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江苏省高一数学试题

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2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案

江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案

苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学（答案在最后）2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.22.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B.2C.12D.23.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.55.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若6b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A .等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2233f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x=对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A.1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = .（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为33，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.苏州市2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2024.6注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第11题）､填空题（第12题~第14题）､解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名､调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位，已知复数11i z =+，则||z =（）A.12B.2C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用复数的商的运算法则求得z ，进而可求||z .【详解】11i 1i 1i 1i (1i)(21i)z --====-++-，则2||2z ==.故选：B .2.sin164sin 44cos16sin 46-= （）A.12-B. C.12D.32【解析】【分析】利用诱导公式与两角差的正弦公式化简求值.【详解】()()sin164sin 44cos16sin 46sin 18016sin 9046cos16sin 46-=---()1sin16cos 46cos16sin 46sin 1646sin 302=-=-=-=-.故选：A.3.某射击运动员射击6次，命中的环数如下：7，9，6，9，10，7，则关于这组数据的说法正确的是（）A.极差为10B.中位数为7.5C.平均数为8.5D.【答案】D 【解析】【分析】利用极差、中位数、平均数、标准差的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】某射击运动员射击6次，命中的环数从小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，对A ，极差为1064-=，故A 错误；对B ，中位数为7982+=，故B 错误；对C ，平均数为677991086+++++=，故C 错误；对D ，标准差为=，故D 正确.故选：D4.某科研单位对ChatGPT 的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第75百分位数为（）A.78.5B.82.5C.85D.87.5【答案】B【分析】根据百分位数计算规则计算可得.【详解】因为()0.010.0250.035100.70.75++⨯=<，()0.010.0250.0350.02100.90.75+++⨯=>，所以第75百分位数位于[)80,90，设为x ，则()()0.010.0250.035100.02800.75x ++⨯+-=，解得82.5x =.故选：B5.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若b =，2c =，60B =︒，则A =（）A.45︒B.60︒C.75︒D.105︒【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理求出C ，即可求出A .【详解】由正弦定理sin sin c b C B=，则32sin 22sin 2c B C b ⨯===，又c b <，所以60C B <=︒，所以45C =︒，所以180604575A =︒-︒-︒=︒.故选：C6.已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//l m ，//l α，//m β，则//αβB.若l m ⊥，l α⊥，//m β，则//αβC.若//αβ，l ⊂α，m β⊂，则//l mD.若l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可.【详解】对于A ：若//l m ，//l α，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故A 错误；对于B ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，又//m β，则//αβ或α与β相交，故B 错误；对于C ：若//αβ，l ⊂α，则//l β，又m β⊂，则l 与m 平行或异面，故C 错误；对于D ：若l m ⊥，l α⊥，则//m α或m α⊂，若//m α，则在平面α内存在直线c ，使得//m c ，又m β⊥，则c β⊥，又c α⊂，所以αβ⊥；若m α⊂，又m β⊥，所以αβ⊥；综上可得，由l m ⊥，l α⊥，m β⊥，可得αβ⊥，故D 正确.故选：D7.在ABC 中，已知2cos 2cos 22cos A B C +=，则ABC 的形状一定为（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断.【详解】因为2cos 2cos 22cos A B C +=，所以22212sin 12sin 22sin A B C -+-=-，所以222sin sin sin A B C +=，由正弦定理可得222+=a b c ，所以ABC 为直角三角形.故选：C8.长篇评弹《玉蜻蜓》在江南可谓家喻户晓，是苏州评弹的一颗明珠.为了让更多年轻人走近评弹､爱上经典，苏州市评弹团在保留原本精髓的基础上，打造了《玉蜻蜓》精简版，将长篇压缩至三场，分别是《子归》篇､《认母》篇､《归宗》篇.某班级开展对《玉蜻蜓》的研究，现有三位学生随机从三篇中任意选一篇研究，记“三人都没选择《子归》篇”为事件M ，“至少有两人选择的篇目一样”为事件N ，则下列说法正确的是（）A.M 与N 互斥B.()()P M P MN = C.M 与N 相互独立D.()()1P M P N +<【答案】B 【解析】【分析】计算事件M 和事件N 的概率，由互斥事件的性质和相互独立事件的定义，对选项进行判断即可.【详解】三个人随机选三篇文章研究，样本空间共33327⨯⨯=种，事件M ：“三人都没选择《子归》篇”共有：2228⨯⨯=，所以()827P M =，事件N ：“至少有两人选择的篇目一样”共有27621-=种，所以()1272P N =，()()1P M P N +>，所以M 与N 不互斥，A 错误，D 错误；事件MN 共有2338++=种，所以()782P MN =，B 正确；因为()()()P MN P M P N ≠，所以C 错误.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数2()sin 2f x x x =+-，则（）A.()f x 的最小正周期为2π B.()2f x ≥-C.()f x 的图象关于直线π6x =对称 D.()f x 在区间π,04⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增【答案】BD 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，在根据正弦函数的性质计算可得.【详解】因为2()sin 2sin 22f x x x x x=+=+132sin 2cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；因为π1sin 213⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()2f x ≥-，故B 正确；因为πππ2sin 2663f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故C 错误；当π,04x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则,ππ233π6x ⎛⎫-∈ ⎝+⎪⎭，又sin y x =在ππ,63⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在区间π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确.故选：BD10.已知复数1z ，2z ，3z ，则下列说法正确的有（）A .1212||||||z z z z = B.若120z z ->，则12z z >C.若120z z =，则1212||||z z z z -=+ D.若1213z z z z =且10z ≠，则23z z =【答案】ACD 【解析】【分析】A 项，表达出12||z z 和12||||z z ，即可得出相等；B 项，作出示意图即可得出结论；C 项，写出12||z z -和12||z z +的表达式，利用120z z =得出两复数的实部和虚部的关系，即可得出结论；D 项，对1213z z z z =进行化简即可得出结论.【详解】由题意，设12i,i,,,,Rz a b z c d a b c d =+=+∈A 项，()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++=12z z ==∴1212||||||z z z z =,A 正确；B 项，当120z z ->时，若两复数是虚数1z ，2z 不能比较大小，B 错误；C 项，()()1212i,i z z a c b d z z a c b d -=-+-+=+++，12z z -==12z z +==，当120z z =时，12120z z z z ==0=，∴0,0a b ==，,c d 任取，或0,0c d ==，,a b 任取，即12,z z 至少有一个为0∴1212z z z z -=+=（其中至少有两项为0），C 正确；D 项，∵1213z z z z =，∴()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，即23z z =，D 正确；故选：ACD.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G ，H 分别为AB ，1CC ，11A D ，1DD 的中点，则（）A.1B D ⊥平面EFGB.//AH 平面EFGC.点1B ，D 到平面EFG 的距离相等D.平面EFG 截该正方体所得截面的面积为【答案】ACD 【解析】【分析】取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，即可得到正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，求出截面面积，即可判断D ；根据线面垂直的判定定理说明A ，证明1//AD 平面EFG ，即可说明B ，根据正方体的性质判断D.【详解】如图，取BC 的中点L ，11C D 的中点K ，1AA 的中点M ，连接GK 、KF 、FL 、LE 、EM 、MG 、11A C 、MF 、AC 、1AD ，则11//GK A C ，//EL AC ，11////A C AC MF ，所以//GK MF ，所以G 、K 、F 、M 四点共面，又//EL MF ，所以L 、E 、F 、M 四点共面，同理可证//KF ME ，所以K 、E 、F 、M 四点共面，正六边形LEMGKF 为平面EFG 截该正方体所得截面，又12EL AC ===，所以216sin 602LEMGKF S =⨯⨯⨯︒=D 正确；因为AC ⊥平面11DBB D ，1DB ⊂平面11DBB D ，所以1AC DB ⊥，则1EL DB ⊥同理可证1FL DB ⊥，又EL FL L = ，,EL FL ⊂平面LEMGKF ，所以1DB ⊥平面LEMGKF ，即1B D ⊥平面EFG ，故A 正确；因为1//GM AD ，GM ⊂平面LEMGKF ，1AD ⊄平面LEMGKF ，所以1//AD 平面LEMGKF ，即1//AD 平面EFG ，又1AH AD A = ，1,AH AD ⊂平面11AD A A ，平面EFG ⋂平面11AD A A GM =，所以AH 不平行平面EFG ，故B 错误；设O 为正方体的中心，即O 为1DB 的中点，根据正方体的性质可知1EF DB O = ，即1DB 交平面LEMGKF 于点O ，所以点1B ，D 到平面LEMGKF 的距离相等，即点1B ，D 到平面EFG 的距离相等，故D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设向量(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，若m p ⊥ ，则实数λ的值为___________.【答案】15##0.2【解析】【分析】求出p，利用m p ⊥ ，即可求出实数λ的值.【详解】由题意，(1,3)m = ，(4,2)n =- ，p m n λ=+，∴()4,32p λλ=+-∵m p ⊥ ，∴()()143320λλ⨯++-=，解得：15λ=，故答案为：15.13.在直角三角形ABC 中，已知CH 为斜边AB 上的高，AC =2BC =，现将BCH V 沿着CH 折起，使得点B 到达点B '，且平面B CH '⊥平面ACH ，则三棱锥B ACH '-的外接球的表面积为___________.【答案】13π【解析】【分析】证明,,HA HB HC '两两垂直，由,,HA HB HC '的边长，求出外接球半径，求表面积即可.【详解】直角三角形ABC 中，AC =2BC =，则斜边4AB =，30A = ，CH 为斜边AB 上的高，则CH =3AH =，1HB =，平面B CH '⊥平面ACH ，平面B CH ' 平面ACH CH =，B H CH '⊥，B H '⊂平面B CH '，则B H '⊥平面ACH ，又AH CH ⊥，所以,,HA HB HC '两两垂直，HC =3HA =，1HB '=，则三棱锥B ACH '-的外接球半径1322R ==，所以三棱锥B ACH '-的外接球表面积为24π13πS R ==.故答案为：13π.14.在ABC 中，已知cos 21sin 2cos 212C C C =++，则3sin 2sin A B +的最大值为___________.【解析】【分析】利用二倍角公式化简，即可求出C ，从而得到π3A B +=，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，再利用辅助角公式计算可得.【详解】因为cos 21sin 2cos 212C C C +=++，所以222cos sin 12sin cos 2cos 112C C C C C -+=+-+，即()()()cos sin cos sin 132cos cos sin 2C C C C C C C -+=+，所以cos sin 1113tan 2cos 222C C C C -=-=，所以tan C =，又()0,πC ∈，所以2π3C =，则π3A B +=，所以π3sin 2sin 3sin 2sin 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭()ππ3sin 2sin cos 2cos sin 2sin33A A A A A A ϕ=+-==+，取ϕ为锐角，其中sinϕ=，cos ϕ=1sin 2ϕ=>，所以π6ϕ>，所以当π2A ϕ+=时3sin 2sin AB +.【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出C 的值，从而将3sin 2sin A B +转化为A 的三角函数，结合辅助角公式求出最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E ，F ，G 分别为线段AD ，BC ，PB 的中点.（1）求证：AG ⊥平面PBC ；（2）求证：//PE 平面AFG .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证BC ⊥平面PAB ，有BC AG ⊥，再由AG PB ⊥，可证AG ⊥平面PBC ；（2）连接BE 交AF于点H ，由AHE FHB ≅ ，得H 为BE 中点，可得//GH PE ，线面平行的判定定理得//PE 平面AFG .【小问1详解】底面ABCD 为矩形，所以BC AB ⊥，PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，则PA BC ⊥，AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，则BC ⊥平面PAB ，AG ⊂平面PAB ，所以BC AG ⊥，又PA AB =，G 为PB 中点，则AG PB ⊥，,BC PB ⊂平面PBC ，BC PB B = ，所以AG ⊥平面PBC .【小问2详解】连接BE 交AF 于点H ，连接GH ，由四边形ABCD 为矩形，,E F 分别为,AD BC 中点，所以AHE FHB ≅ ，则BH HE =，即H 为BE 中点，又因为G 为BP 中点，有//GH PE ，GH Ì平面AFG ，PE ⊄平面AFG ，所以//PE 平面AFG .16.一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球.设事件A =“第一次摸到红球”，B =“第二次摸到黑球”，C =“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”.（1）用数组()12,x x 表示可能的结果，1x 是第一次摸到的球的标号，2x 是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间Ω；（2）分别求事件A ，B ，C 发生的概率；（3）求事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率.【答案】（1）()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=（2）()12P A =，()14P B =，()13P C =（3）()34P A B C ⋃⋃=【解析】【分析】（1）根据事件的定义列出样本空间即可；（2）根据古典概型概率计算公式计算即可；（3）根据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】样本空间()()()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3=，Ω共有12个基本事件；【小问2详解】事件A 的基本事件为：()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4共6个基本事件，所以()12P A =，事件B 的基本事件为：()()(){}1,3,2,3,4,3共3个基本事件，所以()14P B =，事件C 的基本事件为：()()()(){}1,42,4,4,1,4,2共4个基本事件，所以()13P C =，【小问3详解】事件A ，B ，C 中至少有一个发生的基本事件为：()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,44,1,4,2,4,3共9个基本事件，所以()34P A B C ⋃⋃=.17.如图，在平面四边形ABCD 中，已知AC 与BD 交于点E ，且E 是线段BD 的中点，BCE 是边长为1的等边三角形.（1）若sin 14ABD ∠=，求线段AE 的长；（2）若:AB AD =AE BD <，求sin ADC ∠.【答案】（1）12（2）7【解析】【分析】（1）由sin 14ABD ∠=，有cos 14ABD ∠=，又120AEB ∠= ，AEB △中，()sin sin BAE AEB ABD ∠=∠+∠，求值后由正弦定理求线段AE 的长；（2）在AED △和AEB △中，余弦定理得22222AB AD AE +=+，又:AB AD =解得13AE =，在ACD 中，由余弦定理求cos ADC ∠，再得sin ADC ∠.【小问1详解】因为BCE 为等边三角形，所以120AEB ∠= ，又sin 14ABD ∠=，所以cos 14ABD ∠=，在AEB △中，()()sin sin 180sin BAE AEB ABD AEB ABD ⎡⎤∠=-∠+∠=∠+∠⎣⎦，所以21sin sin cos cos sin 7BAE AEB ABD AEB ABD ∠=∠∠+∠∠=，由正弦定理得sin sin AE BEABD BAE =∠∠，21sin 114sin 2217BE ABD AE BAE ⋅∠===∠.【小问2详解】()cos cos 180cos AED AEB AEB ∠=-∠=-∠ ，1DE BE ==，在AED △中，由余弦定理，2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅⋅∠，在AEB △中，由余弦定理，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠两式相加得222222222AB AD AE DE BE AE +=++=+，因为:AB AD =，所以设AB =，AD =，则AE =，在AEB △中，120AEB ∠= ，由余弦定理得，2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅⋅∠，得2211310112m m ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，化简得23m =由0m >，解得1m =或13m =，当1m =时，3AE BD =>，不合题意，舍去；当13m =时，13AE BD =<，符合题意，所以13AE =，43AC AE EC =+=，73AD ==，在DCE △中，1CE DE ==，120DEC ︒=∠，可得CD =，在ACD中，由余弦定理，222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠==⋅，所以sin 7ADC ∠=.18.如图，在平行四边形ABCD 中，已知3A π=，2AB =，1AD =，E 为线段AB 的中点，F 为线段BC 上的动点（不含端点）.记BF mBC =.（1）若12m =，求线段EF 的长；（2）若14m =，设AB xCE yDF =+ ，求实数x 和y 的值；（3）若CE 与DF 交于点G ，AG EF ∥，求向量GE 与GF的夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）68,1111x y =-=（3）7-【解析】【分析】（1）由向量的线性运算可得1122EF AD AB =+，两边平方可求解；（2）由已知可得34DF DC CF AB AD =+=- ，12CE CB BE AD AB =+=--，可得结论；（3）利用向量的线性关系可得1255GE AB AD =-- ，933510GF AD AB =-+，计算可得结论.【小问1详解】若12m =，则1122BF BC AD == ，12BE AB =-，所以1122EF BF BE AD AB =-=+ ，两边平方可得22222211117()(2)(12122)44424EF AD AB AD AD AB AB =+=++=+⨯⨯⨯+= ，所以2EF =；【小问2详解】若14m =，则1144BF BC AD == ，所以34CF AD =-，34DF DC CF AB AD =+=- ①，12CE CB BE AD AB =+=-- ②，由①②可得681111AB CE DF =-+；【小问3详解】1122EF EB BF AB mBC AB mAD =+=+=+，1122EC EB BC AB BC AB AD =+=+=+ ，设2EG EC AB AD λλλ==+ ，又122AG AE EG AE AB AD AB AD λλλλ+=+=++=+，又AG EF ∥，所以1212m λλ=+①，由EG EC λ= ，可得GE CE λ= ，所以CE CG CE λ-=，所以(1)CG CE λ=- ，所以11(1)(1)()(1)22CG CE AB BC CB CD λλλλ-=-=---=-+ ，由BF mBC = ，可得(1)CF m CB =- ，11CB CF m=-所以11(1)12CG CE CF CD m λλλ--=-=+-，又,,D F G 三点共线，所以11112m λλ--+=-②，联立①②解11,23m λ==，所以1142EG AB AD =+ ，所以1142GE AB AD =--，111111242424CG CB CD BC DC AD AB =+=--=-- ，21111(32464GF CF CG AD AD AB AD AB =-=----=-+ ），所以2211111111····64422412168GE GF AD AB AB AD AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111112412484=+--=-，又2222111111113()4216444444GE AB AD AB AB AD AD =--=++=++=，所以||2GE =，同理可得||6GF = ，所以1214cos ,726GE GF -==-.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是用基底表示向量后，求向量模或者夹角就可以利用公式直接计算.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知侧面11CDD C 为矩形，60BAD ABC ∠=∠=︒，3AB =，2AD =，1BC =，1AA =，12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB =.（1）求证：平面DEF 平面1A BC ；（2）求证：平面11ADD A ⊥平面ABCD ；（3）若三棱锥1E A BC -的体积为3，求平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）19或7.【解析】【分析】（1）由已知可得//EF 平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，从而可证结论；（2）由余弦定理可得23DC =，从而可证AD CD ⊥，进而结合已知可证CD ⊥平面11ADD A ，可证结论；（3）延长,AD BC 交于N ，过1A 作1A M AD ⊥于M ，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，可得1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】因为12AE EA =uu u r uuu r ，2AF FB = ，所以1EF A B ∥，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ，所以//EF 平面1A BC ，2AF FB = ，3AB =，可得2AF =，又2AD =，60BAD ∠=︒，所以ADF △是等边三角形，所以2DF =，60AFD ∠=︒，又60ABC ∠=︒，所以DF BC ∥，又BC ⊂平面1A BC ，DF ⊄平面1A BC ，//DF 平面1A BC ，又DF EF F = ，又,DF EF ⊂平面DEF ，所以平面DEF 平面1A BC ；【小问2详解】由侧面11CDD C 为矩形，可得1CD DD ⊥，连接CF ，可得BCF △是等边三角形，所以60BFC ∠=︒，所以60DFC ∠=︒，又2DF =，1CF =，由余弦定理可得22211221232DC =+-⨯⨯⨯=，所以222DC CF DF +=，所以90FCD ∠=︒，所以30FDC ∠=︒，所以90ADC ∠=︒，所以AD CD ⊥，又1AD DD D = ，1,AD DD ⊂平面11ADD A ，所以CD ⊥平面11ADD A ，又CD ⊂平面ABCD ，所以平面11ADD A ⊥平面ABCD ；【小问3详解】延长,AD BC 交于N ，可得ABN 是等边三角形，过1A 作1A M AD ⊥于M ，由（1）可知//EF 平面1A BC ，所以三棱锥1E A BC -的体积即为三棱锥1F A BC -的体积，又三棱锥1F A BC -的体积等于三棱锥1A BCF -的体积，由（2）可知平面11ADD A ⊥平面ABCD ，且两平面的交线为AD ，所以AM ⊥平面ABCD ，所以111111331133223B F BCF A C V S A M A M -==⨯⨯⨯⨯= ，解得14A M =，过M 作MH BN ⊥于H ，连接1A H ，AM ⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以AM BN ⊥，又1HM A M M ⋂=，1,HM A M ⊂平面1A MH ，所以BN ⊥平面1A MH ，又1A H ⊂平面1A MH ，1BN A H ⊥，所以1A HM ∠为平面1A BC 与平面ABCD 所成二面角的平面角，若12A AD π∠<，则点M 在线段AD 上，且为AD 中点，又117AA =，由勾股定理可得1AM =，所以2MN =，所以3MH =131619A H =+=，所以1357cos 1919A HM ∠==，所以平面1A BC 与平面ABCD 的夹角的余弦值为5719；若12A AD π∠>，则点M 在线段DA 延长线上，此时13,7MH A H ==，11321cos 727MH A HM A H ∠===.。

