奇偶性知识点总结

函数的奇偶性知识点总结
本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性
常见函数的奇偶性
（1）二次函数()0)(2
≠=a ax x f 和()0)(2
≠+=a c ax x f 都是偶函数;
（2）正比例函数()0)(≠=k kx x f 和反比例函数()0)(≠=
k x
k
x f 都是奇函数. 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.
对函数奇偶性定义的理解
（1）注意定义中的x 的任意性,如果函数)(x f 的定义域中存在0x ,有)()(00x f x f ≠-,或
)()(00x f x f -≠-,则函数)(x f 不是偶函数或奇函数.
（2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.
（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与)(x f 的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.
（4）如果函数)(x f 是偶函数,则0)()(=--x f x f ,若0)(≠x f ,则还有
1)
()
(=-x f x f ;如果函数)(x f 是奇函数,则0)()(=+-x f x f ,若0)(≠x f ,则还有
1)
()
(-=-x f x f . （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即0)(=x f ,∈x D ,且D 关于原点对称. （6）偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,图象关于y 轴对称的函数是偶函数;奇函数的图象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.
因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数)(x f 是偶函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即
())(,a f a -也在函数)(x f 的图象上,点())(,a f a 与点())(,a f a -关于y 轴对称;
若函数)(x f 是奇函数,点())(,a f a 在函数)(x f 的图象上,则点())(,a f a --,即
())(,a f a --也在函数)(x f 的图象上.点())(,a f a 与点())(,a f a --关于原点对称.
★（8）如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.
（9）特别说明,若函数)(x f 是偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.
偶函数的图象特征
若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数是偶函数.
下面分别是函数4
x y =和函数1+=x y 的图象,它们都是偶函数.
奇函数的图象特征
若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数x
y 2
=
和对勾函数x x y 4+=的图象,它们都是奇函数.
知识点二 函数奇偶性的判定
判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性
（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.
（2）判 求出)(x f -,然后根据)(x f -与)(x f 的关系,确定函数的奇偶性;
①若)()(x f x f =-,或0)()(=--x f x f ,或1)
()
(=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是偶函数;
②若)()(x f x f -=-,或0)()(=+-x f x f ,或1)
()
(-=-x f x f （0)(≠x f ）,则函数)(x f 是奇函数;
③若)()(x f x f ±≠-,则函数)(x f 是非奇非偶函数.
说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数a ,有
)()(a f a f ≠-（或)()(a f a f -≠-）即可.(见后面的相关例题)
图象法判断函数的奇偶性
对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于y 轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性
两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇+奇=奇; 偶+偶=偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） 奇⨯奇=偶; 偶⨯偶=偶; 奇⨯偶=奇. 知识点三 奇函数和偶函数的性质
（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;
（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; （3）单调性的“奇同偶异”性
如果函数)(x f 是奇函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果函数)(x f 是偶函数,那么函数)(x f 在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为“奇同偶异”.
函数的奇偶性与函数值及最值的关系
与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.
与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另
一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性
对于复合函数())(x g f ,若)(x g 为偶函数,则())(x g f 为偶函数;若)(x g 为奇函数,则
())(x g f 的奇偶性与)(x f 的奇偶性相同.其中())(x g f 的定义域关于原点对称.
题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性:
（1）1)(23--=x x x x f ; （2）x
x x f 1
)(-=; （3）22)(+--=x x x f .
分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.
解:（1）函数1
)(2
3--=x x x x f 的定义域为()()+∞∞-,11, ,不关于原点对称,所以该
函数是非奇非偶函数; （2）函数x
x x f 1
)(-=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. ∵)(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=+-=--
-=- ∴该函数是奇函数;
（3）函数22)(+--=x x x f 的定义域为R ,关于原点对称.
∵()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=- ∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数x
a
x x f +
=2)(（∈a R ）的奇偶性. 分析:该函数的解析式里面含有参数a ,当参数影响到判断)(x f -与)(x f 的关系时,要
对参数进行分类讨论.
解:函数x
a
x x f +
=2)(的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,2)(x x f =
∵())()(22
x f x x x f ==-=-
∴)(x f 为偶函数; 当0≠a 时,())()(22
x f x a x x a x x f ≠-=-+
-=-,且x
a x x f x f --=-≠-2)()(. ∴函数)(x f 是非奇非偶函数.
综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,函数)(x f 是非奇非偶函数. 例3. 已知函数1)(2+-+=a x x x f ,∈x R ,a 为实数,判断)(x f 的奇偶性. 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取
值情况,看是否会影响到)(x f -与)(x f 的关系,必要时要对参数进行分类讨论.
