关于排列组合的解题策略
排列组合应用题的类型及解题策略
排列组合应用题的类型及解题策略一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）②有序还是无序③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。
（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式（结果用数值表示）.解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22·A44＝48. 从而应填48．（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要“完成什么样的事件”是前提。
三．基本题型及方法：1．相邻问题（1）、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
A）720 B）360 C）240 D）120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种例4高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解：不同排法的种数为＝3600，故选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
例谈排列组合问题的解答策略
例谈排列、组合问题的解答策略排列、组合问题，高考中通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际、生动有趣。
但题型多样、思想方法独特、灵活。
学生在学习上很容易出现“一听就懂，一过就忘，一做就错”的不良情况。
实践证明备考的有效方法是题型与解法归类，识别模式，熟练运用。
下面通过十多种解题策略的介绍，以求起到抛砖引玉的作用。
一，合理分类，准确分步的策略在正确理解两个基本原理的基础上，首先要弄清楚一件事是“分类”还是“分步”完成，要做到“分类“时不重不漏；“分步”时各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤。
例1，⑴若x, y∈N﹡, x+y≤6，则有序数对(x,y) 有多少个？⑵若1≤X≤4,1≤Y≤5以有序整数对(x,y)为坐标的点有多少个？略解：⑴当x=1,2,3,4,5 时y 值分别有5个,4个, 3个, 2个, 1个.根据分类计数原理，数对有5+4+3+2+1=15个。
⑵对于x 取1, 2, 3 ,4, 中任一数时，y都有1、2、3、4、5分别与它对应，由分步计数原理知,点的个数有4×5=20个.例2，2100有多少个正的约数？略解：由于2100=22×3×52×7，可见质因数2有两个，具有“不选”、“选一个”、“选两个”等三种不同选法；同时对于3有两种不同选法，对于5有三种不同的选法；对于7有两种不同的选法。
故2100共有3× 2× 3 ×2＝ 36个正约数。
二，特殊优先安排策略对于存在特殊元素，特殊位置的排列、组合问题可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或位置。
这种解法也叫特殊优先法。
例3，从a,b,c,d,e 5个元素中取出4个放在四个不同的格子中且元素b不能放在第二个格子里，问共有多少个不同的放法？解法一：（考虑特殊元素）先排b但考虑到取出的4个元素中含b与不含b分为两类：第一类取出的4个元素中含b的取法有A31A43种；第二类取出的4个元素中不含b 则有A44种，由分类计数原理知共有A31A43 + A44 =96 种放法。
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略(完整版)
高中数学排列组合问题的常见解题方法和策略江西省永丰中学陈保进排列组合问题是高中数学的一个难点，它和实际问题联系紧密，题型多样，解题思路灵活多变，学生不容易掌握。
下面介绍一些常见的排列组合问题的解题方法和策略。
1.相邻问题捆绑法：将相邻的几个元素捆绑成一组，当作一个大元素参与排列例1：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一排，如果A ,B 必须相邻，则不同的排法种数为_____解析：把A ,B 捆绑，视为一个整体，整体内部排序，有22A 种情况,再将整体和另外三人排序，有44A 种情况，所以答案为22A ×44A =48注意：小集团问题也可以用捆绑法变式1：7人排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，则不同的排法有_____种解析：把甲、乙及中间3人看作一个整体，答案为720333522=⨯⨯A A A 2.不相邻问题插空法:不相邻问题，可先把其他元素全排列，再把需要不相邻的元素插入到其他元素的空位或两端例2：七人并排站成一行，如果甲乙丙两两不相邻，那么不同的排法种数是_____解析：先将其它4人全排列，共44A 种情况，再将甲乙丙插入到其他4人的空位或两端，共35A 种情况，所以答案为44A ×35A =14403.定序问题用除法:若要求某几个元素必须保持一定的顺序，可用除法例3：A ,B ,C ,D ,E 五人站成一列，如果A 必须在B 前面，则不同的排法种数有_____解析：先将5人全排列，共55A 种情况，考虑A ,B 的顺序有22A 种，符合题意的只有一种，所以答案为602255=A A 4.特殊元素优先考虑例4：8名男生排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种排法解析：①甲在最右边时，其他的可全排，有77A 种不同排法②甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有16A 种，再排乙，有16A 种排法，其余人全排列，共有77A ＋16A ×16A ×66A ＝30960种不同排法5.特殊位置优先考虑例5：从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有种解析：翻译工作是特殊位置，先选择一人参加翻译工作，14C 种情况，再从其他5人中选择5人参加导游、导购、保洁工作，有35A 种情况，答案为14C ×35A =2406.