2023-2024学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省淮安市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省淮安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∪B＝（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2，3}C．{0，1，2，3}D．{1，2，3}2．函数f(x)=ln(x−1)+1x−2的定义域为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（1，2）∪（2，+∞）D．（1，2）3．若角α的终边经过点P（m，2）（m≠0），则（）A．sinα＞0B．sinα＜0C．cosα＞0D．cosα＜04．关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集是[﹣2，4]，那么log a b＝（）A．1B．3C．2D．1 35．设a＞0且a≠1，“函数f（x）＝（3﹣a）x+1在R上是减函数”是“函数g（x）＝a x在R上是增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数y=e2−x2的图象大致为（）A．B．C．D．7．为了得到函数y=3sin(2x+2π3)的图象，只要把函数y=3sin(2x+π6)图象上所有的点（）A．向左平移π2个单位长度B．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度8．已知函数f(x)={−x 2+ax +1，x ＜0sin(ax +π3)，0≤x ≤π有且仅有3个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．[23，53)B ．[53，83)C ．[83，113)D ．[83，113]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列化简或者运算正确的是（ ） A ．lg 5+lg 2＝1B ．a 23⋅a 12=a 76（a ＞0）C ．x −13=−√x 3（x ＞0）D ．2log 23=310．用“五点法”作函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）在一个周期内的图象时，列表计算了部分数据，下列有关函数y ＝f （x ）描述正确的是（ ）A ．函数f （x ）的最小正周期是πB ．函数f （x ）的图象关于点(5π6，0)对称 C ．函数f （x ）的图象关于直线x =π3对称D ．函数f （x ）与g(x)=−2cos(2x +π3)+1表示同一函数11．定义在D 上的函数f （x ），如果满足：存在常数M ＞0，对任意x ∈D ，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数的有（ ） A ．y =2sin(2x +π3)B ．y ＝2xC ．y =x 2+1xD ．y ＝x ﹣[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）12．已知函数f （x ）满足：∀x 1，x 2∈R ，都有|f （x 1）+f （x 2）|≤|sin x 1+sin x 2|成立，则下列结论正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．函数y ＝f （x ）是偶函数C ．函数y ＝f （x ）是周期函数D ．g （x ）＝f （x ）﹣sin x ，x ∈（﹣1，1），若﹣1＜x 1＜x 2＜1，则g （x 1）≥g （x 2） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省扬州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，sin x ＞1 B ．∃x ∈R ，sin x ≤1 C ．∀x ∈R ，sin x ＞1D ．∀x ∈R ，sin x ＜12．下列四个函数中，与y ＝2x 有相同单调性和奇偶性的是（ ） A ．y ＝2xB ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝sin x3．若全集U ＝R ，A ={x|12＜x ＜1}，B ={x|x−1x＜0}，则（∁U A ）∩B ＝（ ）A ．（0，1）B ．(0，12)C ．(0，12]D ．[0，1]4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 25．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =126．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克8．若α、β∈(0，π2)且满足sin αcos α+sin βcos β＞2cos αcos β，设t ＝tan αtan β，f(x)=1−t 2xtx ，则下列判断正确的是（ ） A ．f （sin α）＜f （sin β） B ．f （cos α）＜f （cos β） C ．f （sin α）＜f （cos β）D ．f （cos α）＜f （sin β）二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的有（ ） A ．−3π4是第二象限角 B ．tan225°＝1 C ．小于90°的角一定是锐角D ．sin2＞010．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−212．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A ．点C 的坐标为（b ，log c a ）B ．当a ＝2，b ＝4，c ＝3时，m 的值为9C ．当b ＝a 2时，m ＝2c 2D ．当a ＝2，b ＝4时，若x 1，x 2为区间（a ，b ）内任意两个变量，且x 1＜x 2，则a f(x 2)＜b f(x 1) 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tan α•cos α的值为 ． 14．已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则lgx •lgy 的最大值为 ．15．已知定义域为R 的奇函数f （x ），当x ＞0时，f(x)={x 2−x +1，0＜x ≤112x−1，x ＞1，若当x ∈[m ，0）时，f（x ）的最大值为−34，则m 的最小值为 ．16．定义域为D 的函数f （x ），如果对于区间I 内（I ⊆D ）的任意三个数x 1，x 2，x 3，当x 1＜x 2＜x 3时，有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜f(x 3)−f(x 2)x 3−x 2，那么称此函数为区间I 上的“递进函数”，若函数f(x)=x 3+ax 是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）化简求值： （1）3log 32+(827)13+lg5−lg 12； （2）若x 12+x−12=√5，求x 2+x﹣2的值．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0．（1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h（t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π，π]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．2023-2024学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定为（）A．∃x∈R，sin x＞1B．∃x∈R，sin x≤1C．∀x∈R，sin x＞1D．∀x∈R，sin x＜1解：命题：“∀x∈R，sin x≤1”为全称命题，全称命题的否定是特称命题，即∃x∈R，sin x＞1．故选：A．2．下列四个函数中，与y＝2x有相同单调性和奇偶性的是（）A．y＝2x B．y＝x3C．y＝e x D．y＝sin x解：根据题意，函数y＝2x为奇函数，在R上为增函数，据此分析选项：对于A，y＝2x是非奇非偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，其定义域为R，关于原点对称，满足f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），f（x）为奇函数，且y′＝3x2≥0，恒成立，所以在R上为增函数，符合题意；对于C，y＝e x，是非奇非偶函数，不符合题意；对于D，y＝sin x，f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），f（x）为奇函数，但y＝sin x在R上不是增函数，不符合题意．故选：B．3．若全集U＝R，A={x|12＜x＜1}，B={x|x−1x＜0}，则（∁U A）∩B＝（）A．（0，1）B．(0，12)C．(0，12]D．[0，1]解：∵x−1x＜0，∴x（x﹣1）＜0，∴0＜x＜1，B＝（0，1），A＝（12，1），∁U A＝（﹣∞，12]∪[1，+∞），则（∁U A）∩B＝（0，12]．故选：C．4．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（ ）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2解：扇面（图中扇环）部分的面积S =12αr 2−12α(r 2)2=38αr 2=38×2π3×400=100π．故选：B ．5．若实数m ，n 满足2m ＝3n ＝6，则下列关系中正确的是（ ） A ．1m+1n=1 B ．1m+2n=2 C ．2m+1n=2 D ．1m+2n =12解：2m ＝3n ＝6，则m ＝log 26，n ＝log 36， 故1m +1n =1log 26+1log 36=log 62+log 63＝log 6（2×3）＝log 66＝1，故A 正确，B 错误，又2m+1n=2•log 62+log 63＝log 6（22×3）＝log 612≠2，故C 错误，1m +2n=log 62+2•log 63＝log 6（2×32）＝log 618≠12，故D 错误．故选：A ．6．若p ：cosα≤12，q ：α≤π3，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：若p ：cosα≤12，则2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ，又“2kπ−π3≤α≤2kπ+π3，k ∈Z ”是“α≤π3“的既不充分也不必要条件， 则p 是q 的既不充分也不必要条件． 故选：D ．7．某金店用一杆天平称黄金，某顾客需要购买20克黄金，他要求先将10克的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡；然后又将10克的砝码放入右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡，顾客获得这两块黄金，则该顾客实际所得黄金（ ） A ．小于20克 B ．不大于20克C ．大于20克D ．不小于20克解：根据题意，设天平的左臂长为a ，右臂长b ，售货员现将10g 的砝码放在左盘，将黄金xg 放在右盘使之平衡；然后又将10g 的砝码放入右盘，将另一黄金yg放在左盘使之平衡，则顾客实际所得黄金为x+y（g）．则10a＝bx，ya＝10b，故x+y=10ab+10ba=10（ab+ba）≥10×2√ab×ba=20，当且仅当a＝b时等号成立，则该顾客实际所得黄金不小于20克．故选：D．8．若α、β∈(0，π2)且满足sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，设t＝tanαtanβ，f(x)=1−t 2xt x，则下列判断正确的是（）A．f（sinα）＜f（sinβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＜f（sinβ）解：因为sinαcosα+sinβcosβ＞2cosαcosβ，两边同时除以cosαcosβ，得sinαcosβ+sinβcosα＞2，因为α，β∈(0，π2)，若α+β≤π2则0＜α≤π2−β＜π2，sinα≤sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ≤1，同理sinβcosα≤1，则sinαcosβ+sinβcosα≤2与sinαcosβ+sinβcosα＞2矛盾，所以α+β＞π2，则π2＞α＞π2−β＞0，sinα＞sin(π2−β)=cosβ，则sinαcosβ＞1，同理sinβcosα＞1，所以t=tanαtanβ=sinαcosβ⋅sinβcosα＞1，又f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1，因为函数y=(1t)x，t＞1单调递减，y＝t x，t＞1单调递增，所以f(x)=1−t2xt x=(1t)x−t x，t＞1单调递减．对于AB：由于sinα与sinβ，cosα与cosβ大小关系不确定，故AB错误；对于CD：由于sinα＞cosβ，sinβ＞cosα，所以f（sinα）＜f（cosβ），f（cosα）＞f（sinβ），故C正确，D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法正确的有（）A．−3π4是第二象限角B．tan225°＝1C．小于90°的角一定是锐角D．sin2＞0解：对于A：−3π4为第三象限角，故A错误；对于B ：tan225°＝tan （180°+45°）＝tan45°＝1，故B 正确； 对于C ：小于90°的角是锐角或负角，故C 错误； 对于D ：由于sin2≈√32＞0，故D 正确．故选：BD ．10．下列命题为真命题的有（ ） A ．若a ，b ∈R ，则a 2+b 2≥2ab B ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则a+m b+m＞abC ．若a ＜b ＜0，则1a ＞1bD ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b解：根据题意，依次分析选项：对于A ，a 2+b 2﹣2ab ＝（a ﹣b ）2≥0，则有a 2+b 2≥2ab ，A 正确； 对于B ，当a ＝3，b ＝2，m ＝1时，a+m b+m=43＜ab =32，B 错误； 对于C ，若a ＜b ＜0，则b ﹣a ＞0，ab ＞0，则有1a −1b =b−aab＞0，C 正确；对于D ，若ac 2＞bc 2，则有ac 2﹣bc 2＝（a ﹣b ）c 2＞0，由于c ≠0，则有a ﹣b ＞0，即a ＞b ，D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=sinx −2sin2x，则下列结论正确的有（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．f （x ）是以π为周期的函数C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．x ∈(0，π4]时，f （x ）的最大值为√22−2解：∵f(x)=sinx −2sin2x （x ≠kπ2，k ∈Z ）， ∴f （﹣x ）＝﹣sin x +2sin2x=−f （x ），∴f （x ）为奇函数，A 正确； 又f （x +π）＝﹣sin x −2sin2x≠f （x ），∴f （x ）不是以π为周期的函数，B 错误； ∵f （π﹣x ）＝sin x +2sin2x ≠f （x ），∴f （x ）的图象不关于直线x =π2对称，C 错误； ∵x ∈(0，π4]⇒2x ∈（0，π2]，∴y ＝sin x 与y =−2sin2x 在(0，π4]上均为增函数，∴f(x)=sinx −2sin2x 在(0，π4]上单调递增，∴f （x ）max ＝f （π4）=√22−2．D 正确． 故选：AD ．12．如图，过函数f （x ）＝log c x （c ＞1）图象上的两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M （a ，0），N （b ，0）（b ＞a ＞1），线段BN 与函数g （x ）＝log m x （m ＞c ＞1）的图象交于点C ，且AC 与x 轴平行．下列结论正确的有（ ）A．点C的坐标为（b，log c a）B．当a＝2，b＝4，c＝3时，m的值为9C．当b＝a2时，m＝2c2D．当a＝2，b＝4时，若x1，x2为区间（a，b）内任意两个变量，且x1＜x2，则a f(x2)＜b f(x1)解：对于A，由图可知，若设A（a，t），则C（b，t），又A在f（x）＝log c x上，则t＝log c a，∴C（b，log c a），故A正确；对于B，由题意得A（2，log32），B（4，log34），C（4，log m4），且AC与x轴平行，∴log m4＝log32，解得m＝9，故B正确；对于C，由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），C（b，log m b），且AC与x轴平行，∴log m b＝log c a，∵b＝a2，∴m＝c2，故C错误；对于D，∵a＜x1＜x2＜b，且c＞1，∴log c a＜log c x1＜log c x2＜log c b，∵b＞a＞1，∴a log c x2＜a log c b，b log c a＜b log c x1，∵log c b•log c a＝log c a•log c b，∴log c a log c b=log c b log c a，∴a log c b=b log c a，∴a log a x2＜b log c x1，∴a f(x2)＜b f(x1)，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知角α的终边经过点（1，﹣2），则tanα•cosα的值为−2√55．解：由于角α的终边经过点（1，﹣2），所以sinα=25=−2√55，故tanα⋅cosα=sinα=−2√55．故答案为：−2√5 5．14．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则lgx•lgy的最大值为14．解：∵x＞1，y＞1，xy＝10，∴lgx＞0，lgy＞0，∴√lgxlgy≤lgx+lgy2=lgxy2=lg102=12，当且仅当lgx＝lgy，即x＝y=√10时，取等号．∴lgx•lgy≤14，∴lgx•lgy的最大值为14．故答案为：1 4．15．已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f(x)={x2−x+1，0＜x≤112x−1，x＞1，若当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−34，则m的最小值为−76．解：因为f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[m，0）时，f（x）的最大值为−3 4，则x∈（0，﹣m]时，最小值为3 4，又当0＜x≤1时，f(x)=x2−x+1=(x−12)2+34，根据二次函数的性质可知，当x=12时，f（x）min=34，当x＞1时，f(x)=12x−1单调递减，又当f(x)=12x−1=34时，x=76，故x∈（0，﹣m]时，最小值为34，必有12≤−m≤76，则−76≤m≤−12，故m的最小值为−76．故答案为：−7 6．16．定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意三个数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f(x2)−f(x1) x2−x1＜f(x3)−f(x2)x3−x2，那么称此函数为区间I上的“递进函数”，若函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．解：∵函数f(x)=x3+ax是区间[1，2]为“递进函数”，∴f′(x)=3x2−ax2的递增区间为[1，2]，令g(x)=3x2−ax2，则g′(x)=6x+2ax3≥0在[1，2]上恒成立，即a≥﹣3x4在[1，2]上恒成立，∴a≥﹣3，故答案为：[﹣3，+∞）．四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）化简求值：（1）3log32+(827)13+lg5−lg12；（2）若x 12+x−12=√5，求x2+x﹣2的值．解：（1）原式=2+[(23)3]13+lg5+lg2=2+23+lg5+lg2=113；（2）由题意得(x 12+x−12)2=x+x−1+2=5，得x+x﹣1＝3，同理（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝9，故x2+x﹣2＝7．18．（12分）已知tan α＝3．求值：（1）cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)；（2）2sin 2α+sin αcos α．解：（1）因为tan α＝3，所以cos(α+π2)−sin(3π2+α)2sin(α+π)+cos(2π−α)=−sinα+cosα−2sinα+cosα=−tanα+1−2tanα+1=25；（2）因为tan α＝3，所以2sin 2α+sin αcos α=2sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α =2tan 2α+tanαtan 2α+1=2110．19．（12分）已知函数f(x)=log 12(4−x)1x−1的定义域为集合A ，函数g(x)=m √2x +5（x ∈[−12，112]）的值域为B ． （1）当m ＝1时，求A ∪B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）函数f(x)=log 12(4−x)+√x−1则{4−x ＞0x −1＞0，解得1＜x ＜4， 故A ＝（1，4）；当m ＝1时，g(x)=√2x +5在[−12，112]上单调增，则B ＝[2，4]，∴A ∪B ＝（1，4]；（2）若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集． 当m ＞0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调增，则B ＝[2m ，4m ]，所以1＜2m ＜4m ＜4，解得12＜m ＜1；当m ＝0时，B ＝{0}，不符合题意；当m ＜0时，g(x)=m √2x +5在[−12，2]上单调减，则B ＝[4m ，2m ]，不符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为（12，1）．20．（12分）已知f(x)=sin(ωx +π6)，ω＞0．（1）若f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π2，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，当ω取最小值时，方程f （x ）＝m 在区间[π6，π2]上有解，求实数m 的取值范围．解：（1）由于f （x 1）＝1，f （x 2）＝﹣1，且|x 1−x 2|min =π，所以T 2=12×2πω=π2，则ω＝2，所以f(x)=sin(2x +π6)； 由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ． （2）将f （x ）的图象向左平移π3个单位长度后得到y =sin[ω(x +π3)+π6]=sin(ωx +ωπ3+π6)， 若所得图象关于y 轴对称，则ωπ3+π6=π2+kπ，得ω＝1+3k ，k ∈Z ，因为ω＞0，所以ωmin ＝1； x ∈[π6，π2]，得x +π6∈[π3，2π3]，f(x)∈[√32，1]， 所以m 的取值范围为[√32，1]．21．（12分）已知函数f(x)=1−5x 1+5x ，g(x)=acosx +√1+sinx +√1−sinx ，其中a ＜0． （1）判断并证明f （x ）的单调性；（2）①设t =√1+sinx +√1−sinx ，x ∈[−π2，π2]，求t 的取值范围，并把g （x ）表示为t 的函数h （t ）；②若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[−π2，π2]使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）f （x ）是R 上的单调减函数，证明如下：在R 上任取x 1，x 2且x 1＜x 2，则5x 1−5x 2＜0，1+5x 1＞0，1+5x 2＞0，所以f(x 2)−f(x 1)=1−5x 21+5x 2−1−5x 11+5x 1=2(5x 1−5x2)(1+5x 1)(1+5x 2)＜0， 故f （x ）是R 上单调减函数；（2）①t =√1+sinx +√1−sinx ，则t 2=(√1+sinx +√1−sinx)2=2+2√1−sin 2x =2+2|cosx|，又因为x ∈[−π2，π2]，所以cos x ≥0，从而t 2∈[2，4]． 又因为t ＞0，所以t ∈[√2，2]，因为cosx =12t 2−1，所以ℎ(t)=12at 2+t −a ，t ∈[√2，2]； ②设f （x ）在x ∈[﹣1，0]时值域为A ，则由f （x ）的单调性可知，A =[0，23]； 设h （t ）在t ∈[√2，2]时的值域为B ，由题意得A ⊆B ，（ⅰ）当−12≤a ＜0时，即−1a≥2，h （t ）在[√2，2]上单调增，则B =[√2，a +2]， 因为√2＞0，显然不满足A ⊆B ；（ⅱ）当√2−2＜a＜−12时，即√2+22＜−1a＜2，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(2)＞ℎ(√2)，所以B=[√2，−12a−a]，显然不满足A⊆B；（ⅲ）当−√22＜a≤√2−2时，即√2＜−1a≤√2+22，h（t）在[√2，−1a]上单调增，在[−1a，2]上单调减，且ℎ(√2)＞ℎ(2)，所以B=[a+2，−12a−a]，且a+2＞0，所以不满足A⊆B；（ⅳ）当a≤−√22时，−1a≤√2，h（t）在[√2，2]上单调减，所以B=[a+2，√2]，因为A⊆B，所以a+2≤0且√2＞23，所以a≤﹣2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．22．（12分）已知函数f(x)=log2(2x+m)−x2．（1）若f（x）为定义在R上的偶函数，求实数m的值；（2）若∀x∈[0，2]，f（x）+m≤1恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）因为函数f（x）为定义在R上的偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对x∈R恒成立，所以f(x)−f(−x)=log2(2x+m)+x2−[log2(2−x+m)−−x2]=log22x+m(2−x+m)⋅2x=0，化简得2x+m(2−x+m)⋅2x=1，即（2x﹣1）（1﹣m）＝0，所以m＝1；（2）不等式f（x）+m≤1可化为log2(2x+m)−x2+m≤1（*），由题意得：2x+m＞0对任意x∈[0，2]恒成立，则m＞﹣1；（*）可化为log2(2x+m)≤log22(x2−m+1)，所以0＜2x+m≤2x2⋅(12)m−1，对于不等式2x+m≤2x2⋅(12)m−1，令t=2x2，因为x∈[0，2]，所以t∈[1，2]，∀x∈[0，2]，2x+m≤2x2⋅(12)m−1恒成立⇔∀t∈[1，2]，t2−(12)m−1t+m≤0恒成立；令F(t)=t2−(12)m−1t+m，可得{F(1)≤0，F(2)≤0，，即{(12)m−1−m≥1，2⋅(12)m−1−m≥4.（**），由于函数r(m)=2⋅(12)m−1−m为R上的减函数，且r（0）＝4，所以不等式2⋅(12)m−1−m≥4的解集为m≤0；由于函数t(m)=(12)m−1−m为R上的减函数，所以当m≤0时，t（m）≥t（0）＝2≥1恒成立，所以（**）式的解为m≤0．综上，m的取值范围为（﹣1，0]．。