在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个a ,使)()(a f a f ≠-或
)()(a f a f -≠-,则函数)(x f 就不是偶函数或减函数.
解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 当0=a 时,11)(22++=+-+=x x a x x x f . ∵())(11)(22
x f x x x x x f =++=+-+-=-
∴函数)(x f 为偶函数;
当0≠a 时,∵1)(2+=a a f ,12)(2++=-a a a f ∴)()(a f a f ≠-,且1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数)(x f 为非奇非偶函数.
综上所述,当0=a 时,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时, 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数.
例4. 已知函数x
ax x f 1
)(2+=,其中a 为实数,判断函数)(x f 的奇偶性. 解:函数x
ax x f 1
)(2+=的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0=a 时,x
x f 1
)(=
,函数)(x f 为奇函数;
当0≠a 时,∵()x
ax x x a x f 11)(22
-=-+
-=- ∴)()(x f x f ≠-,且)()(x f x f -≠- ∴函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数.
综上所述,当0=a 时, 函数)(x f 为奇函数;当0≠a 时,函数)(x f 既不是偶函数,也不是奇函数. 例5. 判断函数1
111)(2
2+++-++=
x x x x x f 的奇偶性.
分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究)(x f -与)(x f 的关系时会比较困难,我们可以研究)(x f -与)(x f 的和、差、商,来进行奇偶性的判断.
解:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. ∵1
1111
111)()(2
22
2+++-+++
+-+--+=
+-x x x x x x x x x f x f
()()()()
()()
()(
)
1
1111
21121111111112
2
22222
2
2
2
2
2
2
2
=++++-+-+-++---+=
++++-+--+++-+=
x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.
解法二:函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 当0=x 时,0)(=x f ;当0≠x 时,0)(≠x f
∵
()()()()
11111
1111
111111
1)
()
(2
2
222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x x
x x
x x x x x x x x x x x x x f x f
1221211212222-=-=-+-+---+=x
x x x x x x x ∴)()(x f x f -=-
综上所述,函数)(x f 为奇函数.
注意:
1)
()
(-=-x f x f 的前提是0)(≠x f . 题型二 分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有)()(x f x f =-或)(-)(x f x f =-成立,而不能只验证一段解析式. 在判断时,要特别注意x 与x -的范围,然后选择合适的解析式代入.
总结 若[]b a x ,∈,则[]a b x --∈-,,把x -代入[]a b --,上的解析式即可得到)(x f -.
例6. 判断函数()()⎩
⎨⎧>+<-=0,10
,1)(x x x x x x x f 的奇偶性.
解:由题意可知,函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x
∴())(1)(x f x x x f -=+-=-; 当0<x 时,0>-x
∴())(1)(x f x x x f -=--=-. 综上所述,函数)(x f 为奇函数.
例7. 函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,12
10,12
1)(22
x x x x x f ,则)(x f 【 】
（A ）是奇函数 （B ）是偶函数 （C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断 解:由题意可知函数)(x f 的定义域为()()+∞∞-,00, ,关于原点对称. 当0>x 时,0<-x
∴())(12
1
121)(22x f x x x f -=--=---
=-; 当0<x 时,0>-x ∴())(12
1
121)(22x f x x x f -=+=+-=
-. 综上所述,函数)(x f 是奇函数.选择【 A 】.
方法二:（图象法）,函数)(x f 的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数
)(x f 是奇函数.
例8. 已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22
x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.
解:当0>x 时,0<-x
∴()mx x mx x x f -=--=-22
)(
∵函数)(x f 是奇函数,∴)()(x f x f -=- ∴()x x x x mx x 22222-=+--=- ∴2=m .
题型三 抽象函数奇偶性的判断
例9. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+. 求证:)(x f 为奇函数.
分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断)(x f -与)(x f 的关系即可.考虑到0=+-x x ,所以我们可以先求出)0(f 的值.
证明:由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0==b a
∵对于任意实数b a ,,都有)()()(b f a f b a f +=+ ∴)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f
令x b x a =-=,,则0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.
例10. 已知函数)(x f ,∈x R ,若对于任意实数21,x x ,都有:
()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++.
求证:)(x f 为偶函数.
证明: 由题意可知)(x f 的定义域关于原点对称. 令0,21==x x x ,则有
)0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+①
令x x x ==21,0,则有:
)()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+②
由①②得:)()()(2x f x f x f -+=
∴)()(x f x f =- ∴函数)(x f 为偶函数.
