组合数学第四章反演公式
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第四章 反演公式
第四章 反演公式
4.1 第一反演（inversion）定理 4.2 M.o.bius 4.3 筛法公式（Sieve formula） 4.4 棋盘多项式与有限制排列 4.5 树的计数
第四章 反演公式
4.1 第一反演（inversion）定理
定义1 设P0(x), P1(x), P2(x),… 是实变元x的一族多项式，其中 P0(x) =1，且当n>0时，Pn(x)是n次多项式，Pn(0)=0, 则称这样的 多项式族为正规族。
第四章 反演公式 1.
令y为一常数，考虑多项式φ(x)=(x+y)n，
Pn(x)=xn (P0(x)=1, Pn(0)=0, n≥1) 这时，伴随族Pn(x)的微分算子就是通常的微商：
D(x) d
dx
φ(0)=yn Dφ(0)=nyn-1 D2φ(0)=n·(n-1)yn-2 … Dkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)yn-k
( x n 1)[x]n1 (x 1)[x]n1
n[x]n1
第四章 反演公式
展开多项式φ(x)=［x+y］n，并注意到
k (0) n(n 1)(n k 1)[ y]nk
可得二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
Pn ( x) [x]n x( x 1)( x 2)( x n 1) (Pn(0), n≥1)
的Taylor公式。由
(x) (x) (x 1)
定义的（向后差分）算子 , 就是伴随多项式族Pn(x)=［x］n
的微分算子，因为
[x]n [x]n [x 1]n
k 0
k 0
(4.1.6)
证明 记列向量
( x) {k ( x)}nk0, ( x) { k ( x)}nk0
第四章 反演公式
第四章 反演公式
公式（4.1.1）变为
( x y)n yn nyn1 x n(n 1) yn2 x2
1!
2!
n(n 1)(n k 1) ynk xk k!
n n
k 0
k
xk
y nk
此即二项式公式。
第四章 反演公式
第四章 反演公式
使用［x］n的Taylor公式展开φ(x)=［x+y］n， Δkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)［y］n-k
就有Δ二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
第四章 反演公式 3. 二项式公式（Norlund） 考虑相对于多项式族
第四章 反演公式
命题2（Taylor公式）设Pn(x)是多项式的一个正规族。若φ是 x的一个n次多项式，则φ(x)可唯一地展开为
(x)
(0)
D (0)
1!
P1 ( x)
D2 (0)
2!
P2 (x)
Dn (0)
n!
Pn (x)
证明 由命题1，有
(4.1.1)
(x) a0P0(x) a1P1(x) anPn (x)
2. Δ二项式公式（Vandermonde）
Pn(x)=［x］n=x(x-1)(x-2) …(x-n+1) (Pn(0)=0, n≥1) 的Taylor公式。由
Δφ(x)=φ(x+1)-φ(x) 定义的（向前差分）算子Δ就是伴随多项式族Pn(x)=［x］n的微 分算子，
Δ［x］n=［x+1］n-［x］n =(x+1)［x］n-1-(x-n+1)［x］n-1 =n［x］n-1
令x=0，可得φ(0)=a0，作用算子D，得
D (x) 0 a1P0(x) 2a2P1(x) nanPn1(x)
第四章 反演公式
再令x=0, 可得Dφ(0)=a1，再作用算子D，得
D2φ(x)=2a2P0(x)+2·3a3P1(x)+…+(n-1)·nanPn-2(x)
因此
D2 (0)
2a2
a2
D2 (0)
2!
如是而下，一般有
Dk (0)
k!ak
ak
Dk (0)
k!
若设Pn(x)=xn，则伴随这一正规族Pn(x)百度文库微分算子D就是通
常 的 微 商 d/dx ， 上 述 命 题 中 的 公 式 ， 就 是 标 准 的 Taylor-
Maclaurin展开式。
命题1 对于多项式的每个正规族Pn，恰存在一个微分算子。
证明 易证每个n次多项式φn(x)都可以唯一地表示为
n ( x) ak Pk ( x) anPn ( x) an P 1 n1( x) a0P0 ( x)
0k n
其中an, an-1, …, a0是常数。事实上，取an为φn(x)中xn的系数除以 Pn(x)中xn的系数所得的商，则φn-1(x)=φn(x)-anPn(x)至多是n-1次的， 再取an-1为φn-1(x)中xn-1的系数除以Pn-1(x)中xn-1的系数所得的商， 接着考虑
n2 ( x) n1( x) an1Pn1( x)
第四章 反演公式 由它可定出an-2，如是而下，可唯一确定an, an-1,…, a0这些常 数。 由此，公式
Dn ( x) nanPn1( x) (n 1)an1Pn2 ( x) 0
就唯一确定了算子D。
定义2 若算子D把多项式φ(x)映成一个多项式Dφ(x)，且满足
条件：
(1)
DPn
(
x)
nPn1(
x),
0,
若n≠0 若n=0
(2) D(λφ(x)+λφ′(x))=λDφ(x)+λDφ′(x)，λ为常数。 则称D为伴随多项式族Pn(x)(n=0, 1, …)的微分算子。
第四章 反演公式
第四章 反演公式
命题3 (第一反演定理）设φn(x)和ψn(x)
n
n
n (x)
ank k ( x), n ( x)
k 0
nkk ( x)
k 0
(4.1.5)
的n次多项式族，其中n=0, 1, 2, …, m， 则
n
n
an ankbk bn nkak , n=0, 1, …, m
第四章 反演公式
4.1 第一反演（inversion）定理 4.2 M.o.bius 4.3 筛法公式（Sieve formula） 4.4 棋盘多项式与有限制排列 4.5 树的计数
第四章 反演公式
4.1 第一反演（inversion）定理
定义1 设P0(x), P1(x), P2(x),… 是实变元x的一族多项式，其中 P0(x) =1，且当n>0时，Pn(x)是n次多项式，Pn(0)=0, 则称这样的 多项式族为正规族。
第四章 反演公式 1.