分组、分配问题：先分组后分配，如果是整体平均分组或部分平均分组，最后计算组数时要除以n n A (n 为均分的组数)，避免重复计数例6：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1，2，3分成三组，不是平均分组，有332516C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故共有3606033=⨯A 种情况A BC DE变式1：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中有两人各得1本，一人得4本，则有________种不同的分法解析：第一步把书按数量1,1,4分成三组，为部分平均分组，有1522441516=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式2：将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，每人得2本，则有_______种不同的分法解析：第一步把书按数量2,2,2分成三组，为整体平均分组，有1533222426=A C C C 种情况，第二步将分好的3组分到3名学生，有33A 种方法，故有901533=⨯A 种情况变式3：某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有_____种解析：①按照人数2，2，1分成3组；②按照人数3，1，1分成3组答案为15033221112353322112325=⨯+⨯A A C C C A A C C C 7.正难则反，考虑反面：例7：从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为解析：493739=-C C 此法适用于至多、至少、有、没有这类问题8.分类法（含多个限制条件的排列组合问题、多元问题）例8：甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A ，B ，C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为解析：分2种情况,①乙去A 社区，再将丙丁二人安排到B ，C 社区，有22A 种情况,②乙不去A 社区，则乙必须去C 社区，若丙丁都去B 社区，有1种情况，若丙丁中有1人去B 社区，则先在丙丁中选出1人，安排到B 社区，剩下1人安排到A 或C 社区，有2×2＝4种情况，所以答案为2＋1＋4＝7变式1：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有个解析：元素多，取出的情况多种，个位数字可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个数，合计为300个变式2：在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种解析：只需考虑三张奖券的归属情况，①有三人各得一张奖券，情况数为34A ；②一人获两张奖券一人获一张奖券,情况数为362423=A C ，故答案为609.可重复的排列求幂法例9：把6名实习生分配到7个车间实习，每个车间人数不限，共有种不同方法解析：每名实习生有7种分配方法，答案为7×7×7×7×7×7×7=76种不同的分法10.多排问题单排法例10：6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是解析：先排前排，36A 种情况，再排后排，33A 种情况，答案为720663336==⨯A A A如果没有条件限制，把元素排成几排和排成一排情况一样多变式1：8个人排成前后两排,每排4人,其中甲乙要排在前排,丙要排在后排,有种排法解析：先排甲乙和丙，还剩5个位置，让5个人做全排列，答案为5760551424=⨯⨯A A A 11.相同元素的分配问题隔板法（名额分配问题也可用隔板法）例11：将7个相同的小球放入四个不同的盒子，每个盒子都不空，放法有种解析：可以在7个小球的6个空位中插入3块木板，每一种插法对应一种放法，故放法有3620C =种变式1：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有种放法解析：先向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有216120C =种放法12.选排问题先取后排例12：10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为解析：首先从后排的7人中抽2人，有27C 方法；再将这2人安排在前排，第一人有4种放法，第二人有5种放法，答案为2745420C ⨯⨯=变式1：摄像师要对已坐定一排照像的6位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有3人座位不调整，则不同的调整方案的种数为______解析：从6人中任选3人有36C 种情况，将这3人位置全部进行调整，有1112112C C C ⨯⨯=种情况，答案为36240C ⨯=13.部分合条件问题排除法例13：以正方体的顶点为顶点的四面体共有个解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以答案为481258C -=变式1：四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有种A、150种B、147种C、144种D、141种解析：从10个点中任取4个的组合数为410210C =，其中4点共面的分三类：①4点在同一侧面或底面的共4组,即46460C ⨯=种②每条棱上的三点和它的对棱的中点共面,这样的共6种③所有棱的6个中点中,4点构成平行四边形共面的有3种答案为210-(60+6+3)=14114.构造模型，等价转化例14：马路上有编号为1，2，3…9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：此问题相当于一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法。
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共种．例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有（）A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有种排法；女生内部的排法有种，男生内部的排法有种．故合题意的排法有种．2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻，有多少种排法？先把个元素排成一排，然后把k个元素插入个空隙中，共有排法种．例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解：先把科学家作排列，共有种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有种排法，故符合条件的站法共有种站法．例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有种排法；k个不同元素排列成一排共有种不同排法．于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的分之一．故符合条件的排列共种．例5.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（）A、24种B、60种C、90种D、120种解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.例6. A，B，C，D，E五个元素排成一列，要求A在B 的前面且D在E的前面，有多少种不同的排法？解：5个不同元素排列一列，共有种排法． A，B两个元素的排列数为；D，E两个元素的排列数为．因此，符合条件的排列法为种．4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有种坐法。
