第五章 自测题及答案

湖北民族学院理学院《数值计算方法》教学辅导材料
陈以平编写
第五章 数值微分与数值积分___自测题及答案
1.求积公式 f ( x)dx
a b
ba [ f (a ) f (b)] 具有( 2
)次代数精度.
(A) 4 答案：D
(B) 3
(C) 2
(D) 1
2.当 n=4 时,复化抛物线求积公式 f ( x)dx (
k=1,2,3,…,n－1
本例取x 0 =1.0, x 1 =1.1, x 2 =1.2, y 0 =0.250 000,y 1 =0.226757,y 2 =0.206 612,h=0.1。于是有
17.在区间 [1, 1] 上，求以 x1 1, x 2 0, x3 1 为节点的内插求积公式。
解：由系数计算公式得
1 ( x 1)( x 1) x( x 1) 1 4 dx , A1 dx , 1 ( 1 1) 1 (0 1)(0 1) 3 3 1 x ( x 1) 1 A2 dx 1 (1 1) 3
A0
1
所以求积公式为 1 f ( x)dx
因为
f ( x)
2 1 f ( x) 2 ， f ( x) ， M 2 max 0 x 1 (1 x)3 x 1
(b a )3 2 1 f ( ) 2 12n 12 16 96
所以
R( f )
注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排列。
a b
Simpson 公式可表示为（
答案：
）.
ba [ f ( x0 ) 4( f ( x1 ) f ( x3 )) 2 f ( x2 ) f ( x4 )] 12
( ) ( ) ( ) ( ) 8.已知 n=3 时，科茨系数 C , C , C ，那么 C ＝ 答案：1/8 9. 插值型求积公式 a
0.5
1
x dx ,取 4 位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为
，用辛
2
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卜生公式计算求得的近似值为 的代数精度为 。 答案: 0.4268，0.4309，1，3；
，梯形公式的代数精度为
，辛卜生公式
14.试确定求积公式
的代数精度。
解 当f(x)取 1,x,x2,…计算求积公式何时精确成立。
1
2
1 t 2x 3 1 1 1 1 1 8 1 1 ] [ ] dx dt [ 1 t 3 9 1 3 1 3 9 1/ 2 3 1 2 3 x 97 0.69286 140
6
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23．取n=3,用复合梯形公式求
(2)用柯特斯公式
系数为
＝
(3)如果要求精确到 10－5，用复化辛卜生公式，截断误差为
R N [f]
只需把[0.5,1]4 等分，分点为 0.5,0.625,0.75,0.875,1
, N 2
3
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16.已知函数值 f(1.0)=0.250 000,f(1.1)=0.226757,f(1.2)=0.206 612，用三点公式计算 在 x=1.0,1.1,1.2 处的导数值。 解 三点导数公式为
变化题型：用辛卜生公式和 n 2 的复化辛卜生公式计算积分
1 x
0
1
dx
21． 设 Ai (i 0,1, , n) 为内插求积公式系数
证明
Ax
i 0 i
n
3 i

1 4 (b a 4 ) (n 2) 4
证明：设 f ( x) x 3 ，因为 n 2, R4 ( x) 0 所以
b
f ( x )dx Ak f ( xk ) ， Ak lk ( x )dx 至少具有 _____ 次代数精 a
b
n
k 0
度，这里的求积节点为 a x0 x1 xn b . 求积公式
a
b
f ( x )dx Ak f ( xk ) 的代数精度以 (
k 0
0
dx
1
1
2
（2） 复化辛卜生公式
f ( 4 ) ( x) 因为 M 4 max 0 x 1
解不等式
24 24 (1 x)5
得
M4 1 5 ba 10 3 4 4 2880m 120m 1 m 2 ，用 m 2, n 4, n ，复化辛卜生公式计算得 4 R（f）
2
0
1 x dx x 4 4
3
2
0
1 4 1 4 ，右边 (0) 3 13 2 3 4 ， 3 3 3
所以
左边=右边
再令 f ( x) x 4 ，代入内插求积公式得
32 1 4 4 4 1 4 20 ，右边= 0 1 2 5 3 3 3 3 所以此公式具有 3 次代数精度。
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7. 已知数值积分的梯形公式 a f ( x)dx
ba [ f (a ) f (b)] ，将区间 [a,b]n 等分，分点 x k =a+kh，k=0,1,2,…,n，h=(b－a)/n，则复化梯形求积公式是
b

b
a
f ( x)dx
h 2
答案： [ f (a ) 2( f ( x1 ) f ( x 2 ) ... f ( x n 1 )) f (b)] 已知求积节点 a x0 x1 x2 x3 x4 b ，则求定积分 f ( x )d x 的近似解的复合
4 左边= 0 x dx 2
所以
左边 右边
4
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19．用梯形公式和 n 4 的复化梯形公式求积分 0
解 （1） 梯形公式 因为 a 0, b 1 ， f ( x)
1
dx ，并估计误差。 1 x
1 ，代入梯形公式得 x 1 1 1 1 1 1 1 dx [ f (0) f (1)] [ ] 0.75 则 0 x 1 2 2 0 1 11 （2） 复化梯形公式 ba 1 和复化梯形公式得 因为 h 4 4 1 1 1 1 1 3 0 x 1 dx 8 [ f (0) 2( f ( 4 ) f ( 2 ) f ( 4 )) f (1)] 1 4 4 4 1 [1 2 ( ) ] 0.697 8 5 6 7 2

