高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换

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高中数学高一上册函数图像变换教案

函数图象的变换及图象的应用学习目标：1.使学生经过一些特别函数的图象归纳出图象平移、对称变换的方法和规律。

2.会利用一些基本函数的图象经过平移、对称变换做出一些常有函数的图象。

3.会利用函数的图象解决有关函数的问题。

授课重点：图象的平移和对称关系研究过程：问题 1：如何由 f ( x) x2的图象获取以下各函数的图象并在同一坐标系内画出它们的草图。

(1) f ( x 1) ( x 1)2 (2) f ( x 1) ( x 1)2(3) f ( x) 1 x2 1 (4) f (x) 1 x2 1规律：平移变换y f ( x) y f (x a) 左右平移 a 0,向 ___平移 a个单位。

, 即：“左加，右减”a 0, 向 ___平移 |a| 个单位y f ( x) y f (x) k 上下平移k 0,向 ___平移 a个单位。

“上加，下减”k 0, 向 ___平移 |a| 个单位问题 2：说出以下函数的图象与指数函数y 2x的图象的关系，并画出它们的表示图.规律总结：对称变换：（1）函数y f ( x)与f ( x) 的图象关于____________________ 对称；y（ 2）函数y f (x)与 y f ( x) 的图象关于____________________ 对称（ 3）函数y f (x)与 y f ( x) 的图象关于____________________对称；（ 4）函数y f (x)与 y f 1 ( x) 的图象关于____________________对称；问题 3：分别在同一坐标系中作出以下各组函数的图象，并说明它们之间有什么关系规律总结：对称变换（ 5）由y f ( x) 的的图象做y f (| x |) ：保留 y f ( x) 图象右测的部分，再加大将右测的部分关于 y 轴对称到图象的左测的部分，去掉原来左测的部分。

口诀：“清左翻右”（ 6）由y f (x) 的的图象做y | f ( x) |：保留 y f (x) 图象上方的部分，再加上下方的部分关于 x 轴对称到上方的部分。

高中数学第10讲函数图像及其变换(教案)新人教版必修1

函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质〔高考要求B 〕，熟悉常见的函数图像〔平移、对称、翻折〕变换〔高考要求B 〕.教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折〞等手段进行函数图像变换。