排列组合问题,常见解题策略
排列组合问题，常见解题策略曹永玉排列组合问题是高考的必考内容，也是高考题中正确率最低的题目之一。
究其原因，是因为其思维方式独特，解题思路新颖，如果对题意认识出现偏差的话，极易出现计数中的“重复”和“遗漏”。
教学中，提高学生解排列组合题的有效途径是将一些常见题型进行方法归类，构造模型解题，这样有利于学生认识模式，进而熟练应用。
本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略，以期对大家有所帮助。
一、排列问题1.某个（或某几个）元素要排在指定位置——特殊元素“优先法”。
例1. 乒乓球队的10 名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力要排在第一、三、五位置，其余7队员中选2名排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种？解析：3名主力的位置确定在第一、三、五位中选，将他们优先安排，有A72A33种可能，然后从其他队员中选2 人安排在第二、四位置，有A72种排法，因此结果有A33种。
点评：先排特殊（特殊元素或特殊位置）是解决排列问题的基本方法。
2.某个元素不排在指定位置——排除法。
例2． 5个人排队，其中甲不在排头的排法有多少？解析1：（排除法）5人的全排列数A55，其中甲在排头的排列数A44，故甲不在排头的排列数A55 --A44=96种解析2：（特殊元素优先法）：先从余下的4个位置中选一位置排上，甲有A41种方法，然后其他4个元素排在余下的四个位置A44，所以总计A44A41种排法。
解析3：（特殊元素优先法）：先从甲以外的4人中选出一人排在特殊位置——排头A41，然后其他四个元素排在余下的4个位置A44，所以总计A41A44种排法。
3. 相邻问题——捆绑法例3． 4名男生和4名女生排成一排照相，要求4名女生必须相邻，有多少种排法？解析：4名女生看作一个整体（捆绑），与4名男生共五个元素全排列A55，但这4名女生内部又有顺序A44，故A44A55种不同排法。
4. 小团体问题——捆绑法例4．5人站一排，其中甲、乙之间有且只有一人的站法有多少？解析：先从甲、乙之外的3人中选一人，然后将甲、乙排在他的两边有C31A22种方式，3人形成一个小团体，看作一个元素再与余下的2人排列有A33种。
排列组合解题方法和策略总结
排列组合解题方法和策略总结排列组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从n个不同元素中取出m个元素（n>m）进行排列或组合的问题。
排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，因此掌握排列组合的解题方法和策略非常重要。
以下是排列组合解题方法和策略的总结：1.明确问题要求：在解决排列组合问题时，首先要明确问题的要求，确定是排列问题还是组合问题，以及具体的限制条件。
2.确定元素范围：根据问题要求，确定所选取元素的范围，明确哪些元素可以选取，哪些元素不能选取。
3.列出所有可能的排列或组合：根据排列组合的公式，列出所有可能的排列或组合，确保不遗漏任何一种可能性。
4.分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论。
根据问题的特点，将问题分成若干个子问题，分别求解子问题的排列组合情况。
5.排除法：在某些情况下，可以通过排除法求解问题。
根据问题的限制条件，排除一些不可能的情况，从而减少计算量。
6.递推关系：对于一些具有递推关系的问题，可以利用递推关系求解。
通过递推关系，逐步推导出最终的排列组合情况。
7.容斥原理：容斥原理是解决排列组合问题的一种重要方法。
通过容斥原理，可以将多个排列或组合的情况合并为一个，从而简化计算过程。
8.实际应用：排列组合问题在日常生活和科学研究中有着广泛的应用。
通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，并掌握解题方法和策略。
解决排列组合问题需要掌握一定的方法和策略。
通过明确问题要求、确定元素范围、分类讨论、排除法、递推关系、容斥原理等方法和策略，可以有效地解决各种排列组合问题。
同时，通过实际应用，可以加深对排列组合概念的理解，提高解题能力。
排列组合在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，以下是其中一些典型的应用场景：1.生日庆祝：在生日庆祝中，排列组合可以用来确定不同的庆祝活动安排。
例如，如果有5个朋友参加生日派对，可以使用排列组合确定他们坐在一张圆桌上的不同方式。
2.彩票购买：在购买彩票时，可以使用排列组合来计算不同号码的组合。
解排列组合问题的十七种常用策略
解排列组合问题的十七种常用策略排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。
根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置113344A A A注：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件 练习：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 2545A A 1440二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
