二阶导函数的用法及零点尝试法
【高考数学冲刺解题技巧】二阶导数的用法及零点尝试法
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
二阶求导公式
二阶求导公式二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
在这篇文章中，我们将探讨二阶求导公式的含义和应用，并通过一些具体例子来说明其作用。
让我们回顾一下一阶导数的概念。
一阶导数描述了函数在给定点的斜率或变化率。
而二阶导数则提供了一些更深入的信息，它描述了函数的曲率以及一阶导数的变化率。
简而言之，二阶导数可以帮助我们更全面地理解函数的行为。
为了更好地理解二阶求导公式，让我们以一个简单的例子开始。
假设我们有一个函数f(x)，我们想要求解它在特定点x=a的二阶导数。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：f''(a) = lim(h->0) [f'(a+h) - f'(a)] / h这个公式的含义是：当我们取非常小的h值时，函数f在x=a处的二阶导数等于一阶导数在x=a处的变化率与h的比值的极限。
换句话说，我们可以通过计算一阶导数的变化率来获得二阶导数。
现在让我们看一个具体的例子来说明二阶导数的应用。
假设我们有一个物体在某一时刻的位置函数s(t)，我们想要求解它在特定时刻t=t0的加速度。
根据二阶求导公式，我们可以得到如下结果：a(t0) = s''(t0)这个公式的含义是：物体在特定时刻的加速度等于它在该时刻位置函数的二阶导数。
换句话说，通过求解位置函数的二阶导数，我们可以得到物体在特定时刻的加速度。
通过这个例子，我们可以看到二阶求导公式在物理学中的应用。
它可以帮助我们了解物体的加速度，并进一步推导出其他与运动相关的物理量，如速度和位移。
除了物理学之外，二阶求导公式还在其他领域有着广泛的应用。
在经济学中，二阶导数可以用于分析市场的曲率和弹性。
在工程学中，二阶导数可以用于分析信号的频率和谐波。
在生物学中，二阶导数可以用于分析生物体的生长速率和变化趋势。
总结起来，二阶求导公式是微积分中的重要概念，用于求解函数的二阶导数。
它可以帮助我们更全面地理解函数的行为，并在各个领域中有着广泛的应用。
二阶导数
二阶导数的几何意义及运用二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性“0)(''≥x f 为凹函数；0)(''≤x f 为凸函数。
（3）判断极大值极小值（二阶导数小于0为极大值，二阶导数大于0为极小值）。
例、试问a 为何值时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值．例、已知函数x a x x x f ln 2)(2++=，证明f(x)的导函数)('x f 对于任意两个不想等的正数21,x x ，当0≤a 时，有)2(2)()(2121x x f x f x f ++ 。
二阶导数的运用例1、已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥例2、设函数()21x f x e x ax =---。
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时，()0f x ≥。
求a 的取值范围。
练习：1、设a 为实数，函数()22,xf x e x a x R =-+∈。
（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a ＞ln 21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+。
模块总结：1、若z k ∈，且1ln -+x x x x k对1 x 恒成立，求k 的最大值。
2、函数)0(),21()( x x e x g x +-=，试确定函数)(x g 的单调性。
3、试探究函数3ln )(x x x x f -=在()+∞,1上的单调性。
4、已知函数xx e x f 1ln )(+=，求函数)(x f 的单调区间。
5、判断函数x e x x x f ln )(=的单调性。
6、求函数)1ln()(+-=x e x f x 的单调区间。
二阶导数求导公式
二阶导数求导公式在微积分中，导数是描述函数斜率或变化率的重要概念。
一阶导数代表函数的变化速率，而二阶导数则代表了函数曲线的弯曲程度。
在求导的过程中，对于计算二阶导数的公式有特殊的方法。
一阶导数和二阶导数首先，我们回顾一下导数的概念。
给定一个函数f(f)，其一阶导数表示为 $\\frac{df(x)}{dx}$ 或f′(f)。
一阶导数是函数在某一点的变化率，即函数曲线在该点的切线斜率。
二阶导数则是对一阶导数再次求导得到的结果，表示函数的曲率。
数学表达式为 $\\frac{d^2f(x)}{dx^2}$ 或f″(f)。
