隧道效应及其应用

（2）
R
(k12
(k12 k2 2 ) s in 2 (k2 a) k2 2 ) s in 2 (k2 a) 4k12 k2 2
A
(k1
2i(k12 k22 ) sin k2a k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A
可见
D R 1
将 （2）
k2 ik3 代入上式，
A
(k1
2i(k12 k22 ) sin k2a k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A
E U 0的情况
令
k2 ik3
在 E>U0 情况下入射粒子的
k
2 2
2m( E U 0 ) 2
为虚数
则
k32
2m(U 0 E ) 2
∵透射系数：
D
3 2 1 2
C2 A2
将 C , A , A' 代入得
隧道效应对经典理论来讲是无法解释的。经典 理论认为，一个粒子的能量 E < U 时，粒子是不能 穿过势垒的。因为 E 是总能量，进入Ⅱ区 E = Ek+ U， 要是 E < U 则 Ek < 0 ，这是经典理论所不允许的。
而量子力学认为，描述微观粒子的坐标和动量不 可能同时具有确定的值，势能和动能也不可能同时具 有确定的值，对于微观粒子来说总能量等于动能和势 能之和已不再有明确的意义。
ek3a sh(k3a) 2
a 0
则
D
4k12 k3 2
1 4
(k12
k32 )2 e2k3a
4k12k32
1 ( k1 16 k3
1 k3 )e2k3a 1
k1
又
k1 k3 k3 k1
E U0 E
U0 E E
且 U0
E
说明
k1 k3 1
k3 k1
1
D
1 ( k1 k3 )e 2 k3a
光子隧道效应与近场光学显微镜:
将一个同时具有传输激光和接收信号功能的光纤微探针移近样品表面，微探针表面除了 尖端部分以外均镀有金属层以防止光信号泄露，探针的尖端未镀金属层的裸露部分用于在微 区发射激光和接收信号。当控制光纤探针在样品表面扫描时，探针一方面发射激光在样品表 面形成隐失场，另一方面又接收 10-100 纳米范围内的近场信号。探针接收到的近场信号 经光纤传输到光学镜头或数字摄像头进行记录、处理，在逐点还原成图象等信号。近场光学 显微镜的其它部分与 STM 或 AFM 很相似。
隧道效应及其应用
隧道效应定义是：隧道效应由微观粒子波动性所确定的量子效应，又称势垒贯穿。
1、势垒 在原子核衰变过程会放射出 α 粒子后变成另一种原子核。原子核表面有 40 MeV 的势能，
核内 α 粒子的能量约为 4~9 MeV ,能量较小的 α 粒子怎么会穿过那么高的势垒从核内放射出 来？利用量子力学理论能够给出很好的解释。
E1 ( x),
x0
2 2m
d 2 2 ( x)
dx2
U 0 2 ( x)
E 2 ( x),
0 xa
2 2m
d 2 3 ( x)
dx 2
E 3 ( x),
xa
令：
k12
2mE 2
k22
2m(E U0 ) 2
U
三个区间的薛定谔方程化
为： 若考虑粒子是从 I 区入射，在 I 区中有入射波和反射波；粒 子从 II 区穿过势垒到 III 区，在 II 区中同样有入射波和反射波，
U
隧道效应产生的原理：
D
(k12
4k12k32 k32 )2 sh2 (k3a)
4k12k32
U0
当粒子能量 E＜U0 时，其透射系数 D 不为零，即粒子
可以穿过势垒而到达势垒的另一侧，这种现象称为势垒贯穿
或隧道效应。隧道效应只在微观领域才有意义。
I
II
III
当 E U 0 k3a 1
ek3a ek3a
U (x) U00
0 xa x 0, x a
表示核内 x <0 和核外 x >0,可以自由运动，而核表面 0<x<a 势能为常数，称为方势
垒。
2、反射和透射
就是求一个动量 p 和能量 E 已知的粒子受到势场 U 的作用后，被散射到各个方向去的几
率。
在经典力学中,若粒子的能量 E<U ,它不可能穿过势垒。 在量子力学中,无论粒子能量是大于还是小于都有一定的几率透过
U0
在 III 区只有透射波。
d
21 ( x)
dx2
k121 ( x)
0,
x0
II
I
III
d
22 (x)
dx2
k 22 2
(x)
0,
0 xa
d
23 ( x)
dx2
k123 ( x)
0,
xa
oa x
1 ( x) Aeik1x Aeik1x ,
x0
2 ( x) Beik2x Beik2x ,
0 xa
16 k3
k1
D e
2k3a
0
D0
1 1 ( k1 k3 )2
16 k3 k1
上式表明，透射系数 D 随势垒的高度 U0 和宽度 a 的增大呈指数性衰减.如：当 U0-E=1MeV 时，势垒 的宽度为 a =10-5 nm 时，透射系数 D = 10-4；若 a =10-4 nm 时，透射系数 D = 10-38 ，隧道效应 在实际上已经没有意义了，量子概念过渡到经典。