522522A A A =480注：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形有多少种？ 20三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出 场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A 种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A =43200种注：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
解排列组合问题的十六种常用策略
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目 录
• 排列问题 • 组合问题 • 排列与组合的关联 • 解题策略 • 实际应用
01 排列问题
定义与公式
定义
从n个不同元素中取出m个元素（0≤m≤n），按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
合问题常常涉及到如何合理地分组、分类和整理数据。
统计模型
在建立统计模型时，例如回归分析和生存分析，排列组合问 题涉及到如何选择合适的模型和变量。
金融数学
投资组合优化
在金融数学中，排列组合问题常用于投资组合优化，例如如何合理地分配资产以最小化风险并最 大化收益。
风险管理
在风险管理方面，排列组合问题涉及到如何评估和管理金融风险，例如市场风险和信用风险。
排除法需要准确判断哪些情况需要排除，并正确计算 剩余情况。
分步法
分步法适用于多步骤、多阶段的问题，将问 题分解为多个小步骤或小阶段进行计算。
分步法需要明确每一步骤或阶段的计算方法 和相互之间的关系。
分类法
分类法适用于多种不同类型的问题，将问题按照不同 的类型进行分类，然后分别进行计算。
分类法需要准确判断问题的类型，并正确计算每种类型 的情况。
04 解题策略
直接法
直接法适用于简单问题，可以通过直 接计算得出结果。
直接法需要熟练掌握排列组合的基本 公式和原理。
间接法
间接法适用于不易直接计算的问题， 通过排除或减去不满足条件的情况来 得出结果。
VS
间接法需要准确判断哪些情况需要排 除，并正确计算剩余情况。
排除法
排除法适用于存在多种限制条件的问题，通过排除不 满足条件的情况来得出结果。
排列组合常见问题的解题策略
复习巩固
1.分类计数原理 加法原理) 1.分类计数原理(加法原理) 分类计数原理( 完成一件事， 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 类办法，在第1 种不同的方法，在第2类办法中有m m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不 同的方法， 在第n类办法中有m 同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的 方法，那么完成这件事共有： 方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 种不同的方法．
主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。 1 1 A3 由分步计数原理得 C 3 C4 4 =288 若有多个约束条件， 若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的 同时还要兼顾其它条件
先排末位共有___ 先排末位共有 C 1 位置分析法和元素分析法是பைடு நூலகம்决排列组合问题最 然后排首位共有___ 然后排首位共有 C4 常用也是最基本的方法,若以元素分析为主, 常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先 最后排其它位置共有___ 3 最后排其它位置共有 A 43 C若以位置分析为 1 安排特殊元素,再处理其它元素. 安排特殊元素,再处理其它元素. 1 A C
5 4 2
有8本互不相同的书,数学3本,外语2本, 本互不相同的书,数学3 外语2 其他书3 将它们排成一行放在书架上, 其他书3本,将它们排成一行放在书架上,其 中数学书放在一起,外语书放在一起, 中数学书放在一起,外语书放在一起,有多少 5 3 2 种放法? 种放法? A5 A3 A2 =1440
六.环排问题线排策略 5人围桌而坐 共有多少种坐法? 人围桌而坐, 例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 坐成一排的不同点在于， 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 4 A4 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 此位置把圆形展成直线其余4人共有____ 种排法即（5-1)！ 1)！
排列组合应用题的七大策略和解法技巧
排列组合应用题的七大策略和解法技巧排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们认真地审题，采取适当的策略，对题目中的信息进行科学地加工处理。
下面，我们通过例题来说明一些解排列组合应用题的常见的策略和解法技巧。
一、运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在计数的时候进行分类或分步处理，近几年的高考试题中也着重考查这两个基本原理。
例1．n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数原理，没有人通过，有C0n种结果；1个人通过，有C1n 种结果，…n个人通过，有Cnn种结果，所以一共有C0n+C1n+…+Cnn=2n种可能的结果。
解法2：用分步记数原理。
第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样，所以一共有2n种可能的结果。
例2．同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（）A.6种B.9种C.11种D.23种解法：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d，第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类：（1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的；（2）乙取c或d（2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的；根据加法原理和乘法原理，一共有3×（1+2）=9种分配方式。
二、特殊元素（位置）优先特殊元素、特殊位置优先，是处理排列组合综合问题的一个基本原则。