二阶导数可以告诉我们函数曲线的弯曲程度，是一种更深层次的导数概念。
二阶导数求导公式推导对于一个函数f(f)，我们可以通过以下步骤来求解其二阶导数：1.首先求解一阶导数f′(f)；2.然后对f′(f)再次求导，即f″(f)。
在实际计算过程中，我们可以利用一些常见函数的二阶导数求导公式来简化计算，例如：•常数函数f(f)=f的二阶导数为0；•幂函数f(f)=f f的二阶导数为f(f−1)f f−2；•指数函数f(f)=f f的二阶导数仍为f f；•对数函数 $f(x) = \\ln(x)$ 的二阶导数为 $-\\frac{1}{x^2}$；•三角函数的二阶导数公式较为复杂，可通过连续求导得到。
应用示例下面通过一个简单的示例来说明二阶导数的应用。
考虑函数f(f)=f2，我们可以按照上述步骤计算其二阶导数。
首先，计算一阶导数：f′(f)=2f然后，计算二阶导数：$$ f''(x) = \\frac{d^2}{dx^2} (2x) = 2 $$因此，函数f(f)=f2的二阶导数为常数2，表明该函数的曲率保持不变。
结语二阶导数是微积分中的重要概念，它描述了函数曲线的曲率。
通过掌握二阶导数求导公式，我们可以更深入地理解函数的性质和特征。
在实际问题中，对二阶导数的分析有助于理解函数的凹凸性质和拐点位置，对于优化问题等具有重要意义。
二阶导数
二阶导数二阶导数,是原函数导数的导数,将原函数进行二次求导。
一般的,函数y=f(x)的导数y‘=f’(x)仍然是x的函数,则y’=f‘(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。
1代数记法二阶导数记作y‘‘=d^2y/dx^2即y''=(y')'。
[1]例如：y=x^2的导数为y=2x,二阶导数即y=2x的导数为y=2。
2几何意义(1)切线斜率变化的速度(2)函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)这里以物理学中的瞬时加速度为例:根据定义有a=(v'-v)/Δt=Δv/Δt可如果加速度并不是恒定的某点的加速度表达式就为：a=limΔt→0 Δv/Δt=dv/dt(即速度对时间的一阶导数)又因为v=dx/dt 所以就有a=dv/dt=d^2x/dt^2 即元位移对时间的二阶导数将这种思想应用到函数中即是数学所谓的二阶导数f'(x)=dy/dx (f(x)的一阶导数)f''(x)=d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx (f(x)的二阶导数)3应用如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么对于区间I上的任意x,y,总有：f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2],如果总有f''(x)<0成立,那么上式的不等号反向。
几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)(即二阶导数)>0恒成立,那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段,这两点之间的函数图象都在该线段的下方,反之在该线段的上方。
4相关补充二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量,它不像一阶导数那样有明显的几何意义,因为它表示的是一阶导数的变化率。
在图形上,它主要表现函数的凹凸性,直观的说,函数是向上突起的,还是向下突起的。
定理：设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么,(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
二阶导数的应用
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
O(x x0)n
4.9 几个初等函数的泰勒公式
例4.19 求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式
解：∵f'(x)＝f"(x)＝…＝f(n)(x)＝ex
∴f(0)＝f'(0)＝f"(0)＝…＝f(n)(0)＝1
于是，ex在x＝0点的泰勒展开式为：
ex 1 x x2 xn O(xn )
例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式
解：∵f'(x)＝ 1 ，f"(x)＝- 1 ，
1 x
(1 x)2
f"'(x)＝
2 (1 x)3
，f(4)(x)＝-
6 (1 x)4
，…
∴f(0)＝0，f'(0)＝1，f"(0)＝-1!，f"'(x)＝2!
f(4)(0)＝-3!，… f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)!