例11. 已知)(x f 是定义在()2,2-上的函数,且满足对任意()2,2,-∈y x ,都有
)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫
⎝⎛-+=.
（1）求)0(f 的值;
（2）判断)(x f 的奇偶性并证明. （1）解:令0==y x
∵对任意()2,2,-∈y x ,都有)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫
⎝⎛-+=
∴()0)0(0)0(=-=f f f ; （2）函数)(x f 为奇函数.
理由如下:由题意可知,函数)(x f 的定义域()2,2-关于原点对称. 令x y -=,则有)(0)()0()(x f x f f x f --=--= ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数.
例12. 已知)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++对一切y x ,都成立,且0)0(≠f ,试判断
)(x f 的奇偶性.
解:由题意可知函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称. 令0==y x ,则有)0()0(2)0()0(f f f f =+ ∴)0(2)0(22f f =,()01)0()0(=-f f ∵0)0(≠f ,∴1)0(=f
令0=x ,则有)()0(2)()(y f f y f y f =-+ ∴)(2)()(y f y f y f =-+ ∴)()(y f y f =- ∴函数)(x f 为偶函数.
注意本题与例10的区别及联系.
例13. 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意b a ,∈R ,都满足
)()()(a bf b af ab f +=.
（1）求)0(f ,)1(f 的值;
（2）判断)(x f 的奇偶性,并证明你的结论.
（1）解:令0==b a ,则0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f . 令1==b a ,则)1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=,∴0)1(=f ; （2）函数)(x f 为奇函数.
理由如下:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1-==b a ,则有0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f
令1,-==b x a ,则有)()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=- ∴函数)(x f 为奇函数.
例14. 若函数)(x f 的定义域是R ,且对任意∈y x ,R 都有)()()(y f x f y x f +=+成立.
（1）试判断)(x f 的奇偶性;
（2）若4)8(=f ,求⎪⎭
⎫
⎝⎛-21f 的值.
解:（1）∵函数)(x f 的定义域是R ∴其定义域关于原点对称.
令0==y x ,则有)0(2)0()0()0(f f f f =+= ∴0)0(=f
令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=- ∴函数)(x f 为奇函数;
（2）令y x =,则有)(2)()()2(x f x f x f x f =+=
∴2
)
2()(x f x f =
∵4)8(=f ∴2242)8()4(===
f f ,1222)4()2(===f f ,212)2()1(==f f ,41
2)1(21==⎪⎭
⎫ ⎝⎛f f ∵函数)(x f 为奇函数
∴.412121-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f
例15. 已知函数)(x f ,∈x R 对任意实数b a ,都有)()()(b f a f ab f +=,且当1>x 时,0)(>x f .
（1）试判断函数)(x f 的奇偶性;
（2）求证:函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.
（1）解:由题意可知函数)(x f 的定义域关于原点对称. 令1==b a ,则)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f .
令1-==b a ,则0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f ,∴0)1(=-f . 令1,-==b x a ,则)()1()()(x f f x f x f =-+=- ∴函数)(x f 为偶函数;
（2）任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则
11
2
>x x ∵当1>x 时,0)(>x f ,∴012>⎪⎪⎭⎫
⎝⎛x x f
∴()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+
=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⋅=-x x f x f x x f x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f <
∴函数)(x f 在()+∞,0上是增函数.
题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式; （3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值
例16.（1）已知)(x f 为奇函数,9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ,则=)2(f _________; （2）设函数()1
1)(2
2
++=
x x x f 的最大值为M ,最小值为m ,则=+m M _________.
解:（1）∵)(x f 为奇函数,∴)()(x f x f -=- ∵9)()(+=x f x g ,3)2(=-g ∴6939)2()2(-=-=--=-g f ∴6)2()2(=--=f f .
（2）()1
2112111)(22222
++=+++=++=x x x x x x x x f 设1
2)(2+=x x
x g ,其定义域为R ,关于原点对称. ∵)(12)(2x g x x
x g -=+-=-
∴)(x g 为奇函数
∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g
∴2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M .
重要结论
（1） 若函数)(x f 为奇函数,则)(x f 在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即
0)()(min max =+x f x f .
（2）若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则()k x g x g 2)(min max =+.