例3．从0，1，…9这10个数字中选取数字组成偶数，一共可以得到不含相同数字的五位偶数多少个？分析：0，2，4，6，8是特殊元素，元素0更为特殊，首位与末位是特殊的位置。
解法：个位选0，有A49个，个位不选0且万位不能选0，有C14，C18，A38个，所以一共可以得到A49+C14+C18+A38=13775个偶数。
排列组合20种解题策略
是：
A
7 7
/
A
3 3
(空位法)设想有
7
把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
A
4 7
种方法，其余的三个位置
甲乙丙共有
1
种坐法，则共有
A
4 7
种方法．思考：可以先让甲乙丙就坐吗？
(插入法)先排甲乙丙三个人，共有
1
种排法，再把其余
4
四人依次插入共有
A
4 7
种方法
【跟踪训练 8.1】10 人身高各不相等，排成前后排，每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增加， 共有多少排法？
【解析】 C150 ．
9．平均分组问题倍缩策略
平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以
A
n n
(
n
为均分的
组数)避免重复计数．
【例 9】6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？
【解析】分三步取书得 C62C42C22 种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记 6 本书为
【答案】63 【解析】因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电 路就不通，故共有 26－1＝63 种可能情况． 【跟踪训练 5.2】要从 12 人中选 5 人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？
(1)甲、乙、丙三人只有一人入选； (2)甲、乙、丙三人至少一人入选； (3)甲、乙、丙三人至多二人入选．
【解析】完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有 7 种分法．把第二名实习
生分配到车间也有 7 种分依此类推，由分步计数原理共有 76 种不同的排法．
【跟踪训练 1.2】教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( )
04排列组合解题策略1(经典题型+答案)
排列组合解题策略（一）1.7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有24A 不同种法，再其它葵花有55A 不同种法，所以共有不同种法2545121201440A A =⨯=种不同的种法． 2.用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。
解：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理：=240 （2）当1在千位时余下三位有=60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有=192所以总共有192+60=2523.（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？答案：（1）43（2）34 （3）344.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有33A 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有27A 种排法，所以不同的出场安排共有33A 27A ＝252种. 5. 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A ． 24个 B.30个 C.40个 D.60个解：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A 42个，2）0不排在末尾时，则有C 21 A 31A 31个，由分数计数原理，共有偶数A 42 + C 21 A 31A 31=30个，选B 。
排列组合问题的解题策略
排列组合问题的解题策略关键词： 排列组合,解题策略一、相临问题——捆绑法例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有A 22*A 66种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。
二、不相临问题——选空插入法例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，先把剩下的5人排列，5人之间有6个空，把甲乙在6个空中选2个插入，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为：2655A A ⋅ 种 .评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。
三、复杂问题——总体排除法在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有32个.四、特殊元素——优先考虑法对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有13A 种，而其余学生的排法有44A 种，所以共有1344A A ⋅＝72种不同的排法. 例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有33A 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有27A 种排法，所以不同的出场安排共有 2733A A ＝252种.五、多元问题——分类讨论法对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
排列组合解题策略(A4纸)
排列组合的解题策略与技巧一、基本原理：合理分类、准确分步（分类相加、分步相乘）涂色问题：相邻的区域涂不同颜色；解决方法：把不相邻区域分成一组，可涂同一色。
先分组，再分配！ 解决技巧：找出最多有几个不相邻的区域，以此计算可分成多少组。
一组一个颜色。
例：如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻 区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共 有 种。