2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省徐州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省徐州市高一（上）期末数学试卷一、选择题。

本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ={x|14＜2x ＜4}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知扇形的半径为2cm ，弧长为4cm ，则该扇形的面积为（ ） A ．1cm 2B ．2cm 2C ．4cm 2D ．8cm 23．若命题“∃x ∈R ，x 2+4x +t ＜0“是假命题，则实数t 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．84．已知a ＞b ，则下列不等式中，正确的是（ ） A ．a 2＞b 2 B ．|a |＞|b |C ．sin a ＞sin bD ．2a ＞2b5．若α=4π3，则√1−sinα1+sinα+√1+sinα1−sinα=（ ） A ．4B ．2C ．4√33D ．2√336．2023年12月30日，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （单位：km /s ）和燃料的质量M （单位：kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （单位：kg ）的函数关系是v =alg(1+Mm)（a 是参数）．当M ＝5000m 时，v 大约为（ ）（参考数据：1g 2≈0.3010） A ．2.097aB ．3.699aC ．3.903aD ．4.699a7．已知函数f(x)=1x 2+1−e 4x +1e2x ，若a ＝tan171°，b ＝tan188°，c ＝tan365°，则（ ）A ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ）B ．f （b ）＜f （a ）＜f （c ）C ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）D ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）8．已知函数f （x ）＝x +1x −2，且关于x 的方程f （|e x ﹣1|）+2k|e x −1|−3k 2＝0有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(0，23)B ．(−12，0)∪(23，+∞)C ．(1+√73，+∞) D ．{−12}∪(1+√73，+∞)二、选择题。

2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南通市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南通市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若扇形的圆心角为2rad，半径为1，则该扇形的面积为（）A．12B．1C．2D．42．已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，则集合A∩（∁U B）＝（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|﹣2≤x＜4}3．函数f(x)=4x+9x+1，x∈（﹣1，+∞）的最小值为（）A．6B．8C．10D．124．若角θ的终边经过点P（1，3），则sinθcosθ+cos2θ＝（）A．−65B．−25C．25D．655．函数f（x）＝2log3x+2x﹣5的零点所在区间是（）A．（0，1）B．(1，32)C．(32，2)D．（2，3）6．设函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω＞0)的最小正周期为T．若2π＜T＜3π，且对任意x∈R，f(x)+f(π3)≥0恒成立，则ω＝（）A．23B．34C．45D．567．已知函数f（x）的定义域为R，y＝2f（x）﹣sin x是偶函数，y＝f（x）﹣cos x是奇函数，则[f(x)]2+[f(π2+x)]2=（）A．5B．2C．32D．548．已知函数f（x）＝lg|x|﹣cos x，记a＝f（log0.51.5），b＝f（1.50.5），c＝f（sin（1﹣π）），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列各式中，计算结果为1的是（）A．sin75°cos15°+cos75°sin15°B．cos222.5°﹣sin222.5°C．√3−tan15°1+√3tan15°D．tan22.5°1−tan222.5°10．若a＞b＞0，c＞d＞0，则（）A ．a ﹣c ＞b ﹣dB ．a （a +c ）＞b （b +d ）C ．d a+d＜c b+cD ．b+d b+c＜a+d a+c11．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y =x −23B ．y ＝2|x |+1C ．y ＝x 2﹣x ﹣2D ．y ＝2x ﹣2﹣x12．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为10（单位：cm ），它在t （单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度hcm 由关系式ℎ=Asin(πt +π4)确定，其中A ＞0，t ≥0．则下列说法正确的是（ ）A ．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时2sB ．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为20cmC ．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为12sD ．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为10次，则所用时间的范围是[2014，2114)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题一、单选题1．已知集合{|02}A x x =<<，{|14}B x x =<<，则A B = （）A ．{|02}x x <<B ．{|24}x x <<C ．{|04}x x <<D ．{2|x x <或4}x >2．已知a 为常数，集合{}260A xx x =+-=∣，集合{20}B x ax =-=∣，且B A ⊆，则a 的所有取值构成的集合元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设op 为奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（）A ．2x x +B ．2x x -+C ．2x x-D ．2x x--4．函数1y x +=+）A ．(]2-∞，B ．()2-∞，C ．()02，D ．[)2+∞，5．已知函数(2)f x +的定义域为(3,4)-，则函数()g x =）A ．(1,6)B ．(1,2)C ．(1,6)-D ．(1,4)6．若不等式20ax bx c ++>的解集为{}12x x -<<，那么不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为（）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或>1C ．{|0x x <或}3x >D ．{}03x x <<7．命题()()28:2103P f x ax x a =++≥在[]1,2-单调增函数，命题()()2,2:R 2,2ax x Q g x a a x x-≤⎧⎪=∈-⎨>⎪⎩在R 上为增函数，则命题P 是命题Q 的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要8．已知1121,,12121a b a b >>+=--，则11a b+的最大值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56二、多选题9．下列说法中，正确的是（）A ．若22a b c c >，则a b >B ．若22a b >，0ab >，则11a b<C ．若a b >，c d <，则a c b d ->-D ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+10．关于函数()422f x x =--性质描述，正确的是（）A ．()f x 的定义域为[)(]2,00,2-UB ．()f x 的值域为[]1,1-C ．()f x 的图象关于原点对称D ．()f x 在定义域上是增函数11．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪*=⎨-<⎪⎩，已知集合{}()(){}2220,R 10A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=∣∣，则下面正确结论正确的是（）．A ．()R,3a CB ∃∈=；B ．()R,2aC B ∀∈≥；C ．“0a =”是“1A B *=”的充分不必要条件；D ．若{}R1S a A B =∈*=∣，则()3C S =三、填空题12．已知()f x 是一次函数，且满足()()94f f x x =+，请写出符合条件的的一个．．函数解析式()f x =．13．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有人.14．设,a b 为正实数，112a b+≤，23()()a b ab -=，则log ()ab =4．四、解答题15．化简：(1))20.5233727229643-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)ln 332lg100e25log 32log 3++-⋅16．已知函数()2723x f x x+=(1)求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；(2)若()()53g x f x x=+，用单调性定义证明：函数()g x 在()0,1上是减函数．17．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会（SEMI ）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出x 万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本()V x （单位：万元），已知当05x <≤时，()125V x =；当520x <≤时，()240100V x x x =+-；当20x >时，()160081600V x x x=+-，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出.(1)已知2024年该型芯片生产线的利润为()P x （单位：万元），试求出()P x 的函数解析式；(2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润.18．已知函数()26x b f x x a +=+为定义在上的奇函数，且()312f =．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若[]1,3x ∃∈，使得不等式()1f x m -≤成立，求实数m 的取值范围；(3)若[]0,1n ∀∈，()0,t ∞∀∈+，使得不等式()03t f t nf s ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭成立，求实数s 的最小值．19．已知函数()(1||)R f x x a x a =+∈，．(1)若0a <，求函数()f x 在[1,2]上的最小值.(2)若函数()y f x =在(,)m n 上既有最大值又有最小值，试探究m 、n 分别满足的条件（结果用a 表示）．(3)设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ，若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎣⎦，求实数a 的取值范围．。

2024-2025学年江苏省某中学高一(上)期末数学模拟试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省某中学高一(上)期末数学模拟试卷(含答案)

2024-2025学年江苏省某中学高一（上）期末数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知角α终边经过点P(3,−4)，则sinα的值为( )A. 35B. −35C. 45D. −452.已知α，β是平行四边形的两个内角，则“α=β”是“sinα=sinβ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.设f(x)={f(f(x+5)),x<102x−15,x≥10，则f(9)的值为( )A. 9B. 11C. 28D. 144.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为( )(1010≈1.259)A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.65.函数f(x)=x2sinx的图像大致为( )A. B. C. D.6.已知函数f(x)=(2m−1)x m为幂函数，若函数g(x)=lnx+2f(x)−6，则y=g(x)的零点所在区间为( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)7.中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱(如图1).制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形OBD，再从扇形OBD中剪去扇形OAC(如图2).记圆面面积为S1，扇形OBD的面积为S2，把满足S2S1−S2=5−12且OAAB=5−12的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为20cm 的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧AC 的长为( )cm ．A. 20( 5+1)πB. 20(3− 5)πC. 20( 5−2)πD. 20(7−3 5)π8.定义：正割sec α=1cos α，余割csc α=1sin α.已知m 为正实数，且m ⋅csc 2x +tan 2x ≥15对任意的实数x(x ≠kπ+π2,k ∈Z)均成立，则m 的最小值为( )A. 1B. 4C. 8D. 9二、多选题：本题共4小题，共20分。