证明当a＞s0in时nx，lim x
ln x x
＝0
证明：根据罗必塔法则
1
lim
x
ln x x
lim
x
x
x
1
lim
x
1
x
0
这表明，无论是α一个多么小的正数，xα趋于＋∞
的速度都比lnx趋于＋∞的速度快。
[作业]
P.198 1 ,2 ⑴⑵⑷,3 ⑴⑵⑶,4 ⑴⑵⑷ P.207 4 ，5 复习题四 1 ,2 ,7 ,8 ,13 ⑵⑶⑷⑹⑺⑻
例4.13 判定曲线y＝1 的凹凸性
x
解：∵y＝ 1 ∴f'(x)＝－ 1 ，f"(x)＝ 1 ，
二阶导数的应用1
符号，如果x0两侧f"(x)的符号不同，则点(x0,f(x0))
是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点
(x0,f(x0))不是曲线的拐点。
例4.15 求曲线y＝x3－4x＋4的凹凸区间和拐点 解：y'＝x2－4，y"＝2x,令2x＝0，得x＝0 当x＜0时，y”＜0，曲线在(－∞,0)内为凸的， 当x＞0时，y"＞0，曲线在(0,＋∞)内是凹的。 在x＝0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲
ln sin mx 求 lim x 0 ln sin nx
例4.27 证明当a＞0时， ln x ＝0 lim x x 证明：根据罗必塔法则
1 ln x x lim 1 0 lim lim x x x x 1 x x
这表明，无论是α 一个多么小的正数，xα 趋于＋∞
4
4
把x1＝ ，x2＝ 5 代入原函数计算得 f(
)＝ 4
5 5 5 f " ( ) sin cos 2 0 4 4 4
。所以当x＝ 4
2
、f( 5 4
)＝－ 2
5 4
时，
时，y极小＝－ 2 [注意] 如果f'(x0)＝0，f"(x0)＝0或不存在，本 定理无效，则需要考察点x0 两边f'(x)的符号来判 定是否为函数的极值点。
凸的，
3
2 2 ,
当x∈(
内是凹的，
)时，f”(x)＞0，曲线在(
3
2 2 ,
)
3 3 当x∈( ,2π )时，f”(x)＜0，曲线在( ,2π ) 2 2
二阶导数表达(3篇)
第1篇一、二阶导数的概念1. 定义二阶导数，也称为函数的二阶导数，是导数的导数。
对于一元函数y=f(x)，其导数f'(x)表示函数在某一点的瞬时变化率。
而二阶导数f''(x)则表示导数f'(x)在某一点的瞬时变化率，即函数的曲率。
2. 计算公式对于一元函数y=f(x)，其二阶导数的计算公式为：f''(x) = lim（h→0）[f'(x+h) - f'(x)] / h或者：f''(x) = d/dx[f'(x)]二、二阶导数的性质1. 可导性若函数y=f(x)在点x处可导，则其导数f'(x)在点x处也可导，即f'(x)在x处存在二阶导数。
2. 连续性若函数y=f(x)及其一阶导数f'(x)在区间[a, b]上连续，则f''(x)也在区间[a, b]上连续。
3. 非负性对于函数y=f(x)，若f''(x)≥0，则函数图像在对应区间上为凸函数；若f''(x)≤0，则函数图像在对应区间上为凹函数。
4. 凸凹性若函数y=f(x)及其二阶导数f''(x)在区间[a, b]上连续，则：（1）若f''(x) > 0，则函数在区间[a, b]上为凸函数；（2）若f''(x) < 0，则函数在区间[a, b]上为凹函数。
三、二阶导数的应用1. 曲率分析通过计算函数的二阶导数，可以判断函数图像的凸凹性，进而分析曲线的曲率。
2. 最值问题在求解函数最值问题时，可以通过分析函数的二阶导数，判断函数的极值类型。
3. 函数图像分析通过分析函数的二阶导数，可以了解函数图像的形状，如拐点、极值点等。
4. 工程应用在工程领域，二阶导数常用于描述物理量变化的趋势，如速度、加速度等。
四、二阶导数在实际问题中的重要性1. 描述物理现象在物理学中，二阶导数常用于描述物体的运动规律，如速度、加速度等。
【2020年高考必备】二阶导数的用法及零点尝试法
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
二阶导函数的用法及零点法 8
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1.2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =-当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=>所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x xx+=+-=+ 无法求根也无法判断正负''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
高考数学二阶导数的用法及零点尝试法
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=-> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
