球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切、接问题专题(一))

近年来，高考命题中球与各种几何体的切、接问题主要以选择题、填空题为主，大题较少出现。在此之前，需要明确两个定义：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

一、球与柱体的切接。规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、球与正方体。正方体有三种形态：内切球、棱切球和

外接球。内切球的位置关系为正方体的六个面都与一个球相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=a。棱切球的位置关

系为正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=2a。外接球的位置关系为正方体的八个顶点在

同一个球面上，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=3a。

例如，对于一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如果

其8个顶点都在球O的表面上，那么直线EF被球O截得的线段长为2.

2、球与长方体。长方体的外接球直径是长方体的对角线。例如，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为32π。

3、球与正棱柱。正棱柱的外接球的球心是上下底面中心

的连线的中点。

结论2：直三棱柱的外接球的球心位于上下底面三角形外

心的连线的中点。

二、球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、正四面体与球的切接问题

1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四

个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= h=6a/√3；

例4：正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为R= a/√6.

解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离。因为AB=a，所以正四面体的高h=2a/√6，又V(A-BCD)=4VO-BCD，所以

R=h/3= a/√6.

2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点

都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R=3h=6a；（可用正四面体高h减去内切球的半

径得到）

例5：求棱长为1的正四面体外接球的半径。

设SO1是正四面体S-ABC的高，外接球的球心O在SO1上，设外接球半径为R，AO1=r，则在△ABC中，用解直角

三角形知识得r=1/√3，从而SO1=SA2-AO12=2/√3，解得

R=√3/2.

结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且

其高线通过球心，这是构造直角三角形解题的依据。此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点，此问题便迎刃而解，正四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的。

3）正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与

球面相切，正四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R=3h=2a,h=√6a/3.

例6：棱长为1的正四面体的棱切球的半径为√6/6.

例7：设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球

是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比。

为什么正四面体的外接球和内切球心是同一个点？

其他棱锥与球的切接问题：

1.球与正棱锥的组合有两类：一是球为三棱锥的外接球，

此时可以构造直角三角形进行求解；二是球为正棱锥的内切球，球心到四个面的距离相等，都为球半径R。这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积。

2.球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何

性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解。

结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通

过计算找到。

结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公

共斜边的中点就是其外接球的球心。

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处。以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法：

途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个

面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体。

途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对

的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体。

途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成

长方体或正方体。

途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补

成长方体或正方体。

例8：正三棱锥的高为1，底面边长为26，正三棱锥内有

一个球与其四个面相切。求球的表面积与体积。

解析：由等体积法可得球的半径R为6-2/23.球的表面积

为4πR²，体积为4/3πR³。

例9（福建高考题）：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且

侧棱长均为3，则其外接球的表面积是多少？

解析：由结论2得到，该三棱锥的外接球的球心为三棱锥中心，即棱锥底面中心，球半径为3/2.故外接球的表面积为

4πR²=9π。

例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥S-ABC的所有

顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC

是球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为（）A。2322 B。6632 C。D.