第六章 现代控制理论基础

6 状态方程 ○
描述系统状态变量与输入变量之间关系的数学表达式。一阶微分方程组（连续时间系 统） 、一阶差分方程组（离散时间系统） 、高阶微分方程/差分方程/传递函数可以转化为状态 方程。状态方程是状态空间分析法的基本数学方程/模型。
7 输出方程 ○
描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间关系的数学表达式。
4 状态空间 ○
以 n 个状态变量作为坐标轴所组成的 n 维空间称为状态空间。 那么系统在任意时刻的状 态就由状态空间中的一个点来表示。
5 状态轨迹 ○
系统在任一时刻的状态由状态空间中一个点来表示，初始时刻 t 0 的状态 x(t 0 ) 在状态空 间中为一个初始点，随着时间的推移，系统状态在变化，便在状态空间中描绘出一条轨迹， 称为状态轨迹和状态轨线。
1 线性系统理论（状态空间分析法、可控与可观、 现 ⎧ ⎪ 状态反馈与状态观测器、李雅普诺夫稳定性理论） 代 ⎪ 2 最优控制理论（变分法、极小值原理、 ⎪ 控 ⎪ 动态规划、二次型性能指标的最优控制） ⎨ 制 ⎪ 3 估计理论（常用估计方法、滤波基本方程） 理 ⎪ 4 自适应控制（自校正控制及模型参考自适应控制基本理论与方法） ⎪ 论 ⎪5 系统辨识（线性系统的经典辨识方法、最小二乘法辨识、极大似然法辨识） ⎩
8 状态空间表达式（或动态方程） ○
状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。 线性系统的状态方程——一阶向量线 性微分/差分方程。输出方程——向量代数方程。 线性系统的状态空间表达式常用结构图表示。
9 状态空间分析法 ○
在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法、 或状态变量 法。 在状态空间设计中， 控制工程师直接分析系统的状态方程来设计动态补偿。 主要优点是： � 研究更广泛的模型：常微分方程不必一定要使线性的或者是静态的。这样，可以通过对 方程自身的研究来推广出更为普遍的方法。 此外， 状态空间分析法很容易扩展到多输入 和多输出系统，适用于描述时变、非线性离散、随机、多变量等各类系统。
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因为这类传递函数：代表了一类基本的系统；又足以揭示出系统的基本结构特性；且在 实现时所用的计分器数目最少。 所以，不存在零、极点对消的传递函数系统是实现问题中最基本、且最重要的情况。 通常把不可约传递函数的实现称为最小实现，这是基于输入-输出特性相同基础之上。 这时，特征方程的阶次最低；状态变量数目最小；各个矩阵的维数最小；构造硬件系统时所 需要的积分器个数最少。 一般所讨论的都是最小实现问题， 至于可约传递函数的实现， 所采用的实现方法也是相 同的。具体的有：
一、基本概念
1．状态： 系统在时域中的行为或运动信息的集合。 2．状态变量（用 x1 (t ), x2 (t ),⋯ xn (t ) 表示） ： 确定系统状态的一组独立（数目最小）的变量。 说明：
1 一个用 n 阶微分方程描述的系统含有 n 个独立变量，如果求得 n 个独立变量随时间变化 ○
的规模，那么系统状态就可以完全确定。
第一节 状态空间分析法
在 20 世纪 50 年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在 1960 年前后开始了由经典控制理 论到现代控制留念的过渡，其中一个重要标志就是 Kalman 系统的将状态空间的概念引入到 控制理论中。现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上建立起来的。随后， 贝 尔曼的动态规划、庞特利亚的极小值原理、 Kalman 的可控、可观、滤波理论都为现代控制 理论的形成打下了基础。 运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量之间的因果关系，不仅反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的机构特性。 状态空间分析法适用于：单入-单出（单变量系统） ；多入-多出（多变量系统） ；线性定 常系统、线性时变系统。 应该指出，在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法不同，出现了一