E
U
的情况 0
k22
2m(E U0 ) 2
为虚数
令 k2 ik3
则
k32
2m(U 0 2
E)
注意到双曲函 数
ek3a ek3a
sh(k3a)
2
得
D
(k12
4k12 k3 2 k3 2 ) 2 sh 2 (k3a) 4k12 k32
R
(k12
(k12 k32 )sh 2 (k3a) k32 )sh 2 (k3a) 4k12k32
dx
|xa
d3 ( x)
dx
|xa
A A B B
Ak1 Ak1 Bk2 Bk2 Beik 2a Beik2a ceik1a
Bk 2eik2a Bk2eik2a ck1eik1a
C
(k1
4k1k 2 e ik1a k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A
U
势垒，也有一定的几率被反射。
U0
下面就两种情况进行讨论;
因为是定态问题，所以由定态薛定谔方程
[
2
2
U
(r)]
(r )
E
(r )
2m
（1）E U 0
I
II III
a
O
x
[ 2 2 U (r)] (r) E (r)
2m
在三个区间内波函数应遵从的薛定谔方程分别为：
2 2m
d 21 ( x)
dx2
由于近场光学显微镜探测的是隧道光子，而光子又具有许多独特的性质：例如，没 有质量、电中性等，因此，近场光学显微镜在纳米科技中扮演的角色是其它扫描探针显微镜
所不可替代的。
k32
2m(U 0 E) 2
隧道效 应
U
U0
II
I
III
oa x
二、隧道效应的应用前景
1、用途：
隧道二极管 半导体Байду номын сангаас
隧道显微镜
光子隧道效应与近场光学显微镜
隧道二极管：
隧道二极管是一种具有负阻特性的半导体二极管。目前主要用掺杂浓度较高的锗或砷化 镓制成。其电流和电压间的变化关系与一般半导体二极管不同。当某一个极上加正电压时， 通过管的电流先将随电压的增加而很快变大，但在电压达到某一值后，忽而变小，小到一定 值后又急剧变大；如果所加的电压与前相反，电流则随电压的增加而急剧变大。因为这种变 化关系只能用量子力学中的“隧道效应”加以说明，故称隧道二极管。可用于高频振荡、放大 以及开关等电路元件，尤其可以用来提高电子计算机的运算速度。
反射系数：
R
A 2 A2
D
(k12
k22 )2
4k12k2 2 sin 2 (k2a) 4k12k2 2
C
(k1
4k1k 2 e ik1a k2 )2 eik2a (k1 k2 )2 eik2a
A 1 D
可见 ，D R 1 ：
D 与 R 的和等于 1，说明入射粒子一部 分反射，一部分透射，不会停留在势垒中。
3 ( x) Ceik1x C eik1x ,
xa
上式分别代表三个平面波波函数。
其中 1(x)、2 (x) 既有入射波又有反射波， 3 ( x) 只有透射波,C'=0。
根据边界条件：
1(0) 2 (0) 2 (a) 3 (a)
d1( x)
dx
|x0
d2 ( x)
dx
|x0
d 2 ( x)
半导体：
可以把半导体（或绝缘体）中的电子迁移现象理解为在外电场下，束缚在一个原子中的 电子，通过隧道穿透势垒，到另一个原子中。指电子对半导体中宏观势垒的穿透，这个宏观 势垒是半导体的禁带造成的。
隧道显微镜：
在扫描隧道显微镜(STM)观测样品表面的过程中，扫描探针的结构所起的作用是很重要 的。如针尖的曲率半径是影响横向分辨率的关键因素；针尖的尺寸、形状及化学同一性不仅 影响到 STM 图象的分辨率，而且还关系到电子结构的测量。因此，精确地观测描述针尖的 几何形状与电子特性对于实验质量的评估有重要的参考价值。 扫描隧道显微镜(STM)的研 究者们曾采用了一些其它技术手段来观察扫描隧道显微镜(STM)针尖的微观形貌，如 SEM、 TEM、FIM 等。SEM 一般只能提供微米或亚微米级的形貌信息，显然对于原子级的微观结 构观察是远远不够的。虽然用高分辨 TEM 可以得到原子级的样品图象，但用于观察扫描隧 道显微镜(STM)针尖则较为困难，而且它的原子级分辨率也只是勉强可以达到。只有 FIM 能 在原子级分辨率下观察扫描隧道显微镜(STM)金属针尖的顶端形貌，因而成为扫描隧道显微 镜(STM)针尖的有效观测工具。日本 Tohoku 大学的樱井利夫等人利用了 FIM 的这一优势制 成了 FIM-STM 联用装置(研究者称之为 FI-STM)，可以通过 FIM 在原子级水平上观测扫描 隧道显微镜(STM)扫描针尖的几何形状，这使得人们能够在确知扫描隧道显微镜(STM)针尖 状态的情况下进行实验，从而提高了使用扫描隧道显微镜(STM)仪器的有效率。