教学过程：一.知识要点：1.常见函数图像及其性质：〔1〕平移变换：①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向平移a 个单位，〔左+右—〕. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向平移b 个单位，(上+下—)③假设将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④假设将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.〔2〕对称变换：①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于y 轴对称; 假设f (－x )=f (x ),那么函数自身的图象关于y 轴对称.②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称.③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 假设f (－x )=－f (x ),那么函数自身的图象关于原点对称.④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称.⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b )对称.假设f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))那么函数自身的图象关于直线x =a 对称.假设函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=〔3〕翻折变换主要有①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习：1.假设把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)，那么函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A )A.y ＝f (x －1)－1B.y ＝f (x ＋1)－1C.y ＝f (x －1)＋1D.y ＝f (x ＋1)＋12.函数y =f (x )的图象如图2—3，那么以下函数所对应的图象中，不正确的选项是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x )D.y =－f (x )解：y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称.3.设函数y =2x 的图象为C ，某函数的图象C ′与C 关于直线x =2对称，那么这个函数是y =24－x 解∵y =f (x )的图象与y =f (4－x )的图象关于直线x =2对称，设f (x )=2x ,那么f (4－x )=24－x y =f (x )的定义域是R ，且f (x －1)=f (1－x ),那么f (x )的图象有对称轴直线x =0 解：设x －1=t ,那么f (t )=f (－t )，函数为偶函数，关于y 轴对称.5.函数y =12--x x的图象关于点(1，－1)_对称.解：y =12--x x =－1＋11-x ,y =12--x x 的图象是由y =x 1的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 三.例题精讲：例1.(1)函数y=||x xa x(0＜a ＜1)的图象的大致形状是〔 D 〕(2).〔2009·某某模拟〕定义运算,)()(⎩⎨⎧>≤=⊗b a bb a a b a 那么函数f(x)=x21⊗的图象是 ( A )(3).函数y=f(x)的图象如图①所示，y=g(x)的图象如图②所示，那么函数y=f(x)·g(x)的图象可能是图中的〔 C 〕例2. 作出以下函数的图象.〔1〕.f (x )＝x 2－2|x |＋1 〔2〕f (x )＝x 2－2|x |＋1〔3〕f (x )＝|x 2－1|〔4〕f (x )＝x 2＋2x ＋1 〔5〕y=112--x x ;〔6〕y=)21(|x|.〔7〕〔2〕y=|log 21〔1-x 〕|； (8)y=21(lgx+|lgx|);例3.〔1〕定义在R 上的函数y =f (x )、y =f (－x )、y =－f (x )、y =－f (－x )的图象重合，它们的值域为__{0}.[解析] 函数y =f (x )与y =f (－x )的图象重合，说明函数y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =f (x )与y =－f (x )图象重合，说明y =f (x )的图象关于x 轴对称；y =f (x )与y =－f (－x )的图象重合，说明y =f (xy =f (x )上任一点(x ,y ),那么也有点(－x ,y )、(x ,－y )、(－x ,－y );根据函数的定图2—3义，对于任一x ∈R,只能有惟一的y 与之对应，从而y =－y ,即y =0，故函数的值域为{0}. 〔2〕函数f (x )定义域为R ，那么以下命题中①y =f (x )为偶函数，那么y =f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ＋2)为偶函数，那么y =f (x )关于直线x =2对称.③假设f (x －2)=f (2－x ),那么y =f (x )关于直线x =2对称. ④y =f (x —2)和y =f (2－x )的图象关于x =2对称.其中正确命题序号有_②④_(填上所有正确命题序号).[解析] ①y =f (x )是偶函数，而f (x ＋2)是将f (x )的图象向左平移2个单位得到的，那么对称轴左移2个单位为x =－2,所以f (x ＋2)图象关于直线x =－2对称.②y =f (x ＋2)为偶函数，那么f (x ＋2)=f (2－x ),所以y =f (x )图象关于直线x =2对称. ③令x －2=t ,那么2－x =－t ,得f (t )=f (－t ),y =f (x )的图象关于y 轴对称.④f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，将f (x )与f (－x )的图象分别向右平移2个单位，分别得到f (x －2)与f (2－x )的图象，对称轴右移2个单位为直线x =2. 例4.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)=－f (x ),又当－1≤x ≤1时，f(x)=x 3. (1)证明直线x =1是函数f (x )的图象的一条对称轴；(2)当x ∈［1,5］时，求f (x )的解析式. [解] (1)设(x 0,y 0)是f (x )的图象上任意一点，它关于x =1对称的点为(x 1,y 1),那么y 0=y 1,x 0=2－x 1,∴y 1=f (2－x 1)=－f (－x 1)=f (x 1)∴(x 1,y 1)也在y =f (x )的图象上，命题成立.(2)∵f (x )的图象关于x =1对称，故当1≤x ≤3时，f (x )=(2－x )3又当3<x ≤5时，－1<x －4≤1,此时f (x )=(x －4)3∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-)53(,)4()31(,)2(33x x x x 例5.设函数f(x)=x 2-2|x|-1 (-3≤x ≤3).〔1〕证明：f(x)是偶函数；〔2〕画出函数的图象；〔3〕指出函数f(x)的单调区间；〔4〕求函数的值域.〔1〕证明f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x),即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.〔2〕解当x ≥0时，f(x)=x 2-2x-1=(x-1)2-2,当x ＜0时，f(x)=x 2+2x-1=(x+1)2-2,即f(x)=,)03(2)1()30(2)1(22⎩⎨⎧<≤--+≤≤--x x x x根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图. 〔3〕解函数f(x)的单调区间为［-3，-1〕，［-1，0〕，［0，1〕，［1，3］. f 〔x 〕在区间［-3，-1〕和［0，1〕上为减函数，在［-1，0〕，［1，3］上为增函数.〔4〕解当x ≥0时，函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2; 当x ＜0时，函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为［-2，2］.例6.作函数y ＝x ＋ 1x 的图象.扩展：y ＝a x ＋ bx〔a ＞0，b ＞0〕的图像.例7.〔1〕函数y=f(x)的定义域为R ，且当x ∈R 时f(m+x)=f(m-x)恒成立. 求证：y=f(x)的图象关于直线x=m 对称；〔2〕假设函数y=log 2|ax-1|的图象的对称轴是x=2,求非零实数a 的值. 〔1〕证明设P 〔x 0,y 0〕是y=f(x)图象上任意一点，那么y 0=f(x 0).又设P 点关于x=m 的对称点为P ′，那么P ′的坐标为〔2m-x 0,y 0〕.由f(m+x)=f(m-x),得f(2m-x 0)=f ［m+(m-x 0)］=f ［m-(m-x 0)］=f(x 0)=y 0.即),-(200y x m P '在y=f(x)图象上，∴y=f 〔x 〕的图象关于直线x=m 对称.〔2〕解 ∵对定义域内的任意x,有f(2-x)=f(2+x)恒成立.∴|a 〔2-x 〕-1|=|a 〔2+x 〕-1|恒成立，即|-ax+(2a-1)|=|ax+(2a-1)|恒成立.又a ≠0,∴2a-1=0,得a=21.自我检测1.〔2008·全国Ⅱ理，3〕函数f(x)=x1-x 的图象关于坐标原点对称2.作出以下函数的图象.〔1〕y=2-2x；〔2〕y=112+-x x .〔3〕y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≤112 〔5－x 〕 1＜x ≤34－x x ＞33.f(x)=[][],1,0,10,1,12⎩⎨⎧∈+-∈+x x x x 那么f(x-1)的图象是 4.假设函数f(x)=3+log 2x 的图象与g(x)的图象关于 y=x 对称，那么函数g(x)= 2x-35. 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,那么函数y=f(x)·g(x)的图象可能是〔 A 〕6.设a ＞1,实数x,y 满足|x|-log a y1=0,那么y 关于x 的函数的图象形状大致是 ( B )2(-x)＜x+1成立的x 的取值X 围是.答案〔-1，0〕8.设f(x)是定义在R 上奇函数，在〔0，21〕上单调递减，且f(x)=f(-x-1).给出以下四个结论：①函数f(x)的图象关于直线x=21对称；②f(x)在(21,1)上单调递增；③对任意的x ∈Z ，都有f(x)=0；④函数y=f )2(x -π的图象是中心对称图形，且对称中心为()0,2π.其中正确命题的序号是.答案 ①②③④9.当x ∈(1,2)时,不等式(x-1)2＜log a x 恒成立,那么a 的取值X 围为.答案 (1,2］10.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_y __轴对称的图像，再向__右__平移3个单位而得到11.函数()lg(2)1f x x x=⋅+-的图象与x轴的交点个数有__2__个12.如假设函数(21)y f x=-是偶函数，那么函数(2)y f x=的对称轴方程是_12x=-__。