二阶导数计算公式
二阶导数计算公式二阶导数是对函数的一次导数再次求导的结果。
它描述了函数的曲率和加速度。
在数学中，二阶导数的计算可以通过利用一阶导数的定义和性质进行简化。
如果函数f(x)在一些点x0处存在一阶导数f'(x0)，那么该点处的二阶导数可以通过以下公式计算：f''(x0) = lim(h->0) [f'(x0 + h) - f'(x0)] / h这个公式表明，二阶导数可以通过一阶导数的差商来计算。
首先将x0处的一阶导数值f'(x0)算出来，然后再算出邻近点x0+h处的一阶导数值f'(x0+h)，并求其差商除以h。
当h越来越趋近于0时，我们可以得到二阶导数的近似值。
在实际计算中，我们可以利用微积分的基本性质来简化计算过程。
首先，一阶导数的定义是函数在其中一点的切线斜率，通过计算函数的差商可以得到。
而二阶导数的定义是函数的一阶导数的导数，它的物理意义是描述了函数的弯曲程度和加速度。
在实际计算中，我们可以通过下列公式简化计算：1.二阶导数的线性性质：如果函数f(x)和g(x)都存在二阶导数，那么函数h(x) = af(x) + bg(x)也存在二阶导数，其二阶导数值等于af''(x) + bg''(x)，其中a 和b是常数。
2.二阶导数的乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都存在二阶导数，那么函数h(x)=f(x)g(x)也存在二阶导数，其二阶导数值等于f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)。
3.常见函数的二阶导数：对于一些常见的函数，我们可以通过公式直接计算其二阶导数，如下所示：-常数函数f(x)=C的二阶导数为零。
-恒等函数f(x)=x的二阶导数为1-幂函数f(x)=x^n的二阶导数为n(n-1)x^(n-2)。
-指数函数f(x)=e^x的二阶导数还是e^x。
一阶导数和二阶导数 零点和极值点
一阶导数和二阶导数零点和极值点下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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二阶导数的计算公式
二阶导数的计算公式二阶导数的计算公式是通过对一阶导数再次求导得到的。
在微积分中，一阶导数表示了函数在其中一点上的变化率，而二阶导数则表示了一阶导数在整个函数上的变化率。
它成为一个重要的工具，用于描述函数的弯曲情况、凸凹性和拐点等。
对于一个函数f(x)，若一阶导数存在，则其二阶导数可以使用以下公式进行计算：f''(x) = (d/dx) [f'(x)]即，二阶导数等于一阶导数对x的导数。
在计算二阶导数时，有一些常见的函数求导公式和规则可以简化计算过程。
1.常数规则：对于常数c，它的一阶导数为0，因此它的二阶导数也为0。
2. 幂函数规则：对于函数 f(x) = x^n，其中 n 是实数，其一阶导数为 f'(x) = nx^(n-1)，二阶导数为 f''(x) = n(n-1)x^(n-2)。
3. 指数函数和对数函数规则：指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是常数且 a > 0，其一阶导数为 f'(x) = ln(a) * a^x，二阶导数为 f''(x) = ln(a)^2 * a^x。
对于自然对数函数 f(x) = ln(x)，其一阶导数为 f'(x) = 1/x，二阶导数为f''(x) = -1/x^24. 三角函数规则：对于常见的三角函数，如正弦函数 sin(x)，余弦函数 cos(x)，正切函数 tan(x)等，它们的一阶导数和二阶导数分别为：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)sin''(x) = -sin(x)cos''(x) = -cos(x)tan''(x) = 2sec^2(x)tan(x)其中 sec(x)，csc(x) 和 cot(x) 分别为 secant 函数，cosecant函数和 cotangent 函数。
二阶导数的求法例子(一)
二阶导数的求法例子(一)二阶导数的求法1. 什么是二阶导数？二阶导数是函数的导数的导数，即对函数进行两次求导得到的导数值。
它可以描述函数曲线的凹凸性和加速度等特性。
2. 一元函数的二阶导数求法对于一元函数，其二阶导数的求法可以通过以下几个步骤：•首先求得一阶导数•然后对一阶导数再次求导即可得到二阶导数例如，对于函数f(x)=x3，我们可以按照上述步骤求解其二阶导数：•第一步，求一阶导数：f′(x)=3x2•第二步，再次求导得到二阶导数：f″(x)=6x 因此，函数f(x)=x3的二阶导数为f″(x)=6x。
