九年级数学上册知识树(1)解析
九年级数学上册知识树
旋转的定 义
一元二次方程 概念
中心对称 点的对称
图形的旋转
圆的定义
一元二次方程
圆
一元二
次方程
的解法
实践与探究根与 系数的关系
九 年 级
二次根式 的乘除法
运算
上 册 数
二次根式
学
知
二次根式的
识
加减法 相
结
定义 概率
反 数 与
二次根式的化 解
构
绝
与圆有关的 计算
列举法求 概率
二、图形的旋转
定义 旋转三要 素 旋转的性质
九年级数学知识树
陈村乡中数学教研组
模拟实验
概率的预测
一元二次方程 概念
随机事件的概率
测量
一元二 次方程
一元二次方程
解直角三角形
解直角三角 形
的解法
实践与探究根与 系数的关系
九 年 级
二次根式 的乘除法
运算
上 册 数
二次根式
学
知
二次根式的
识
加减法 相
结
相似图形 图形的相似
相似图形 的性质
相 似 三 角 形 中位线
一元二次方程
定义
公式 b法2 4ac
一
元
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 根的判别式
二
2a
次
b2 4ac
方 程
二、圆
圆周角定理
圆心角定理
垂径定理
和圆有关的 定理
圆的定义
切线 切线长 定理
和圆有关 的位置关
系
点和圆的 位置关系
直线和圆的位 置关系
圆和圆的位置 关系
弧长公 式
初中数学知识树
初中数学知识树一、数的认识1. 整数（1）正整数、零、负整数（2）整数的基本性质2. 分数（1）真分数、假分数、带分数（2）分数的基本性质3. 小数（1）小数的意义（2）小数的性质二、数的运算1. 加法（1）整数加法（2）分数加法（3）小数加法2. 减法（1）整数减法（2）分数减法（3）小数减法3. 乘法（1）整数乘法（2）分数乘法（3）小数乘法4. 除法（1）整数除法（2）分数除法（3）小数除法5. 混合运算（1）加减混合运算（2）乘除混合运算（3）加减乘除混合运算三、方程与不等式1. 一元一次方程（1）方程的概念（2）解一元一次方程的方法2. 一元一次不等式（1）不等式的概念（2）解一元一次不等式的方法四、几何图形1. 点、线、面（1）点、线、面的概念（2）点、线、面的性质2. 平面图形（1）三角形（2）四边形（3）圆3. 立体图形（1）长方体（2）正方体（3）圆柱（4）圆锥五、概率与统计1. 概率（1）概率的概念（2）概率的计算方法2. 统计（1）平均数（2）中位数（3）众数（4）方差（5）标准差六、数学应用1. 实际问题求解（1）应用题的解题思路（2）应用题的解题方法2. 数学建模（1）数学建模的概念（2）数学建模的步骤（3）数学建模的应用七、数学思维与能力培养1. 抽象思维（1）抽象思维的概念（2）抽象思维的培养方法2. 逻辑思维（1）逻辑思维的概念（2）逻辑思维的培养方法3. 创新思维（1）创新思维的概念（2）创新思维的培养方法八、数学学习方法与技巧1. 课堂学习（1）认真听讲（2）做好笔记（3）积极参与讨论2. 课后复习（1）及时复习（3）做习题巩固3. 考试技巧（1）合理安排时间（2）仔细审题（3）规范答题九、数学竞赛与拓展1. 数学竞赛（1）数学竞赛的意义（2）数学竞赛的准备（3）数学竞赛的参赛技巧2. 数学拓展（1）数学拓展的意义（2）数学拓展的方法（3）数学拓展的实践十、数学与生活1. 数学与生活（1）数学在生活中的应用（2）数学与生活的关系2. 数学与科技（1）数学在科技中的应用（2）数学与科技的关系3. 数学与艺术（1）数学在艺术中的应用（2）数学与艺术的关系初中数学知识树一、数的认识1. 整数（1）正整数、零、负整数（2）整数的基本性质2. 分数（1）真分数、假分数、带分数（2）分数的基本性质3. 小数（1）小数的意义（2）小数的性质二、数的运算1. 加法（1）整数加法（2）分数加法（3）小数加法2. 减法（1）整数减法（2）分数减法（3）小数减法3. 乘法（1）整数乘法（2）分数乘法（3）小数乘法4. 