标准曲线不确定度的分析

标准曲线不确定度的分析

曹涛

（深圳市通量检测科技有限公司，广东深圳 518102）

摘要：本文阐述了标准曲线不确定度分析的通用方法，讲解了标准曲线不确定度的分析步骤和方法。并且通过检测过程中经典的几个项目的标准曲线的不确定度实例分析，来论证影响不确定度分析的因素；通过实验数据证明：参与标准曲线的点的个数和样品测定的次数越多，标准不确定度越小；并且样品测定的结果越靠近标准曲线的重点，标准不确定度越小；标准曲线的线性越好，斜率越高，标准不确定度越好；关键词：标准曲线，不确定度

中图分类号：R155.5文献标识码：A文章编号：

作者简介：曹涛（1987-06-04），男，汉族，陕西省汉中市，中山大学本科毕业，研究食品中营养成分、添加剂、农兽药残留的检测分析；E-mail：**************

Analysis of Standard Curve’s Uncertainty

Cao Tao

（Shenzhen Total-Test Technology Co., Ltd, Shenzhen 518102）

Abstract: This paper expounds a general method of the analysis of standard curve’s uncertainty and explains the steps of the analysis of standard curve’s uncertainty. Prove the effect of the factors of uncertainty analysis through the testing process in classical several items of standard curves of uncertainty analysis. Experiments demonstrate: Improving the test’s times of the standard curve and sample can make the standard’s uncertainty small. And The results of sample are more close to the center of the standard curve, the standard’s uncertainty is smaller. T he standard curve is linear in the better, and the slope is higher, the standard uncertainty can be smaller.

Key word: the standard curve. uncertainty

前言：仪器分析中线性回归标准曲线测定方法，利用被测物质相应的信号强度与其浓度成正比关系，通过测定已知浓度的溶液（即标准溶液）的信号强度,通过最小二乘法将响应值和浓度的对应的线性关系拟合成一条直线，再根据未知样品的响应值推算出对应的浓度；然而测得的所有点未必全部都落在标准曲线上（除非线性相关系数r=1），因此得到的标准曲线本身具备相应的不确定性，而通过标准曲线去计算得到的浓度值就不可避免的具备不确定性，而且这个不确定性往往是整个实验不确定度的最大来源；因此对标准曲线计算不确定度非常有必要；

1 标准曲线不确定度分析的概念和计算

1.1 标准曲线的不确定度忽略标准溶液的不确定度的引入

用线性最小二乘法拟合曲线程序的前提是假定横坐标（标准溶液的浓度）量的不确定度远小于纵坐标

的量的不确定度，因此通常的C 0不确定度计算程序仅仅与响应值不确定度有关，而与校准溶液不确定度无关，也不与从同一溶液中逐次稀释产生必然的相关性[1]

。

1.2 标准曲线方差和残余方差的概念和计算

假定一条标准曲线

bx a y += （1.2.1）

响应值y 1，y 2…y n 的偏差（y -y i

）主要由两方面原因引入：一是自变量x 取值不同导致的响应值的

偏离均值（y -y ˆ），另一方面是测量误差导致的响应值偏离标准曲线（y ˆ-y i

）；如下图

图1：标准曲线响应值偏差分析

y i ——第x i 点对应的响应值

y

ˆ——第x i 点带入标准曲线（1.2.1）得到的理论响应值 y ——所有浓度响应值的平均值

n ——参与标准曲线的浓度点和响应值的个数；（注：并不仅仅是标准曲线的点的个数，比如标准曲线有五个点，其中有两个点平行做了3次，则911123n

=+++⨯=，同样计算x 的时候也需要把

平行做的点计算在内，即x 和y 的平均值是参与本次标准曲线所有点的几何重心）

在量化的过程中，用n 个取值的偏离平方和来描述，这里分别记为：总偏差平方和S （反映了i y 的总的分散程度）、回归平方和T （反映了回归值

i y

ˆ的分散程度，仅与标准曲线斜率相关）和残余平方和Q （反映了观测值i y 偏离回归直线的程度，真实描述标准曲线不确定度）；

[]

∑∑∑∑∑=====•++=+==n 1

i n 1

i n

1

i i i i 2

i 2

i i 2

n

1

i i i i n 1

i 2

i y -y

ˆy ˆ-y 2y -y ˆy ˆ-y y -y ˆy ˆ-y y -y S ）（）（）（）（）（）（）（ 由于交叉项

∑

=•n

1i i i i

y -y ˆy ˆ-y ）（）（结果为0（可参考最小二乘法计算线性回归方程公式）；

因此

T Q y -y ˆy ˆ-y S n

1

i n

1

i 2

i 2

i i +=+=∑∑==）（）（ (1.2.3)

其中∑==n

1i 2

i i y ˆ-y Q

）（， ∑==n

1

i 2i y -y

ˆT ）（ 因此S 的自由度v S =v T +v Q ；总偏差平方和的自由度由于受平均值的约束为n -1，而回归偏差平方和的自由度只与斜率b 有关，自由度为1，因此残余偏差平方和的自由度v Q =n -2

通过残余偏差平方和除以自由度得到对应的残余偏差

2

-n Q

s 2=

所以标准曲线的残余标准偏差2

-n y ˆ-y s n

1

i 2i i ∑==

）（ （1.2.4）

1.3 标准曲线斜率和截距的不确定度分析

由于得到的标准曲线中斜率b 和截距a 参与到未知样品的浓度的计算，因此必须对斜率b 和截距a 进行不确定度的分析；

斜率的标准不确定度：∑

==

n

1i 2i x -x s b s ）

（）（ （1.3.1）

扩展不确定度U （b ）=）（b s t p

⨯ （1.3.2）

式中t P 是指选定置信空间P 水平内，根据残余偏差自由度v Q 查t 分布表所得的t 值；

截距的标准不确定度：

∑

∑∑===+

⨯=⨯⨯

=n

1i 2

i

2

n 1

i 2

i n

1

i 2i

x -x x n

1

s x -x n x

s a s ）

（）

（）（ （1.3.3）

扩展不确定度U （a ）=）（a s t p

⨯ （1.3.4）

式中t P 是指选定置信空间P 水平内，根据残余偏差自由度v Q 查t 分布表所得的t 值