例17. 已知8)(35-++=bx ax x x f ,且10)2(=-f ,则=)2(f 【 】 （A ）26- （B ）18- （C ）10- （D ）10 解法一:设bx ax x x g ++=35)(,易知函数)(x g 为奇函数. ∴)()(x g x g -=-,8)()(-=x g x f
∵10)2(=-f ,∴108)2(=--g ,18)2(=-g . ∴18)2()2(-=--=g g
∴268188)2()2(-=--=-=g f .选择【 A 】. 解法二:8222)2(35-++=b a f ①
()()()8222)2(3
5
--+-+-=-b a f ②
①+②得:16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f
∴261016)2(16)2(-=--=---=f f .
例18. 已知1)()(--=x x f x g ,其中)(x g 是偶函数,且1)2(=f ,则=-)2(f 【 】 （A ）1- （B ）1 （C ）3- （D ）3 解:∵)(x g 是偶函数,∴)()(x g x g =-. ∵1)()(--=x x f x g ,∴1)()(++=x x g x f
∵13)2(12)2()2(=+=++=g g f ,∴2)2()2(-=-=g g ∴312212)2()2(-=+--=+--=-g f .选择【 C 】.
例19. 已知)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数,且2)()()(++=x bg x af x F 在()+∞,0上的最大值为5,则)(x F 在()0,∞-上的最小值为_________. 解:设)()()(x bg x af x G +=,则2)()(+=x G x F ∵)(x f ,)(x g 均为R 上的奇函数
∴)()()(x bg x af x G +=也是R 上的奇函数
∵当∈x ()+∞,0时,52)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G
∴根据奇函数图象的对称性,)(x G 在()0,∞-的最小值为3)()(max min -=-=x G x G ∴1232)()(min min -=+-=+=x G x F .
注意:本题利用结论: 若函数)(x f 为奇函数,k x f x g +=)()(（k 为常数）,则
()k x g x g 2)(min max =+.可以快速得出结果.
例20. 已知⎩
⎨⎧<>-=0),(0
,3)(2
x x g x x x f 是奇函数,则()=-)3(g f _________.
分析:先求出当0<x 时,函数)(x g 的解析式,然后代入求值. 解:当0<x 时,0>-x
∴())(33)(22
x f x x x f -=-=--=-
∴3)(2+-=x x f
∴⎩⎨⎧<+->-=0
,30
,3)(22
x x x x x f ,∴3)(2+-=x x g
∴()633)3(2
-=+--=-g
∴()()3336)6()3(2
-=+--=-=-f g f .
应用2 求函数解析式
利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:
（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设x 在哪个区间上; （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到)(x f -的解析式;
（3）利用函数)(x f 的奇偶性写出)(x f -或)(x f ,即可得到函数)(x f 的解析式. 注意:若)(x f 是R 上的奇函数时,不要遗漏0=x 的情形.
例21. 已知)(x f 是R 上的奇函数,当0>x 时,132)(2++-=x x x f . （1）求)0(f 的值; （2）求函数)(x f 的解析式.
解:（1）∵)(x f 是R 上的奇函数 ∴)0()0()0(f f f -==-,0)0(2=f ∴0)0(=f ;
（2）当0<x 时,则0>-x
∴())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=- ∴132)(2-+=x x x f .
∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩
⎪
⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22
x x x x x x x x f .
例22. 若函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数,且1
1
)()(-=
+x x g x f ,求函数)(x f 的解析式.
解:∵函数)(x f 是偶函数,函数)(x g 是奇函数 ∴)()(x f x f =-,)()(x g x g -=-
∵1
1)()(-=
+x x g x f ∴11)()(--=-+-x x g x f ,11
)()(+-=-x x g x f
解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+-=--=+1
1
)()(1
1)()(x x g x f x x g x f 得:11)(2-=x x f .
∴函数)(x f 的解析式为1
1
)(2-=
x x f . 例23. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且x ≤0时,1)(+-=x x f . （1）求)0(f ,)2(f ; （2）求函数)(x f 的解析式.
解:（1）∵当x ≤0时,1)(+-=x x f ,∴1)0(=f .
∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,∴31)2()2()2(=+--=-=f f ;
（2）当0>x 时,则0<-x ∴()11)(+=+--=-x x x f .
∴函数)(x f 的解析式为⎩
⎨⎧>+≤+-=0,10
,1)(x x x x x f .
例24. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,x x x f 2)(2-=,则函数)(x f 在R 上的解析式为____________.
结论 若奇函数在原点处有定义,则0)0(=f .
解:∵函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数∴0)0(=f . ∵当0>x 时,x x x f 2)(2-=
∴当0<x 时,0>-x ,())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=- ∴x x x f 2)(2--=.
∴函数)(x f 的解析式为⎪⎩
⎪
⎨⎧<--=>-0,20,00,222
x x x x x x x .