2023-2024学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 1．已知集合M ＝{﹣1，0，1}，N ＝{0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2} B ．{﹣1，0，1} C ．{﹣1，0，2}D ．{0，1}2．命题“∀x ∈R ，x +2≤0”的否定是（ ） A ．∃x ∈R ，x +2＞0 B ．∃x ∈R ，x +2≤0 C ．∀x ∈R ，x +2＞0D ．∀x ∉R ，x +2＞0 3．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，2]B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，4]D ．[4，+∞）4．已知角θ的终边经过点P （x ，﹣5），且tanθ=512，则x 的值是（ ） A ．﹣13B ．﹣12C ．12D ．135．已知a ＝log 0.32，b ＝log 0.33，c ＝log 32，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣17．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√328．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ）A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是{x |1＜x ＜3}，则（ ） A ．a ＜0B ．a +b +c ＝0C ．4a +2b +c ＜0D ．不等式cx 2﹣bx +a ＜0的解集是{x |x ＜﹣1或x ＞−13}11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f （x ）＝cot x ，其中cotx =tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）A ．定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }B ．在区间(π2，π)上单调递增C ．与正切函数有相同的对称中心D ．将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝cot x 的图象12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 ． 14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 ．15．已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f （lgx ）＜f （1），则实数x 的取值范围是 ．16．已知函数f(x)=log 9x +12x −1的零点为x 1．若x 1∈（k ，k +1）（k ∈Z ），则k 的值是 ；若函数g （x ）＝3x +x ﹣2的零点为x 2，则x 1+x 2的值是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明， 17．（10分）（1）已知a +a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln 2+（lg 5）2+lg 5lg 2+lg 20．18．（12分）设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x |x 2﹣5x +4≤0}，B ＝{x |m ≤x ≤m +1}． （1）若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；（2）若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值； （2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．2023-2024学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符1．已知集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，2}D．{0，1}解：因为集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{﹣1，0，1，2}，故选：A．2．命题“∀x∈R，x+2≤0”的否定是（）A．∃x∈R，x+2＞0B．∃x∈R，x+2≤0C．∀x∈R，x+2＞0D．∀x∉R，x+2＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为“∃x∈R，x+2＞0”．故选：A．3．若函数f（x）＝x2﹣mx+3在区间（﹣∞，2）上单调递减，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．（﹣∞，4]D．[4，+∞）解：函数f（x）＝x2﹣mx+3开口向上，对称轴方程为x=m 2，所以函数的单调递减区间为（﹣∞，m2 ]，要使在区间（﹣∞，2）上单调递减，则m2≥2，解得m≥4．即m的范围为[4，+∞）．故选：D．4．已知角θ的终边经过点P（x，﹣5），且tanθ=512，则x的值是（）A．﹣13B．﹣12C．12D．13解：由题意得，tanθ=512=−5x，故x＝﹣12．故选：B．5．已知a＝log0.32，b＝log0.33，c＝log32，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：∵log0.33＜log0.32＜log0.31＝0，∴b＜a＜0，∵log32＞log31＝0，∴c＞0，∴b＜a＜c．故选：D．6．北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v （km /s ）和燃料的质量M （kg ）、火箭（除燃料外）的质量m （kg ）的函数关系的表达式为v =2ln(1+Mm )，若火箭的最大速度v 达到10km /s ，则M m的值是（ ） A ．5e ﹣1B ．e 5﹣1C ．510﹣1D ．105﹣1解：由题意知火箭的最大速度v 达到10km /s ，故10=2ln(1+M m )，即1+Mm =e 5，∴M m =e 5−1． 故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)的值是（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32解：定义在R 上的函数f （x ）={cosx ，x ≤0f(x −π)，x ＞0，则f(113π)=f(83π)=f(5π3)=f(2π3)=f(−π3)=cos(−π3)=12． 故选：C ．8．在等式a b ＝N 中，如果只给定a ，b ，N 三个数中的一个数，那么a b ＝N 就成为另两个数之间的“函数关系”．如果N 为常数10，将a 视为自变量x （x ＞0且x ≠1），则b 为x 的函数，记为y ，那么x y ＝10，现将y 关于x 的函数记为y ＝f （x ）．若f （m 2）＞f （2m ），则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2）B ．（1，2）C ．（0，1）∪（1，2）D ．(0，12)∪（1，2）解：因为x y ＝10，（x ＞0且x ≠1），所以lgx y ＝lg 10＝1，即ylgx ＝1， 所以y ＝f （x ）=1lgx，所以函数f （x ）在（0，1），（1，+∞）上单调递减， 若f （m 2）＞f （2m ），则0＜m 2＜2m ＜1，或1＜m 2＜2m ，解得0＜m ＜12或1＜m ＜2．故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 9．若a ＜b ＜0，c ∈R ，则（ ） A ．a +c ＜b +cB ．ab ＜b 2C ．1a ＜1bD ．b a ＜ab解：对于A ，由a ＜b ，两边都加上c ，可得a +c ＜b +c ，故A 正确； 对于B ，a ＜b ＜0，两边都乘以b ，可得ab ＞b 2，故B 不正确； 对于C ，a ＜b ＜0，则1a −1b =b−a ab ＞0，可知1a ＞1b，故C 不正确；对于D，a＜b＜0，则ba −ab=b2−a2ab=(b+a)(b−a)ab＜0，可得ba＜ab，故D正确．故选：AD．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，则（）A．a＜0B．a+b+c＝0C．4a+2b+c＜0D．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是{x|x＜﹣1或x＞−13}解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|1＜x＜3}，所以a＜0且1，3为方程ax2+bx+c＝0的两根，A正确；故{1+3=−ba1×3=ca，所以b＝﹣4a，c＝3a，所以a+b+c＝a﹣4a+3a＝0，B正确；4a+2b+c＝4a﹣8a+3a＝﹣a＞0，C错误；由不等式cx2﹣bx+a＝3ax2+4ax+a＜0可得3x2+4x+1＞0，解得x＜﹣1或x＞−13，D正确．故选：ABD．11．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念．余切函数可以用符号表示为f（x）＝cot x，其中cotx=tan(π2−x)，则下列关于余切函数的说法正确的是（）A．定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}B．在区间(π2，π)上单调递增C．与正切函数有相同的对称中心D．将函数y＝﹣tan x的图象向右平移π2个单位可得到函数y＝cot x的图象解：根据cotx=tan(π2−x)，所以余切函数的图象如图所示：对于A：函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故A正确；对于B：在区间(π2，π)上单调递减，故B错误；对于C ：与正切函数有相同的对称中心，都为（kπ2，0）（k ∈Z ），故C 正确；对于D ：将函数y ＝﹣tan x 的图象向右平移π2个单位可得到函数y ＝﹣tan （x −π2）＝cot x 的图象，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知扇形的半径为r ，弧长为l ．若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ） A ．该扇形面积的最小值为8 B ．当扇形周长最小时，其圆心角为2 C ．r +2l 的最小值为9D ．1r 2+4l 2的最小值为12解：因为扇形的半径为r ，弧长为l ，所以扇形的周长为2r +l ，面积为12lr ；因为2r +l ＝2×12lr ，所以l =2rr−1，且r ＞1；所以扇形的面积为S =12×2r r−1×r =r 2r−1=(r−1)2+2(r−1)+1r−1=（r ﹣1）+1r−1+2≥2√(r −1)⋅1r−1+2＝4，当且仅当r ﹣1=1r−1，即r ＝2时取等号，所以选项A 错误； 扇形的周长为L ＝2r +2r r−1=2（r ﹣1）+2r−1+4≥2√2(r −1)⋅2r−1+4＝8， 当且仅当2（r ﹣1）=2r−1，即r ＝2时取等号，此时圆心角为|α|=l r =42=2，α＝±2，选项B 错误； r +2l ＝r +4r r−1=r +4+4r−1=（r ﹣1）+4r−1+5≥2√(r −1)⋅4r−1+5＝9， 当且仅当r ﹣1=4r−1，即r ＝3时取等号，选项C 正确； 1r 2+4l 2=1r 2+(r−1)2r 2=1−2r +2r 2=2(1r −12)2+14]≥12，当r ＝2时取等号，所以选项D 正确．故选：CD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），则f （8）的值是 2√2 ． 解：根据幂函数f （x ）＝x α的图象经过点（9，3），可得9α＝3，求得α=12，故f （x ）=x 12=√x ．故f （8）=√8=2√2．故答案为：2√2．14．已知sin(x +π6)=13，则sin 2(π3−x)的值是 89 ．解：∵cos （π3−x ）=sin(x +π6)=13，∴sin2(π3−x)=1﹣cos2（π3−x）＝1−19=89．故答案为：8 9．15．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，若f（lgx）＜f（1），则实数x的取值范围是110＜x＜10．解：∵f（x）定义在实数集R上的偶函数，在区间[0，+∞）上是单调增函数∴f（x）中（﹣∞，0）上是减函数又f（lgx）＜f（1）∴﹣1＜lgx＜1∴110＜x＜10故答案为：110＜x＜1016．已知函数f(x)=log9x+12x−1的零点为x1．若x1∈（k，k+1）（k∈Z），则k的值是1；若函数g （x）＝3x+x﹣2的零点为x2，则x1+x2的值是2．解：函数f(x)=log9x+12x−1是增函数，f（1）=−12＜0，f（2）＝log92＞0，满足f（1）f（2）＜0，所以函数的零点x1∈（1，2），所以k的值为1．函数f(x)=log9x+12x−1=12（log3x+x﹣2），函数的零点是y＝log3x与y＝2﹣x两个函数的图象的交点的横坐标x1，函数g（x）＝3x+x﹣2的零点为x2，是函数y＝3x与y＝2﹣x图象交点的横坐标，由于y＝log3x与y＝3x是反函数，关于y＝x对称，并且y＝2﹣x与y＝x垂直，交点坐标（1，1），所以x1+x2的值是2．故答案为：1；2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，17．（10分）（1）已知a+a﹣1＝3，求a 12+a−12的值；（2）求值：e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20．解：（1）因为（a 12+a−12）2＝a+a﹣1+2＝3+2＝5，又因为a 12+a−12＞0，所以a12+a−12=√5；（2）e ln2+（lg5）2+lg5lg2+lg20＝2+1g5（lg5+1g2）+1g2+1＝2+1g5+1g2+1＝2+1+1＝4．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x|m≤x≤m+1}．（1）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．解：（1）由x 2﹣5x +4≤0，解得1≤x ≤4，所以A ＝{x |1≤x ≤4}． 因为A ∩B ＝∅，且B ≠∅，所以m +1＜1或m ＞4，得m ＜0或m ＞4， 所以实数m 的取值范围是{m |m ＜0或m ＞4}．（2）因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分条件，所以B ⊆A ， 所以{m ≥1m +1≤4，解得1≤m ≤3，所以实数m 的取值范围是{m |1≤m ≤3}．19．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数y ＝f （x ）在区间[﹣π，0]上的单调减区间．解：（1）由图可知A ＝2，T =4×(π3−π12)=π，所以ω=2πT=2．∵f （x ）＝2sin （2x +φ）的图象经过点(π12，2)， ∴π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ，即φ=π3+2kπ，k ∈Z ．∵0＜φ＜π，所以φ=π3，∴f(x)=2sin(2x +π3)．（2）令π2+2kπ≤2x +π3≤3π2+2kπ，k ∈Z ，解得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)的减区间为[π12+kπ，7π12+kπ]，k ∈Z ，∴f(x)=2sin(2x +π3)在[﹣π，0]上的减区间为[−11π12，−5π12]．20．（12分）已知函数f(x)=a⋅2x−12x +1(a ∈R)．（1）若函数f （x ）为奇函数，求a 的值；（2）当a ＝3时，用函数单调性的定义证明：函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增；（3）若函数y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．解：（1）由 f （0）＝0，得a ＝1，此时f(x)=2x−12x +1．因为f(−x)=2−x−12−x +1=1−2x1+2x =−f(x)，所以f （x ）为奇函数，故a ＝1． 证明：（2）当a ＝3时，f(x)=3⋅2x−12x +1=3−42x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=42x 2+1−42x 1+1=4(2x1−2x2)(1+2x 1)(1+2x 2)， 因为x 1＜x 2，所以2x 1＜2x 2，2x 1+1＞0，2x 2+1＞0， 所以4(2x 1−2x 2)(1+2x 1)(1+2x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f(x)=a⋅2x−12x +1在R 上单调递增．解：（3）y ＝f （x ）﹣2x 有两个不同的零点，等价于（2x ）2+（1﹣a ）2x +1＝0有两个不同的实数解． 令t ＝2x （t ＞0），则t 2+（1﹣a ）t +1＝0在（0，+∞）有两个不同的实数解， 所以{(1−a)2−4＞0a −1＞0，解得a ＞3．所以a 的取值范围为（3，+∞）．21．（12分）如图，有一条宽为30m 的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC ）种植荷花用于观赏，C ，B 两点分别在两岸l 1，l 2上，AB ⊥AC ，顶点A 到河两岸的距离AE ＝h 1，AD ＝h 2，设∠ABD ＝α．（1）若α＝30°，求荷花种植面积（单位：m 2）的最大值； （2）若h 2＝4h 1，且荷花的种植面积为150m 2，求sin α．解：由题可得，AB =ℎ2sinα，AC =ℎ1cosα． （1）当α＝30°时，AB ＝2h 2，AC =2√31， 所以S △ABC =12AB ⋅AC =2√31ℎ2，又因为h 1+h 2＝30，h 1，h 2≥0， 所以S △ABC =√31ℎ2≤√3(ℎ1+ℎ22)2=150√3，当且仅当h 1＝h 2＝15时取等号．所以荷花种植区域面积的最大值为150√3m 2．（2）因为h 1+h 2＝30，h 2＝4h 1，所以h 1＝6，h 2＝24，故AB =24sinα，AC =6cosα，α∈(0，π2)， 从而S △ABC =12AB ⋅AC =72sinαcosα=150， 所以sinαcosα=1225，① 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925． 又因为α∈[0，π2]，所以sinα+cosα=75，② 由①②解得：sinα=35或45． 22．（12分）若存在实数对（a ，b ），使等式f （x ）•f （2a ﹣x ）＝b 对定义域中每一个实数x 都成立，则称函数f （x ）为（a ，b ）型函数．（1）若函数f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，求a 的值；（2）若函数g(x)=e 1x 是（a ，b ）型函数，求a 和b 的值；（3）已知函数h （x ）定义在[﹣2，4]上，h （x ）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2．若h （x ）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）由f （x ）＝2x 是（a ，1）型函数，得f （x ）•f （2a ﹣x ）＝2x •22a ﹣x ＝1，即22a ＝1，所以a ＝0． （2）由g(x)=e 1x是（a ，b ）型函数，得g(x)⋅g(2a −x)=e 1x ⋅e 12ax −x =b ，则1x +12a−x =lnb ，因此x 2lnb ﹣2axlnb +2a ＝0对定义域{x |x ≠0}内任意x 恒成立，于是{lnb =02alnb =02a =0，解得a ＝0，b ＝1，所以a ＝0，b ＝1．（3）由h （x ）是（1，4）型函数，得h （x ）•h （2﹣x ）＝4，（1）当x ＝1时，h （1）•h （1）＝4，而h （x ）＞0，则h （1）＝2，满足h （x ）≥1；（2）当x ∈（1，4]时，ℎ(x)=−(log 2x)2+m ⋅log 2x +2≥1恒成立，令log 2x ＝t ，则当t ∈（0，2]时，﹣t 2+mt +2≥1恒成立，于是m ≥t −1t 恒成立，而函数y =t −1t在（0，2]单调递增，则t −1t ≤32，当且仅当t ＝2时取等号，因此m ≥32； （3）当x ∈[﹣2，1）时，2﹣x ∈（1，4]，则ℎ(x)=4ℎ(2−x)=4−[log 2(2−x)]2+m⋅log 2(2−x)+2，由h （x ）≥1，得0＜−[log 2(2−x)]2+m ⋅log 2(2−x)+2≤4，令log 2（2﹣x ）＝u ，则当u ∈（0，2]时，0＜﹣u 2+mu +2≤4，由（2）知﹣u 2+mu +2≥1，则只需u ∈（0，2]时，﹣u 2+mu +2≤4恒成立，即m ≤2u +u 恒成立，又u +2u≥2√u ⋅2u =2√2，当且仅当u =√2时取等号，因此m ≤2√2， 所以实数m 的取值范围是：[32，2√2]．。

江苏高一考试卷数学试卷

江苏高一考试卷数学试卷

江苏高一考试卷数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.14159B. πC. √2D. 0.333332. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(2)的值。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 如果一个等差数列的首项是5，公差是3，那么它的第5项是多少？A. 17B. 20C. 23D. 264. 一个圆的半径是7，那么它的面积是多少？A. 49πB. 98πC. 196πD. 343π5. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 86. 函数y = x^2 + 2x + 1的顶点坐标是什么？A. (-1, 0)B. (-1, 1)C. (1, 0)D. (1, 1)7. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的结果。

A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}8. 已知等比数列的首项是2，公比是3，求它的第4项。