3 状态向量 ○
把描述系统状态的 n 个状态变量 x1 (t ),⋯ xn (t ) ，看作向量 X(t)的分量，则 x(t)成为状态 向量，记为 X (t ) = [x1 (t ),⋯, xn (t ) ] （n 维状态向量） 。
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如果给定 ⎨
⎧t = t 0时，初始状态向量x(t 0 ) �则 t ≥ t0时 的状态向量 x(t ) 唯一确定。 ⎩t ≥ t 0时, 输入向量u (t )
s = σ + jω （复频域）/ ω （实频域）/Z 域
传递函数零、极点的分布 系统特性的定性分析，建立了一整套图解分析设计方法。 主要研究内容：系统稳定性。
通过不同信号域的变换，来减小数学上的运算难度或者工作量。但对于高阶系统而言， 数学处理仍然有不少困难，如果不借助计算机，往往难以得到期望的结果。 该方法的特点是： � � � 计算简单、直观，易懂； 计算精度可以满足大多数常见控制系统，有源、无源网络，滤波器等工程设计要求； 试验验证和修正方便； 因此，这两种方法作为线性定常控制系统的基本研究方法至今仍在经常使用。 该方法的局限性： 一个现代的复杂系统可能有多个输入和多个输出（多个变量） ，并且以某种复杂的方式 相互关联。为了研究和分析这样的系统，就必须简化其复杂的数学表达式，借助计算机工具 来解决分析中的大量乏味的计算问题。这时经典 kognzhi 理论所无法解决的。 因为经典控制理论是建立在系统的输入-输出关系（或传递函数）的基础之上的，即我 们一般所说的“黑箱”原理，它只研究了系统的外部特征，并不关心系统内部的情况。也就 是说，对于传递函数内部的中间变量不便于描述，对某些内部变量不能够描述。忽略了初始 条件，导致了传递函数不能包含系统的所有信息（信息不完备） 。 � � � 经典控制理论只适用于单变量（单入-单出）线性定常系统，不适用于多变量系统。 经典控制理论不能用于解决最优/佳和自适应控制系统等的分析和设计问题。 传递函数和频率特性都是在“零初始条件”下定义的，这在工程实际中不可能全部
1 线性定常连续系统的状态空间表达式的建立与求解。 ○ （包括单入-单出，多入-多出） ；
2 线性时变连续系统； ○
3 线性离散系统。 ○
同样，我们可以使用 MATLAB 进行系统模型之间的变换。传递函数��状态空间。
应该指出：经典控制理论在分析设计单变量控制系统方面具有其优越性，今后仍将发 挥重要作用；建立在航天航空 /军工/国民经济与技术 之上的现代控制理论将逐渐在工程应 用中推广到各个工业部门。 本章仅介绍线性系统理论的基本知识。与经典控制理论一样，在现代控制理论中，现行 系统理论首先得到研究和发展， 已形成比较完整成熟的一般理论， 而且现代控制理论的其他 分支均以线性系统理论为基础。
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得到满足有时会造成（得到）错误结论。 为了解决这一系列问题， 必须研究新的分析方法， 对原有的经典控制理论的简单修修补 补已无能为力，必须进行控制理论的革命性飞跃和变化。 其成就：现代控制理论。 20 世纪 60 年代以来， 控制工程向高性能/多变量方向发展， 所考虑的信息已不局限于输 入量/输出量/误差等（外部信息特征） ，人们还希望掌握并利用系统内部的状态变化规律， 利用数学计算机工具进行分析、设计和实时控制，这就可以处理复杂的时变/非线性/多变量 系统的问题。 于是诞生了新的描述系统的方法——状态空间分析法。 即对系统采用状态变量 形式进行数学描述，建立适合于多变量、时变系统的一般分析研究方法，这是现代控制理论 的基础和重要标志。 而采用数字计算机技术，处理复杂、大量的信息，实现实时控制。是构造现代控制系统 的重要标志。 现代控制理论一般包括 5 部分内容：
2 选取状态变量应满足以下条件 ○
给定 t=t0 时刻的初始值 x1 (t 0 ), x2 (t 0 ),⋯ xn (t 0 )（t0 时刻状态表示 t0 时刻以前系统运行 的总结） ，以及 t≥t0 时刻的输入值 u(t) 就可以唯一确定系统将来的状态 x1 (t ),⋯ xn (t ) 。 所以状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