例25. 函数1)(2++=
x b ax x f 为R 上的奇函数,且5
2
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛f .
（1）求函数)(x f 的解析式;
（2）若)(x f ≤5
3
2-m 在区间[]4,2上恒成立,求m 的取值范围.
解:（1）∵函数1)(2++=x b
ax x f 为R 上的奇函数
∴0)0(==b f ,∴1
)(2+=x ax
x f
∵5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,∴5252121212
==+⎪⎭
⎫
⎝⎛a a
,解之得:1=a . ∴函数)(x f 的解析式为1
)(2+=
x x
x f ; （2）∵)(x f ≤5
3
2-m 在区间[]4,2上恒成立
∴
12+x x ≤5
32
-m 恒成立 设1)(2+=x x x g ,只需max )(x g ≤53
2-m 即可.
任取[]4,2,21∈x x ,且21x x <,则有
()()()()()()
()()11111111
1)()(2
2212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵[]4,2,21∈x x ,且21x x <
∴()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴0)()(21>-x g x g ,∴()()21x g x g > ∴函数)(x g 在[]4,2上为减函数 ∴5
2122)2()(2
max =+=
=g x g ∴52≤53
2-m ,解之得:m ≥1或m ≤1-. ∴实数m 的取值范围是(][)+∞-∞-,11, .
例26. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0>x 时,3
2)(x x x f +=,求)(x f . 解:∵函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,∴0)0(=f . ∵当0>x 时,3
2)(x x x f +=
∴当0<x 时,,0>-x ()
)()(323
2x f x x x x x f -=+--=-=-，∴32)(x x x f +-=.
∴⎪⎩⎪
⎨⎧<+-=>+=0
,0,00
,)(3
232x x x x x x x x f .
应用3 求参数的值
例27. 已知函数()b a x b ax x f ++-+=31)(2为偶函数,其定义域为[]a a 2,1-,则
b a +的值为_________.
结论 如果函数)(x f 在区间[]b a ,或()b a ,上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相反数,即0=+b a （因为这个区间关于原点对称）.
解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴021=+-a a ,解之得:3
1=a . ∴()b x b x x f ++-+=
113
1)(2
∵)()(x f x f =-
∴()()b x b x b x b x ++-+=++--1131
113122 ∴()11-=--b b ,解之得:1=b ∴3
4
131=+=
+b a . 例28. 若函数()()
a x x x
x f -+=
12)(为奇函数,则=a _________.
解:∵函数)(x f 为奇函数 ∴)()(x f x f -=-,()()()()
a x x x
a x x x -+-=--+--
1212
∴()()()()a x x a x x -+=--+-1212 展开并整理得:()()x a x a 2112-=- ∴a a 2112-=-,解之得:2
1
=
a . 例29. 若函数()()a x x x f -+=1)(为偶函数,则=a _________. 解:∵函数)(x f 为偶函数,∴)()(x f x f =- ∴()()()()a x x a x x -+=--+-11 ∴()()x a x a -=-11 ∴a a -=-11,解之得:1=a .
例30. 若函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,则函数)(x f 在区间()3,5--上【 】
（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减 （D ）单调递增
分析: 结论 对于函数c bx ax y ++=2：
（1）当0=b 时,它是偶函数; （2）当0==c a 时,它是奇函数.
对于本题,因为函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数,所以不难得到0=m . 解:∵函数()321)(2++-=mx x m x f 为偶函数
∴)()(x f x f =-,()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴m m 22=-,解之得:0=m
∴3)(2+-=x x f ,其图象开口向下,对称轴为y 轴. ∵函数)(x f 在区间()3,5--单调递增.选择【 D 】.
例31. 设a 为常数,函数34)(2+-=x x x f .若()a x f +为偶函数,则=a _________. 分析:将函数)(x f 的图象向左()0>a 或向右()0<a 平移a 个单位长度,即可得到函数()a x f +的图象.偶函数的图象关于y 轴对称.
结论 若函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+,则函数)(x f 的图象关于直线a x =对称.
解法一:∵()1234)(2
2--=+-=x x x x f
∴()()122
--+=+a x a x f
∵()a x f +为偶函数
∴其图象的对称轴为y 轴,∴02=-a ,解之得:2=a .
解法二:()1234)(2
2--=+-=x x x x f ,其图象的对称轴为直线2=x .
∵()a x f +为偶函数
∴)()(a x f a x f +=+-,即)()(x a f x a f +=- ∴函数)(x f 的图象关于直线a x =对称. ∴2=a .