解：第一类，用三种颜色有334324C A = 种方法；第二类用四种颜色，有 44248A = 种方法，从而再由加法原理，得24+48=72种方法. (本题实质是:先分组再分配)练习1：有三种颜色的灯泡（数量足够多），安装在三棱柱的六个顶点上，要求每条棱上的两个顶点不能安装相同颜色的灯泡，求有多少种安装方法？(332A ，仍可先分组，再分配，其本质与涂色问题一样！) 练习2、求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。
解：比2015大的四位数可分成以下三类：第一类：3×××，4×××，5×××，共有：353180A =（个）； 第二类：21××，23××，24××，25××，共有：24448A =（个）； 第三类：203×，204×，205×，共有：1339A =（个），∴比2015大的四位数共有237个。
练习3：五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？（3411433378A A A A +=） 二、基本原则：特殊元素、特殊位置（优先安排特殊位置与元素）例1、从a,b,c,d,e 这5个元素中，取出4个放在四个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子中，问共有多少种不同的放法？①(法一)(元素分析法)第一类，取出元素中有b ,有3143A A ⋅种。
史上最全的排列组合22种解题策略
解题篇题法高二数学2021年5月史上最全的排列组合22种解题■福建省泉州市第七中学彭耿铃排列组合问题联系生活实际且生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握$实践证明，掌握题型和解题方法，识别模型，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径$本文旨在探究题型规律，揭示解题方法、提供解题策略，希望对同学们的学习有所帮助。
策略一特殊元素或特殊位置优先法，所谓“优先法”是指在解决排列组合问题时，对有限制条件的元素（或位置）要优先考虑!!由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数/解析：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排数字，以免不合要求的元素占了这两个位置$先排末位，共有#1种方法，然后排首位，共有#4种方法，最后排其他位置，共有A）种方法，由分步计数原理知有#1#1/3 =288!种）方法。
!"在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_____个$解法一（元素优先"数字0、1、2、3、4、5中含有0,当组成四位数时，0不能放在首位$又所求四位数不能被5整除，因而可以根据是否含有0和5两个元素将所求四位数分成四类：第一类，含0不含5的四位数，共有#1/3=48（个"第二类，含5不含0的四位数，共有C3A）=72（个"第三类，含0也含5的四位数，共有#—#—A）=48（个"第四类，不合0也不含5的四位数，共有A）=24（个）$所以，符合条件的四位数共有48+72+48+ 24=192（个"解法二（位置优先"根据所求四位数对首末两个位置的特殊要求可以分步解答：第一步，排个位，个位上的数字只能从1、2、3、4这4个数字中任选1个，共有C）种选法；第二步，排千位，千位上的数字只能从1、2、3、4这4个数字被个位选掉后剩余的3个数字及数字5中任选1个，共有#1种选法；第三步，排中间两位，中间两位可以从个位和首位排好后剩余的4个数字中任选2个，共有A2种选法。
解排列组合问题的几种常用策略
Am n
一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 由 可以组成多少个没有重复数字 五位奇数. 五位奇数 由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 解:由于末位和首位有特殊要求 应该优先安 由于末位和首位有特殊要求 排,以免不合要求的元素占了这两个位置 以免不合要求的元素占了这两个位置 1 位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 先排末位共有___ 先排末位共有 C 3 题最常用也是最基本的方法, 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 1 然后排首位共有 C4,再处理其它元素.若以 需先安排特殊元素, 主,然后排首位共有___再处理其它元素. 需先安排特殊元素 最后排其它位置共有___ 3 最后排其它位置共有 A 43 C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求, C 1 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 A4 4 3 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 处理其它位置。若有多个约束条件， 1 1 A3 由分步计数原理得 C 3 C4 4 =288 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
二.相邻元素捆绑策略 7人站成一排 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相 共有多少种不同的排法. 邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素， 一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列， 复合元素，再与其它元素进行排列， 同时对相邻元素内部进行自排。 同时对相邻元素内部进行自排。 要求某几个元素必须排在一起的问题, 要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
五.正难则反总体淘汰策略 例5.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 从 这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数 的偶数,不同的 个数，使其和为不小于 的偶数 不同的 取法有多少种？ 取法有多少种？ 这问题中如果直接求不小于10的偶数很 解：这问题中如果直接求不小于 的偶数很 困难,可用总体淘汰法 这十个数字中有5 可用总体淘汰法。 困难 可用总体淘汰法。 这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶 3 C5 数的取法有____,只含有1 ____,只含有 数的取法有____,只含有1个偶数的取法 1 2 3 1 2 CC5 和为偶数的取法共有_________ _____,和为偶数的取法共有 CC5+ C 5 5 有_____,和为偶数的取法共有_________ 5 再淘汰和小于10的偶数共 的偶数共___________ 再淘汰和小于 的偶数共 9 3 1 2 符合条件的取法共有___________ 符合条件的取法共有CC5+ C 5 - 9 5