除法（1）整数除法（2）分数除法（3）小数除法5. 混合运算（1）加减混合运算（2）乘除混合运算（3）加减乘除混合运算三、方程与不等式1. 一元一次方程（1）方程的概念（2）解一元一次方程的方法2. 一元一次不等式（1）不等式的概念（2）解一元一次不等式的方法四、几何图形1. 点、线、面（1）点、线、面的概念（2）点、线、面的性质2. 平面图形（1）三角形（2）四边形（3）圆3. 立体图形（1）长方体（2）正方体（3）圆柱（4）圆锥五、概率与统计1. 概率（1）概率的概念（2）概率的计算方法2. 统计（1）平均数（2）中位数（3）众数（4）方差（5）标准差六、数学应用1. 实际问题求解（1）应用题的解题思路（2）应用题的解题方法2. 数学建模（1）数学建模的概念（2）数学建模的步骤（3）数学建模的应用七、数学思维与能力培养1. 抽象思维（1）抽象思维的概念（2）抽象思维的培养方法2. 逻辑思维（1）逻辑思维的概念（2）逻辑思维的培养方法3. 创新思维（1）创新思维的概念（2）创新思维的培养方法八、数学学习方法与技巧1. 课堂学习（1）认真听讲（2）做好笔记（3）积极参与讨论2. 课后复习（1）及时复习（3）做习题巩固3. 考试技巧（1）合理安排时间（2）仔细审题（3）规范答题九、数学竞赛与拓展1. 数学竞赛（1）数学竞赛的意义（2）数学竞赛的准备（3）数学竞赛的参赛技巧2. 数学拓展（1）数学拓展的意义（2）数学拓展的方法（3）数学拓展的实践十、数学与生活1. 数学与生活（1）数学在生活中的应用（2）数学与生活的关系2. 数学与科技（1）数学在科技中的应用（2）数学与科技的关系3. 数学与艺术（1）数学在艺术中的应用（2）数学与艺术的关系在探索数学的旅程中，我们不仅要掌握基础的知识点，还要学会如何灵活运用这些知识解决实际问题。
6-9年级数学知识树
能进行分数 混合运算
能进行分数 简便运算
比和按比 例分配
图形的变换 和确定位置
能根据具体问题情 境以多种方式分析 数量关系 能综合运用分数四 则运算解决简单的 实际问题 了解负数的意义， 会读会写负数
分数混合 运算 分数除法 负数的初 步认识
圆
会用负数表示一些 日常生活中的量 会求一些简单事 件发生的可能性
关的实际问题 了解比、分数、除法 三者之间的关系，能 化简比和求比值 理解比的意义和比的基本性质 能应用分数乘除法等知识去探 索发现一些分数的排列规律 会用分数除法的知识解决 现实生活中简单的问题 能正确地进行分数除法的计算 掌握圆的周长与 面积的计算方法 会用圆规画图，并能利用 圆设计一些简单的图案 图形放大或缩小 实际距离的换算 离确定其位置，能 描述简单的路线图
因式分解（掌握运用） 因式分解（掌握运用） 开平方开立方根运 算（掌握） 掌握） 平方根、 平方根、立方根概念 了解理解运用） （了解理解运用） 数、 实数的 数、 对 运用） （理解 运用）
识 结 构 及 课 标 要 求
八 年 级 数 学 上 册 知 卢氏县教研室
马仿曾
人教版八年级数学（ 人教版八年级数学（下）知识结构及课标要求挂 矩形的概念性质判定（了解掌握） 菱形的概念性质判定（了解掌握） 正方形概念性质判定 图 矩形的概念性质判定（了解掌握） 菱形的概念性质判定（了解掌握） 了解掌握） （了解掌握）
平行四边形概念性质判定（了解掌握） 平行四边形概念性质判定（了解掌握） 勾股定理逆定理（了解掌握） 勾股定理逆定理（了解掌握） 勾股定理 （掌握运用）勾股定理 掌握运用） 数据的代表 理解掌握） （理解掌握） 等腰梯形的性质和判定
四边形
数据的分析 统计
人教版九年级上册数学全册说课稿.ppt
圆是高度对 称的基本图 形，从旋转 角度理解， 可以得到圆 心角、弦、 弧对应相等 的关系，从 轴对称角度 理解，可以 得到垂径定
理。
圆
列举法当中， 画树形图和 列表法是重 点知识，其 中列表法针 对两个因素 多种可能结 果，而树形图
针对三个或多 个因素。
