大学生数学试题及答案

大学生数学试题及答案

考试形式: 闭卷 考试时间： 150分钟 满分：100 分

一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1lim

2

22222

--++-+-∞→n n n n n n .

【解】 ))1(21(1

222222--++-+-=

n n n n n

S n ))1(1)2(1)1(1(1222n

n n n n --++-+-=

))1(1)2(1)1(1)0(1(12222n

n n n n n --++-+-+-=

∑

-=-=

1

21

.)(1n i n

n i

=∞

→n n S lim ]1.)(1[

lim 1

2∑

-=∞

→-n i n n

n i

因2

1x -在]1,0[上连续，故

dx x ⎰

1

2-1存在,且

dx x ⎰

1

2

-1=∑-=∞→-1

21

.)(1lim n i n n n i ，

所以,=

∞→n n S lim n

dx x n 1lim -11

2

∞→-⎰

4

-11

2π

=

=

⎰

dx x 。

二、（本题满分10 分） 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1lim 220c t

dt

t ax x x b

x =+-⎰→

【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必

须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到

22

02201)(cos lim

1sin 1lim x

a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰， 由上式可知:当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则

21)1(cos lim 1sin 1lim 22

220-=+-=+-→→⎰x

x x t dt t ax x x x b x ，

综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。

三、（本题满分10 分） 计算定积分⎰

+=

2

2010tan 1π

x

dx

I 。

【解】 作变换t x -=

2

π

,则

⎰=+-=0

22010cot

1πt dt

I I dt dt t t tdt -=+-=+⎰⎰⎰202020201020102010

)tan 11

1(tan 1tan ππ

π

=

I 22

20

π

π

=

⎰

dt ，

所以，4

π

=

I 。

四、(本题满分10 分） 求数列}{1n

n

-

中的最小项.

【解】 因为所给数列是函数x

x

y 1-

=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。

又)1(ln 21-=--x x

y x

且令e x y =⇒='0,

容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时,0>'y 。

所以，x

x

y 1-

=有唯一极小值e

e

e y 1)(-

=。

而3312132>⇒<

n n -的最小项33

1

. 五、(本题满分10 分) 求∑∞

=-+0

1n n

n e 。

【解】 考虑幂级数∑∞

=+01

n n

n x ，其收敛半径为 1，收敛区间为)1,1(-，

当1-=x 时，∑∑∞

=∞

=+-=+0

011)1(1n n

n n n n x 收敛； 当1=x 时，∑∑∞=∞

=+=+001

1

1n n n n n x 发散，因此其收敛域为)1,1[-。

设其和函数为)(x s ，则

)1,1(-∈∀x ，dt n t dt t s x n n x

⎰

∑⎰∞

=+=0

00

1)(∑⎰∞=+=001n x n dt n t ∑∞=+=0

1

n n x x x -=1。 于是， .)1(1

)1(

)(2

x x x x s -='-= 故,2121

)()(1--∞

=-==+∑e e e s n e n n 。 六、(本题满分10 分） 设⎰

--=x

dt t f t x x x f 0

)()(sin )(，其中f 为连续函数，求)(x f .

【解】 原方程可写为

⎰⎰+-=x

x

dt t tf dt t f x x x f 0

)()(sin )(，

上式两端对x 求导得

⎰⎰-=+--='x

x

dt t f x x xf x xf dt t f x x f 0

)(cos )()()(cos )( (*)

两端再对x 求导得

)(sin )(x f x x f --='' 即 x x f x f sin )()(-=+''

这是一个二阶线性常系数非齐次方程,由原方程知0)0(=f ,由（＊)式知1)0(='f 。 特征方程为