关于排列组合的解题策略
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这5人共有多少乘船方法. 27
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特殊元素和特殊位置问题
特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置
总的原则—合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行 分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
所有组合的个数
A
m n
C
m n
A n mn(n1)(nm 1)
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
0!1
C Cn m nm n m(n !( nn1 !)mm )(!!nm C n0 1 )1
Anm Cnm Am m
Anm nAnm11
Cnm Cnnm
Cnm 1CnmCnm1
练习
1、某校组织学生分4个组从3处风景点中选一
两个原理的区别与联系：
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法，
第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……，
第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63
合理分类与分步策略
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的 节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究: 只会唱
处去春游,则不同的春游方案的种数是（C ）A.
3 B.
C
3 4
C.
A3 4
D.
4
43
2、将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4 的
四个方格里 , 每格填一个数字，则每个方格的标
号与所填的数字都不相同的填法共有（B）。
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则
不同的选法共有__3__4___
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要组合问题
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
• 若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41 种根，据1分位步的计排数法
原理，不同的站法有 A41A41A44 种。 再安排老师，有2种方法。
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有
2(A 5 5A 4 1A 4 1A 4 4)10(种 0.8）
有不同的数学书7本，语文书5本， 英语书4本，由其中取出不是同一 学科的书2本，共有多少种不同的 取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦 敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人 不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
握手相互问候，共需握手多少次?
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有
多少种不同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质 进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事 情的发生的连续过程分步，做到分步层次清 楚.
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
排列和组合的区别和联系：
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32_C_32
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15_C_13_C_42_种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C _52 C_52_种，由分类计数
原理共有_C__32C__32 _+__C__15C__13C__42_+_C__52_C_52__种。
把握分类原理、分步原理是基础
例1 如图，某电子器件是由三个电
F
E
D
阻组成的回路,其中有6个焊接
C
A
B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，
整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那
么焊接点脱落的可能性共有（ ）
A.63种 B.64种 C.6种 D.36种
分析:由加法原理可知 C 6 1C 6 2C 6 663
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特殊元素和特殊位置问题
特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置
总的原则—合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行 分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
所有组合的个数
A
m n
C
m n
A n mn(n1)(nm 1)
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
0!1
C Cn m nm n m(n !( nn1 !)mm )(!!nm C n0 1 )1
Anm Cnm Am m
Anm nAnm11
Cnm Cnnm
Cnm 1CnmCnm1
练习
1、某校组织学生分4个组从3处风景点中选一
两个原理的区别与联系：
做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法，
第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……，
第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63
合理分类与分步策略
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的 节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究: 只会唱
处去春游,则不同的春游方案的种数是（C ）A.
3 B.
C
3 4
C.
A3 4
D.
4
43
2、将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4 的
四个方格里 , 每格填一个数字，则每个方格的标
号与所填的数字都不相同的填法共有（B）。
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则
不同的选法共有__3__4___
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要组合问题
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
• 若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41 种根，据1分位步的计排数法
原理，不同的站法有 A41A41A44 种。 再安排老师，有2种方法。
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有
2(A 5 5A 4 1A 4 1A 4 4)10(种 0.8）
有不同的数学书7本，语文书5本， 英语书4本，由其中取出不是同一 学科的书2本，共有多少种不同的 取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦 敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人 不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
握手相互问候，共需握手多少次?
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有
多少种不同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质 进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事 情的发生的连续过程分步，做到分步层次清 楚.
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
排列和组合的区别和联系：
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32_C_32
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15_C_13_C_42_种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C _52 C_52_种，由分类计数
原理共有_C__32C__32 _+__C__15C__13C__42_+_C__52_C_52__种。
把握分类原理、分步原理是基础
例1 如图，某电子器件是由三个电
F
E
D
阻组成的回路,其中有6个焊接
C
A
B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，
整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那
么焊接点脱落的可能性共有（ ）
A.63种 B.64种 C.6种 D.36种
分析:由加法原理可知 C 6 1C 6 2C 6 663