教学大纲_随机过程

《随机过程》教学大纲

课程编号：121213A

课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课

□√专业必修课□专业选修课

□学科基础课

总学时：48 讲课学时：32实验（上机）学时：16

学分：3

适用对象：数学与应用数学（金融数学）、统计学

先修课程：数学分析、高等代数、概率论

毕业要求：

1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法；

2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题；

3.具备国际视野，并且能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流。

一、教学目标

随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析的学科，在物理、生物、工程、心理学、计算机科学、经济和管理等方面都有广泛的应用。本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，通过本课程的学习，使学生获得随机过程的基本知识和基本运算技能，同时使学生在运用数学方法分析和解决问题的能力得到进一步的培养和训练，为学习有关专业课程提供必要的数学基础。

二、教学内容及其与毕业要求的对应关系

（一）教学内容

随机过程的基本概念（有限维分布、数字特征，复值随机过程，特征函数），

几种重要随机过程（独立过程，独立增量过程，伯努利过程，正态过程，维纳过程），泊松过程（定义（计数过程）与例子，泊松过程的叠加与分解，时间间隔与等待时间的分布，复合泊松过程，非齐次泊松过程），更新过程介绍，马尔科夫过程（离散时间的马尔科夫过程定义及转移概率，C-K方程，马氏链的分布，遍历性与平稳分布，状态分类与分解，马氏链的应用，连续时间的马尔可夫链的定义与基本性质，鞅论初步），平稳随机过程（平稳过程及相关函数，随机微积分，各态历经，谱密度）。

（二）教学方法和手段

教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。

（三）考核方式

实行过程考核和期末考试相结合的方式，期末闭卷考试为主（70%），平时过程考核为辅（30%）。学期期末闭卷考试一次，采用统一的考题和统一的评分标准。考试分数为百分制。期末总成绩为平时成绩的30%加上期末成绩的70%。

（四）学习要求

随机过程这门课要求学生必须具有微积分，概率论与数理统计的知识，课上听讲，并独立完成课后作业。

三、各教学环节学时分配

教学课时分配

四、教学内容

第一章随机过程的基本概念

第一节随机过程

1.定义

2.例子

第二节随机过程的分布

1.有限维分布族

2.例子

第三节随机过程的数字特征

1.数字特征

2.例子

第四节二维随机过程

1.定义

2.分布与数字特征

第五节复值随机过程

1.定义

2.分布与数字特征

教学重点、难点：随机过程的分布函数、数字特征

课程的考核要求：理解随机过程的分布函数、数字特征，了解复值随机过程、特征函数、多维正态分布。

复习思考题：

1.随机过程与确定过程的区别与联系？

2.如何定量描述随机过程的演化规律？

第二章几种重要随机过程

第一节独立过程与伯努利过程

1.伯努利过程

2.等待时间序列

3.应用

第二节正态过程

1.多维正态分布

2.高斯过程

3.例子

第三节独立增量过程与维纳过程

1.独立增量过程

2.维纳过程

3.布朗桥

教学重点、难点：独立过程，独立增量过程，二项过程，正态过程，维纳过程

课程的考核要求：理解独立过程、独立增量过程、二项过程，了解正态过程、维纳过程

复习思考题：

1.举几个伯努利过程和正态过程的实例。

2.复习维纳过程的概念，并思考哪些现象可用维纳过程来描述？

第三章泊松过程（更新过程）

第一节计数过程与泊松过程

1.两种等价定义

2.泊松流

3.点间间距时间序列

第二节叠加与分解

1.汇合

2.分流

第三节泊松过程的推广

1.复合泊松过程

2.非齐次泊松过程

第四节更新过程简介

1.定义与性质

2.更新定理

教学重点、难点：泊松过程定义（计数过程）与例子，泊松过程的叠加与分解，时间间隔与等待时间的分布，复合泊松过程，

课程的考核要求：掌握泊松过程定义（计数过程）与例子，掌握泊松过程的叠加与分解、时间间隔与等待时间的分布，理解复合泊松过程，了解非齐次泊松过程、更新过程

复习思考题：

1.复习泊松过程的概念，并思考泊松过程适合描述哪些现象？

2.思考更新过程与泊松过程的区别与联系，并举几个更新过程的实例。

第四章马尔科夫过程

第一节马尔科夫过程

1.定义

2.例子

第二节马氏链及其转移概率

1.随机游走与马氏链

2.转移概率

第三节马氏链的分布

1.C-K方程

2.绝对分布

第四节遍历性与平稳分布

1.遍历性

2.极限分布与平稳分布

第五节状态的分类与分解

1.互达性与周期性

2.常返与瞬过

第六节连续时间马氏过程

1.连续时间马氏链

2.生灭过程

3.排队模型

第七节鞅论初步

1.定义与例子

2.鞅的性质

3.停时

教学重点、难点：离散时间的马尔科夫过程定义及转移概率，C-K方程，马氏链的分布，遍历性与平稳分布，状态分类与分解，马氏链的应用，鞅论初步。

课程的考核要求：掌握转移概率、C-K方程、马氏链的分布，掌握遍历性与平稳分布、状态分类与分解，了解连续时间的马尔可夫链的定义与基本性质。

复习思考题：

1.先前接触的各类常用随机过程哪些是马氏过程，为什么？

2.如何用马氏过程的观点来研究各类具体的随机过程？

第五章平稳随机过程

第一节平稳过程及相关函数

1.严平稳随机过程

2.宽平稳随机过程

第二节随机微积分

1.随机微分与积分

2.关于布朗运动的积分