周三(1-2节)第三章,刚体运动学 (2014-3-25)

J A＝JC＋md 2
M
r 2 dm
几种常用的转动惯量
例 .一个飞轮m=69kg，半径R =0.25m, 正在以每分1000转的转速转动。 现在要制动飞轮，要求在5.0秒内 使它均匀减速而最后停下来。闸 瓦与轮子间的摩擦系数 = 0.46。 求闸瓦对轮子的压力N为多大？ 解：飞轮制动时有角加速度

O
L sin p
p
M M L sin J sin
注意：上述讨论中, 将高速旋转的陀螺对O点的角 动量近似成了陀螺对本身对称轴的角动量。
回转效应（进动）的应用举例： (1) 来复线使枪弹、炮弹在飞行时能绕自身的对 称轴旋转,在空气阻力的作用下不会翻“筋斗”，而 是产生进动，使总的运动基本保持原方向。
LZ J
基 座 万 向 支 架
常量
其中转动惯量J为常量。
若将回转体转轴指向Z方向，
使其以一定的角速度高速旋转， 则转轴将保持该方向不变， 而不会受基座改向的影响。
例:如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止 悬于顶端的长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹 穿出后棒的角速度.已知棒长为L,质量为M. 解: 系统对轴的总角动量守恒。
dLiz d Liz dLz Mz dt dt dt i
dLz d Mz (J z ) dt dt
由上可得： M z dt dLz
定轴转动定律
J z const M z J z d Jz
J z const M z
dt d ( J z )
dt
v0 2gh0
l 设碰撞后杆的角速度为， 摆锤的速度为v＇。 m h 0 由角动量守恒有：
mlv0 ml vJ
碰撞过程中机械能也守恒:
l
hc
h
c
h
a
b
1 mv 2 1 mv2 1 J 2 0 2 2 2
v0 3v0 v , 2 2l
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的 高度满足：
刚体的重力势能
它的全部质量都 集中在质心时所 具有的势能.
xc 1 mi xi M yc 1 mi yi M zc 1 mi zi M
力 外 力矩
力 非保守内 力矩
机械
若
力 外 力矩
力 非保守内 力矩
则系统的机械能守恒。
四、刚体的角动量定理和角动量守恒定律
1. 刚体的角动量 质点对定点的角动量：
例 . 质量为m、长为L的匀质细杆水平放置，一端为 铰链，另一端用绳悬挂。求剪断绳子瞬时，杆的 角加速度以及铰链的支撑力。 分析： 剪断时
或
0 0 M 0
根据定轴转动定律
? mg F= F? 1 mg 2
.
F
o
解： 剪断时细杆绕O点的力矩为
M Jβ J 1 mL2 3 质心平动： mg F mac 1 mg F m ( g a ) c 1 4 ac rβ ac L 2 o 问：若杆从上方转下来到水平位置时
dL M dt r mgdt
Z
L LdL
p
dL的方向与重力矩的相同。
重力对O点的力矩始终与角动量垂直， 所以角动量只改变方向而大小不变， 从而产生旋进运动,即进动。
L
dL
L
r
O

mg
d 进动的角速度： p dt dL L sin d p d dL L sin d M dL dt dt L sin L
即： J11 J22
若 J1 J2
1 2 则：
角动量守恒定律的应用
直升飞机防止机身旋动的措施
用 尾 浆
（美洲豹 SA300） （ 海豚 Ⅱ ）
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
回转仪定向原理
回转体 （转动惯量
）
回转体质量呈轴对称分布； 轴摩擦及空气阻力很小。
受合外力矩为零 角动量守恒
刚体对固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的转动惯 量J 和角速度 的乘积。
Lz J z 2. 刚体绕定轴的角动量定理 质点的角动量定理为：M dL Mdt dL dt 定轴方向 dLiz dLi M iz 对质点系任意一质点: M i dt dt 0 对质点系: M i M i外 M i内 M M i外 M z M iz外
2 gh0 2 2 1 h 1 mg h mv m( 0 ) h 2 2 2 4
而杆的质心增加的高度hc满足：
v 3 v 0 v , 0 2 2l v0 2gh0
1 J 2 mgh c 2
由此得碰撞后直杆下端达到的最 大高度 ：
h
hc
c
h
3h0 h2hc 2
ωωo βdt
0
t
N
fr
o
M Jβ
t o 1000r / min 104.7rad/s 20.9rad/s 2 t 5s 0
0
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M f r R NR M Jβ 1 mR2 β
2
mR β N 392 ( N) 2μ