令y为一常数，考虑多项式φ(x)=(x+y)n，
Pn(x)=xn (P0(x)=1, Pn(0)=0, n≥1) 这时，伴随族Pn(x)的微分算子就是通常的微商：
D(x) d
dx
φ(0)=yn Dφ(0)=nyn-1 D2φ(0)=n·(n-1)yn-2 … Dkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)yn-k
( x n 1)[x]n1 (x 1)[x]n1
n[x]n1
第四章 反演公式
展开多项式φ(x)=［x+y］n，并注意到
k (0) n(n 1)(n k 1)[ y]nk
可得二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
Pn ( x) [x]n x( x 1)( x 2)( x n 1) (Pn(0), n≥1)
的Taylor公式。由
(x) (x) (x 1)
定义的（向后差分）算子 , 就是伴随多项式族Pn(x)=［x］n
的微分算子，因为
[x]n [x]n [x 1]n
k 0
k 0
(4.1.6)
证明 记列向量
( x) {k ( x)}nk0, ( x) { k ( x)}nk0
第四章 反演公式
第四章 反演公式
公式（4.1.1）变为
( x y)n yn nyn1 x n(n 1) yn2 x2
1!
2!
n(n 1)(n k 1) ynk xk k!
n n
k 0
k
xk
y nk
此即二项式公式。
第四章 反演公式
第四章 反演公式
使用［x］n的Taylor公式展开φ(x)=［x+y］n， Δkφ(0)=n(n-1) …(n-k+1)［y］n-k
就有Δ二项式公式：
n n
[ x
y ]n
k 0
k
[x]k [ y]nk
第四章 反演公式 3. 二项式公式（Norlund） 考虑相对于多项式族
第四章 反演公式
命题2（Taylor公式）设Pn(x)是多项式的一个正规族。若φ是 x的一个n次多项式，则φ(x)可唯一地展开为
(x)
(0)
D (0)
1!
P1 ( x)
D2 (0)
2!
P2 (x)
Dn (0)
n!
Pn (x)
证明 由命题1，有
(4.1.1)
(x) a0P0(x) a1P1(x) anPn (x)
2. Δ二项式公式（Vandermonde）
Pn(x)=［x］n=x(x-1)(x-2) …(x-n+1) (Pn(0)=0, n≥1) 的Taylor公式。由
Δφ(x)=φ(x+1)-φ(x) 定义的（向前差分）算子Δ就是伴随多项式族Pn(x)=［x］n的微 分算子，
Δ［x］n=［x+1］n-［x］n =(x+1)［x］n-1-(x-n+1)［x］n-1 =n［x］n-1
令x=0，可得φ(0)=a0，作用算子D，得
D (x) 0 a1P0(x) 2a2P1(x) nanPn1(x)
第四章 反演公式
再令x=0, 可得Dφ(0)=a1，再作用算子D，得
D2φ(x)=2a2P0(x)+2·3a3P1(x)+…+(n-1)·nanPn-2(x)
因此
D2 (0)
2a2
a2
D2 (0)
2!
如是而下，一般有
Dk (0)
k!ak
ak
Dk (0)
k!
若设Pn(x)=xn，则伴随这一正规族Pn(x)百度文库微分算子D就是通
常 的 微 商 d/dx ， 上 述 命 题 中 的 公 式 ， 就 是 标 准 的 Taylor-
Maclaurin展开式。
命题1 对于多项式的每个正规族Pn，恰存在一个微分算子。
证明 易证每个n次多项式φn(x)都可以唯一地表示为
n ( x) ak Pk ( x) anPn ( x) an P 1 n1( x) a0P0 ( x)
0k n
其中an, an-1, …, a0是常数。事实上，取an为φn(x)中xn的系数除以 Pn(x)中xn的系数所得的商，则φn-1(x)=φn(x)-anPn(x)至多是n-1次的， 再取an-1为φn-1(x)中xn-1的系数除以Pn-1(x)中xn-1的系数所得的商， 接着考虑
n2 ( x) n1( x) an1Pn1( x)
第四章 反演公式 由它可定出an-2，如是而下，可唯一确定an, an-1,…, a0这些常 数。 由此，公式
Dn ( x) nanPn1( x) (n 1)an1Pn2 ( x) 0
就唯一确定了算子D。
定义2 若算子D把多项式φ(x)映成一个多项式Dφ(x)，且满足
条件：
(1)
DPn
(
x)
nPn1(
x),
0,
若n≠0 若n=0
(2) D(λφ(x)+λφ′(x))=λDφ(x)+λDφ′(x)，λ为常数。 则称D为伴随多项式族Pn(x)(n=0, 1, …)的微分算子。
第四章 反演公式
第四章 反演公式
命题3 (第一反演定理）设φn(x)和ψn(x)
n
n
n (x)
ank k ( x), n ( x)
k 0
nkk ( x)
k 0
(4.1.5)
的n次多项式族，其中n=0, 1, 2, …, m， 则
n
n
an ankbk bn nkak , n=0, 1, …, m