运用“对称变换”的思想方法解题-解析版--高中数学

运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。

2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。

3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。

4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。

几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。

典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。

定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。

定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1。

根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。

高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质

998=1002是6的整数倍，所以g(2000)=g(998)，即f(2000)-2000=
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当时，值域为 ;当时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点中心对称。

数学函数图像中的对称性问题浅析

课例研究新教师教学函数是我在高中数学的学习过程中非常重要的一部分，因为函数的应用几乎贯穿了整个高中数学学习中，它也是整个高中数学的核心内容，而高考中对于函数的考查也特别多，甚至考查的内容可能会比课本上的知识更深一点，因此我觉得能不能学好函数是在高考中数学是否能拿到高分的关键所在。

学好函数就要了解函数的概念和定义，还要熟练掌握函数的性质——单调性、周期性以及对称性。

在这里，我想主要谈一下我对函数对称性的理解。

我对于函数的对称性还是比较感兴趣的，从表面上看，函数的对称关系体现了数学之美，因为对称的图形总是比较美观的；往深里说，函数的对称性一直都是各种数学类考试的重点和热点，而且利用好函数的对称性还能很巧妙地解决数学问题。

我把函数的对称性问题进行了归纳和总结后，分成了两大类，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图像的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题。

虽然将函数的对称性这样分成两大类更容易理解与掌握，但其实在实际的学习过程中，两函数图像关于某直线对称或关于某点成中心对称，还有函数自身的对称轴或对称中心这两种情况，我们总是容易混淆，从而造成解题失误。

事实上，这两种类型是有本质区别的，我想就这个问题总结一下相关的一些结论。

一、函数自身的对称性定理1.函数　的图像关于点对称的充要条件是。

其证明如下：（必要性）设点P （x ，y ）是y=f （x ）图像上任一点，∵点P （x ，y ）关于点A （a ，b ）的对称点P ’（2a-x ，2b-y ）也在y=f （x ）图像上，∴2b-y=f （2a-x ），即y+f （2a-x ）=2b 故f （x ）+f （2a-x ）=2b ，必要性得证。

（充分性）设点P （x 0，y 0）是y=f （x ）图像上任一点，则y 0=f （x 0）∵f （x ）+f （2a-x ）=2b ∴f （x 0）+f （2a-x 0）=2b ，即2b-y 0=f （2a-x 0）。

高中数学重点知识归纳2024

高中数学重点知识归纳2024一、函数与极限1. 函数的定义与性质（1）函数的定义：在某一变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x在某一范围内的每一个值，按照对应法则f，都有唯一确定的y值与之对应，那么就称y是x的函数，记作y=f(x)。

（2）函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。

2. 函数的图像与变换（1）函数图像：函数的图像是所有函数值对应的点在坐标系中的集合。

（2）函数变换：函数图像的平移、伸缩、对称等变换。

3. 初等函数（1）幂函数：y=x^α（α为实数）。

（2）指数函数：y=a^x（a为正常数）。

（3）对数函数：y=log_a x（a为正常数）。

（4）三角函数：y=sin x、y=cos x、y=tan x等。

4. 函数极限（1）数列极限：当n趋向于无穷大时，数列{a_n}的极限是A，记作lim(n→∞)a_n=A。

（2）函数极限：当x趋向于x_0时，函数f(x)的极限是A，记作lim(x→x_0)f(x)=A。

二、导数与微分1. 导数的定义与计算（1）导数的定义：函数在某一点x_0的导数是自变量在该点的增量与函数值增量的比值在增量趋向于0时的极限。

（2）导数的计算：利用导数的四则运算法则、复合函数的导数法则、隐函数的导数法则等。

2. 导数的应用（1）切线斜率：函数在某一点x_0的导数表示该点切线的斜率。

（2）函数的单调性：利用导数的符号判断函数的单调性。

（3）函数的极值：利用导数为0的点判断函数的极值。

（4）函数的最值：利用导数和单调性判断函数的最值。

3. 微分（1）微分的定义：函数在某一点x_0的微分是自变量在该点的增量与函数值增量的比值乘以自变量的增量。

（2）微分的计算：利用微分的四则运算法则、复合函数的微分法则等。

三、积分与级数1. 定积分（1）定积分的定义：函数在区间[a, b]上的定积分是自变量在该区间上的积分和的极限。

（2）定积分的计算：利用定积分的基本性质、牛顿-莱布尼茨公式等。

高中数学函数图像知识点全面解析

高中数学函数图像知识点全面解析一、函数图像的定义与重要性函数图像是函数关系的直观表示，它通过图形的形式展现了函数中自变量与因变量之间的对应关系。

理解函数图像对于解决数学问题、分析函数性质以及建立数学模型具有至关重要的意义。

二、常见函数类型及其图像特征11 一次函数111 表达式：y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）112 图像特征：是一条直线，当 k ＞ 0 时，直线从左到右上升；当k ＜ 0 时，直线从左到右下降。

113 特殊情况：当 b ＝ 0 时，函数为正比例函数 y ＝ kx，图像经过原点。

12 二次函数121 表达式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）122 图像特征：一般为抛物线，对称轴为 x ＝ b ／（2a) 。

123 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，有最大值。

13 反比例函数131 表达式：y ＝ k ／ x（k 为常数，k ≠ 0）132 图像特征：是以原点为对称中心的两条曲线，当 k ＞ 0 时，图像在一、三象限；当 k ＜ 0 时，图像在二、四象限。