A. 54B. 108C. 162D. 4869. 一个三棱锥的底面是一个等边三角形，边长为6，高为4，求它的体积。

A. 36√3B. 48√3C. 60√3D. 72√310. 已知函数y = sin(x) + cos(x)，求y的最大值。

A. 1B. √2C. 2D. √3二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

）11. 一个数的平方根是4，这个数是_________。

12. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值。

13. 一个圆的直径是14，求这个圆的周长。

14. 已知向量a = (3, 4)，b = (-1, 2)，求向量a与向量的夹角。

15. 已知一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求它的根。

三、解答题（本题共4小题，每小题10分，共40分。

2023-2024学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（ ） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−122．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（ ）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 25．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 327．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（ ） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣110．下列不等式中，正确的有（ ） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π711．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+212．已知函数f （x ）＝cos （ωx +φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f （x ）的最小正周期为π； ②函数f （x ）的图象经过点(0，32)；③函数f （x ）的图象关于点(5π12，1)对称； ④函数f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．则这3个条件的序号可以是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ ．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ ． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 ．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．21．（12分）已知结论：设函数f （x ）的定义域为R ，a ，b ∈R ，若f （a +x ）+f （a ﹣x ）＝2b 对x ∈R 恒成立，则f （x ）的图象关于点（a ，b ）中心对称，反之亦然．特别地，当a ＝b ＝0时，f （x ）的图象关于原点对称，此时f （x ）为奇函数．设函数g(x)=2e 2x +1． （1）判断g （x ）在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g （x ）+g （﹣x ）的值，并根据结论写出函数g （x ）的图象的对称中心； （3）若不等式g(m −1x)+g(−4x)≥2对x ＞0恒成立，求实数m 的最大值．22．（12分）已知f(x)=ln(√x 2+1−x)+ax 2，g （x ）＝a （cos x +1），a ∈R ． （1）若f （x ）为奇函数，求a 的值，并解方程f(tanx)=−ln32； （2）解关于x 的不等式f(sinx)+f(cos(x +π2))≤g(x)．2023-2024学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．cos840°＝（ ） A ．√32B ．12C ．−√32D ．−12解：cos840°＝cos （2×360°+180°﹣60°）＝﹣cos60°=−12．故选：D ．2．设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．（∁U N ）∪MD ．（∁U M ）∩N解：因为M ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}＝{x |﹣1≤x ≤3}，N ＝{x |x ＞1}，则{x |1＜x ≤3}＝M ∩N ． 故选：B ．3．已知幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则f （x ）（ ）A ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增B ．为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减C ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递增D ．为奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减解：设幂函数为f （x ）＝x α，幂函数f （x ）的图象经过点(2，14)，则2α=14，解得α＝﹣2，故f （x ）＝x ﹣2，所以f （x ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减． 故选：B ．4．已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则扇形的面积为（ ） A ．3cm 2B ．4cm 2C ．5cm 2D ．6cm 2解：令扇形的半径为r ，则2r +3r ＝5r ＝10，解得r ＝2cm ，所以扇形的面积S =12×3×22＝6． 故选：D ．5．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，记x =a+m b+m ，y =ab，则（ ） A ．x ＞y B ．x ＝yC ．x ＜yD ．x 与y 的大小与m 的取值有关解：由a ＞0，b ＞0，m ＞0，且a ＜b ，可得x −y =a+m b+m −a b =m(b−a)b(b+m)＞0，所以x ＞y ，A 项符合题意． 故选：A ．6．“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是（ ） A ．m ≥32B ．m ≤32C ．m ≥ln 32D ．m ≤ln 32解：f （x ）＝e x （e x ﹣3），f ′（x ）＝e x （e x ﹣3）+e x •e x ＝2e x （e x −32），令f ′（x ）＝0，解得x ＝ln 32，∴函数f （x ）在（﹣∞，ln 32）上单调递减，在（ln 32，+∞）上单调递增．∴“函数f （x ）＝e x （e x ﹣3）在区间[m ，+∞）上单调递增”的充要条件是m ≥ln 32．故选：C ．7．将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1，再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2，最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3．若曲线C 3恰好是函数f （x ）的图象，则f （x ）在区间[0，π2]上的值域是（ ）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，2]C ．[1，2]D ．[﹣2，2]解：将正弦曲线y ＝sin x 向左平移π6个单位得到曲线C 1：y ＝sin （x +π6）的图象；再将曲线C 1上的每一点的横坐标变为原来的12得到曲线C 2：y ＝sin （2x +π6）的图象；最后将曲线C 2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C 3：y ＝2sin （2x +π6）的图象．由于曲线C 3恰好是函数f （x ）＝2sin （2x +π6）的图象．在区间[0，π2]上，2x +π6∈[π6，7π6]，sin （2x +π6）∈[−12，1]，2sin （2x +π6）∈[﹣1，2]．故f （x ）在区间[0，π2]上的值域是[﹣1，2]．故选：B ．8．已知函数f(x)=log 2(12x −a)的定义域为[﹣2，0]，若存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[47，+∞)B ．[25，1)C ．[25，4)D ．[47，1)解：令u （x ）=12x −a 在[﹣2，0]单调递减，所以u 的最小值为u （0）＝1﹣a ＞0，可得a ＜1， 且u （x ）∈[1﹣a ，4﹣a ]，所以g （u ）＝log 2u 在[﹣2，0]单调递减，所以g （u ）∈[log 2（1﹣a ），log 2（4﹣a ）]， 因为存在x 1，x 2∈[﹣2，0]，满足|f （x 1）﹣f （x 2）|≥3，则f （x ）max ﹣f （x ）min ≥3，所以g （u ）max ﹣g （u ）min ＝log 2（4﹣a ）﹣log 2（1﹣a ）＝log 24−a 1−a ，由题意可得log 24−a 1−a ≥3，解得47≤a ＜1．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若函数f （x ）＝a x +b （其中a ＞0且a ≠1）的图象过第一、三、四象限，则（ ） A ．0＜a ＜1B ．a ＞1C ．﹣1＜b ＜0D ．b ＜﹣1解：∵函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0+b ＜0，即a ＞1，b ＜﹣1． 故选：BD ．10．下列不等式中，正确的有（ ） A ．0.2﹣3＜0.3﹣3＜0.4﹣3B ．0.81.1＜0.80.9＜0.80.7C ．log 0.25＜log 0.24＜log 0.23D ．cos3π7＜cos 2π7＜cos π7解：对于A ，幂函数y ＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，所以0.2﹣3＞0.3﹣3＞0.4﹣3，故A 错误；对于B ，指数函数y ＝0.8x 在（﹣∞，+∞）上单调递减，0.81.1＜0.80.9＜0.80.7，故B 正确； 对于C ，对数函数y ＝log 0.2 x 在（0，+∞）上单调递减，log 0.25＜log 0.24＜log 0.23，故C 正确； 对于D ，余弦函数y ＝cos x 在（0，π2）上单调递减，cos 3π7＜cos 2π7＜cos π7，故D 正确．故选：BCD ．11．若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则称f （x ）具有性质M ．下列函数中，具有性质M 的有（ ） A ．f(x)=√x B ．f （x ）＝e x C ．f （x ）＝lnxD ．f(x)=−1x+2解：根据题意，若函数f （x ）对于任意x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)+f(x 1)2≤f(x 1+x 22)，则函数的图象在（0，+∞）上为直线或向上凸， f （x ）＝e x 和f （x ）=−1x+2的图象不符合该特点，而f （x ）=√x 和f （x ）＝lnx 的图象符合该特点． 故选：BC ．12．已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）+1（其中ω，φ均为常数，且ω＞0，|φ|＜π）恰能满足下列4个条件中的3个：①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）的图象经过点(0，32 )；③函数f（x）的图象关于点(5π12，1)对称；④函数f（x）的图象关于直线x=−π6对称．则这3个条件的序号可以是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解：若满足①，则π=2πω，可得ω＝2，即函数的解析式为f（x）＝cos（2x+φ）+1，若满足②，则cosφ=12，|φ|＜π，可得φ=−π3或φ=π3，若①②正确时，则③代入可得cos（2×512π+π3）+1≠1，所以函数不关于（5π12，1）对称，或者cos（2×512π−π3）+1＝1，此时关于点(5π12，1)对称，④代入因为sin[2×（−π6）+π3]+1＝1，所以关于直线x=−π6对称，或者sin[2×（−π6）−π3]+1≠±1，所以不关于x=−π6对称，此时φ=−π3时，符合①②③；φ=π3时，符合①②④；②③④不能同时成立；若满足①③正确时，则cos（2×5π12+φ）+1＝1，|φ|＜π，可得φ=−π3，则②正确，④不正确，所以符合条件；若满足①④正确时，则2•（−π6）+φ＝kπ，k∈Z，|φ|＜π，可得φ=π3，此时②正确，③不正确，符合条件；②③④不能同时成立；综上所述：①②③或①②④符合条件故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={(−x)12，x≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝ √2 ．解：函数f(x)={(−x)12，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （f （0.01））＝f （﹣2）=√2．故答案为：√2．14．已知α为第二象限角，且满足sinα+cosα=−713，则tan α＝ −512． 解：∵sinα+cosα=−713， ∴两边平方，可得1+2cos αsin α=49169， ∴2cos αsin α=−120169， ∴（cos α﹣sin α）2=289169， ∵α为第二象限角， ∴cos α﹣sin α=−1713， ∴cos α=−1213，sin α=513， ∴tan α=sinαcosα=−512． 故答案为：−512． 15．已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝25，BC ＝40，若△ABC 的内接矩形的一边在BC 边上，则该内接矩形的面积的最大值为 150 ．解：设矩形与AB 、AC 分别交于点E 、F ，与B C 交于点G 、H ，且GH ＝x ，那么EG ＝FH ＝y ， 根据题意，得y =3(40−x)8，矩形的面积为S ＝xy =3(40−x)x 8≤38×(x+40−x 2)2=150， 当且仅当x ＝40﹣x ，即x ＝20时，S 取得最大值150． 故答案为：150．16．设f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，若f （x ）+g （x ）＝2x ，则曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为 4047 ． 解：因为f （x ）+g （x ）＝2x ①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝2﹣x ， 又因为f （x ），g （x ）分别为定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ）， 故﹣f （x ）+g （x ）＝2﹣x ②， 由①②可知，f(x)=2x−2−x2，g(x)=2x +2−x2，y =f(x)g(x)=2x−2−x2x +2−x =4x −14x +1=1−24x +1为奇函数，图象关于原点对称， 当x →+∞，y →1，且y ＜1，sin x 最大值为1，如图，曲线y =f(x)g(x)与曲线y ＝sin x 在区间[﹣2024π，2024π]上的公共点个数为1011×2×2+3＝4047个． 故答案为：4047．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）计算：3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4；（2）已知3x ＝5y ＝15，计算1x +1y的值并证明xy ＞4．解：（1）3log 32+(0.125)−23−0.25×(−12)−4＝2+823−14×（﹣2）4＝2+4﹣4＝2；（2）因为3x ＝5y ＝15，所以x ＝log 315，y ＝log 515， 1x+1y=log 153+log 155＝log 1515＝1，因为1=1x +1y，所以xy ＝x +y ，x ＞0，y ＞0，x ≠y ， 所以xy ＝x +y ＞2√xy ，即xy ＞4，18．（12分）设集合A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }，集合I ＝（∁R A ）∩B ．（1）求I ；（2）当x ∈I 时，求函数f(x)=log 3x4x−1的值域． 解：（1）因为A ={x|x +1x ＞103，x ∈R}={x |x ＞3或0＜x ＜13}，集合B ＝{x ||2x ﹣1|＜1，x ∈R }＝{x |0＜x ＜1}，所以∁R A ＝{x |13≤x ≤3或x ≤0}，故I ＝（∁R A ）∩B ＝{x |13≤x ＜1}；（2）当13≤x ＜1时，x 4x−1=14−1x∈[13，1），所以﹣1≤f （x ）＜0， 故函数f （x ）的值域为[﹣1，0）．19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ），且cosα=−√510m ．（1）求m 的值；（2）求sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)的值．解：（1）因为角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过第四象限内的点P （1，m ）， 所以cosα=1√12+m2=−√510m ，即√1+m 2=−√510m ，且m ＜0，解得m ＝﹣2； （2）sin(α+π2)⋅tan(π−α)⋅sin(α+3π2)cos(−α)=cosα⋅(−tanα)⋅(−cosα)cosα=cos αtan α＝sin α，因为P （1，﹣2），所以sin α=−2√1+4=−2√55，所以原式=−2√55． 20．（12分）已知函数f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ），其中x ∈R ，θ∈(−π2，π2)．（1）当θ=π4时，求f （x ）在区间[0，3]上的最值及取最值时x 的值；（2）若f （x ）的最小值为−34，求θ．解：（1）当θ=π4时，f(x)=(2x −2tan π4)(2x −tan π4)=(2x −2)(2x −1)，令2x ＝t ，t ∈[1，8]，则f （x ）＝g （t ）＝（t ﹣2）（t ﹣1）， g （t ）的图象对称轴为t =32，开口向上，∴当t =32即x =log 232，时，f （x ）取得最小值，最小值为−14；当t ＝8即x ＝3时，f （x ）取得最大值，最大值为42，∴f （x ）在区间[0，3]上的最小值为−14，此时x =log 232；最大值为42，此时x ＝3．（2）∵f （x ）＝（2x ﹣2tan θ）（2x ﹣tan θ）＝（2x ）2﹣（3tan θ）2x +2（tan θ）2=(2x−32tanθ)2−14(tanθ)2的最小值为−34，∴−14(tanθ)2=−34⇒tanθ=±√3，又−π2＜θ＜π2，∴θ=±π3．21．（12分）已知结论：设函数f（x）的定义域为R，a，b∈R，若f（a+x）+f（a﹣x）＝2b对x∈R恒成立，则f（x）的图象关于点（a，b）中心对称，反之亦然．特别地，当a＝b＝0时，f（x）的图象关于原点对称，此时f（x）为奇函数．设函数g(x)=2e2x+1．（1）判断g（x）在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）计算g（x）+g（﹣x）的值，并根据结论写出函数g（x）的图象的对称中心；（3）若不等式g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，求实数m的最大值．解：（1）g（x）在R上单调递减，证明如下：任取x1＞x2，则e2x1+1＞e2x2+1＞0，所以21+e2x1＜21+e2x2，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）在R上单调递减；（2）g（﹣x）+g（x）=21+e−2x+21+e2x=2⋅e2x1+e2x+21+e2x=2，所以g（x）的图象关于（0，1）对称；（3）令h（x）＝g（x）﹣1，则h（x）的图象关于（0，0）对称，即h（x）为奇函数且h（x）在R上单调递减，若g(m−1x)+g(−4x)≥2对x＞0恒成立，即h（m−1x）+h（﹣4x）≥0，即h（m−1x）≥﹣h（﹣4x）＝h（4x），所以m−1x≤4x，即m≤4x+1x在x＞0时恒成立，因为4x+1x≥2√4x⋅1x=4，当且仅当4x=1x，即x=12时取等号，所以m≤4，即m的最大值为4．22．（12分）已知f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2，g（x）＝a（cos x+1），a∈R．（1）若f（x）为奇函数，求a的值，并解方程f(tanx)=−ln3 2；（2）解关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．解：（1）f(x)=ln(√x2+1−x)+ax2的定义域为R，若f（x）为奇函数，则f（﹣1）+f（1）＝ln（√2+1）+ln（√2−1）+2a＝ln1+2a＝0，解得a＝0，故f（x）=ln(√x2+1−x)，又y=√x2+1与y＝﹣x在[0，+∞）上均为增函数，故奇函数f（x）在[0，+∞）上均为增函数，所以f（x）在R上为增函数，又f(tanx)=−ln32=−ln√3=ln√33，所以tan x=√33，解得x＝kπ+π6（k∈Z）；（2）因为g（x）＝a（cos x+1），a∈R．y=ln(√x2+1−x)为奇函数，cos（x+π2）＝﹣sin x，所以关于x的不等式f(sinx)+f(cos(x+π2))≤g(x)．可转化为2a sin2x≤a（cos x+1），a∈R．即a（2﹣2cos2x﹣cos x﹣1）≤0⇔a（cos x+1）（2cos x﹣1）≥0，①当a＝0时，x∈R；②当a＜0时，x＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）；③当a＞0时，x＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）；综上，当a＝0时，原不等式的解集为R；当a＜0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ+π3≤x≤5π3+2kπ（k∈Z）}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|＝2kπ+π或2kπ−π3≤x≤π3+2kπ（k∈Z）}．。