3. 多元函数的二阶导数求法对于多元函数，其二阶导数的求法稍微复杂一些，可以通过以下步骤进行：•首先求得一阶偏导数•然后对一阶偏导数再次求导即可得到二阶偏导数例如，对于函数g(x,y)=x2+y2，我们可以按照上述步骤求解其二阶偏导数：•第一步，求一阶偏导数：∂g∂x=2x∂g∂y=2y•第二步，再次求导得到二阶偏导数：∂2g∂x2=2∂2g∂y2=2因此，函数g(x,y)=x2+y2的二阶偏导数为∂2g∂x2=2和∂2g∂y2=2。
4. 应用示例二阶导数在数学中有广泛的应用，下面举例说明两种常见的应用场景：凹凸性判断通过求函数的二阶导数可以判断函数曲线的凹凸性。
若二阶导数大于零，则函数呈凹形；若二阶导数小于零，则函数呈凸形。
例如，对于函数ℎ(x)=x2，我们可以求得其二阶导数为ℎ″(x)=2。
由于ℎ″(x)>0，所以ℎ(x)是一个凹函数。
加速度分析在物理学中，加速度可以通过对位移关于时间求二阶导数得到。
通过求解二阶导数，我们可以分析物体的加速度变化情况。
例如，对于位移函数s(t)=t2，我们可以对其进行两次求导得到加速度函数a(t)=2，即物体的加速度为常数2。
总结通过以上几个例子的讲解，我们可以看到，二阶导数的求法可以通过对一阶导数再次求导得到。
对于一元函数和多元函数，其求法稍有不同。
二阶求导 技巧
二阶求导技巧一、啥是二阶求导呢？1. 简单来说啊，一阶求导呢，就是求函数的变化率。
那二阶求导呢，就是对这个变化率再求一次变化率。
打个比方，假如你看一个人跑步的速度，一阶求导就是看他跑得多快，二阶求导呢，就是看他的速度是怎么变化的，是在加速还是在减速呢。
比如说函数y = x²，它的一阶导数是y' = 2x，这就表示这个函数的变化率是2x。
那再对2x求导，得到二阶导数y'' = 2，这就表示这个函数的变化率的变化率是个定值2呢。
二、为啥要学二阶求导呢？1. 这二阶求导可有用啦。
在物理里，一阶导数可能表示速度，二阶导数就能表示加速度。
就像汽车开在路上，一阶导数能告诉你车开得有多快，二阶导数能告诉你车是在加油门加速还是在踩刹车减速呢。
2. 在研究函数的凹凸性的时候，二阶导数也超级重要。
如果一个函数的二阶导数大于0，那这个函数在这个区间就是凹的；如果二阶导数小于0，这个函数在这个区间就是凸的。
比如说函数y = sin(x)，我们求它的二阶导数，就能知道它在哪些区间是凹的，哪些区间是凸的。
三、二阶求导的基本方法1. 对于基本函数的二阶求导，就按照求导公式一步步来就行。
像多项式函数y = ax²+ bx + c，先求一阶导数y' = 2ax + b，再求二阶导数y'' = 2a。
2. 对于复合函数呢，这就有点小复杂了。
我们要用链式法则。
比如说y = (2x + 1)²，我们可以设u = 2x + 1，那么y = u²。
先对y关于u求导，得到y' = 2u，再对u关于x求导，得到u' = 2。
然后根据链式法则，y关于x的一阶导数就是y' = 2u×2 = 4(2x + 1)。
再求二阶导数，就再对4(2x + 1)求导，得到y'' = 8。
四、二阶求导在解题中的小技巧1. 化简再求导。
二阶求导推导过程
二阶求导推导过程嘿，朋友们！咱们今天来聊聊二阶求导这回事儿。
先来说说啥是求导。
想象一下，求导就像是给一个函数拍个“速度照片”，能告诉我们函数变化的快慢。
那一阶求导呢，就是这第一张“速度照片”。
那二阶求导又是啥？咱们打个比方，一阶求导好比是你跑步时的速度，二阶求导呢，就像是你跑步速度变化的快慢，也就是加速度啦！咱们来看个简单的函数，比如$f(x)=x^2$。
一阶求导，$f'(x)=2x$，这很好理解吧？那二阶求导呢？就是对一阶求导再求一次导呗。
$f''(x)=(2x)' = 2$。
再比如$f(x)=\sin x$，一阶求导$f'(x)=\cos x$，二阶求导$f''(x)=-\sin x$。
那二阶求导咋推导出来的呢？这就得从导数的定义说起啦。
导数的定义是啥？就是函数在某一点的变化率的极限呀。
比如说，对于函数$f(x)$在$x_0$处的导数，就是$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。
那二阶导数呢？就是对一阶导数再用这个定义来算一遍。
这是不是有点像打怪升级，过了一关又来一关？咱再拿个复杂点的函数试试，$f(x) = e^{2x}$。
一阶求导$f'(x) =2e^{2x}$，二阶求导$f''(x) = 4e^{2x}$。
这过程中，可不能马虎，每一步都得小心计算，就像走钢丝一样，稍微一错，可就掉下去啦！其实二阶求导在很多地方都有用呢。
比如研究物体的运动，判断函数的凹凸性。
你想想，如果不知道二阶求导，怎么能知道一个函数是向上凸还是向下凹呢？就像不知道路怎么走，怎么能到达目的地呢？所以说，二阶求导虽然有点复杂，但掌握了它，就能在数学的世界里更自由地闯荡啦！总之，二阶求导就是这么个神奇又重要的东西，咱们可得好好琢磨琢磨，把它拿下！。
二阶导函数的用法及零点尝试法
二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
二阶导数求极值的步骤
1.导数求极值步骤：
1.先求导，
2.使导函数等于零，求出x值，
3.确定定义域，
4.画表格，
5.找出极值，注意极值是把导函数中的x值代入原函数。