例32. 已知()231)(bx x a x f +-=是定义在[]b b +2,上的偶函数,则=+b a _______. 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴02=++b b ,解之得:1-=b ∴()231)(x x a x f --=
∵)()(x f x f =-,∴()()232311x x a x x a --=--- ∴()11-=--a a ,解之得:1=a . ∴=+b a 0.
例33. 已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22
x mx x x x x x x f 是奇函数,则=m _________.
解:当0<x 时,0>-x ,∴x x x f 2)(2--=- ∵函数)(x f 是奇函数 ∴)(2)(2x f x x x f -=--=- ∴mx x x x x f +=+=222)(（0<x ） ∴2=m .
例34. 已知函数()()
2
1)(x t x x x f -+=为偶函数.
（1）求实数t 的值;
（2）是否存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--b a 22,22?
若存在,请求出b a ,的值;若不存在,请说明理由. 分析:()()
2
1)(x t x x x f -+=
,设()()()t x x x h x x g -+==
1,1
)(2
,因为)(x f 与)(x g 均为偶函数,所以()t x t x x h --+=1)(2也是偶函数,故01=-t ,得到1=t . 解:∵函数()()
2
1)(x t x x x f -+=
为偶函数
∴()()()()
2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-
∴()()()()t x x t x x -+=--+-11
∴t t -=-11,解之得:1=t . ∴()()
2
222
1
1111)(x x x x x x x f -
=-=-+=
; （2）∵0>>a b ∴函数2
1
1)(x x f -=在区间[]b a ,上为增函数 ∴2min
11)()(a a f x f -==,2max 1
1)()(b
b f x f -==
∵函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--b a 22,22
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-=--=-b
b a a 2
211221122,解之得:⎩⎨⎧==11b a
∵0>>a b
∴不存在实数0>>a b ,使得当∈x []b a ,时,函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--b a 22,22.
例35. 已知函数2
11
)(x
mx x f ++=是R 上的偶函数. （1）求实数m 的值;
（2）判断并用定义法证明函数)(x f y =在()0,∞-上的单调性.
解:（1）∵函数2
11
)(x
mx x f ++=
是R 上的偶函数 ∴)()(x f x f =-,2
211
11x mx x mx ++=++- ∴11+=+-mx mx ,m m =-,解之得:0=m ; （2）由（1）知:2
11
)(x x f +=
. 函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数,理由如下: 任取()0,,21∞-∈x x ,且21x x <,则有
()()()()
()()()()2
221121222212122222121111111
11x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=- ∵()0,,21∞-∈x x ,且21x x <
∴()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.
例36. 已知函数n
mx x x f ++=2
)(2是奇函数,且3)1(=f ,其中∈n m ,R .
（1）求n m ,的值;
（2）判断)(x f 在(]
2,-∞-上的单调性,并加以证明. 解:（1）∵3)1(=f ,∴33
=+n
m ,∴1=+n m . ∵函数)(x f 为奇函数
∴)()(x f x f -=-,n
mx x n mx x --+=+-+2
222
∴n n -=,解之得:0=n
解方程组⎩⎨⎧==+01n n m 得:⎩⎨⎧==0
1
n m ;
（2）由（1）可知:x
x x x x f 2
2)(2+=+=（可见函数)(x f 为对勾函数） 函数)(x f 在(]
2,-∞-上为增函数,理由如下: 任取∈21,x x (]
2,-∞-,且21x x <,则有
()()()()()2
12121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-+
=- ∵∈21,x x (]
2,-∞-,且21x x < ∴02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<- ∴函数)(x f y =在()0,∞-上为增函数.
应用4 函数的奇偶性与单调性的综合
例37. 已知)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数,又是减函数,若()()0112<-+-a f a f ,求实数a 的取值范围. 解:∵()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112
∵)(x f 在定义域[]1,1-上是奇函数 ∴()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f
由题意可得:⎪⎩
⎪
⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122
a a a a ,解之得:0≤1<a .
∴实数a 的取值范围是[)1,0.
例38. 定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在[]2,0上单调递减,若()()m f m f <-1,求实数m 的取值范围.
结论:若函数)(x f 为偶函数,则有()x f x f x f ==-)()(.
解:∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数
∴()()m f m f -=-11,()()m f m f =,[]2,0,1∈-m m . ∵)(x f 在[]2,0上单调递减,()()m f m f <-1 ∴()()m f m f <-1,m m >-1.