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便于采用向量、矩阵等简化数学描述；便于考虑初始条件；便于采用计算机求解； 便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控制等。
二、状态空间表达式的建立与求解
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 方法一：直接根据系统机理建立相应的微分方程或差分方程 �选取有关的物理量作为状态 变量�导出状态空间表达式。 方法二：由系统已知其它形式数学模型导出/转化状态空间表达式。 由于微分/差分方程和传递函数是描述系统常用的数学模型，所以我们重点介绍已知 n 阶微分方程或传递函数时， 到处状态空间表达式的一般方法， 以便建立统一的研究理论和方 法，揭示系统内部固有的重要结构特性，便于用计算机实现并构成硬件系统。 这种由已知系统微分方程或传递函数如何导出状态方程、输出方程（状态空间表达式） 的问题，常常被称为实现问题。 由于选择不同状态变量会得出不同的状态方程和输出方程（状态空间表达式） ，所以实 现方法便有多种，但是应该指出，到处某些标准形式的实现方法有很大意义，因为它能揭示 出系统的重要结构特性（如：可控性、可测性、极点分布等） ，便于对系统进行理论分析及 工程应用。 以传递函数的结构组成开看，传递函数存在零、极点对消（传递函数分子、分母可约） 及不存在零、极点对消（传递函数分子分母不可约）两种情况，这两种情况虽然在输入、 输 出的外部特性上相同，但隐含着不同的内部结构性质。 研究传递函数的实现时，一般以不存在零、极点对消传递函数的实现入手。
第六章 现代控制理论基础
以上 5 章， 我们比较系统的介绍了线性定常控制系统的基本理论， 它是经典控制理论的 重要内容，而一般的经典控制理论包括三部分内容：线性定常控制系统理论、非线性系统理 论和离散系统理论。这些理论都是以拉氏变换和 Z 变换为数学上的理论基础，研究使用线 性定常的微分方程、差分方程、传递函数和频率特性等数学模型表征的物理对象。 研究和分析线性定常控制系统的基本方法就是时域分析法和频域分析法。 这两种方法早 在 20 世纪 50 年代初就已发展的比较完善， 因此有时也常常将其称作古典法或者古典控制理 论。 该方法的基本思路是： 从系统的运动方程/微分方程（连续系统）/差分方程（离散系统）着手 � � � � 拉氏变换（传递函数表示的一般式）/Fouier 变换（微分方程）/Z 变换（差分方程）
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把几何学概念引入到微分方程中：将系统使用空间和空间中运动的点表述，有助于将 常微分方程的解想象成状态空间中的一条轨迹。
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把系统的内部描述相互联系起来：动态系统的状态常常直接描述了系统中内部能量的 分配。而内部能量总可以通过状态变量计算出来。通过基于状态空间的系统分析，可以 把系统的内部变量和外部输入、 测量输出联系起来， 而传递函数则无法给出系统的内部 信息，这一点在一些时候恰恰非常重要。
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些科技，目前主要有：线性系统的状态空间分析法，线性系统的几何理论，线性系统的代数 理论，线性系统的多变量频域方法。 由于状态空间法是线性系统理论中最重要而且影响最大的分支，考虑到课时的限制， 我 们在课上只介绍线性系统的状态空间方法。 一个现代的复杂系统可能有多个输入和多个输出， 而且输入、 输出以某种复杂的方式相 互关联。为了分析这样的系统，必须简化其复杂的数学表达式，并借助计算机来完成大量而 且乏味的计算工作。以这个观点来看，状态空间法是最适宜的。 同学们在《电路、信号与系统》课程中已初步了解了状态空间分析法。实际上状态空间 分析法的基本思路是： 用 n 个一阶微分方程来描述系统， 再把这些微分方程组合成一个一阶 向量-矩阵微分方程。应用向量-矩阵表示方法，可极大的简化系统的数学表达式，而且状态 变量、输入或输出数目的增加并不会增加方程的复杂性。事实上，采用状态空间分析法分析 复杂的多变量系统，仅比分析一阶纯量微分方程描述的系统在方法上稍复杂一些。