解排列组合应用题的26种策略
解排列组合应用题的26种策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.解排列组合问题的基础是两个基本原理，分类用加法原理，分步用乘法原理，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时如何做到既不重复，又不遗漏，正确分每一步，这是比较困难的。
要求我们周密思考，细心分析，理解并掌握解题的常用方法和技巧，掌握并能运用分类思想、转化思想、整体思想、正难则反等数学思想解决排列组合问题。
实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1、相邻排列——捆绑法：n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法 先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有11n k n k A -+-+种排法．然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有k k A 种方法．由乘法原理得符合条件的排列，共11n k k n k k A A -+-+·种． 例1.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b a ,必须相邻且b 在a 的右边，那么不同的排法种数有（ ）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把b a ,视为一人，且b 固定在a 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .例2 有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法解：先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有22A 种排法；女生内部的排法有33A 种，男生内部的排法有44A 种．故合题意的排法有234234288A A A =··种． 2.相离排列——插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.将n 个不同元素排成一排，其中k 个元素互不相邻()k n k -≤，有多少种排法 先把()n k -个元素排成一排，然后把k 个元素插入(1)n k -+个空隙中，共有排法1k n k A -+种． 例3 五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种解：先把科学家作排列，共有55A 种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有56A 种排法，故符合条件的站法共有555686400A A =·种站法． 例4.七位同学并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3、定序问题---倍缩法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.此法也被叫消序法.将n 个不同元素排列成一排，其中某k 个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法 n 个不同元素排列成一排，共有n n A 种排法；k 个不同元素排列成一排共有k k A 种不同排法．于是，k 个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的k kA 分之一．故符合条件的排列共n n k k A A 种． 例5.e d c b a ,,,,五人并排站成一排，如果b 必须站在a 的右边（b a ,可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：b 在a 的右边与b 在a 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 例6. A ，B ，C ，D ，E 五个元素排成一列，要求A 在B 的前面且D 在E 的前面，有多少种不同的排法解：5个不同元素排列一列，共有55A 种排法． A ，B 两个元素的排列数为22A ；D ，E 两个元素的排列数为22A ． 因此，符合条件的排列法为55222230A A A =·种． 4、标号排位问题---分步法：把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5、留空排列——借元法例8、一排10个坐位，3人去坐，每两人之间都要留空位，共有 种坐法。
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做一件事，完成它可以有n类办法， 做一件事，完成它可以有n个步骤，
第一类办法中有m1种不同的方法， 做第一步中有m1种不同的方法，
第二类办法中有m2种不同的方法…， 做第二步中有m2种不同的方法……，
第n类办法中有mn种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
把握分类原理、分步原理是基础
例1 如图，某电子器件是由三个电
F
E
D
阻组成的回路,其中有6个焊接
C
A
B
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，
整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那
么焊接点脱落的可能性共有（ ）
A.63种 B.64种 C.6种 D.36种
分析:由加法原理可知 C 6 1C 6 2C 6 663
有不同的数学书7本，语文书5本， 英语书4本，由其中取出不是同一 学科的书2本，共有多少种不同的 取法？
（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）
（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦 敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一 人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人 不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）