江苏高一高中数学专题试卷带答案解析

江苏高一高中数学专题试卷带答案解析

江苏高一高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．2.（2016年苏州B2）利用计算机产生0~2之间的均匀随机数a，则事件“3a－2<0”发生的概率为_______.3.（2016年苏州B6）从长度为2，3， 4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是______.4.（2014年苏州B5）将一根长为4米的木棍锯成两段，则锯成的两段都大于1米的概率是______．5.（2014年苏州B8）一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有2只白球、1只红球、1只黄球，从中一次随机取出2只球，则“恰有1只球是白球”的概率是______．6.袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为．7.（2013年苏州B11）已知点E在正的边上，，在边上任意取一点，则“的面积恰好小于面积的一半”的概率为_________.8.（2012年苏州B9）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的面的点数依次记为，则“”的概率为 ______．9.（2011年苏州B8）连续抛掷同一颗骰子3次，则“3次掷得的点数之和是16”的概率为_________．10.（2011年苏州B12）已知圆C的半径为r，点A是圆C上的一个定点．在圆C上任取一个点B，则“线段AB 的长度大于r”的概率为__________．11.（苏州2010年B7）在△ABC中，，，，，自点在内任作一条射线AM交于BC于点M，则“BM＜1”的概率是__________.12.（苏州2010年B10）将一颗六个面上分别标有1，2，3，4，5，6的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则“点数之和是3的倍数”的概率是___________.江苏高一高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为．【答案】【解析】从中任取两个球共有红1红2，红1白1，红1白2，红2白1，红2白2，白1白2，共6种取法，其中颜色相同的只有2种，由古典概型及其概率计算公式可得，从中任取两个球，这两个球颜色相同的概率为，故应填.【考点】1.古典概型及其概率计算公式；2.（2016年苏州B2）利用计算机产生0~2之间的均匀随机数a，则事件“3a－2<0”发生的概率为_______.【答案】【解析】几何概型，，所以，填。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ={x|−2＜x ＜73}，集合B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，0，2}B ．{﹣2，0，2，4}C ．{0，2，4}D ．{0，2}2．已知角α的终边经过点（3a ，﹣4a ）（a ＜0），则sin α+cos α等于（ ） A ．15B ．75C ．−15D ．−753．设点O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO →，BO →，OC →是（ ） A ．相同的向量 B ．模相等的向量C ．共线向量D ．共起点的向量4．已知sin （α+π6）=13，则cos （α+2π3）＝（ ）A ．2√23 B ．13C ．−13D ．−2√235．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0且f （﹣1）＝0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．设a 为实数，则关于x 的不等式（ax ﹣2）（2x ﹣4）＜0的解集不可能是（ ） A ．(2a，2)B ．（﹣∞，2）∪(2a ，+∞)C ．（2，+∞）D ．(2，2a)7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +1）＝2f （x ），当x ∈（0，1]时，f(x)=−14sinπx ．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≥−√32，则实数m 的最大值为（ ）A ．94B ．73C ．52D ．838．已知常数ω＞0，函数f （x ）＝sin ωx 在区间[43π，53π]上单调，则ω不可能等于（ ）A ．83B ．2C ．85D ．43二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数f （x ）满足：①对定义域内的任意x 1，x 2，都有f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2）；②当x ＞1时，f （x ）＞0，则称f （x ）为“N 函数”．下列函数是“N 函数”的是（ ） A ．f （x ）＝2x B ．f （x ）＝lnx C ．f(x)=(12)xD ．f （x ）＝log 2x10．已知函数f(x)=2cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，满足f(x)+f(π3−x)=0，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线x =5π12对称 C ．f （x ）在区间[3π2，11π6]上单调递增D ．f （x ）在区间（0，π）上有两个零点11．已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f （x +1）＝﹣f （x ），且当x ∈[0，1）时，f （x ）＝log 2（x +1）．下列命题正确的是（ ） A ．f （2023）+f （﹣2024）＝0B ．f （x ）是周期为2的周期函数C ．直线y ＝x 与f （x ）的图象有且仅有2个交点D ．f （x ）的值域为（﹣1，1）12．设f （x ），g （x ）都是定义域为区间D 的函数，若存在k ＞0，使得对任意x 1，x 2∈D ，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |g （x 1）﹣g （x 2）|成立，则称f （x ）在D 上相对于g （x ）满足k *条件．下列命题正确的是（ ）A ．若f(x)=√x ，g(x)=x ，f(x)在区间[2，4]上相对于g （x ）满足k *条件，则k 的最小值为√24B ．若f(x)=sinx ，g(x)=√x ，则f （x ）在区间（0，+∞）上相对于g （x ）满足2*条件C ．设a 为实数，若f （x ）＝ax 2，g(x)=1x，f （x ）在区间[2，3]上相对于g （x ）满足4*条件，则a的最大值为227D ．若f(x)=x ，g(x)=log 3(9x +1)，f （x ）在D 上相对于g （x ）满足1*条件，则D ⊆（﹣∞，0] 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．log 1168+(8116)34+20240= ． 14．“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S 1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R ＝20cm ，则此时的扇形面积为cm2．15．若a，b，c均为正数，且a+b+c＝3，则12a+1+2b+c的最小值是．16．设a为实数，若实数x0是关于x的方程e x+（1﹣a）x＝lna+lnx的解，则e x0−1ax0=．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A＝{x|（x﹣a﹣1）（x﹣2a+3）＜0}，集合B={x|2x4−x≥0}．（1）当a＝2时，求A∪B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．若将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g（x）的图象．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[0，2]时，求g（x）的单调递减区间．19．（12分）已知函数f（x）＝x|x|，函数g（x）＝x2﹣2x﹣m．（1）求不等式f（x3﹣2）＞﹣1的解集；（2）如果对于任意x2∈[﹣1，2]，都存在x1∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），求实数m的取值范围．20．（12分）中国政府在第七十五届联合国大会上提出．“中国将努力争取在2060年前实现碳中和．”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》．某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同．为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：m2）成正比，比例系数约为0.6．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x （单位：m 2）之间的函数关系是C(x)=k10x+60(x ≥0，k 为常数）．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年 所消耗的电费之和为y （单位：万元）． （1）求常数k ，并写出y 关于x 的函数关系式；（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，y 取得最小值？最小值是多少万元？ 21．（12分）已知函数f(x)=log 2(4x +1)+ax 是偶函数． （1）求实数a 的值； （2）若函数g （x ）＝22x +2﹣2x+m •2f（x ）的最小值为﹣4求实数m 的值．22．（12分）设a 为常数，函数f （x ）＝2cos 2x ﹣a sin x ﹣1． （1）当a ＝1时，求f （x ）的值域；（2）讨论f （x ）在区间（0，π）上的零点的个数；（3）设n 为正整数，f （x ）在区间（0，n π）上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n 的值．2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ={x|−2＜x ＜73}，集合B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，0，2}B ．{﹣2，0，2，4}C ．{0，2，4}D ．{0，2}解：集合A ={x|−2＜x ＜73}，集合B ＝{﹣4，﹣2，0，2，4，6}，则A ∩B ＝{0，2}．故选：D ．2．已知角α的终边经过点（3a ，﹣4a ）（a ＜0），则sin α+cos α等于（ ） A ．15B ．75C ．−15D ．−75解：∵角α的终边经过点（3a ，﹣4a ）（a ＜0），则r ＝﹣5a ， ∴sin α=y r =45，cos α=x r =−35，∴sin α+cos α=15， 故选：A ．3．设点O 是正三角形ABC 的中心，则向量AO →，BO →，OC →是（ ） A ．相同的向量B ．模相等的向量C ．共线向量D ．共起点的向量解：∵O 是正△ABC 的中心，∴向量OA →，OB →，OC →分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， ∵O 是正三角形的中心，∴O 到三个顶点的距离相等，即|AO →|=|OB →|=|OC →|，但是向量AO →，BO →，OC →它们不是相同的向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量． 故选：B ．4．已知sin （α+π6）=13，则cos （α+2π3）＝（ ）A ．2√23 B ．13C ．−13D ．−2√23解：∵sin （α+π6）=13，∴cos （α+2π3）＝cos[（α+π6）+π2]＝﹣sin （α+π6）=−13，故选：C ．5．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0且f （﹣1）＝0，则不等式xf （x ）＜0的解集为（ ） A ．（﹣1，0）∪（0，1） B ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C ．（﹣1，0）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）解：定义在R 上的偶函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），（x 1≠x 2），都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＜0，∴当x ＜0时，函数f （x ）为减函数，当x ＞0时，f （x ）为增函数， ∵f （﹣1）＝0，∴f （1）＝f （﹣1）＝0， 作出函数f （x ）的图象如图：xf （x ）＜0等价为{x ＞0f(x)＜0或{x ＜0f(x)＞0，即0＜x ＜1或x ＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）， 故选：D ．6．设a 为实数，则关于x 的不等式（ax ﹣2）（2x ﹣4）＜0的解集不可能是（ ）A ．(2a ，2)B ．（﹣∞，2）∪(2a ，+∞)C ．（2，+∞）D ．(2，2a)解：当a ＝0时，不等式可化为﹣2（2x ﹣4）＜0，即x ＞2，C 符合； 当a ＜0时，不等式可为（x −2a ）（x ﹣2）＞0，解得x ＞2或x ＜2a ，当a ＞0时，不等式可化为（x −2a ）（x ﹣2）＜0，若a ＞1，解得2a＜x ＜2，A 符合；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解集为2＜x ＜2a，D 符合．故选：B ．7．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +1）＝2f （x ），当x ∈（0，1]时，f(x)=−14sinπx ．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≥−√32，则实数m 的最大值为（ ）A ．94B ．73C ．52D ．83解：由f （x +1）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣1）， 又当x ∈（0，1]时，f(x)=−14sinπx ∈[−14，0]，故当x ∈（1，2]时，f(x)=−12sin[π(x −1)]∈[−12，0]；以此类推可知，当x ∈（2，3]时，f （x ）＝4f （x ﹣2）＝﹣sin[π（x ﹣2）]∈[﹣1，0]，且πx ∈（2π，3π]． 由−sinπx =−√32，得sinπx =√32，解得x =73或x =83． 若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f(x)≥−√32，结合f （x ）的图象可知，m ⩽73，所以m 的最大值为73．故选：B ．8．已知常数ω＞0，函数f （x ）＝sin ωx 在区间[43π，53π]上单调，则ω不可能等于（ ）A ．83B ．2C ．85D ．43解：因为x ∈[43π，53π]时，ωx ∈[4ωπ3，5ωπ3]，所以当f （x ）在区间[43π，53π]上单调时，在[4ωπ3，5ωπ3]内不含形如π2+kπ，k ∈Z 的值．对于A ，当ω=83时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[32π9，40π9]，故A 符合条件；对于B ，当ω＝2时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[8π3，10π3]，故B 符合条件；对于C ，当ω=8π5时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[32π15，8π3]，由5π2∈[32π15，8π3]，可知C 项不符合条件； 对于D ，当ω＝2时，区间[4ωπ3，5ωπ3]即[8π3，10π3]，故D 符合条件．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数f （x ）满足：①对定义域内的任意x 1，x 2，都有f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2）；②当x ＞1时，f （x ）＞0，则称f （x ）为“N 函数”．下列函数是“N 函数”的是（ ） A ．f （x ）＝2x B ．f （x ）＝lnx C ．f(x)=(12)xD ．f （x ）＝log 2x解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝2x ，不满足f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2），不符合题意；对于B ，f （x ）＝lnx ，有lnx 1+lnx 2＝ln （x 1x 2），且当x ＞1时，lnx ＞0，符合题意； 对于C ，f （x ）＝（12）x ，不满足f （x 1）+f （x 2）＝f （x 1x 2），不符合题意；对于D ，f （x ）＝log 2x ，有log 2x 1+log 2x 2＝log 2（x 1x 2），且当x ＞1时，log 2x ＞0，符合题意． 故选：BD ．10．已知函数f(x)=2cos(2x +φ)(|φ|＜π2)，满足f(x)+f(π3−x)=0，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）的图象关于直线x =5π12对称 C ．f （x ）在区间[3π2，11π6]上单调递增D ．f （x ）在区间（0，π）上有两个零点解：由于函数f （x ）满足f(x)+f(π3−x)=0，故该函数关于点（π6，0）对称；所以f(π6)=2cos(π3+φ）＝0，由于|φ|＜π2，故φ=π6；所以f （x ）＝2cos （2x +π6），对于A ：函数的最小正周期为2π2=π，故A 错误；对于B ：当x =5π12时，f （5π12）＝2cos （5π6+π6）＝2cos π＝﹣2，故B 正确； 对于C ：由于x ∈[3π2，11π6]，所以2x +π6∈[19π6，23π6]，故函数在该区间上单调递增，故C 正确；对于D ：由于x ∈（0，π），2x +π6∈(π6，13π6)，故函数在该区间上有两个零点，故D 正确． 故选：BCD ．11．已知f （x ）为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，有f （x +1）＝﹣f （x ），且当x ∈[0，1）时，f （x ）＝log 2（x +1）．下列命题正确的是（ ） A ．f （2023）+f （﹣2024）＝0B ．f （x ）是周期为2的周期函数C ．直线y ＝x 与f （x ）的图象有且仅有2个交点D ．f （x ）的值域为（﹣1，1）解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，有f （x +1）＝﹣f （x ），则有f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 同时，当x ∈[0，1）时，f （x ）＝log 2（x +1）， 故函数f （x ）的图象如下图所示：由此分析选项：对于A ，f （x ）为偶函数，则f （2023）+f （﹣2024）＝f （2023）+f （2024）＝0，故A 正确； 对于B ，由函数的草图可得：f （x ）在定义域上不是周期函数，故B 错误； 对于C ，直线y ＝x 与函数f （x ）的图象有1个交点，故C 错误； 对于D ，函数f （x ）的值域为（﹣1，1），故D 正确． 故选：AD ．12．设f （x ），g （x ）都是定义域为区间D 的函数，若存在k ＞0，使得对任意x 1，x 2∈D ，都有|f （x 1）﹣f（x2）|≤k|g（x1）﹣g（x2）|成立，则称f（x）在D上相对于g（x）满足k*条件．下列命题正确的是（）A．若f(x)=√x，g(x)=x，f(x)在区间[2，4]上相对于g（x）满足k*条件，则k的最小值为√2 4B．若f(x)=sinx，g(x)=√x，则f（x）在区间（0，+∞）上相对于g（x）满足2*条件C．设a为实数，若f（x）＝ax2，g(x)=1x，f（x）在区间[2，3]上相对于g（x）满足4*条件，则a的最大值为2 27D．若f(x)=x，g(x)=log3(9x+1)，f（x）在D上相对于g（x）满足1*条件，则D⊆（﹣∞，0]解：对于A，由题知∀x1，x2∈[2，4]，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|g（x1）﹣g（x2）|成立，当x1＝x2时显然成立，不妨设x1＞x2，则|√x1−√x2|≤k|x1−x2|，即k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x，又2≤x2＜x1≤4，√2≤√x2＜√x1≤2，∴2√2＜√x1+√x2＜4，141√x+√x12√2=√24，∴k≥√24，故A正确；令x1=π2，x2=3π2，|f(π2)−f(3π2)|=|sinπ2−sin3π2|=2，而|g(π2)−g(3π2)|=|√π2−√3π2|=(√3−1)√π2，2|g(π2)−g(3π2)|=(√6−√2)√π＜(√6.25−1.4)√3.24=1.1×1.8=1.98＜2，此时|f(π2)−f(3π2)|＞2|g(π2)−g(3π2)|，故不符合要求，B错误，对于C，由题知∀x1，x2∈[2，3]，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|g（x1）﹣g（x2）|成立，当x1＝x2时显然成立，当x1≠x2时，|a(x1−x2)(x1+x2)|≤4|1x1−1x2|=4|x2−x1x1x2|，故|a(x1+x2)|≤4|1x1x2|，则|a|≤4x1x2(x1+x2)恒成立，又x1x2∈（4，9），x1+x2∈（4，6），∴4x1x2(x1+x2)∈(227，14)，∴|a|≤227，即−227≤a≤227，∴a的最大值为227，故C正确；对于D，由题可得在非空数集D上|f（x1）﹣f（x2）|≤|g（x1）﹣g（x2）|恒成立，当x1＝x2时显然成立，不妨设x1＞x2，则x1−x2≤log3(9x1+1)−log3(9x2+1)，∴log 3(9x 2+1)−x 2≤log 3(9x 1+1)−x 1成立，令F(x)=log 3(9x +1)−x ，则函数F(x)=log 3(9x +1)−x 在非空数集D 上单调递增， ∵F(x)=log 3(9x+1)−x =log 39x+13x =log 3(3x +13x )，当x ∈（﹣∞，0]时，3x ∈（0，1]，y ＝3x 单调递增，y =x +1x在（0，1）单调递减，∴y =3x +13x 单调递减，∴F （x ）在（﹣∞，0]上单调递减，故D 错误． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．log 1168+(8116)34+20240= 298． 解：原式＝﹣log 168+（32）3+1=−34+278+1=298．故答案为：298． 14．“数濯聚清风，一捻生秋意”是宋代朱翌描写折扇的诗句．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为S 1，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为√5−12时，扇面为“美观扇面”．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R ＝20cm ，则此时的扇形面积为 200（3−√5）π cm 2．解：因为S 1与S 2所在扇形的圆心角分别为θ，2π﹣θ， 所以S 1S 2=12θR 212(2π−θ)R 2=θ2π−θ，由θ2π−θ=√5−12，解得θ＝（3−√5）π， 所以扇形的面积为S 1=12θR 2=12×（3−√5）π×202＝200（3−√5）π．故答案为：200（3−√5）π．15．若a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝3，则12a+1+2b+c 的最小值是 97 ．解：a ，b ，c 均为正数，且a +b +c ＝3，即12（2a +1）+（b +c ）＝3+12=72，所以12a+1+2b+c=（12a+1+2b+c ）•27[12（2a +1）+（b +c ）]=27•（12+2+b+c 2a+1+2a+1b+c ）≥27（52+2√b+c 2a+1⋅2a+1b+c ）=27×92=97，当且仅当b +c ＝2a +1时取等号， 所以12a+1+2b+c 的最小值为97． 故答案为：97．16．设a 为实数，若实数x 0是关于x 的方程e x+（1﹣a ）x ＝lna +lnx 的解，则e x 0−1ax 0= 1e．解：由题意知e x +（1﹣a ）x ＝lna +lnx ，得e x +x ＝ax +lnax ， 即e x +x ＝e lnax +lnax ，设f （x ）＝e x +x ，x ∈R ，则f （x ）＝e x +x 在R 上单调递增， 则由e x +x ＝e lnax +lnax 可得x ＝lnax ⇒e x ＝ax ，而实数x 0是关于x 的方程e x +（1﹣a ）x ＝lna +lnx 的解，即e x 0=ax 0， 故e x 0−1ax 0=e x 0eax 0=ax 0eax 0=1e． 故答案为：1e．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |（x ﹣a ﹣1）（x ﹣2a +3）＜0}，集合B ={x|2x4−x≥0}． （1）当a ＝2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |（x ﹣a ﹣1）（x ﹣2a +3）＜0}＝{x |1＜x ＜3}， 集合B ={x|2x4−x≥0}={x |0≤x ＜4}， 故A ∪B ＝{x |0≤x ＜4}； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，当a +1＝2a ﹣3，即a ＝4时，A ＝∅，符合题意； 当a +1＞2a ﹣3，即a ＜4时，A ＝{x |2a ﹣3＜x ＜a +1}，则{2a −3≥0a +1≤4，解得32≤a ≤3，当a +1＜2a ﹣3，即a ＞4时，A ＝{x |a +1＜x ＜2a ﹣3}，则{a ＞4a +1≥02a −3≤4，此时a 不存在，综上，a 的范围为{a |32≤a ≤3或a ＝4}．18．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示．若将函数f （x ）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g （x ）的图象． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[0，2]时，求g （x ）的单调递减区间．解：（1）由图象可得，A ＝1，设f （x ）的最小正周期为T ，则12T =43−13，可得T =2πω=2，所以ω＝π，故f （x ）＝sin （πx +φ）， ∵由题意，当x =13+14T =13+12时，f （x ）＝1，即f （13+12）＝1， ∴sin （5π6+φ）＝1，即5π6+φ＝2k π+π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π−π3，k ∈Z ，∵|φ|＜π， ∴φ=−π3，故f （x ）＝sin （πx −π3）；（2）将函数f （x ）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得图象为函数g （x ）＝sin （π2x −π3）的图象，∵当x ∈[0，2]时，π2x −π3∈[−π3，2π3]，∴当π2x −π3∈[π2，2π3]时，即x ∈[53，2]时，g （x ）的单调递减，即当x ∈[0，2]时，求g （x ）的单调递减区间为[53，2]．19．（12分）已知函数f （x ）＝x |x |，函数g （x ）＝x 2﹣2x ﹣m ． （1）求不等式f （x 3﹣2）＞﹣1的解集；（2）如果对于任意x 2∈[﹣1，2]，都存在x 1∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），求实数m 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x |x |={x 2，x ≥0−x 2，x ＜0，其大致图象如图所示：结合图象可知，函数在R 上单调递增，且f （﹣1）＝﹣1，不等式式f（x3﹣2）＞﹣1＝f（﹣1）可转化为x3﹣2＞﹣1，解得x＞1，即原不等式的解集为{x|x＞1}；（2）由（1）知，f（x）在[﹣2，1]上单调递增，f（﹣2）＝﹣4，f（1）＝1，故﹣4≤f（x1）≤1，设A＝[﹣4，1]，当﹣1≤x≤2时，g（x）＝（x﹣1）2﹣1﹣m先减后增，当x＝1时，g（x）取得最小值g（1）＝﹣1﹣m，当x＝﹣1时，函数取得最大值g（﹣1）＝3﹣m，即﹣1﹣m≤g（x）≤3﹣m，设B＝[﹣1﹣m，3﹣m]，对于任意x2∈[﹣1，2]，都存在x1∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f（x1），则B⊆A，所以{−1−m≥−43−m≤1，解得，2≤m≤3，所以m的范围为[2，3]．20．（12分）中国政府在第七十五届联合国大会上提出．“中国将努力争取在2060年前实现碳中和．”随后，国务院印发了《关于加快建立健全绿色低碳循环发展经济体系的指导意见》．某企业去年消耗电费50万元，预计今年若不作任何改变，则今年消耗电费与去年相同．为了响应号召，节能减排，该企业决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：m2）成正比，比例系数约为0.6．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装太阳能供电设备后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：m2）之间的函数关系是C(x)=k10x+60(x≥0，k为常数）．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为y（单位：万元）．（1）求常数k，并写出y关于x的函数关系式；（2）当太阳能电池板的面积为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？解：（1）由题意可得C(0)=k60=50，即k＝3000，则由题：y=0.6x+6000010x+60=0.6x+6000x+6（x≥0）；（2）由（1）可得y=0.6(x+6)+6000x+6−3.6≥2√0.6(x+6)×6000x+6−3.6=116.4，当且仅当0.6(x+6)=6000x+6即x＝94时取等号，所以当x＝94时，y取得最小值，最小值是116.4．21．（12分）已知函数f(x)=log2(4x+1)+ax是偶函数．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝22x+2﹣2x+m•2f（x）的最小值为﹣4求实数m的值．解：（1）函数f(x)=log2(4x+1)+ax的定义域为R，因为函数f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），又f(−x)=log2(4−x+1)−ax=log2(4x+14x)−ax=log2(4x+1)−2x−ax，f(x)=log2(4x+1)+ax，所以log2(4x+1)−2x−ax=log2(4x+1)+ax，所以﹣2x＝2ax⇒a＝﹣1；（2）由（1）知，f(x)=log2(4x+1)−x=log2(4x+1)−log22x=log2(4x+12x)=log2(2x+2−x)，所以2f(x)=2log2(2x+2−x)=2x+2−x，所以g（x）＝22x+2﹣2x+m•2f（x）＝22x+2﹣2x+m（2x+2﹣x）＝（2x+2﹣x）2+m（2x+2﹣x）﹣2=[(2x+2−x)+m 2]2−m24−2，令t=2x+2−x≥2√2x⋅2−x=2，当且仅当2x＝2﹣x，即x＝0时等号成立，设函数ℎ(t)=(t+m2)2−m24−2(t≥2)，其图像是开口向上，对称轴方程为x=−m2的抛物线，当−m2＜2时，即m＞﹣4时，ℎ(t)min=ℎ(2)=(2+m2)2−m24−2=−4，解得m＝﹣3，当−m2≥2时，即m≤﹣4时，ℎ(t)min=ℎ(−m2)=−m24−2=−4，解得m＝±2√2（舍去），综上可知，m＝﹣3．22．（12分）设a为常数，函数f（x）＝2cos2x﹣a sin x﹣1．（1）当a＝1时，求f（x）的值域；（2）讨论f（x）在区间（0，π）上的零点的个数；（3）设n为正整数，f（x）在区间（0，nπ）上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值．解：（1）由题意，f（x）＝2cos2x﹣a sin x﹣1＝﹣2sin2x﹣a sin x+1，令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，所以g（t）＝﹣2t2﹣at+1，Δ＝a2+8＞0，可求得g（﹣1）＝﹣1+a，g（0）＝1，g（1）＝﹣a﹣1，当a＝1时，g（t）＝﹣2t2﹣t+1，图象的对称轴t=−1 4，所以函数的最大值为g(−14)=−2×(−14)2+14+1=98，最小值为g（﹣1）与g（1）中较小的那个，结合g（﹣1）＝﹣1+1＝0，g（1）＝﹣1﹣1＝﹣2，可得−2≤g(t)≤98，所以f（x）的值域为[−2，98]．（2）由（1）知，g（t）＝﹣2t2﹣at+1的两零点t1，t2满足t1t2=−12＜0，所以t1＜0，t2＞0，在区间（0，π）上，t＝sin x∈（0，1]，当t＝1时，x=π2有唯一解，当0＜t＜1时，x有两解x1、x2且x1+x2＝π．因此可得：当g（1）＞0，即a＜﹣1时，则t2＞1，f（x）无零点；当g（1）＝0，即a＝﹣1时，则t2＝1，f（x）有1个零点；当g（1）＜0，即a＞﹣1时，则0＜t2＜1，f（x）有2个零点．（3）由（1）（2）知，g（t）＝﹣2t2﹣at+1有两个零点t1＜0，t2＞0．当t1＝﹣1，即a＝1时，得t2=12，f（x）在（0，2kπ）（k∈N*）内零点个数为3k，在（0，（2k+1）π）内零点个数为3k+2，因为2024＝3×674+2，所以n＝674×2+1＝1349；当t2＝1，即a＝﹣1时，t1=−12，f（x）在（0，2kπ）（k∈N*）内零点个数为3k，在（0，（2k+1）π）内零点个数为3k+1，此时不存在n满足条件；当a＜﹣1时，则﹣1＜t1＜0，t2＞1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k+1）π）（k∈N*）内零点个数均为2k，因为2024＝2×1012，所以n＝2024或2025；当﹣1＜a＜1时，则﹣1＜t1＜0，0＜t2＜1，f（x）在（0，kπ）（k∈N*）内零点个数均为2k，所以n＝k ＝1012；当a＞1，则t1＜﹣1，0＜t2＜1，f（x）在（0，2kπ）和（0，（2k﹣1）π）（k∈N*）内零点个数均为2k，所以n＝2023或2024．综上所述，正整数n的所有可能值为1012或1349或2023或2024或2025．。

2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期数学第一次基础测试试题(含解析)

2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期数学第一次基础测试试题(含解析)