14 指数函数141 表达式：y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）142 图像特征：当 a ＞ 1 时，函数单调递增，图像过点(0, 1) 且在 x轴上方；当 0 ＜ a ＜ 1 时，函数单调递减。

15 对数函数151 表达式：y ＝logₐ x（a ＞ 0 且a ≠ 1）152 图像特征：与指数函数互为反函数，过点(1, 0) ，当 a ＞ 1 时，在(0, ＋∞）上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，单调递减。

三、函数图像的变换21 平移变换211 水平平移：向左平移 h 个单位，函数表达式变为 y ＝ f(x ＋ h)；向右平移 h 个单位，表达式变为 y ＝ f(x h) 。

212 垂直平移：向上平移 k 个单位，函数表达式变为 y ＝ f(x) ＋ k；向下平移 k 个单位，表达式变为 y ＝ f(x) k 。

数学的对称之谜高中数学中的对称性与变换

数学的对称之谜高中数学中的对称性与变换数学的对称之谜：高中数学中的对称性与变换数学作为一门严谨而抽象的学科，在人们的日常生活中扮演着重要的角色。

而对称性与变换作为数学的重要概念之一，不仅在高中数学教学中占据重要地位，而且在人们的生活中也扮演着重要的角色。

本文将从高中数学中的对称性和变换入手，深入探讨数学世界中的对称之谜。

一、对称性在图形中的应用对称性是数学中一个非常重要的概念，它不仅存在于图形中，也存在于代数和几何中。

图形的对称性，是指图像的某些部分按某种规律或某个中心进行镜像、旋转或平移后，与原图形完全一样。

在高中数学中，对称性常常在几何学中得到应用。

1.1 线对称与中心对称高中数学教学中，线对称与中心对称是最常见的两种对称性。

线对称，即通过某条直线将图形分成两个对称的部分，两个部分完全重合。

而中心对称，则是以某点为中心，将图形旋转180度后与原图重合。

这两种对称性在图形的判断和性质分析中非常有用。

1.2 图形的对称性和对称轴图形的对称性不仅可以通过观察外部形状来判断，还可以通过对称轴的位置和性质来确定。

例如，一个图形在纵向有对称轴，则可以判断该图形具有纵向的对称性。

对称轴的判定，对于解决图形性质和问题解决非常有帮助。

二、对称变换与刚体变换高中数学中，对称变换与刚体变换是对称性与变换的一种应用。

对称变换是指通过对称轴对图像进行镜像或旋转，在变换后保持图形的不变性。

刚体变换则是指保持图形的形状和大小的变换。

2.1 对称变换的应用对称变换在高中数学中有着广泛的应用，特别是在解决图形问题和证明性质时。

通过对称变换，我们可以将一个几何形状的性质转化为另一个较简单的形状，从而更容易解决问题。

例如，通过镜像对称变换，我们可以证明两个图形的相等性。

2.2 刚体变换的性质和应用刚体变换是指平移、旋转和镜像变换。

刚体变换可以保持图形的形状和大小不变，但是位置和方向可以改变。

在高中数学中，刚体变换被广泛应用于解决图形的平移、旋转和对称性问题。

高中函数对称性的总结

高中函数对称性的总结
什么是函数的对称性？对称可以被定义为当某一对象被某种对
称变换（包括旋转，移动等）后，依然能够得到完全相同的对象。

函数的对称性指的是在函数的几何图像上，经过某种变换，图形的形状仍然不变。

在函数的对称性中，常见的有偶函数和奇函数。

偶函数是指函数图形以y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

而奇函数是指函数图形以极点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

此外，在函数的对称性中，还有可以定义为函数的X轴对称性和Y轴对称性。

X轴对称性是指函数图形以X轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过垂直翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

而Y轴对称性是指函数图形以Y轴中点为中心对称，也就是说，把函数图形经过水平翻转得到的图形与原函数图形完全相同。

除了以上这些，我们还可以从参数的角度来看函数的对称性，有时候我们会将函数的参数的取值范围改变，会发现函数的图形也会发生变化，比如函数形如y=f(x+a)的参数a的取值变化，会使得函数的图形发生水平移动的变化，当a的取值为负值时，可以使得函数的图形整体向左移动，当a的取值为正值时，可以使得函数图形整体向右移动。

综上所述，高中函数对称性主要有偶函数，奇函数，X轴对称函
数，Y轴对称函数，以及参数变换引起的函数对称性等。

这些函数的对称性都是高中函数的有趣的特点，并且这些特性也可以帮助我们更好地理解函数，从而更好地解决函数相关的数学问题。

函数的图像及其变换

的图像可由y＝f(x)的图像向上平移b个单位而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．
(2)对称变换 y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于 y轴 y＝－f(x)与y＝f(x)的图像关于 x轴对称；对称；对称；
y＝－f(－x)与y＝f(x)的图像关于原点
y＝|f(x)|的图像可将y＝f(x)的图像在x轴下方的部分
AD，当点C落在X轴上时，h′＝CF，显然AD＝CF，即当“中心点”M位于最高处时，“最高点”与X轴的距离相等，选项B不符，故选A.
【答案】 A
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
立足教育开创未来
► 探究点3 判断、证明函数的单调性题型三：函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围，使方程f(x)=mx有4个不同实根.
方法二 y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像分别由y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x) 与y＝f(－x)的图像关于y轴对称． ∴y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图像关于直线x＝1对称．
【答案】 (1)g(x)＝－ln(x－1) (2)D
变式
(1)已知函数 f(2x＋1)是奇函数，则函数 y＝f(2x) )
【解析】如图所示，不妨设正三角形ABC的边长为a，记“中心点”M与X轴的距离为h，记“最高点”与 X轴的距离为h′.由图可知，当三段弧的中点落在X轴上时，h最小，此时h＝MD；当点A、B、C落在X轴上时， h最大，h＝MC，故“中心点”M的位置先低后高，呈周期性变化，排除选项C与D.当点D落在X轴上时，h′＝