由题意可得:⎪⎩⎪
⎨⎧>-≤≤-≤-≤-m
m m m 1222
12,解之得:1-≤m 21<.
∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣
⎡
-21,1.
注意:m m >-1的同解不等式为()2
2
1m m >-.
例39. 定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭
⎫
⎝⎛f ,且在()+∞,0上单调递减,求不等
式0)(>x xf 的解集.
分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
解:∵定义在R 上的奇函数)(x f ,满足021=⎪⎭⎫
⎝⎛f
∴021=⎪⎭
⎫
⎝⎛-f
∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减 ∴函数)(x f 在()0,∞-上单调递增 ∴当210<
<x 时,0)(>x f ;当02
1
<<-x 时,0)(<x f ∴不等式0)(>x xf 的解集为⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 .
注意:对于奇函数)(x f 的理解,可结合下面的图象.图中0)0(=f .
例40. 已知奇函数)(x f y =,∈x ()1,1-是减函数,解不等式0)31()1(<-+-x f x f . 解:∵0)31()1(<-+-x f x f ∴)31()1(x f x f --<- ∵)(x f y =是奇函数
∴()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f
由题意可得:⎪⎩
⎪
⎨⎧->-<-<-<-<-1
3113111
11x x x x ,解之得:210<<x .
∴不等式0)31()1(<-+-x f x f 的解集为⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
<
<210x x . 例41. 已知偶函数)(x f 在[)+∞,0上单调递减,()02=f ,若()01>-x f ,则x 的取值范围是__________.
解:由题意可得0)(>x f 的解集为()2,2- ∵()01>-x f
∴212<-<-x ,解之得:31<<-x ∴x 的取值范围是()3,1-.
例42. 已知函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数,且当x ≥0时,)(x f 单调递增,则关于x 的不等式()()a f x f >-1的解集为【 】
（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34 （B ）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31
（C ）⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 （D ）随a 的值的变化而变化
解:∵函数)(x f 是定义在[]a a 2,1-上的偶函数 ∴021=+-a a ,解之得:3
1=
a ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-32,32
∵()()a f x f >-1,∴()⎪⎭
⎫ ⎝⎛>-311f x f ,∴()⎪⎭⎫
⎝⎛>-311f x f
∵当x ≥0时,)(x f 单调递增,1-x ≥0
∴3
11>
-x . 由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31
13
2132
x x ,解之得:31≤32<x 或x <34≤35.
∴不等式()()a f x f >-1的解集为⎥⎦
⎤
⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 .选择【 B 】.
例43. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增.若实数a 满
足()⎪⎭
⎫
⎝⎛->-211f a f ,则a 的取值范围是【 】
（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, （B ）⎪⎭⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321,
（C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （D ）⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,23
解:∵)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在区间(]0,∞-上单调递增
∴)(x f 在区间[)+∞,0上单调递减,⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121f f . ∵()⎪⎭
⎫
⎝⎛->-211f a f
∴()⎪⎭⎫
⎝⎛>-211f a f ,∴211<-a ,解之得:2321<<a .
∴a 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛23,21.选择【 C 】.
☆例44. 已知函数)(x f 的定义域为()+∞,0,且⎩⎨⎧><+=0
),(0
,2)(2
x x f x x x x g 是奇函数.
（1）求)(x f 的表达式;
（2）若)(x f 在[]b a ,上的值域是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡a b 1,1,求值:b a ,是方程x x f 1)(=的两个根.
解:当0>x 时,0<-x
∴()x x x g 22-=- ∵)(x g 是奇函数
∴()()()x g x x x g -=+--=-22 ∴x x x g 2)(2+-=（0>x ） ∴x x x f 2)(2+-=（0>x ）; （2）证明:由题意可知:0>>a b ∵()112)(2
2+--=+-=x x x x f ≤1
∴a
1
≤1,∴a ≥1 ∴)(x f 在[]b a ,上单调递减
∴()a a f 1=
,()b
b f 1= ∴b a ,是方程x x f 1
)(=的两个根.
例45. 设函数)(x f 对任意∈y x ,R 都有()()()y f x f y x f +=+,且当0>x 时,0)(<x f ,2)1(-=f . （1）证明:)(x f 为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是减函数;
（3）若()()47652>-++x f x f ,求x 的取值范围; （4）求)(x f 在[]3,3-上的最大值与最小值.
（1）证明:令0==y x ,则)0(2)0()0()0(f f f f =+=,∴0)0(=f 令x y -=,则有0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-
∵函数)(x f 的定义域为R ,关于原点对称 ∴函数)(x f 为奇函数;
（2）证明:任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x ∵当0>x 时,0)(<x f ,∴()012<-x x f
∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-
()012<-=x x f .