1. 已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一2024-2025学年江苏省无锡市高一上学期数学第一次基础测试试题项是符合题目要求的），集合{Z |2}A x x =∈<，则U A =ð（ ）A. {}1,0,1- B. {}2,2,3- C. {}2,1,2-- D. {}2,0,3-【答案】B【解析】【分析】由补集的运算即可求解.【详解】解：{}{Z |2}1,0,1A x x =∈<=-，{}2,2,3U A ∴=-ð，故选：B ．2. 设集合{}N 4U x x *=∈≤，{}1,2A =，{}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（ ）A. {}1,2 B. {}1,2,3,4 C. {}3,4 D. {}2,3,4【答案】D【解析】【分析】由集合的补集，并集运算求解即可.【详解】由题意可知{}1,2,3,4U =，所以{}3,4U A =ð，所以(){}2,3,4U A B ⋃=ð，故选：D3. 下列关系中：①{}00∈，②{}0∅⊆，③{}(){}0,10,1⊆，④(){}(){},,a b b a =正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】对于①：因为0是{}0的元素，所以{}00∈，故①正确；对于②：因为空集是任何集合的子集，所以{}0∅⊆，故②正确；对于③：因为集合{}0,1元素为0，1，集合(){}0,1的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{}(){}0,1,0,1之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合(){},a b 的元素为(),a b ，集合(){},b a 的元素为(),b a ，两个集合的元素不一定相同，所以(){}(){},,,a b b a 不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.4. 下列关于集合运算的结论，错误的是（ ）A ()U U U AB A B ⋃=⋂ððð B. ()()A BC A B C⋂⋂=⋂⋂C. ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ D. ()()()A B C A B A C = 【答案】D【解析】【分析】直接利用交并集、补集的知识及关系，即可得出结论.【详解】A ：由并集及交集，补集知识可知()U U U A B A B ⋃=⋂ððð，故A 正确；B ：由交集的分配律可得()()A BC A B C ⋂⋂=⋂⋂，故B 正确；C ：由交集与并集知识可得()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂，故C 正确；D ：由交集与并集知识可得()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃，故D 错误.故选：D.5. 已知集合{}{}||12A x x a B x x =<=<<，，且()A B ⋃=R R ð，则实数a 的取值范围是A. 1a ≤ B. 1a < C. 2a ≥ D. 2a >【答案】C【解析】【详解】{}|1,2R C B x x x =≤≥或.(){}{}||1,22R A C B x x a x x x R a ⋃=<⋃≤≥=⇔≥或.故选C6. 若集合{}2|20,A x mx x m m =++=∈R 中有且只有一个元素，则m 值的集合是（ ）的.A. {}1- B. {}0 C. {}1,1- D. {}1,0,1-【答案】D【解析】【分析】分m 是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可.【详解】当0m =时，{}{}|200A x x ===，故0m =符合题意；当0m ≠时，由题意2440m ∆=-=，解得1m =±，符合题意，满足题意的m 值的集合是{}1,0,1-.故选：D.7. 下列命题中正确的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b >C. 若0a b >>，0m >，则b m b a m a +<+ D. 若15a -<<,23b <<，则43a b -<-<【答案】D【解析】【分析】通过举反例排除A,B 两项；利用作差法判断C 项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D 项结论.【详解】对于A ，若a b >，当0c =时，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，若2,3a b =-=-，满足a b >，但22a b <，故B 错误；对于C ，因0a b >>，0m >，由()()0m a b b m b a m a a a m -+-=>++，可得b m b a m a+>+，故C 错误；对于D ，由23b <<，得32b -<-<-，因15a -<<，则43a b -<-<，故D 正确．故选：D ．8. 某花店搞活动，6支红玫瑰与3支黄玫瑰价格之和大于24元，而4支红玫瑰与5支黄玫瑰价格之和小于22元，那么2支红玫瑰与3支黄玫瑰的价格比较的结果是（ ）A. 2支红玫瑰贵B. 3支黄玫瑰贵C. 相同D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别,x y 元，由题意得到63,45x y x y ++的取值范围，利用待定系数法将23x y -表示为63,45x y x y ++的线性组合，然后利用不等式的基本性质和作差法比较23x y ，的大小关系即可.【详解】解：设1枝红玫瑰和1枝黄玫瑰的价格分别,x y 元，由题意可得：63244522x y x y +>⎧⎨+<⎩（*），令()()()()2363456435x y m x y n x y m n x m n y -=+++=+++，则642353m n m n +=⎧⎨+=-⎩，解得：11943m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，()()11423634593x y x y x y ∴-=+-+，由（*）得()1111632499x y +>⨯,()44452233x y -+>-⨯,()()1141146345242209393x y x y ∴+-+>⨯-⨯=,230x y ∴->，因此23x y >．所以2枝红玫瑰的价格高．故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质的应用，属于中档题．将23x y -表示为63,45x y x y ++的组合是关键，在利用不等式的基本性质求差的取值范围时，要化成同向不等式才能相加.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 若“2x <”是“2x a -<<”的充分不必要条件，则实数a 的值可以是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】CD 【解析】【分析】先求得不等式2x <的解集，根据题意，求得2a >，结合选项，即可求解.【详解】由不等式2x <，可得22x -<<，因为“2x <”是“2x a -<<”的充分不必要条件，所以2a >.结合选项，选项C 、D 满足题意.故选：CD.10. 下列命题是真命题为（ ）A. 若0a b c d >>>>，则ab cd>B. 若22ac bc >，则a b>C. 若0a b >>且0c <，则22c c a b >D. 若a b >且11a b>，则0ab <【答案】BCD【解析】【分析】举反例可得A 错误；由不等式的性质可得B 正确；作差后由题意可得C 、D 正确；【详解】对于A ，设2,1,1,2a b c d ===-=-，则ab cd =，故A 错误；对于B ，由不等式的性质可得若22ac bc >，则a b >，故B 正确；对于C ，()222222c b a c c a b a b--=，因为0a b >>且0c <，所以220b a -<，所以()220c b a ->，且220a b >，所以()2222220c b a c c bb a a --=>，所以22c c a b >，故C 正确；对于D ，11b a a b ab --=，因为a b >，所以0b a -<，又11a b>，所以0ab <，故D 正确；故选：BCD.11. 以下结论正确的是（ ）A. 函数2(1)x y x+=的最小值是4B. 若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥C. 若R x ∈，则22132x x +++的最小值为3的D. 函数12(0)y x x x=++<的最大值为0【答案】BD【解析】【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A.对于函数2(1)x y x+=，当0x <时，0y <，所以A 选项错误.B.由于0ab >，所以0,0b a a b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 选项正确.C.2222113211322x x x x ++=+++≥=++，但22122x x +=+无解，所以等号不成立，所以C 选项错误.D.由于0x <，所以()112220y x x x x ⎡⎤=++=--+≤-=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1,1x x x-==--时等号成立，所以D 选项正确.故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 命题“对任意1x >，21x >”的否定是________．【答案】存在01x >，使得201x ≤【解析】【详解】试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意1x >，21x >”的否定是“存在01x >，使得201x ≤”．考点：命题的否定．13. 不等式112x x -≥+的解集为__________．【答案】12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】先移项把分式不等式右侧变为0，再把转化为一元二次不等式，解不等式即可.【详解】不等式112x x -≥+，移项得到1102x x --≥+，即1202x x--≥+，得()()122020x x x ⎧--+≥⎨+≠⎩，解得122x -<≤-，即不等式解集为12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦.故答案为：12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦.14. 若关于x 的不等式()22120x a x a -++<恰有两个整数解，则a 的取值范围是__________．【答案】112a a ⎧-≤<-⎨⎩或322a ⎫<≤⎬⎭【解析】【分析】对方程()22120x a x a -++=的两个根进行分类讨论，求出不等式()22120x a x a -++<的解集，再让解集中含有两个整数，由不等式求a 的取值范围.【详解】令()22120x a x a -++=，解得1x =或2x a =.当21a >，即12a >时，不等式()22120x a x a -++<解得12x a <<，则不等式中的两个整数解为2和3，有324a <≤，解得322a <≤；当21a =，即12a =时，不等式()22120x a x a -++<无解，所以12a =不符合题意；当21a <，即12a <时，不等式()22120x a x a -++<解得21a x <<，则不等式中的两个整数解为0和-1，有221a -≤<-，解得112a -≤<-.综上，a 的取值范围是112a a ⎧-≤<-⎨⎩或322a ⎫<≤⎬⎭.故答案为：112a a ⎧-≤<-⎨⎩或322a ⎫<≤⎬⎭.【点睛】关键点睛：本题考查了一元二次不等式的解法以及分类讨论思想，掌握一元二次方程、一元二次函数和一元二次不等式三个二次之间的关系是解题关键.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 已知关于x 的不等式222(37)320x a x a a +-++-<的解集为M ．（1）若M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围；（2）若{73}M xx =-<<∣，求实数a 的值．【答案】（1）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭ （2）5【解析】【分析】（1）把0x =代入不等式，求实数a 的取值范围；（2）由不等式的解集，结合韦达定理求实数a 的值．【小问1详解】关于x 的不等式222(37)320x a x a a +-++-<的解集为M ，若M 中的一个元素是0，把0x =代入不等式，有2320a a +-<，解得1a <-或32a >，所以实数a 的取值范围为()3,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】关于x 的不等式222(37)320x a x a a +-++-<的解集为M ，若{73}M xx =-<<∣，则-7和3是方程222(37)320x a x a a +-++-=的两根，则有23773232732a a a -⎧-+=-⎪⎪⎨+-⎪-⨯=⎪⎩，解得5a =，所以{73}M xx =-<<∣时，实数a 的值为5.16. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+．（1）当3m =时，求A B ⋂与A B ；（2）当B A ⊆时，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}25A B x x ⋂=<≤，{}27A B x x ⋃=-≤<（2）{2m m ≤-或}12m -≤≤【解析】【分析】（1）求出集合A ，当3m =时，写出集合B ，利用交集和并集的定义可得出集合A B ⋂、A B ；（2）分B =∅、B ≠∅两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围.【小问1详解】解：当3m =时，{}27B x x =<<又因为{}{}11625A x x x x =-≤+≤=-≤≤，所以，{}25A B x x ⋂=<≤，{}27A B x x ⋃=-≤<.【小问2详解】解：因为B A ⊆，分以下两种情况讨论：当B =∅时，121m m -≥+，解得2m ≤-；当B ≠∅时，由B A ⊆可得12112215m m m m -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得12m -≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m ≤-或}12m -≤≤.17. （1）若关于x 的方程222(2)10x m x m -++-=有两个正实数根，求实数m 的取值范围．（2）求关于x 的不等式2(21)20()ax a x a +--<∈R 的解集．【答案】（1）514m -≤<-或1m >；（2）答案及解析【解析】【分析】（1）对于一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），根据判别式24b ac ∆=-判断根的情况，再结合韦达定理12b x x a +=-，12c x x a=来确定m 的取值范围.（2）对于一元二次不等式20ax bx c ++<（0a ≠），需要先考虑0a =的情况，再根据a 的正负以及判别式来求解集.【详解】（1）首先，方程有两个根，所以判别式0∆≥.则()()222Δ4224110b ac m m ⎡⎤=-=-+-⨯⨯-≥⎣⎦，解得54m ≥-.其次，因为方程有两个正实数根，根据韦达定理12b x x a +=-，12c x x a=.122(2)0x x m +=+>，解得2m >-.21210x x m =->，即(1)(1)0m m +->，解得1m >或1m <-.综合以上条件，取交集得m 的取值范围是514m -≤<-或1m >.（2）当0a =时，不等式化为20x --<，解得2x >-.当0a ≠时，将不等式2(21)20ax a x +--<左边因式分解得(1)(2)0ax x -+<.方程(1)(2)0ax x -+=的两根为11x a=，22x =-.当0a >时，不等式的解集为1{|2}x x a -<<；当0a <时：若12a >-，即12a <-，不等式的解集为{|2x x <-或1}x a>；若12a =-，即12a =-，不等式化为1(1)(2)02x x --+<，即2(2)0x +>，解集为{|2}x x ≠-;若12a <-，即102a -<<，不等式的解集为1{|x x a<或2}x >-.综上所得：当12a <-时，解集为{|2x x <-或1}x a>；当12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；当102a -<<时，解集为1{|x x a<或2}x >-;当0a =时，解集为{|2}x x >-；当0a >时，解集为1{|2}x x a -<<.18. 如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B.（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3m =-；（2）2133y x =-；（3）M 或2)-；【解析】【分析】（1）将(0,3)-代入y x m =+，即可得答案；（2）将0y =代入直线的解析式得出点B 的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可；【详解】（1）将(0,3)-代入y x m =+可得：3m =-；（2）将0y =代入3y x =-得：3x =，所以点B 的坐标为(3,0)，将(0,3)-，(3,0)代入2y ax b =+中，可得：3b =-，90a b +=，解得：13a =，3b =-，∴二次函数的解析式为：2133y x =-；（3）存在，分以下两种情况：若M 在B 的上方，设MC 交x 轴于点D ，则451560ODC ︒︒︒∠=+=，tan 30OD OC ︒∴=⋅=设DC 3y kx =-，代入，可得k =联立两个方程可得：23133y y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得：12120,36x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩所以1M ；若M 在B 下方，设MC 交x 轴于点E ，则451530OEC ︒︒︒∠=-=，60OCE ︒∴∠=，tan 60OE OC ︒∴=⋅=，联立两个方程可得：23133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：12120,32x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩∴22)M -，综上所述：M的坐标为或2)-；【点睛】本题考查二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数的解析式.19. 已知函数()f x 和()g x ，定义集合()()()(){}f x g x M xf xg x =<∣.（1）设()()223,2f x x x g x x =++=-+，求()()f x g x M ；（2）设()()()224,22f x ax ax g x x x =+-=+，当()()R f x g x M =时，求a的取值范围；为（3）设()()()42,,21x b f x x b g x h x x +=-==-，若()()()()f x h x g x h x M M ⋂≠∅，求b 的取值范围.【答案】（1） （2）(]2,2-（3）6,47⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）解不等式2232x x x ++<-+即可；（2）转化为()()f x g x <对任意R x ∈恒成立求解；（3）分别求解不等式()2f x <与()2g x <，()()()()f x h x g x h x M M ⋂≠∅转化为不等式组有解求解即可.小问1详解】已知()()223,2f x x x g x x =++=-+，由()()f x g x <即2232x x x ++<-+，解得x <<，则()()f x g x M =；【小问2详解】已知()()()224,22f x ax ax g x x x =+-=+，由题意得，()()f x g x <对任意R x ∈恒成立，()224220ax ax x x +--+<，即()222(2)40a x a x -+--<恒成立，当2a =时，4<0-恒成立；当2a ≠时，由()2204216(2)0a a a -<⎧⎪⎨-+-<⎪⎩解得22a -<<；综上，当()()R f x g x M =时，a 的取值范围为(]2,2-；【【小问3详解】已知()()()42,,21x b f x x b g x h x x +=-==-，由()()()()f x h x g x h x M M ⋂≠∅得，不等式组()2()2f x g x <⎧⎨<⎩有解，由()2f x <2221122b b x b x ⇔-<-<⇔-<<+，又442(1)(42)()2200111x b x b x x b g x x x x ++---+<⇔<⇔<⇔>---，当421b +=，即14b =-时，10>对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞ 恒成立，则满足()()()()f x h x g x h x M M ⋂≠∅；当421b +<，即14b <-时，()242,g x x b <⇔<+或1x >，要使()()()()f x h x g x h x M M ⋂≠∅，则142,2b b -<+或112b +>，解得67b >-，则有6174b -<<-；当421b +>，即14b >-时，()21,g x x <⇔<或42x b >+，要使()()()()f x h x g x h x M M ⋂≠∅，则11,2b -<或1422b b +>+，解得4b <，则有144b -<<；综上所述，b 的取值范围是6,47⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2023-2024学年江苏省南通市海安市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南通市海安市高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．命题：“∃x∈R，x2+2x≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x≤0B．∃x∈R，x2+2x≥0C．∀x∈R，x2+2x＞0D．∃x∈R，x2+2x＞03．若α的终边与−π6的终边垂直，且0＜α＜π，则cosα＝（）A．−12B．12C．−√32D．√324．已知某种放射性元素在一升液体中的放射量c（单位：Bq/L）与时间t（单位：年）近似满足关系式c＝k•a−t12（a＞0且a≠1）．已知当t＝12时，c＝100；当t＝36时，c＝25，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量c为10时，t大约为（）（参考数据：log25＝2.32）A．50B．52C．54D．56 5．函数y＝|x﹣2|+|2x﹣2|的最小值为（）A．0B．1C．32D．26．已知函数f（x）在R上的图象不间断，则“∀x∈（0，+∞），f（x）＞f（0）”是“f（x）在（0，+∞）上是增函数”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＝sin1，b＝cos1，c＝tan1，d＝1，则（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．b＜a＜d＜c8．已知函数y＝f（x）+x2为偶函数，y＝f（x）﹣2x为奇函数，则f（log23）＝（）A．53B．98C．32D．3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．函数y=lgx−12x+1的零点所在的区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）10．已知x ＞0，则（ ） A ．x （2﹣x ）的最大值为1 B ．3−x −1x的最大值为1C ．2√x 2+4的最小值为2D ．x +4x+1的最小值为3 11．将函数y ＝cos2x 的图象沿x 轴向右平移π4个单位长度，再向上平移12个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则（ ）A ．函数y ＝g （x ）的周期为πB ．g （x ）在（0，π2)上单调递增C ．g （x ）的图象关于直线x =3π4对称 D ．g （x ）的图象关于点（0，12）中心对称12．设定义在R 上的函数f （x ）满足：①当x ＜0时，f （x ）＜1；②f （x ）+f （y ）＝f （x +y ）+1，则（ ） A ．f （0）＝1B ．f （x ）为减函数C ．f （x ）+f （﹣x ）＝2D ．f （2x ）+f （2﹣x ）≥2f （1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省南京市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}20,1,A a =，{}1,0,23B a =+，若A B =，则a 等于（）A ．1-或3B ．0或1-C ．3D ．1-2．若扇形的弧长是8，面积是16，则这个扇形的圆心角的弧度数是（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知函数()12sin ,0,0x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪≥⎩，则π6f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．4BCD ．144．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a ，b 为常数，且b a <），若()f x 的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A ．B．C．D ．5．计算π5ππ7ππsin 3πcos tan 42424⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A1B ．1C －1D +16．已知0.240.4log 0.2log 0.20.4a b c ===，，，则（）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．b c a <<D ．c a b<<7．沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏（如图）上方装有3cm a 的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过min t 时剩余的细沙量为3cm y ，且e bt y a -=⋅（b 为常数），经过8min 时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的18，需经过的时间为（）A ．8minB ．16minC ．24minD ．26min8．已知函数()22x x f x -=+，()(2)2()g x m f x f x m =⋅++.若对于[)10,x ∀∈+∞，[]20,1x ∃∈，使得()()127f x g x +>成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1∞--D ．()1,+∞二、多选题9．若角α的终边上有一点()(),20P a a a ≠，则2sin cos αα-的值可以是（）A ．BC ．D 10．下列说法不正确的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4B ．函数1y x=是减函数C ．函数1()2x f x x +=+的图象关于点(2,1)-成中心对称D ．幂函数234()(33)m f x m m x -=-+在(0)+∞，上为减函数，则m 的值为1或211．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意,x y ∈R 都满足()()()f xy yf x xf y =+，则下列说法正确的是（）A ．()00f =B ．()f x 是奇函数C ．若()33f =，则1133f ⎛⎫=⎪⎝⎭D ．若当1x >时，()0f x <，则()()f x g x x=在()0,∞+单调递减三、填空题12．计算：3201log 2342713123log 9log 4383--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=．13．若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是．14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：[][]3.64,3.63-=-=.已知函数()1e 21e x xf x =-+，则函数()()y f x f x =+⎡⎤⎣-⎡⎤⎦⎣⎦的值域是.四、解答题15．设全集U =R ，23log 1x A x y x ⎧⎫-==⎨⎬+⎩⎭，[]1,6B a a =-+．(1)当a ＝1时，求A B ⋂，()U A B ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．16．已知角α满足cos 3sin 0αα+=.(1)若π02α-<<，求sin ,cos αα的值；(2)若角β的终边与角α的终边关于x 轴对称，求sin 3cos 2sin cos ββββ-+的值.17．如图所示，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求M 在射线AB 上，N 在射线AD 上，且对角线MN 过点C ，已知AB 长为4米，AD 长为3米，设AN x =米．(1)要使矩形花坛AMPN 的面积大于54平方米，则AN 的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN 的扩建部分铺上大理石，则AN 的长度是多少时，用料最省？18．已知函数()()()9log 91xf x kx x =++∈R 是偶函数，其中k 为实数.(1)求k 的值；(2)若函数()()()9323102f x x x g x m x =⋅-⋅+≤≤，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.19．对于函数()y f x =，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x kf x -=-，其中k 为整数，则称函数()y f x =为定义域上的“k 阶局部奇函数”.（1）已知函数()3sin cos f x x x =+，试判断()y f x =是否为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若()()3log f x x m =+是[]22-,上的“1阶局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（3）若()22f x x x t =-+，对任意的实数(],2t ∈-∞，函数()y f x =恒为R 上的“k 阶局部奇函数”，求整数k 取值的集合.。