高中数学教案：函数图像的变换及性质

高中数学教案：函数图像的变换及性质一、引言在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。

理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。

本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。

二、函数图像的平移1. 平移的概念与特点平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。

在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。

平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。

2. 平移的公式与例题水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。

垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。

例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。

三、函数图像的伸缩1. 伸缩的概念与特点伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。

在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。

伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。

2. 伸缩的公式与例题横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。

纵向伸缩的公式为kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。

例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。

四、函数图像的翻转1. 翻转的概念与特点翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。

在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。

翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。

2. 翻转的公式与例题左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。

高考数学中的函数图像对称性

高考数学中的函数图像对称性数学是一门需要不断练习和思考的学科，高考数学中的函数图像对称性是其中重要的一个部分。

在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，而图像的对称性对于函数的研究和分析具有非常重要的意义。

一、基础概念首先，我们需要了解的是什么是对称性。

在几何学中，对称性是指一个图形相对于某个线段、点或面的对称变换使得它自身与镜子中的图像重合。

在函数图像中，对称性是指函数图像相对于某个直线对称后会得到一样的图像。

比如，若函数图像相对于直线y=x对称，那么得到的图像也是一样的。

二、函数图像的对称性1. 奇偶性在高中数学中，我们经常会遇到奇函数和偶函数。

奇函数指的是当自变量x取相反数时，函数y取相反数，即f(-x)=-f(x)；偶函数则指当自变量x取相反数时，函数y不变，即f(-x)=f(x)。

从几何上来看，一个函数如果是奇函数，那么它的图像关于原点对称；而如果是偶函数，它的图像关于y轴对称。

因此，对于一个函数f(x)，如果它既不是奇函数也不是偶函数，那么它的图像就不具有对称性。

2. x轴和y轴的对称性当一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，它就是一个偶函数，这时它的图像关于y轴对称。

这种对称性在数学研究中是非常常见的，比如一些多项式函数和三角函数等。

另外，当一个函数f(x)满足f(x)=0时，它就在x轴上，且图像上下对称。

这是因为，如果将图像沿x轴反转，它会和原来的图像重合。

3. 极轴对称性在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r,θ)表示。

若一个点在它的对称点处，则它们到极轴的距离相等，且它们的角度加起来为180度。

在函数图像中，若一个点(x,y)关于极轴对称，则它的对称点为(-x,y)。

因此，如果一个函数图像关于极轴对称，它的图像会在圆心进行对称，即圆心处的点不动。

4. 对称形状在数学图形中，圆、正方形和正多边形等都具有各种不同的对称性，它们的图像所显示的对称性与其形状有关。

比如，当一个正方形图形关于一条对角线对称时，它的图像不变；而当它关于一条边对称时，它的图像会旋转180度。

高中数学知识点总结(第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节函数的图象)

第五节函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f x 整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称．考点一作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[解析] 法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.[答案] D [解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数，所以不等式f x－f －xx<0可化为f xx<0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)，所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94；当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.B 级1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1. 令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1，当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1，解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。