2
3
3gcos 2L 又： d d d dt d dt
即：
xc
O

C
X
2L θ 3gcosθ ω 0 2L dθ0 ωdω 3g 2 1 sin 2L 2
3 g sin L
d d 3gcos d d
mg
问题：
若一人突然松手，另外 一人手上的力在这一瞬 间如何变化？
做的总功为
力矩的瞬时功率
回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理 由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功 称为
转动动能的增量
4、刚体的重力势能
一个质元的势能：
y
Ei mi ghi
整个刚体的势能：
mi
hi hc
O
M
C
EP mi ghi
i
g(
i
m h ) M
i i
M
x
Mghc
此时 ? F ? 自己练习！
M 1 mgL 2
mg
g 3 2L
几个生活中的实际例子： 竿 子 长 些 还 是 短 些 安 全 ？
飞轮的质量为什么大 都分布于外轮缘？
转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置.
长 杆
短 铅 笔
竿 子 长 些 还 是 短 些 安 全 ？
J mvL mv 0 L
J mLv 0 / 4 mv 0 L
J 1 mL2 3
故：
M
L
m v
v0
3mv 0 L 9mv 0 4J 4 ML
问:子弹和棒的总动量是否守恒?
五. 进动
陀螺在绕自身的对称轴转动的同时 , 其对称轴绕经过 定点(如:O点)的轴(如:OZ轴)转动，这种高速自旋的物体 的转轴在空间转动的现象称为进动(回转效应)。
L Li ri pi

(Z轴)转轴
刚 体
i A ni O r i
Ri

M J
L J
J m i ri
O
J r 2dm
转动惯量的计算 (1) 分立的质量元构成的系统: J miri2 (2) 质量连续分布的系统(如:刚体): J (3) 平行轴定理
(2) 飞机的自动驾驶，轮船的稳定器…… (3) 抗磁性的起源: 电子在外磁场中的进动。
例:如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆 的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的 摆锤拉到高度h0 ，令它自静止状态下落,于铅垂位置和直杆作 弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的最大高度h. 解: 碰撞前单摆的速度为
ac a an
F mg ma 1 mg 4 2 1 mL Fn man 2
2 ( 1 mL )2 F合 ( 1 mg ) o 4 2 g 1 问：杆向下转到任意位置 F tg 2 Lo Fn 时，如何求解？
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 续上


根据
1 2 1 2

1 3 1 3
地面 从小倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
J miri2
刚体中任一质元 该质元的动能 的速率
对所有质元的动能求和
∑
∑
转动惯量 J
得
J
力 的元功
切向
力对转动刚体所做的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
1 例. 在半径为R，质量为 m，J= 2 mR2的圆轮上挂一细绳 细绳两端各挂两物 m1>m2。求两物的 a及轮子的？ 解： m1、m2可作为质点处理， 轮子作刚体处理。 各物受力情况如图： T1 ? = T2 根据牛顿定律：
m1g T 1 m1a m2g T2 m2(a)
T1 T1
根据定轴转动定律：
T2 T2 m2
T1R T2R J a a R m1 m2 g 解得： a 1 2 m m1 m 2 m1 m 2 g β 1 2 m m1 m 2 R
m1
m2g
y
m1g
M Jβ
例 .一根长为L、质量为m的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角 x 加速度和角速度。 O 解：棒下摆为加速过程，外 X 力矩为重力对O的力矩。 dm C 棒上取质元dm,当棒处在 下摆角时，重力矩为： dM xgdm mg gdm 合力矩： M xgdm g xdm m M Jβ m xc 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中 M mgxC 作用在质心所产生的力矩一样。 1 mgLcos xc 1 Lcos 3gcos 2 2 M 2 1 1 mL J 2L M mgLcosθ
z

Liz ri
mi
L r P r mv
刚体上的一个质元绕固定轴做圆周运动时相 对于转轴上任意一点O 的角动量在轴上的分 量的大小均为： 2 Liz rimivi ri mi
所以，刚体对此轴的角动量定义为： 简写为： LJω
i
i
Lz Liz ( miri2) J z
简写
M dt dL
刚体绕定轴的角动量定理
刚体绕定轴的角动量定理
t 0
Mdt dL
0 0
Fra Baidu bibliotek
(微分形式) (积分形式)
M dt J ω J ω
合外力矩 M 对刚体绕定轴的冲量矩为： Lt t Mdt dL Lt Lo J Joo
o
Lo
与动量定 理比较： Fdt dP Pt Po mv mvo
大学物理
College Physics
主 讲
华中科技大学物理学院
傅华华
回顾
刚体的定轴转动定律 M Jβ
刚体对转轴上任意一点 的角动量、合外力矩 与定轴转动有关的 只是它们的Z分量
改写
Lz
Mz
β dω M dt
均是对转轴的
2
L
Mz
Lz
M M i ri Fi
2）当 L =常量， J =常量， 但J 常量， 则 常量， J 2 ω2 J 1ω1 J 或J 3) 此定律对多个刚体、质点组成的系统也成立。 同一转轴
例：系统由两个刚体组成， 设初时刻，Lo= 0 系统无转动： L1 L2 0 任意t 时刻，Lt=0 系统有转动： L1 L2 0 L1 L2
b
M Jβ
水平位置时力矩仍为：
.o
F
此时 ? F ?
o
mg
M 1 mgL 2 g 3 M 2 1 β J mL 2 L J 3
此时质心的加速度为：
a
r 1 L 3 g 2 2 4 2 ) v an r (r 1 L 2 2 r
即：对某一定轴的外力矩的作用在某段时间内的累 积效果为刚体对同一转动轴的角动量的增量。
Mdt dL
3.角动量守恒定律 当合外力矩 M 0
t Mdt dL Lt Lo
o
L J
则： Lt Lo const ——角动量守恒
讨论
1）当 L=常量， 若J=常量， 则 =常量， 即：刚体保持恒定的角速度 转动。