思想方法整合 类比思想
转化思想
数形结合思想
谢谢大家， 希望提出宝贵的建议！
统计与概 率
课题学习
探讨一些具有挑 战性的研究课题， 发展应用数学知 识解决问题的意 识和能力；同时， 进一步加深对相 关数学知识的理 解，认识数学知
识之间的联系。
说教材
1.编写体例
为加深对相关内容的认识 扩大学生的知识面 运用现代信息技术手段学 习
实阅 观验读 察与与 与探思 猜究考 想
回顾与思考 知识结构图
形式展开。
准确把握本节 内容在整个知 识结构中的位 置，以及建立 本节内容的结 构，更有利于 学生掌握知识。
结构性
教师的亲和力， 有利于组织学生 合作探究、自主
学习。
说建议
2.说评价建议
重视学生参与数学活动的过程评价
参与数学活动情况的评价表
学生姓名： 时间：
活动内容：
评价内容 参与活动
主要表现
思考问题
本册内容的位置
一次不等式、组
一元二次（22）
人教版初中数学1.2.1有理数 第一套(含解析)
绝密★启用前一、单选题1．下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（）A．3 B．﹣312C．0 D．2.42．下列说法中正确的是（）A．正数和负数统称为有理数B．0既不是整数，又不是分数C．0是最小的正数D．整数和分数统称为有理数3．下列语句正确的是()A．一个有理数不是正数就是负数B．一个有理数不是整数就是分数C．有理数就是整数D．有理数就是自然数和负数的统称4．下列说法中正确的是（）A．在有理数中，0的意义仅表示没有B．非正有理数即为负有理数C．正有理数和负有理数组成有理数集合D．0是自然数5．在0，12，–15，–8，＋10，＋19，＋3，–3.4中，整数的个数是（）A．6 B．5 C．4 D．3 6．下列各数中，既是分数又是负数的是（）A．–3.1 B．–13 C．0 D．2.47．在0，1，227，–2，–3.5这五个数中，是非负整数的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．-2不是（）A．有理数B．自然数C．整数D．负数9．下列说法正确的个数是（）①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的，就是负的.A．1 B．2 C．3 D．410．下列语句：①不带“﹣”号的数都是正数；②不存在既不是正数，也不是负数的数；③0表示没有；④一个有理数不是正数就是分数；⑤符号相反的两个数互为相反数；⑥若两个有理数的和为正数，则这两个数都是正数．正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11．在数－12，71，1.234…，0，－3.14，34%，－0.67，227，0.13，2π中，非负有理数有()12．在“1，﹣0.3，13+，0，﹣3.3”这五个数中，非负有理数______（写出所有符合题意的数）.13．下列说法中，正确的是_____．（填序号）①一个有理数的绝对值一定是正数；②正数和负数统称为有理数；③若x+2是一个负数，则x一定是负数；④若|a﹣2|+（b+3）2=0，则﹣b a的值是﹣9．14．写出一个是分数但不是正数的数：________．15．既不是正数也不是负数的数是_____16．请写一个数，同时满足下列条件：①该数是有理数；②该数是整数；③该数不是正数．则该数可能是________．17．在有理数0，2，－7，－512，3.14，－73，－3，－0.75中，整数有________个，负分数有________个．18．给出一个数-107.987及下列判断：①这个数不是分数，但是有理数；②这个数是负数，也是分数；③这个数不是有理数；④这个数是负小数，也是负分数.其中正确判断的序号是______。
九年级数学上册(冀教版)教学课件-第二十五章小结与复习
contents
目录