高中数学函数图像的对称变换新人教A版必修1

学案7 函数图像的对称变换一、课前准备：【自主梳理】1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于对称．2、奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称．3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图像关于直线对称．（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点对称．4、对0a >且1a ≠，函数xy a =和函数log a y x =的图象关于直线对称．5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变．6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．【自我检测】23、函数xy e =-的图象与函数的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x=对称，则C '的解析式为．5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关于对称．6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为．二、课堂活动：【例1】填空题：（1（2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有(1)(1)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线1x =对称；③若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 是偶函数；④函数(1)y f x =+与函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称．（3）将曲线lg y x =向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到曲线C ．如果曲线C '与C 关于原点对称，则曲线C '所对应的函数式是．（4）当1a >时，已知1x ，2x 分别是方程1xx a +=-和log 1a x x +=-解，则12x x +的值为．【例2】作出下列函数的图象：（1）12log ()y x =-；（2）12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（3）2log y x =；（4）21y x =-．【例3】（1）将函数12log y x =的图象沿x 轴向右平移1个单位，得图象C ，图象C '与C 关于原点对称，图象C ''与C '关于直线y x =对称，求C ''对应的函数解析式；（2）已知函数()y f x =的定义域为R ，并且满足(2)(2)f x f x +=-．①证明函数()y f x =的图象关于直线2x =对称；②若()f x 又是偶函数，且[]0,2x ∈时，()21f x x =-,求[]4,0x ∈-时()f x 的表达式．三、课后作业1、函数3(1)1y x =++的对称中心是．2、如果函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()f x = ．3、设()3x af x +=，若要使()f x 的图象关于y 轴对称，则a = ．4、已知函数()sin 2cos2 ()f x a x x a R =+∈图象的一条对称轴方程为12x π=，则a = ．5、已知函数2()f x x bx c =-+，(0)3f =，且(1)(1)f x f x +=-，则()xf b 与()xf c 的大小关系为．6、函数321x y x +=-+在(),a -∞上单调递减，则实数a 的范围为． 7、若函数()y f x =的图象过点()1,1，则(4)f x -的图象一定过点． 8、定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称，对任意实数x 都有3()()02f x f x ++=且(1)1f -=，(0)2f =-，则(0)(1)(2)(2009)f f f f ++++= ．9、设函数2()sin()2cos 1468x xf x πππ=--+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4[0,]3x ∈时()y g x =的最大值．10、设曲线C 的方程是3y x x =-，将C 沿x 轴、y 轴正方向分别平移t 、s (0)t ≠个单位长度后得到曲线1C ．（1）写出曲线1C 的方程；（2）证明曲线C 与1C 关于点(,)22t s A 对称；（3）如果曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，证明：34t s t =-．四、纠错分析学案7 函数图像的对称变换参考答案【自我检测】1．原点 2．x 轴 3．xy e -= 4．2log y x = 5．直线1x = 6．8 【例1】（1）必要不充分条件（2）①③ （3）lg(1)2y x =--++ （4）1- 【例2】（1）作12log y x =的图象关于y 轴的对称图形．（2）作12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴的对称图形．（3）作2log y x =的图象及它关于y 轴的对称图形．（4）作21y x =-的图形，并将x 轴下方的部分翻折到x 轴上方．（图略）【例3】（1）21x y =--（2）①证明：设()00,P x y 是函数()y f x =的图象上任意一点，则00()y f x =．点P 关于直线2x =的对称点P '的坐标应为()004,x y -． ∵[][]00000(4)2(2)2(2)()f x f x f x f x y -=+-=--==． ∴点P '也在函数()y f x =的图象上． ∴函数()y f x =的图象关于直线2x =对称．②解析：由()21f x x =-，[]0,2x ∈及()f x 为偶函数，得()()21f x f x x =-=--，[]2,0x ∈-；当[]2,4x ∈时，由()f x 图象关于2x =对称，用4x -代入()21f x x =-，得()(4)()24127f x f x x x -==--=-+，[]2,4x ∈，再由()f x 为偶函数，得()27f x x =+，[]4,2x ∈--．故[](]27 , 4,2()2 1 , 2,0x x f x x x +∈--⎧⎪=⎨--∈-⎪⎩．课后作业：1．()1,1- 2．23x -- 3．0 45．()()xxf b f c ≤ 6．(],1-∞- 7．()3,1 8．09．解：（1）()f x =sincoscossincos46464x x x πππππ--3cos 424x x ππ-sin()43x ππ-故()f x 的最小正周期为T =24ππ =8．(2)在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - ．由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =的图象上，从而()(2)sin[(2)]43g x f x x ππ=-=--sin[]243x πππ--cos()43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433x ππππ≤+≤，因此()y g x =在区间4[0,]3上的最大值为max 3g π==10．解：（1）曲线1C 的方程为3()()y x t x t s =---+；（2）证明：在曲线C 上任意取一点111(,)B x y ，设222(,)B x y 是1B 关于点A 的对称点，则有1212,2222x x t y y s++==，∴1212,x t x y s y =-=-代入曲线C 的方程，得22,x y 的方程：3222()()s y t x t x -=---即3222()()y x t x t s =---+，可知点222(,)B x y 在曲线1C 上．反过来，同样证明，在曲线1C 上的点A 的对称点在曲线C 上．因此，曲线C 与1C 关于点A 对称．（3）证明：因为曲线C 与1C 有且仅有一个公共点，∴方程组33()()y x xy x t x t s⎧=-⎪⎨=---+⎪⎩有且仅有一组解，消去y ，整理得22333()0tx t x t t s -+--=，这个关于x 的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0t t t t s ∆=---=，即得3(44)0t t t s --=，因为0t ≠，所以34t s t =-．。