2.求函数f'(x)的极值步骤
1、找到等式f'(x)=0的根
2、在等式的左右检查f'(x)值的符号。
如果为负数，则f(x)在这个根得
到最大值；如果为正数则f(x)在这个根得到最小值。
3、判断f'(x)无意义的点。
首先可以找到f'(x)=0的根和f'(x)的无意义
点。
这些点被称为极点，然后根据定义来判断。
4、函数z=f(x,y)的极值的方法描述如下：
(1)解方程式fx(x,y)=0，fy(x,y)=0，求一个实数解，可以求所有的塞音；
(2)对于每个停止点(x0,y0)，找到二阶偏导数的值a,b,c；
(3)确定ac-b2的符号，并根据定理2的结论确定f(x0,y0)是一个最大
值、最大值还是最小值。
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二阶导数的用法及零点尝试法导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，在高考中不管文理都有极大可能用到二阶导数，虽然文科不谈二阶导数，其实只是把一阶导数设为一个新函数，再对这个新函数求导，本质上依旧是二阶导数。
例1. 2()23x f x e x x =+-，当12x ≥时，25()(3)12f x x a x ≥+-+恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：22255()(3)123(3)122x f x x a x e x x x a x ≥+-+⇒+-≥+-+，则 2112x e x a x--≤在12x ≥上恒成立 令2112()x e x g x x--=，则2'21(1)12()x e x x g x x ---= 令21()(1)12x h x e x x =---，则'()(1)x h x x e =- 当12x ≥时，'()0h x >恒成立，即17()()028h x h ≥=> 所以'()0g x >，()g x 在1[,)2+∞上单调递增，min 19()g()24g x ==所以94a ≤ 二阶导的用法:判断()f x 的单调性则需判断'()f x 的正负，假设'()f x 的正负无法判断，则把'()f x 或者'()f x 中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数()g x ，如果通过对()g x 进行求导继而求最值，若min ()0g x >或max ()0g x <则可判断出'()f x 的正负继而判断()f x 的单调性，流程如下图所示：但是并不是一阶导数无法求根或者判断正负就必须使用二阶导数，有时候适当的对函数做一些变形就可以省去很多麻烦，如下题：例2．已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+，证明：当01x <<时，()0f x < 解析：'11()ln 1ln x f x x x x x+=+-=+ 无法求根也无法判断正负 ''22111()x f x x x x-=-=，令''()0f x =，则1x = 当1x >时，''()0f x >，'()f x 单调递增；当01x <<时，''()0f x <，'()f x 单调递减，''min ()(1)10f x f ==>，所以()f x 在01x <<上单调递增 即max ()()(1)0f x f x f <==但是如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，此时我们采用的是零点尝试法，即确定一阶导数的零点的大致位置，如下：对上图的解读：零点尝试法其实是无法求出一阶导数的零点，且通过二阶导数无法得出需要的一阶导数的最值，此时一般可以根据二阶导的恒正或恒负来判断出一阶导是否只有一个零点，若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为0x ，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的0x ，例如确定出0x 在某数之前或某数之后，但是所设的0x 满足'0()f x =0，通过这个式子可以得到一个关于0x 的等式，然后所设的点0x 肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合'0()0f x =这个等式，有的时候能求出一个不包含0x 的最值或者含有0x 一个很简单的数或式子，不过此方法并非无敌，若二阶导数和零点尝试法均失效时，则需考虑你的思考方向是否正确了，关于零点尝试法在2017年高考之前各个省份模拟题中经常出现，在2017年高考中也出现了，因此这个方法必须作为高考中的备考题型掌握。