江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

江苏省苏州中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知命题{}2|:32,360p x x x x x ∀∈-<<-<，则p ⌝是（ ）A ．{}232,3|60x x x x x ∀∈-<<-≥B ．{}232,3|60x x x x x ∃∈-<<-≥C ．{}232,3|60x x x x x ∀∉-<<-<D ．{}232,3|60x x x x x ∃∈-<<-<2．已知0m n <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．n m m n >B ．2mn n <C ．11n m <D ．2m n > 3．已知,a b 为实数，则“1a b >>”是“()()110a b -->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和()b a b <，其全程的平均时速为v ，则（ ）A ．a v <<B 2a b v +<C ．2a b v +<<D v b < 5．已知命题{}|:12p x x x ∀∈≤≤，都有20x a -≥，命题:q 存在2000,220x x ax a ∈++-=R ，若p 与q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}|2a a ≤-B ．{}|1a a ≤C ．{}2|1a a a ≤-=或D ．{}1|21a a a -<<>或6．已知集合{}()(){}221,2,|20A B x x ax x x b ==+++=，且()R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．若{},,M x x b a b ==∈∈Z Z ∣，则下列结论中正确结论的个数为（ ）M ； ②M ⊆Z ；③若12,x x M ∈，则12x x M +∈；④若12,x x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈； ⑤存在x M ∈且x ∉Z ，满足2022x M -∈.A ．2B ．3C ．4D ．5 8．关于x 的不等式()221ax x -<恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．33,11,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3443,,2332⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．33,11,22⎛⎤⎡⎫--⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．3443,,2332⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题9．设{}2540A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B A =U ，则实数a 的值可以是（ ） A ．0 B ．14 C ．4 D ．110．若关于x 的不等式()2020ax bx c a ≤++≤>的解集为{}|13x x -≤≤，则32a b c ++的值可以是（ ）A ．12B ．32C ．2D ．411．对任意,A B ⊆R ，记{},A B xx A Bx A B ⊕=∈⋃∉⋂，并称A B ⊕为集合,A B 的对称差．例如：若{}{}1,2,3,2,3,4A B ==，则{}1,4A B ⊕=．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若,AB ⊆R 且A B B ⊕=，则A =∅B ．若,A B ⊆R 且A B ⊕=∅，则A B =C ．若,A B ⊆R 且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在,A B ⊆R ，使得A B A B ⊕≠⊕R R 痧三、填空题12．已知集合{},A m m =，若2A ∈，则m =．13．已知12,34a b a b ≤-≤≤+≤则93a b +的取值范围为．14．定义集合{|}P x a x b =≤≤的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是；若65m =，集合M N ⋃的“长度”大于35，则n 的取值范围是.四、解答题15．求下列不等式的解集： (1)503x x ->+ (2)2223712x x x x +-≥-- (3)212x x -->．16．已知集合{}28150A x x x =++≤，{}3222B x m x m =-<<+. (1)若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围；(2)若将题干中的集合B 改为{}2132B x m x m =+≤≤-，是否有可能使命题p ：“x A ∀∈，都有x B ∈”为真命题，请说明理由.17．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占总面积为S 平方米．（Ⅰ）试用x 表示S ．（Ⅱ）当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．18．已知函数()()2111y m x m x m =+--+-的图象为C ．(1)若图象C 恒在直线1y =下方（不包括直线1y =），求m 的取值范围；(2)求图象C 在直线()1y m x =+上以及直线上方的点的横坐标x 的取值范围（用m 表示）；(3)当自变量x 满足1122x -≤≤时，函数值0y ≥恒成立，求m 的取值范围． 19．已知集合{}12,,,n A x x x =L ，*N n ∈，3n ≥，若x A ∈，y A Î，x y A +∈或x y A -∈，则称集合A 具有“包容”性．(1)判断集合{}1,1,2,3-和集合{}1,0,1,2-是否具有“包容”性；(2)若集合{}1,,B a b =具有“包容”性，求22a b +的值；(3)若集合C 具有“包容”性，且集合C 的子集有64个，1C ∈，试确定集合C ．。

江苏高一高中数学专题试卷带答案解析

江苏高一高中数学专题试卷带答案解析

江苏高一高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.（2015年苏州B8）已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是________．2.（2016年苏州B7）已知实数x、y满足则的最大值为_______.3.（2011年苏州B9）若x≥0，y≥0，且2x+ 3y≤100，2x+y≤60，则z= 6x + 4y的最大值是___________.4.（2015年苏州B14）若，，，则的取值范围为________．5.（2011年苏州B13）已知0 <x< 4，则的最小值为___________.6.（2016年苏州B12）已知正实数满足，则的最小值为_______.7.（2014年苏州B14）已知，，，则的最小值是______．二、解答题1.（2013年苏州B17）已知函数为常数.（1）若的解集为，求的值；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.2.（2012年苏州B17）已知函数．（1）当关于x的不等式f(x) > 0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值；（2）若对任意实数a，不等式f(2) < 0恒成立，求实数b的取值范围；（3）设b为常数，求关于a的不等式f(1) < 0的解集．3.（2011年苏州B18）已知函数．（1）若>-a对一切恒成立，求实数a的取值范围；（2）解不等式．4.（2014年苏州B18）如图，在中，，，（1）求的长和的值；（2）延长到，延长到，连结，若四边形的面积为，求的最大值．5.（2011年苏州B19）某企业有员工共100名，平均每人每年创造利润10万元．为了进一步提高经济效益，该企业决定优化产业结构，调整部分员工从事第三产业．经测算，若x（20≤x≤50，x∈）名员工从事第三产业，则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高20%，而从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为万元．（1）如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润，至少比原来的年总利润多150万元，求可从事第三产业员工的最少人数与最多人数；（2）如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大，求从事第三产业的员工人数．6.（2013年苏州B18）如图，某小区进行绿化改造，计划围出一块三角形绿地，其中一边利用现成的围墙，长度为1（百米），另外两边使用某种新型材料，，设（百米），（百米）.（1）求满足的关系式（指出的取值范围）；（2）若无论如何设计此两边的长，都能确保围成三角形绿地，则至少需准备长度为多少（百米）的此种新型材料？7.（2016年苏州B18）如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°．现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏.（1）若，AP与AQ两处围墙长度和为米，求栅栏PQ的长；（2）已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小？江苏高一高中数学专题试卷答案及解析一、填空题1.（2015年苏州B8）已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是________．【答案】7【解析】画出可行域如下图，目标函数化为y=2x-z，所以求最大值，即求截距的最小值。

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练习一一、选择题。

1. 下列判断错误的是（ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）2.设集合{}{}22|1,,|45,,A x x a a N B y y b b b N ==+∈==-+∈则下述关系中正确的是( )(A)A B = (B) A B ⊃ (C) A B ⊂ (D) A B =∅I3.已知221log [(1)]4y ax a x =+-+的定义域是一切实数,则实数a 的取值范围( )(A)3(0,2+ (B) 3(2-(C) )+∞U (D) 4．方程2(2)50x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的范围是( ) (A)2a <- (B) 52a -<<- (C) 54a -<<- (D)4a >或4a <-二、填空题。

1. 化简：ααααcos 1cos ·2cos 12sin ++= ▲ ．.2. ,αβ为锐角三角形的两内角，函数()f x 为(0,1)上的增函数,则(sin )f α ▲ (cos )f β（填>或填<号）3.已知角α的终边不在坐标轴上，cos sin tan (),sin cos tan f ααααααα=++则(f α）的值域是 4. 一个半径为2的扇形，若它的周长为243π+，则扇形的圆心角是 弧度. 5. 已知：(2,3),(1,7),A B -则与AB u u u r共线的单位向量是 .6.函数()sin()(0)f x x ωφω=+>对任意实数x 均有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值为 ，若]4,3[)0(sin 2)(ππωω->=在区间x x f 上的最大值是2，则ω的最小值等于 .7. 将sin y x =图象上的每一点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），把所得函数的图象向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），则所得图象的解析式为 .8．已知扇形的周长为8cm ，则该扇形的面积S 的最大值为 ▲ cm 2．9．若1a =r ,b =r若()a b a -⊥r r r ，则向量a r 与b r 的夹角为 ▲ ．10、过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是 ． 11、设圆C ：223x y +=，直线063:=-+y x l ，点()l y x P ∈00,，使得存在点C Q ∈，使60OPQ ∠=o (O 为坐标原点),则0x 的取值范围是 ． 12．已知sin cos tan 2,sin cos a aa a a+=-+则的值是 ▲ 。

13．已知向量,a b 的夹角为90o，1,3a b ==，则4a b -的值是 ▲ 。

14．将函数sin y x =的图象向右平移三个单位长度得到图象1C ，再将图象1C 上的所 有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到图象1C ，则1C 的函数解析式为 ▲ 。

15．已知偶函数()f x 的定义域为{{}|0,x x x R ≠∈，且当x>O 时，2()log f x x =，则满 足6()()5f x f x =+的所有x 之和为 ▲ 。

三、解答题16．已知：向量12,e e u r u u r不共线。

（1）121212,28,33.AB e e BC e e CD e e =-=-=+u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r求证：,,A B D 共线。

（2）若向量12e e λ-u r u u r 与12e e λ-u r u u r共线，求实数λ的值。

17．（1）已知：角α终边上一点(),P y 且sin ,y α=求cos ,tan .αα 18. （本题满分16分）x在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．其中23=b ，且 3tantan tan 3tantan tan ππC A C A =++．（1）求角B 的大小； （2）求a +c 的取值范围．19．已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象如下图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）设π<<x 0，且方程m x f =)(有两个 125π 不同的实数根，求实数m 的取值范围. 20.21．如图，在半径为2，圆心角为45o的扇形的AB 弧上任取一点P ，作扇形的内接平行四边形MNPQ ，使点Q 在OA 上，点M ，N 在0B 上，设BOP θ∠=，MNPQ Y 的面积为S ． (1)求S 与θ之间的函数关系式； (2)求S 的最大值及相应的口值．22．已知△OAB 的顶点坐标为(0,0)O ,(2,9)A ,(6,3)B -, 点P 的横坐标为14，且OP PB λ=u u u r u u u r ，点Q 是边AB 上一点,且0OQ AP ⋅=u u u r u u u r.(1)求实数λ的值与点P 的坐标； (2)求点Q 的坐标；(3)若R 为线段OQ 上的一个动点，试求()RO RA RB ⋅+u u u r u u u r u u u r的取值范围.23、已知圆O:221x y +=和定点A （2，1），由圆O 外一点),(b a P 向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =（1）求实数a 、b 间满足的等量关系； （2）求线段PQ 长的最小值；（3）若以P 为圆心所做的圆P 与圆O 有公共点，试求半径取最小值时，圆P 的方程。

O 1211πy2 1-224．已知：二次函数2()f x ax bx c =++满足：①对于任意实数,x 都有(),f x x ≥且当(1,3)x ∈时，21()(2)8f x x ≤+恒成立，②(2)0f -=（1）求证:(2)2f =(2) 求()f x 的解析式。

（3）若(),g x x m =+对于任意[]2,2,x ∈-存在[]02,2,x ∈-使得0()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围。

一．1.D; 2.A; 3.C; 8.C;二．1.tan2α； 2. ＞； 3.{}3,1- ； 4.3π 5.3434(,)5555--或（，） ; 6.πω ，2 7.2sin(2)3y x π=- ； 8 . 4； 9. 4π ；10.;11. 没做 ; 12.3； 13.5 14.y=sin(2x-PAI/4) 15解：∵偶函数f （x ），令x ＜0，则-x ＞0∴f（-x ）=log2（-x ）∴f（x ）=f （-x ）=log2（-x ） 所以x=+-(6)/(x+5) ，得x=1,-2,-3或-2 ∴1-2-3-6=-10 故答案为：-10．三．16、解：（1）12555BD BC CD e e AB =+=-=u u u r u u u r u u u r u r u u r u u u r………………………………3分BD AB ∴u u u r u u u r与共线…………………………………………5分∴A 、B 、D 共线………………………………7分（2）1212e e e e λλ--u r u u r u r u u rQ 与共线∴存在实数k 使得1212()e e k e e λλ-=-u r u u r u r u u r 12ke ke λ=-u r u u r…………9分 1e u r Q 、2e u u r 不共线1k kλλ=⎧∴⎨-=-⎩…………………………………………12分1λ∴=± ………………………………………14分 17.解：23OP y =+1分23sin 43y y α∴==+………………………………………3分 210y y ∴==或………………………………………5分 ①0cos 1,tan 0y αα==-=时，………………………………………8分 ②2137cos ,tan 4y αα==-=11分 ③2137cos ,tan 4y αα==-=14分18．解：(1)由3tantan tan 3tantan tan ππC A C A =++得可知0tan tan 1≠-C A ，否则有，1tan tan =C A ，0tan tan =+C A ，互相矛盾．3tan tan tan 1tan tan π-=-+C A C A ，即3)tan(-=+C A而π<+<C A 0，所以32π=+C A ．∴ B=3π．(2)由正弦定理有，13sin23sin sin sin ====πBb Cc A a ，∴A a sin =，)32sin(sin A C c -==π， ∴)6sin(3cos 23sin 23)32sin(sin ππ+=+=-+=+A A A A A c a ∵320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ， 于是1)6sin(21≤+<πA ，则a +c 的取值范围是]3,23(． 19. （1）)62sin(2)(π+=x x f .（2）单调增区间为z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,6,3ππππ.（3）2112<<<<-m m 或. 20.21.22. (1)设(14,)P y ，则(14,),(8,3)OP y PB y ==---u u u r u u u r，由OP PB λ=u u u r u u u r ，得(14,)(8,3)y y λ=---，解得7,74y λ=-=-，所以点(14,7)P -。

(2)设点(,)Q a b ，则(,)OQ a b =u u u r ，又(12,16)AP =-u u u r ，则由0OQ AP ⋅=u u u r u u u r，得34a b =①又点Q 在边AB 上，所以12346b a +=--，即3150a b +-=② 联立①②，解得4,3a b ==，所以点(4,3)Q(3)因为R 为线段OQ 上的一个动点，故设(4,3)R t t ，且01t ≤≤，则(4,3)RO t t =--u u u r，(24,93)RA t t =--u u u r，(64,33)RB t t =---u u u r，+(88,66)RA RB t t =--u u u r u u u r，则()4(88)3(66)RO RA RB t t t t ⋅+=----u u u r u u u r u u u r 25050(01)t t t =-≤≤，故()RO RA RB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的取值范围为25[,0]2-. 23.(1) (2) (3)解析: （1）连为切点，，由勾股定理有.又由已知，故.即：.化简得实数a 、b 间满足的等量关系为：.（2）由，得.=.故当时，即线段PQ 长的最小值为解法2：由(1)知，点P 在直线l ：2x + y －3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ，即求点A 到直线 l 的距离..（3）设圆P 的半径为，圆P 与圆O 有公共点，圆O 的半径为1，即且.而，故当时，此时, ，.得半径取最小值时圆P 的方程为．24、解：（1）由①知道21(2)2(2)(22)28f f ≥≤+=且 (2)2f ∴=………………………4分 （2）1(2)422,(2)420,1452f a b c f a b c b c a =++=-=-+=∴==-⋅⋅⋅Q 分 ∴ 211402ax x a -+-≥对于任意实数x 都成立 又因为0a ≠014(14)04a a a >⎧⎪∴⎨=--≤⎪⎩V ………………………7分11,82a c ∴==………………………8分 此时22211111()(2),(1,3)()(2)82288f x x x x x f x x =++=+∈≤+时成立21()(2)8f x x ∴=+………………………10分（3）[]())22y f x y g x A ==-设函数、（在区间，上的值域分别为、B 则[][]0,2,2,2A B m m ==-+………………………11分 由题意得A B ⊆………………………12分 2022m m -≤⎧∴⎨+≥⎩………………………14分02m ∴≤≤………………………16分。

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