• 第二十五章知识点回顾 • 解题方法与技巧总结 • 章节测试与评估分析 • 复习策略与建议 • 师生互动与答疑环节
01 第二十五章知识点回顾
主要概念及定义
01
02
03
概率
表示某一事件发生的可能 性大小的数值。
统计量
描述数据集特征的数值， 如平均数、中位数、众数、 方差等。
根据自身学习情况和 进度，制定符合自己 的复习计划。
合理安排每日复习时 间，确保计划的可行 性和有效性。
针对薄弱环节，加强 复习力度，制定专项 复习计划。
合理安排时间，提高效率
充分利用课余时间进行复习， 如课间、午休等。
遵循记忆规律，合理安排复习 时间间隔，提高记忆效率。
避免长时间连续复习同一内容， 适当进行交替复习。
重复计算。
对于方差等需要计算偏差平方的 统计量，要注意偏差的计算方法
和符号问题。
02 解题方法与技巧总结
选择题答题策略
仔细审题
验证答案
明确题目要求，注意关键词和限定条 件。
确定答案后，代入原题进行验证，确 保答案正确。
分析选项
逐个分析选项，运用数学知识进行排 除。
填空题答题技巧
找准关键词
注意题目中的关键词，明 确填空内容。
业的解答和建议。
课后作业布置及要求
教师根据课堂内容和学生掌握情况，合理布置课后作业。 作业要求明确，包括题目类型、难度、完成时间等，以便学生有针对性地完成。
教师会及时批改作业，给出评分和反馈，帮助学生了解自己的学习情况和不足之处。
THANKS FOR WATCHING
知识树图片大全(1)
点关于X 轴对称
点关于Y 轴对称
用坐标表示轴对称
定义
轴 对 称 变 换
距离最短的问题
作图
等边对等角
三线合一
性质
要素
等角对等边
判定
表示方法
概念
定义
等 腰
三
角
形
特例
等边三角形
九年级数学 上册
人教版(天津专用)
正多边形 和圆
与圆有关的 位置关系
弧长和 扇形面积
圆
课题学习
中心对称
图形 的旋转
九 年（ 级一 数册 学书 上）
D．航空运输
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
展开与 折叠
三视图
立体图形
点和直线 的位置关 系
平面图形
制作：南孙庄中学 数学组
的多 图姿 形多
彩
寻找射
应用
线的方
表示 法
两直线的位
置关系
直线公理
射线
画法
点和直线的
位置关系
直线
线段
表示
性质 画法
表示
制作：南孙庄中学 数学组
《特殊平行四边形》大单元教学设计
《特殊平行四边形》大单元教学设计一、教材分析《特殊平行四边形》在初中数学知识树中的地位如下图所示：《特殊平行四边形》是北师大版九年级上册第一章的内容，是在学生学习了平行四边形的定义、性质与判定的基础上进行的．《特殊平行四边形》是对平行四边形的纵向拓展，同时也是对推理证明的巩固与加深．《特殊平行四边形》为证明线段相等、平行，证明角相等，证明直线互相垂直提供了新的方法，为学生后续几何学习奠定了基础，具有承上启下的作用．二、学情分析1．进一步认识并掌握特殊平行四边形的定义、性质定理、判定定理及它们之间的相互关系．2．能综合运用特殊平行四边形相关定理解决问题，进一步体会从一般到特殊、从特殊到一般、转化等数学思想，归纳总结解题的基本方法，积累活动经验．三、新课标要求1、经历图形的抽象、分类、性质探讨的过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。
2、在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力。
3、探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
4、理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系。
5、探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