高中数学高考重点难点讲解函数图像与图像变换

难点10 函数图象与图象变换函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求b 的范围.●案例探究［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x 的值均有f(x+a)=f(a －x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a 对称；(2)若函数f(x)对一切实数x 都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化. 技巧与方法：数形结合、等价转化.(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a －x),∴f(2a －x0)=f ［a+(a －x0)］=f ［a －(a －x0)］=f(x0)=y0,∴(2a －x0,y0)也在函数的图象上，而2)2(00x x a +-=a,∴点(x0,y0)与(2a －x0,y0)关于直线x=a 对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数y=x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a+1、a+2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f(a),△A ′BC ′的面积为g(a).(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼. 技巧与方法：数形结合、等价转化.解：(1)连结AA ′、BB ′、CC ′,则f(a)=S △AB ′C=S 梯形AA ′C ′C －S △AA ′B ′－S △CC ′B=21(A ′A+C ′C)=21(2++a a ),g(a)=S △A ′BC ′=21A ′C ′·B ′B=B ′B=1+a .0)11121(21)]1()12[(21)122(21)()()2(<++-+++=-+-+-+=+-++=-a a a a a a a a a a a a g a f ∴f(a)<g(a). ●锦囊妙计1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视. ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)当a ≠0时，y=ax+b 和y=bax 的图象只可能是()2.(★★★★)某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y 轴表示离学校的距离，x 轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是()二、填空题3.(★★★★★)已知函数f(x)=log2(x+1)，将y=f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，则函数F(x)=f(x)－g(x)的最大值为_________. 三、解答题4.(★★★★)如图，在函数y=lgx 的图象上有A 、B 、C 三点，它们的横坐标分别为m,m+2,m+4(m>1).(1)若△ABC 面积为S ，求S=f(m); (2)判断S=f(m)的增减性.5.(★★★★)如图，函数y=23|x|在x ∈［－1,1］的图象上有两点A 、B ，AB ∥Ox 轴，点M(1，m)(m ∈R 且m>23)是△ABC 的BC 边的中点.(1)写出用B 点横坐标t 表示△ABC 面积S 的函数解析式S=f(t); (2)求函数S=f(t)的最大值，并求出相应的C 点坐标.6.(★★★★★)已知函数f(x)是y=1102+x－1(x ∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=－21-x 的图象关于y 轴对称，设F(x)=f(x)+g(x). (1)求函数F(x)的解析式及定义域；(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 的坐标；若不存在，说明理由.7.(★★★★★)已知函数f1(x)=21x -,f2(x)=x+2,(1)设y=f(x)=⎩⎨⎧∈--∈]1,0[),(3)0,1[),(21x x f x x f ，试画出y=f(x)的图象并求y=f(x)的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积；(2)若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不等的实根，求实数a 的范围.(3)若f1(x)>f2(x －b)的解集为［－1，21］，求b 的值.8.(★★★★★)设函数f(x)=x+x 1的图象为C1，C1关于点A(2，1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x).(1)求g(x)的解析表达式；(2)若直线y=b 与C2只有一个交点，求b 的值，并求出交点坐标；(3)解不等式logag(x)<loga 29(0<a<1).参考答案难点磁场解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0,又f(x)的图象过(1，0)，∴f(x)=a+b+c ①,又有f(－1)＜0,即－a+b －c ＜0②,①+②得b ＜0,故b 的范围是(－∞,0) 解法二：如图f(0)=0有三根，∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x －1)(x －2)=ax3－3ax2+2ax,∴b= －3a,∵a>0,∴b ＜0. 歼灭难点训练一、1.解析：∵y=bax=(ba)x,∴这是以ba 为底的指数函数.仔细观察题目中的直线方程可知：在选择支B 中a>0,b>1,∴ba>1,C 中a ＜0,b>1,∴0＜ba ＜1,D 中a ＜0,0＜b ＜1,∴ba>1.故选择支B 、C 、D 均与指数函数y=(ba)x 的图象不符合. 答案：A2.解析：由题意可知，当x=0时，y 最大，所以排除A 、C.又一开始跑步，所以直线随着x 的增大而急剧下降. 答案：D二、3.解析：g(x)=2log2(x+2)(x>－2) F(x)=f(x)－g(x)=log2(x+1)－2log2(x+2)=log21441log 441log )2(122222+++=+++=++x x x x x x x x )1(21111log 2->++++=x x x∵x+1>0,∴F(x)≤41log 211)1(21log 22=++⋅+x x =－2当且仅当x+1= 11+x ,即x=0时取等号.∴F(x)max=F(0)=－2. 答案：－2三、4.解：(1)S △ABC=S 梯形AA ′B ′B+S 梯形BB ′C ′C －S 梯形AA ′C ′C. (2)S=f(m)为减函数.5.解：(1)依题意，设B(t,23 t),A(－t, 23t)(t>0),C(x0,y0). ∵M 是BC 的中点.∴20x t +=1,223y t + =m.∴x0=2－t,y0=2m －23t.在△ABC 中，|AB|=2t,AB 边上的高hAB=y0－23t=2m －3t. ∴S=21|AB|·hAB= 21·2t ·(2m －3t),即f(t)=－3t2+2mt,t ∈(0,1).(2)∵S=－3t2+2mt=－3(t －3m )2+32m ,t ∈(0,1],若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<23130m m ，即23＜m ≤3,当t=3m 时，Smax=32m ,相应的C 点坐标是(2－3m , 23m),若3m>1,即m>3.S=f(t)(0，1］上是增函数，∴Smax=f(1)=2m －3,相应的C 点坐标是(1，2m －3).6.解：(1)y=1102+x－1的反函数为f(x)=lg x x+-11(－1＜x ＜1). 由已知得g(x)=21+x ,∴F(x)=lg x x +-11+21+x ,定义域为(－1，1).(2)用定义可证明函数u=x x +-11=－1+12+x 是(－1，1）上的减函数，且y=lgu 是增函数.∴f(x)是(－1，1）上的减函数，故不存在符合条件的点A 、B.7.解：(1）y=f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧∈+--∈-]1,0[,1)0,1[,12x x x x .图略.y=f(x)的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积为(2+2)π. (2)当f1(x+a)=f2(x)有两个不等实根时，a 的取值范围为2－2＜a ≤1.(3)若f1(x)>f2(x －b)的解集为［－1，21］，则可解得b=235-.8.(1)g(x)=x －2+41-x .(2)b=4时，交点为(5，4)；b=0时，交点为(3，0). (3)不等式的解集为{x|4＜x ＜29或x>6}.。