1
1
解：令 f ( x) 1, x, x 2 是精确成立，即
2 A 2 B 2 1 2 2A B 2 3
1 8 得 A ,B 9 9
1 1 8 1 1 求积公式为 1 f ( x )dx [ f (1) f (1)] [ f ( ) f ( )] 9 9 2 2 2 1 当 f ( x) x 3 时，公式显然精确成立；当 f ( x) x 4 时，左= ，右= 。所以代数精度为 3。 5 3
0 e
1 x
dx 的近似值（取四位小数）,并求误差估计。
1
1 4 1 f (1) f (0) f (1) 3 3 3
18.求求积公式 0 f ( x)dx
1 4 1 f (0) f (1) f (2) 的代数精确度。 3 3 3 解: 由于此公式为 3 个节点的内插求积公式，代数精度至少为 2。
2
令 f ( x) x 3 ，代入内插求积公式得 左边=
20．用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分
解 （1） 辛卜生公式
1 x ，使误差小于10
0
1
dx
Βιβλιοθήκη Baidu3
因为 a 0, b 1 ， f ( x)
1
1 ，代入辛卜生公式得 x 1
1 1 1 1 1 ] 0.694 4 11
f (0) 4 f ( ) f (1) [ 4 1 x 6 1 2 6 0 1
n
) 求积公式为最高，具有
(
)次代数精度。 ；
答案: n, 高斯型， 2n 1 ；
10.已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用抛物线求积公式求
答案: 12；
1
5
f ( x )dx ≈(
)。
11.设f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三点式求 f (1) (
(1) 取 f(x)=1,有：左边＝ (2) 取 f(x)=x,有：左边＝
, 右边＝2 , 右边＝0
(3)类似导出， 取f(x)=x2, x3, 有左边=右边 (5) 取f(x)=x4,有：左边=2/5, 右边=2/9 当k3 求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数精度。 15.试用梯形公式、科茨公式和辛卜生公式计算定积分 (计算结果取 5 位有效数字) (1)用梯形公式计算
f (0) 4 f ( ) 4 f ( ) 2 f ( ) f (1) 1 x 12 4 4 2
0 1
dx
1
1
3
1

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1 1 3 1 f (0) 4 f ( ) 4 f ( ) 2 f ( ) f (1) 12 4 4 2 0.69325
f ( x1 ) f ( x 0 ) x 0 x1
答案：A
5. 用梯形求积公式计算积分 x 2 dx
1
2
答案：
5 2
7 32 ( 4 ) 12 ( 4) , C1( 4) C 3 , C2 ，等分区间[a,b], 90 90 90
( 4) ( 4) C4 6. 已知当n=4 时，科茨系数为 C 0
n

b
a
x 3 dx Ai xi3
i 0 b n 1 x dx (b 4 a 4 ) Ai xi3 4 i 0 3
。

a
22． B使求积公式 求A、
1 1 f ( x) dx A[ f (1) f (1)] B[ f ( ) f ( )] 的代数精度尽量高, 2 2 21 并求其代数精度；利用此公式求 I 1 x dx (保留四位小数)。
答案: 2.5
)。
12. 已 知 f (1) 1.0, f ( 2) 1.2, f (3) 1.3 ， 则 用 抛 物 线 （ 辛 卜 生 ） 公 式 计 算 求 得
1
3
f ( x )dx _________ ，用三点式求得 f (1)
.
答案:2.367
0.25
13.计算积分
a
b
)
(A)
ba [f(x 0 )+ f(x 1 )+ f(x 2 )+ f(x 3 )+ f(x 4 )] 3
ba [f(x 0 )+4( f(x 1 )+ f(x 3 ))+2f(x 2 )+ f(x 4 )] 12
(B) (C)
ba [f(x 0 )+2(f(x 1 )+ f(x 2 )+ f(x 3 )]+ f(x 4 )] 6 ba (D) [f(x 0 )+2(f(x 1 )+ f(x 3 ))+4f(x 2 )+ f(x 4 )] 3 答案：B 3．当 n=6 时， C( ) =(
(6) (A) C 6
)
272 840
(6) (C) C 4
41 840
( 6) (B) C 3
27 840
(D) C1( 6)
216 840
答案：D
4.等距二点求导公式f(x 1 ) (
(A) f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0 (B)
)
(C) f ( x 0 ) f ( x1 ) x 0 x1 ( D) f ( x1 ) f ( x 0 ) x1 x 0
分点为a=x 0 <x 1 < x 2 < x 3 < x 4 =b,那么科茨求积公式是

b
a
f ( x ) dx
答案： (b a)[
7 32 12 32 7 f (a) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f (b)] 90 90 90 90 90
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