[−4, −3]⊈{−2},不符合题意,舍去, 综上,实数k 的值为−1.。