∴()()012<-x f x f ,∴()()21x f x f >. ∴)(x f 在R 上是减函数;
（3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f
令1-==y x ,则4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f
∴())2(7652->-++f x x f ,())2(511->-f x f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴2511-<-x ,解之得:5
13>
x . ∴x 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,513;
（4）令1,2-=-=y x ,则624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵)(x f 在R 上是减函数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最大值为6
∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数 ∴)(x f 在[]3,3-上的最小值为6-.
例46. 函数)(x f 对任意∈b a ,R 都有()()()1-+=+b f a f b a f ,并且当0>x 时,1)(>x f .
（1）判断函数)(x f 是否为奇函数; （2）证明:)(x f 在R 上是增函数;
（3）解不等式()1232<--m m f .
（1）解:令0==b a ,则1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f
∴函数)(x f 不是奇函数;
（2）任取∈21,x x R ,且21x x <,则012>-x x
∵当0>x 时,1)(>x f ,∴()112>-x x f
∴()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=- ()0112>--=x x f
∴()()12x f x f >
∴)(x f 在R 上是增函数;
（3）由（1）可知:1)0(=f
∵()1232<--m m f
∴())0(232f m m f <--
∵)(x f 在R 上是增函数
∴0232<--m m ,解之得:13
2<<-m ∴不等式()1232<--m m f 的解集为⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1,32. 例47. 设)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数,且满足())()(y f x f xy f +=, 131=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f . （1）求)1(f ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛91f ,)9(f 的值; （2）若2)2()(<--x f x f ,求x 的取值范围.
解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ;
令31==y x ,则有212313191=⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ; ∵01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f
∴()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f ;
（2）∵2)2()(<--x f x f ∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴()⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)( ∵)(x f y =是定义在()+∞,0上的减函数 ∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29
1029
10,解之得:251<<x . ∴x 的取值范围是⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,51. ☆例48. 设)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数,且满足()()()y f x f xy f +=,当1>x 时,()0<x f .
（1）求)1(f 的值,并证明)(x f 是偶函数;
（2）证明函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;
（3）若1)3(-=f ,)8()(-+x f x f ≥2-,求x 的取值范围. 解:（1）令1==y x ,则有)1(2)1()1()1(f f f f =+=,∴0)1(=f ; ∵)(x f 是定义在()()+∞∞-,00, 上的函数
∴其定义域关于原点对称.
令1-==y x ,则有()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ,∴()01=-f . 令1-=y ,则有()())(1)(x f f x f x f =-+=-
∴)(x f 是偶函数;
（2）证明:任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则11
2>x x ∵当1>x 时,()0<x f ,∴012<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛x x f ∴()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴()()21x f x f >.
∴函数)(x f 在()+∞,0上单调递减;
（3）解:∵1)3(-=f
∴令3==y x ,则有2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴)8()(-+x f x f ≥)9(f
∴())8(-x x f ≥)9(f
∵函数)(x f 是偶函数
∴()()8-x x f ≥)9(f
∵函数)(x f 在()+∞,0上单调递减; ∴()()⎩⎨⎧≠-≤-0
898x x x x ,解之得:1-≤x ≤74-或74+≤x ≤9,且0≠x ,8≠x . ∴x 的取值范围是[)(][)(]9,88,7474,00,1 +--. 例49. 若函数1
)(++-
=bx a x x f 为区间[]1,1-上的奇函数,则它在这一区间上的最大值为_________.
解:∵函数)(x f 为区间[]1,1-上的奇函数
∴0)0(=f ,∴0=a ∴1
)(+-=bx x x f ∵())1(1f f --,∴1111+=+---
b b ,解之得:0=b ∴x x f -=)(,在区间[]1,1-上为减函数 ∴()11)(max =-=f x f .
例50. 已知函数32)(2-+-=x x x f .
（1）求)(x f 在区间[]2,12-a 上的最小值()a g ;
（2）求)(a g 的最大值. 解:（1）由题意可知:212<-a ,解之得:23<
a . ()2132)(22---=-+-=x x x x f ,其图象的开口向下,对称轴为直线1=x . 当12212<+-a ,即21<a 时,684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴()6842-+-=a a a g ; 当2212+-a ≥1,即21≤23<a 时,()()32min -==f x f ∴3)(-=a g .
综上所述,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2
321,321,684)(2a a a a a g ; （2）由（1）可知:3)(max -=a g .。