处去春游,则不同的春游方案的种数是（C ）A.
3 B.
C
3 4
C.
A3 4
D.
4
43
2、将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4 的
四个方格里 , 每格填一个数字，则每个方格的标
号与所填的数字都不相同的填法共有（B）。
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
总的原则—合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行 分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏。
例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个 老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排 尾，共有多少种不同的排法？
分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
排列和组合的区别和联系：
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
所有排列的的个数
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
本题还有如下分类标准： *以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素 的性质进行分类，按事件发生的连续过程分 步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不 漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的 始终。
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要组合问题
由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63
合理分类与分步策略
例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱 歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的 节目,有多少选派方法? 解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,
3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否
选上唱歌人员为标准进行研究: 只会唱
的5人中没有人选上唱歌人员共有_C_32_C_32
种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人
员__C_15_C_13_C_42_种,只会唱的5人中只有2人
选上唱歌人员有_C _52 C_52_种，由分类计数
原理共有_C__32C__32 _+__C__15C__13C__42_+_C__52_C_52__种。
所有组合的个数
A
m n
C
m n
A n mn(n1)(nm 1)
Anm
(n
n! m)!
Ann n!
0!1
C Cn m nm n m(n !( nn1 !)mm )(!!nm C n0 1 )1
Anm Cnm Am m
Anm nAnm11
Cnm Cnnm
Cnm 1CnmCnm1
练习
1、某校组织学生分4个组从3处风景点中选一
1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有
A
5 5
种方法.
• 若有甲A 41在种第,2第、23、、36、、67、位7，位则的排排尾法的有排法A 44有种A，41 种根，据1分位步的计排数法
原理，不同的站法有 A41A41A44 种。 再安排老师，有2种方法。
根据分步及分类计数原理，不同的站法共有
2(A 5 5A 4 1A 4 1A 4 4)10(种 0.8）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
练习题
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则
不同的选法共有__3__4___
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2 号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选 2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
握手相互问候，共需握手多少次?
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有
多少种不同的方法?
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
合理分类和准确分步
解排列（或）组合问题，应按元素的性质 进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事 情的发生的连续过程分步，做到分步层次清 楚.
1.ห้องสมุดไป่ตู้真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还 是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多 少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是 组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多 少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交 叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
这5人共有多少乘船方法. 27
特殊元素和特殊位置问题
特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字 五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安 排,以免不合要求的元素占了这两个位置