图像奇异性表征机理分析比较

图像奇异性表征机理分析比较
郑玮
【摘要】Singularity in images carry massive essential information,which is crucial to further analysis.We need to adopt different methods according
to the elements in image singularity. Wavelet transform and curvelet transform are two important methods for sparse representation and are widely used in numerous fields.In this paper, wavelet transform and curvelet transform are used to analyze the effects of different singularity in images.The experimental results and theoretical analysis both demonstrate that wavelet is good at noises in images but cannot represent the edges effectively.On the contrary,curvelet is very suitable for the curve edge.%图
像奇异性包含的许多重要信息对于图像的进一步分析具有重要作用。

对于图像中的不同奇异性通常需要采用不同的方法表示。

小波变换和曲波变换作为稀疏表示中的重要方法，具有广泛的应用。

分析了小波变换和曲波变换对于图像奇异性表证的不同效果。

实验结果和理论分析均表明小波变换对于图像中的点奇异性具有很好效果，但对于线奇异性表示则不够稀疏，曲波则可以高效地表示图像边缘的曲线奇异性。

【期刊名称】《金陵科技学院学报》
【年(卷),期】2016(032)002
【总页数】5页(P34-38)
【关键词】稀疏表示;图像分类;稀疏编码;特征编码;小波;曲波
【作者】郑玮
【作者单位】金陵科技学院计算机工程学院，江苏南京 211169
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
图像奇异性表征机理分析主要是指对图像噪声点、图像边缘信息的分析。

通常这些信息对于图像的进一步的分析，如目标识别、图像分割、图像分形等都具有重要作用[1-3]。

因此对于图像奇异性表征机理的研究具有重要意义。

本文主要比较了小
波变换和曲波变换对于图像奇异性分析的不同效用。

小波依赖于尺度和位置各项同性的元素所组成的字典，对于点奇异性具有较好效果，而对于诸如线状或者曲线状的高度各项异性成分则不能高效地表示。

为了克服小波变换没有利用图像边缘曲线正则性的缺点，脊波变换与曲波变换先后被提出。

与小波变换不同，脊波变换需要计算所有方向和位置的线积分，因此脊波变换对于直线奇异性具有很好效果。

对于图像边缘是曲线状而非直线的情况，脊波就很难高效地表示。

第一代曲波变换按照局部方式应用脊波原理，这样在细尺度情形下，曲线边缘可以近似为直线。

然而第一代曲波存在索引结构复杂、冗余度较高的缺点，为此有的学者提出了第二代曲波。

第二代曲波的索引结构仅包含尺度、方向(角度)和位置3个参数，此外第二代曲波没有采用局部脊波变换，因此可以设计快速算法。

连续小波变换可以通过使用一个单变量函数及其伸缩、平移函数系作为分析函数。

对于一个一维(1-D)实值函数∈L2(R)，其中L2(R)是平方可积函数空间，Morlet-Grossmann定义的连续小波变换(CWT)为
其中；为小波系数；为母小波，是其复共轭；为尺度参数；b∈R为位置参数。

在傅立叶域小波可以表示为
离散小波变换在原始域和傅立叶域都具有良好的局部性，适合于多分辨率分析[4]。

通过多分辨率分析构造出低通滤波器h和高通滤波器g，对于双正交小波可以引
入h和g的对偶滤波器和构造一个完全重构滤波器组[5]。

对于高维离散小波可以通过尺度函数φ和小波函数ψ分离张量积推广到任意维。

对于二维小波通过分离变量依次产生水平、垂直和对角方向，尺度函数定义为。

细节系数图像分别通过垂直方向小波、水平方向小波和对角方向小波得到。

对于每一个分辨率上都产生3幅小波子带。

其中j表示小波的层数。

对于抽取式二维小波每一层由上一层下采样得到。

对于非轴取式小波变换过程可由图1表示。

第一代曲波可以看作对局部区域应用脊波变换，其主要思想是首先将图像分解为系列小波子带，然后将每个子带经窗口光滑地划分为尺度合适的方块，约为2-j，最后对每个方块进行脊波分析。

第一代曲波的流程[6-9]如图2所示。

由于第一代曲波存在一些缺点，如构造的索引过于复杂、假设的抛物形尺度律不一定成立、冗余度较高等。

第二代曲波变换仅使用3个参数(尺度、方向和位置)，并且实现了紧框架展开，因此冗余度更低。

与第一代曲波相比，第二代曲波没有采取脊波变换，而是设计了一个快速算法。

对于连续情况，第二代曲波为母函数φj平移、旋转所得。

尺度为2-j、方向为θl、位置为的曲波定义为
其中Rθl为弧度θl的旋转运算；变量θl为等间隔旋转角度序列θl=2π2-⎣j/2l，l 是整数使得0≤θl≤2π；∈Z2为平移参数序列。

波形φj通过傅立叶变换定义，在极坐标下傅立叶域定义为
其中，j的支撑是由径向窗口和角度窗口的支撑定义的抛物楔形，所应用的径向和
角度窗口在每个方向上都是尺度依赖的，如图3所示。

在连续频率v下，二维函数f(t)的第二代曲波系数定义为内积：
实验分别比较了小波变换和第一代曲波变换对图像奇异性分析的作用。

实验数据分别采用matlab小波工具箱中的tartan、bust、chess、facets图像。

原始图像如
图4所示。

小波变换采用了matlab中的wavelet工具箱。

图5至图8分别是小波变换与曲波在4幅图像上的实验结果。

(1)～(3)分别为垂直方向、水平方向和对角方向的小波变换，(4)为曲波变换。

图像理解，如目标检测、目标识别、语义分割、图像分形等，都需要对图像奇异性表征机理进行分析。

对于图像不同奇异性通常需要利用适合的分析方法。

本文比较了小波变换和曲波变换对于图像奇异性表征机理的效果。

小波变换对于图像的点奇异部分效果较好，而无法高效地表示图像中诸如线状或者曲线状的高度各项异性成分。

而曲波变换可以很好地刻画图像中曲线奇异性成分。

【相关文献】
[1] Grandi G F, Lee J S, Schuler D, et al. Singularity Analysis With Wavelets in Polarimetric SAR Imagery for Vegetation Mapping Applications[C]//IEEE: Geoscience and Remote Sensing Symposium. NewYork: IGARSS Proceedings, 1999
[2] Donoho D, Buckheit J, Chen S, et al, About Waveleb[M]. NewYork: NA Slingker, 1995
[3] Starck J L, Murtagh F, Fadili J M. Sparse Image and Signal Processing: Wavelets, Curvelets, Morphological Diversity[M]. Cambridge University Press, 2010
[4] Mallat S G. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: the Wavelet Representation[J]. Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2009, 11(7): 674-693
[5] Daubechies I. Orthonormal Bases of Compactly Supported Wavelets[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1988, 41(7): 909-996
[6] Starck J L, Murtagh F, Candes E J, et al. Gray and Color Image Contrast Enhancement by the Curvelet Transform[J]. Image Processing, 2013, 12(6): 706-717
[7] Candes E, Demanet L. Curvelets and Fourier Integral Operators[J]. Comptes Rendus Mathematique, 2013(5): 395-398
[8] Candès E J, Donoho D L. New Tight Frames of Curvelets and Op timal Representations of Objects with Piecewise C2 Singularities[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 2014, 57(2): 219-266
[9] Candes E J, Donoho D L. Continuous Curvelet Transform: I. Resolution of the Wavefront Set[J]. Applied and Computational Harmonic Analysis, 2005, 19(2): 162-197。