高中数学函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x)定义域为A ，区间MA ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称f(x)在区间M 上是增函数，当Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称f(x)在区间M 上是减函数．如果y ＝f(x)在某个区间M 上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f(x 1)与f(x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f (x)的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y=f(x)的最小正周期，则||T 为y=Af(ωｘ+φ)+b 的最小正周期，其中ω≠０．对称性：若函数y=f(x)满足f(a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(x ＋a) y=f(x)上下平移y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称y=－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称；y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f (a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠０，试确定函数21)(xax x f 在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xxx f 2)(的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞）上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(n f m f n m f 且当21x时，f(x)＞0．又.0)21(f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(f f (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxx f (2)11)()(xx aa x x f (其中φ(x)为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2x bxxa x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x)=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出112xx y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)1)1(32x y(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x ．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x －1｜．例题解析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx=x 2－x 1＞0，则)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，当a ＜0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0．所以当a ＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞）上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(xxx f 当且仅当x x2即2x 时“=”成立，即当2x 时，f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx=x 2－x 1＞0则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y因为,2021x x Δx=x 2－x 1＞0，且02121x x ，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0，故f(x)在]2,0(上是减函数．同理可证f(x)在),2[是增函数．又由),(2)(x f xxx f 可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在]2,(上是增函数，在)0,2[上是减函数．综上所述，x xx f 2)(在]2,(和),2[上是增函数，在)0,2[，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞），且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x 1)＞f(4－x 2)而由已知又有f(4－x 1)=f(x 1)，f(4－x 2)=f(x 2)，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(2，＋∞）上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f (x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞）上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f(m ＋n)=f(m)＋f(n)21得f(0)=f(0＋0)=2f(0)21有f(0)=－21又由及0)21(f 得1)21(f (Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112x x 根据已知可得)21(12x x f 则有21)()()()(1121122x f x x f x x x f x f 21)(21)21()21(21)()2121(112112x f f x x f x f x x f ).(1)(11)()21(0111x f x f x f f 函数f(x)在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122xx x xx x，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f xxxxxx x f 所以)1lg()(2xxx f 是奇函数(2)函数的定义域为R ．任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(xx xxxx aa x a a x aa x x f 所以11)()(xx aa x x f 是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f(－x)=－f(x)成立，即1122bx xa x bxxa x ，也就是1122bxxa x bxxa x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．所以1)(2xx x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx=x 2－x 1＞0 则)1)(1()1)((11)()(2221211221122212xxx x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2xx x f 为增函数．注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f (－1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f(－x)=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f(x)=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f(x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x －4)=f(x)故x ∈[1，2]时f(x)=(x －3)2＋1．例9解：因为112112x x x y所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xx y的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2)渐近线分别为x=－1，y=2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞）上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy ，如图．(2)y=｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y=lg x 的图象，在根据奇偶性作出y=lg ｜x ｜的图象，最后将y=lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y=1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y)则220y y x x 即yy x x 00因为点P(x 0，y 0)在f (x)=x 2＋2x 的图像上，所以20xy 2x 0，即－y=(－x)2＋2(－x)故g(x)=－x 2＋2x ．(2)由g(x)≥f(x)－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解．当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211x，因此g(x)≥f(x)－｜x －1｜解集为].21,1[。

高中函数图形知识点总结

高中函数图形知识点总结一、基本函数图形1. 直线函数：直线函数的一般式为y=kx+b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。

当k>0时，直线向右上倾斜；当k<0时，直线向右下倾斜；当k=0时，直线平行于x轴。

2. 幂函数：幂函数的一般式为y=x^a，其中a为实数。

当a>0时，函数图像在第一象限且右上凹；当0<a<1时，函数图像在第一象限且右下凹；当a<0时，函数图像在第二三象限。

当a为偶数时，函数图像在第一、第四象限对称；当a为奇数时，函数图像以原点对称。

3. 指数函数：指数函数的一般式为y=a^x，其中a为底数，且a>0且不等于1。

当a>1时，函数图像在第一象限且上凹；当0<a<1时，函数图像在第一象限且下凹。

指数函数的图像都会过点（0,1）。

4. 对数函数：对数函数的一般式为y=log_a(x)，其中a为底数，且a>0且不等于1。

对数函数的图像可以通过指数函数的图像得到，它们互为反函数。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的图像都具有周期性和对称性。

二、函数图形的性质和特点1. 函数的奇偶性：若对任意x∈D，f(-x)=f(x)则函数f(x)称为偶函数；若对任意x∈D，f(-x)=-f(x)则函数f(x)称为奇函数。

2. 函数的单调性：若对任意的x1<x2，都有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在区间上是单调增加或单调减少的。

3. 函数的最值点：对于函数f(x)来说，若在x0处f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称x0为f(x)的极大值点（或极小值点）。

4. 函数的凹凸性：对于函数f(x)来说，若在定义域上的区间I内的任意两点x1、x2，都满足f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2，则称f(x)在区间I上是凹函数；若满足f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2，则称f(x)在区间I上是凸函数。

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高中数学中的函数与图像对称性质与图形变
换
在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。

这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。

本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。

函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。

常见的对称性质包括轴对称和中心对称。

轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。

这些对称性质在数学中的应用非常广泛。

例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。

另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。

图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。

常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。

平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。

这些图形变换在数学中有着广泛的应用。

例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。

此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。

函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。

例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。

具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。

同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。

这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。

除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。

例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的
对称性质。

具体而言，如果一个函数满足$f(-x)=-f(x)$，那么它是奇函数，其图像
关于原点对称；如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么它是偶函数，其图像关于y轴
对称。

此外，我们还可以通过图形的旋转对称性来判断图形的性质。

具体而言，如果一个图形在旋转180度后与原来的图形完全重合，那么它是旋转对称的；如果一个图形在旋转180度后与原来的图形相似但不完全重合，那么它是旋转相似的。

这些概念在几何学中有着广泛的应用。

总之，高中数学中的函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。

它们不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。

通过研究函数与图像的对称性质和图形的变换，我们可以更好地理解数学的本质，并将其应用于实际生活中。

因此，在学习数学的过程中，我们应该注重对函数与图像的对称性质和图形的变换的学习和理解。