零点尝试法应用举例：例3.已知函数()ln()x f x e x m =-+，当2m ≤时，证明()0f x >解析：原题可以理解为当2m =时，()ln(2)0x f x e x =-+>在定义域内恒成立'1()2x f x e x =-+，''21()0(2)x f x e x =+>+ 所以'()f x 在定义域内单调递增，设在定义域内存在0x 使得'()0f x = 当0(2,)x x ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减 当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增所以0min 00()()ln(2)x f x f x e x ==-+ ① 且0'001()2x f x e x =-+ ② 由①②得0min 0()()20x f x f x e ==>故当2m ≤时，证明()0f x >例4.已知函数()ln f x x x ax =+，若对任意(1,)x ∈+∞，()(1)f x k x ax x >-+-恒成立，求正整数k 的值。
解析：问题可转化为当(1,)x ∈+∞时，ln 1x x xk x +<-恒成立设'2ln ln 2(),()1(1)x x x x x h x h x x x +--==-- 令'1()ln 2,()10m x x x m x x=--=->所以()m x 在定义域内单调递增 min ()(1)1m x m >=-（没有用）………………..注意二阶导失灵了(3)1ln30,(4)2ln 40m m =-<=->所以存在0(3,4)x ∈使得000()ln 20m x x x =--=当'0(1,),()0,()0x x m x h x ∈<<，()h x 单调递减 当'0(,),()0,()0x x m x h x ∈+∞>>，()h x 单调递增00000min 000ln (ln 1)()()11x x x x x h x h x x x ++===-- ① 又因为00000()ln 21(ln 1)0m x x x x x =--=--+= ② 由由①②得min 00()()h x h x x == 所以0,1,2,3k x k <=例5．设函数22()ln(1)1,()(1)x f x x ax x g x x e ax =-+++=-+，a R ∈，证明()()f x g x ≤。
解析：()()(1)ln(1)1x g x f x x e x x -=-----，令()(1)ln(1)1x h x x e x x =-----'1()()11x x x h x xe x e x x =-=---，''21()(1)0(1)x h x x e x =++>- 所以'()h x 在(1,)+∞上单调递增，'''min 1()(1)lim ()x h x h h x +→>≈=-∞（此时二阶导失效）因为''(1)0,(2)0h h <>且'()h x 在(1,)+∞单调，因此'()0h x =在定义域内有且只有一个零点设为0x当0x x >时，'()0h x >，()h x 单调递增 当01x x <<时，'()0h x <，()h x 单调递减所以0min 0000()()(1)ln(1)1x h x h x x e x x ==----- ①0'0000()01x x h x x e x =-=- ② ① ②联立可得min ()0h x =所以()()()0h x g x h x =-≥，即()()f x g x ≤例6.已知函数()ln()x f x e x m =-+，当2m ≤时，证明()0f x > 解析：函数的定义域为(,)m -+∞，'''211(),()0()x x f x e f x e x m x m =-=+>++此时'()f x 在(,)m -+∞上单调递增，由于'()f x 在x m =-处无意义，因此用极限判断最小值''min 11()()lim ()lim x m x mx m f x f m e e x m x m++-→-→->-=-=-=-∞++（二阶导失灵）*目前只知道'()f x 单调递增，'()f x 是否有零点不确定，因此还需要判断'()f x 零点的个数，令'1()0x f x e x m=-=+，即x m e x -=-，设()x g x e x -=-，'()f x 有没有零点等价于y m =和()x g x e x -=-有没有交点因为'()10x g x e -=--<，()g x 单调递减，因为(),lim ()m x g m e m m g x →+∞-=+>=-∞故可知y m =和()x g x e x -=-有一个交点，即'()f x 有一个零点。
*设'()f x 的零点为0x ，当0x x >时，'()0f x >，()f x 单调递增；当0x x <时，'()0f x <，()f x 单调递减，所以0min 00()()ln()x f x f x e x m ==-+ ①又因为'0()0f x =，得0010x e x m-=+ ②结合① ②可得0min 0()x f x e x =+，因为00x x e m -=-所以000000min 111(),2,0xx x x x x f x e m e e m e e e=+-+≥+-≥，当01x =时等号成立 所以可证得min ()0f x >，即()0f x >。