量子力学基本假定2波函数

2
第1个粒子出现在r1处dr1小区域中.
第2个粒子出现在r2处dr2小区域中
. . .第N个粒子出现在rN处drN小区域中的几率
多粒子体系波函数归一化条件为


(r1 , r2 ,....rN ; t ) dr1dr2 ....drN 1
2. 电子枪发弱电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝) 屏上就出现了一个个亮点, 表明电子是作为完整的颗 粒一个一个地到达屏上的 电子的粒子性
3. 对经过双缝到达底版上的弱电子束作长时间曝光 屏上出现和强电子束相同的衍射图样!!!! 电子的波粒二象性
四、 波函数统计解释 衍射实验:无论是强电子束还是弱电子束, 在接受屏上出现相同的衍射图样 强电子束:在出现亮条纹的地方到达的电子数目多,
1/C称为归一化常数
注意：对归一化波函数仍有 一个相因子不定性。因为下 列两函数的模是相等的。
(r , t )
e (r , t )
i
六、 推广到多粒子体系
设由N个粒子组成的体系的波函数为
则
(r1, r2 ,....rN ; t )
表示t时刻,
(r1 , r2 ,....rN ; t ) dr1dr2 ....drN
电子是什么？是粒子？还是波？
“电子既不是粒子也不是波 ” 既不是经典的粒子也不是经典的波
“电子既是粒子也是波”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
电子究竟是什么？如何描述电子的行为？
§2.1.1 波函数的统计解释
一、 历史上两种典型的错误看法 1. 波由粒子组成
即认为描述粒子的波是由大量粒子在 空间形成象水波、声波一样的蔬密波 这种看法与实验相矛盾！
二、 量子力学基本假定1，波函数及其意义
基本假定也称基本原理，它的正确与否取 决于由它推导出的所有结论是否与实验一 致。
基本假定1：微观粒子的运动状态用波函数Ψ (r,t) 表示，|Ψ (r，t)|2表示t时刻粒子的空间r处单位体 积中的几率， 即
|Ψ (r，t)|2为几率密度
三、 电子双缝衍射实验
考虑两个波函数:
(r , t ) C (r , t )
C=constant
2 2
在 t 时刻，空间任意两 点 r1 和 r2 处找到粒子 的相对几率之比是：
C ( r 1, t) C ( r2 , t )
( r1 , t ) ( r2 , t )
可见， (r , t ) 和 C (r , t )所描写状态的相 对几率是相同的 ,因此,它们描述粒子的同一 状态，意味着波函数有一常数因子不定性。
因为如果波是由它所描写的粒子组 成，则粒子流的衍射现象应当是由 于组成波的这些粒子的相互作用而 形成的。
电子单缝衍射实验
P
电子源
P
O Q
感 光 屏
Q
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够 长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电 子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一 起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
对于一个粒子而言,尽管不知道它会出现 在何处 , 但知道它总会在空间中出现 , 或 者说粒子在全空间出现的几率等于一.


(r,t) dr 1
2
满足该式的波函数称之为 归一化波函数
2 若描述某个粒子的波函数 2 (r,t) dr C 不满足归一化条件，即 则可通过归一化过程将其归一化
W (r , t )= * (r , t ) (r , t )= (r , t )
2
称为几率密度
这就是首先由 Born 提出的波函数的 统计解释，是量子力学的基本原理。
描写粒子的波是几率波， 波的强度反映在空间某 处找到粒子的几率的大 小，因此 , 波函数又称为 几率幅。
五、 波函数的归一化

相速度粒子运动速度 群速度= 粒子运动速度
群速度
d d ( ) dE vg v dk d ( k ) dp
k 2 mc 2m
2
2
dvg
d 2 0 dt dk 2m
2
意味着de Broglie 波会扩散，或形象地 说，经过足够长时间后，粒子会长胖！ 实验上观测到的电子，总是处于一 个小区域内。例如在一个原子内， 其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
Ψ1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
Ψ
S1
电子源
S2
Ψ2
感 光 屏
实验分三步 进行，观察 在屏上出现 的衍射画样
1、电子枪发射强电子束 2、电子枪发射强电子束电子枪发弱 电子束(弱到电子一个一个电子射向双缝) 3、将感光屏换成照相底版,对经过双缝 到达底版上的弱电子束作长时间曝光
观察到的结果
1. 电子枪发射强电子束 屏上迅速显示出衍射图样 电子的波动性
波由粒子组成的看法夸大了粒子 性的一面，而抹杀了粒子的波动 性的一面，具有片面性。
2. 粒子由波组成
即认为描述粒子的波是由无限多波 长不同的平面波迭加而成的波包 用反证法来否定这一观点
Ae
i ( k r t )
假如微观粒子是de Broglie波的某种波包，则 相速度
E v vp k p 2
而在比较暗的地方到达的电子数目少.
弱电子束:电子到达亮条纹的几率较大,而到达暗
的地方几率较小.
1924年Born提出了波函数的统计解释
波函数的统计解释
波函数是描述粒子状态的函数,波 函数t时刻某一点处的强度(模平方) 正比于该点处找到粒子的几率
以 dW (r , t ) 表示在 t 时刻,在 r 到 r+dr 的 无限小区域 dr 中找到粒子的几率,则有 dW (r , t ) W (r , t )dr
第二章 波函数 和 Schrodinger 方程




§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5
量子力学基本假定1，波函数及其意义 自由粒子平面波函数 量子力学基本假定2，Schrodinger 方程 几率守恒与几率流密度矢量 定态Schrodinger方程
§2.1 量子力学基本假定1， 波函数及其意义
归一化过程具体步骤：
令
1 (r , t ) (r , t ) C
使得


(r,t) dr 1
2
(r , t )
只差一个常数因子
1 (r , t ) C
(r , t )
e (r , t )
i
因此,描述粒子的同一状态
( r , t ) ( r , t )
称为波函数归一化