(完整版)正弦函数的性质(公开课)

x
2
-
同学们说说1 这五个点的特征是？
新授
由正弦函数的周期可知其整个定义域相应
图像，如下： y
1
-4 -3
-2
-
o
-1
2
3
4
5 6x
而且已经知道其定义域为R和值域为[-1，1] 最小正周期为2∏;而其它四个方面的性质有 待进一步研究。
四性研究
一、单调性 1、单调增区间：？ 2、单调减区间：？
2
-
π o
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
对称轴直线有
x , x 3 , x 5 ,....有无数条对称直线，
22
2
可合并写成x k , k z;对称中心点有（0，0），（，0），（2，0），（3，0），..., 2
y
1
-3 5π -2 3π
2
2
-
π o
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2 5π
2
3
7π 2
4
单调增区间为
[ , ],[3 , 5 ],.........有无数个单调增区间，
22 2 2
可据其规律合并写为[ 2k , 2k ], k Z;
2
2
单调减区间有[ , 3 ],[ 5 , 7 ],....,有无数个单调减区间,
22 2 2
可据其周期规律合并写为[ 3 +2k , 5 2k ], k Z;
2
2
对称性
1、是不是轴对称图形呢？ 2、是不是中心对称图形呢？ 对称轴直线方程？对称中心坐标？
y
1
-3 5π -2 3π
2
2、四性：
周期性：T=2（最小正周期）
单调性：单调增区间[- 2K , 2K ],K Z
2
2
单调减区间[ 2K , 3 2K ],K Z
2
2
奇偶性: 奇函数(图像关于原点对称;f(-x)=-f(x) ）
对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形。
对称中心（K，0），K Z；对称轴：X= K，K Z
22
sin( ) sin( )
10
18
解： 2 8 , 3 9 ,
3 12 4 12
2 < 3
34
又 2 和 3 在单调减区间( , 3 )内,
34
22
sin 2 sin 3
3
4
练习2
1、观察正弦曲线，写出满足 sinx>0的X 的取值区间。
2、写出y=2+sinx满足y>3/2的自变量x 的取值区间。
3、y=lg(sinx +1)的值域是【-lg2,lg3lg2],求x的范围。
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
(1)解：sinx>0,函数-1 y=sinx的图像应在轴上方，
所以x的取值范围是（2kΠ，Π+ 2kΠ），k∈z
(2)解：据题设有sinx>1/2,结合正弦曲线知，x 的取值范围是（Π/6+ 2kΠ, 5Π/6 + 2kΠ),k ∈z
练习3、求下列函数的值域
(1)y (sin x 3)2 2 2
练习3解答
解：设sin x t,t [1,1] 原函数转化为： y (t 3)2 2,t [1,1]
2 结合二次函数图像及其单调性 知该函数在区间（ ，3 ]单调递减
2 y [ 7 ,17]
44
练习4
1、求函数y=sin(x-Π/2)的单调区间、对称轴和 对称中心
正弦函数的性质
在研究函数图像和性质的过程中，著 名数学家华罗庚说过：“数缺形来难 直观，形缺数来难入微”。这句话从 根本 上揭示了研究函数性质的有效方
法————数形结合。
回顾旧知
我们学习了五点法作出一个周期内的正弦 函数图像，并利用周期规律平移作出其它 周期内的相应图像，如下：y 1o Nhomakorabea2
2
3
2
2
应用性质
练习1、 不求值，比较下列各对正弦值的大小：
（１） sin( )与sin( )
18
10
（２）sin 2 与sin 3
3
4
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
解： < <- < ,
2 10 18 2
又 函数y=sinx在区间[- , ]上单调递增,
有无数个对称中心点,这些点可合并写为(k ,0),k z
奇偶性
从对称性可不可看出其奇偶性呢？
y
1
-3 5π -2 3π - π o
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
奇函数的图像关于什么对称呢？偶函数呢？
小结性质
y sin x的四性两域：
1、两域：
定义域：R
值域 ：[-1, 1]
课后思考：
（1）求函数y sin(2x)的单调区间。
（2）求函数y=sin(2x- )的单调区间及对称中心、对称轴。
2
今天的课就到这里， 谢谢！！