高等数学第3版(张卓奎 王金金)第十一章习题解答

第十一章 微分方程

习题11－1

1．说出下列各微分方程的阶数：

（1）2

0dy dy x y dx dx ⎛⎫

+-= ⎪⎝⎭

； （2）220d Q dQ Q L R

dt dt C -+=； （3）220xy y x y '''''++= ； （4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；

（5）2sin y y y x '''++= ； （6）2d sin .d ρ

ρθθ

+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．

2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1）22 , 5;xy y y x '==

（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-

（3）221

, ;y x y y x

''=+=

（4）21221 , sin cos .2

x x d y y e y C x C x e dx +==++

解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ⋅=⋅

∴25y x =是方程的解．

（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得

()()3sin 4cos 3sin 4cos 0y y x x x x ''+=-++-= ∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解．

（3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 2

32

21x x x

≠+ ∴1

y x

=

是方程的解． （4）∵ 21212211

cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程， 得 121sin cos 2x C x C x e ⎛

⎫--++ ⎪⎝

⎭121sin cos 2x x C x C x e e ⎛⎫++= ⎪⎝⎭

∴121

sin cos 2

x y C x C x e =++是方程的解．

3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==

解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得

220x y xy yy ''--+=

移项后即得 ()22 x y y x y '-=-

故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．

（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=

+=+， 即 y

y xy x

'=- ()()

()

()

()

2322

2

3

122 y xy x y y xy xy y y

xy xy xy

y xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''=

=

=

---，

代入微分方程，得

()

()

322

3

2

22()20xy xy xy

y y y

xy x x y xy x xy x

xy x xy x -+--⋅

+⋅

+⋅

-⋅=---- 故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．

4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==

（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==

∴222 =0011C -+=

即 221x xy y -+=

（2）()122 x y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 1120

1

C C C =⎧⎨+=⎩