探索并证明矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。
四、单元教学目标1、经历菱形、矩形、正方形概念的抽象过程，以及它们的性质与判定的探索、猜测与证明的过程，丰富数学活动经验，进一步发展合情推理能力和演绎推理能力。
2、理解菱形、矩形、正方形的概念，了解它们与平行四边形之间的关系，进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法，增强发现问题和提出问题的能力。
3、证明菱形、矩形、正方形的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关结论。
“三学课堂”,让例题教学活起来——以切线长定理的解题教学为例
２０２４年１月下半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀三学课堂 ,让例题教学活起来∗以切线长定理的解题教学为例◉江苏省海安市李堡镇丁所初级中学㊀杜兆俊㊀㊀摘要:学材再建构 要源于教材, 学法三结合 要在生生互动㊁师生互动的交流活动中促进学生全面发展,使学生的学习有深度㊁有成效,从而自主实现 学程重生成 ．关键词:一题多解;多变;多悟;学材再建构;学法三结合;学程重生成㊀㊀著名特级教师李庾南在 自学 议论 引导 教学法的基础上又提出了 学材再建构㊁学法三结合㊁学程重生成 的新理念,并着力构建以此为导向的 三学课堂 ,其实质是真正以生为本,在充分研判学材㊁学情㊁教法㊁学法㊁学科关键能力㊁个体与团体协调持续发展等各类因素的基础上,构建新型生态课堂,既面向全体学生,又适应学生个性发展需要,以期提升学生学力,培养 全面发展的人 [１],实现学科教学改革,为学生终生学习奠定基础．笔者以切线长定理的解题教学为例,与大家分享和研讨．１教学案例图１例题㊀(人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第１００页例２)如图１,әA B C 的内切圆☉O 与B C ,C A ,A B 分别相切于点D ,E ,F ,且A B ＝９,B C ＝１４,C A ＝１３．求A F ,B D ,C E 的长．１．１一题多解,大胆尝试,提升思维广度引导学生分析例题中的已知条件,尝试用不同的方法解题,逐步培养从不同角度切入并思考问题的习惯,加深对所学知识的理解,训练对所学方法的运用．学生先个人研究,再进行小组合作探究,最后全班交流讨论,汇报解法．主要有以下两种解法．方法１:列一元一次方程求解(课本解法)．解法１:设A F ＝x ,则A E ＝A F ＝x ,C D ＝C E ＝A C －A E ＝１３－x ,B D ＝B F ＝A B －A F ＝９－x ．由B D ＋C D ＝B C ,可得(９－x )＋(１３－x )＝１４,解得x ＝４．因此A F ＝４,B D ＝５,C E ＝９．方法２:列三元一次方程组求解．解法２:因为☉O 是әA B C 的内切圆,所以A F ＝A E ,B D ＝B F ,C E ＝CD ．设A F ＝AE ＝x ,B D ＝B F ＝y ,C E ＝CD ＝z ,则x ＋y ＝９,y ＋z ＝１４,x ＋z ＝１３,ìîíïïï解得x ＝４,y ＝５,z ＝９．ìîíïïï故A F ＝４,B D ＝５,C E ＝９．１．２一题多变,回归课本,提升思维高度在解题教学中,结合学生的实际情况,关注例题的 生长点 与 延伸点 ,对例题进行变式和拓展,同时还要考虑到大部分学生能听懂,力争一课一得,使知识活学㊁活用,使方法熟练㊁精通,使技巧丰富㊁自如．变式１㊀әA B C 的边长A B ＝９,B C ＝１４,C A ＝１３,求әA B C 的面积．图２生１:如图２,作B C 边上的高A D ．由勾股定理,得A B ２－B D ２＝A D ２＝AC ２－CD ２,即９２－B D ２＝１３２－C D ２．而B D ＋C D ＝１４,所以B D ＝２７７．故A D ＝A B ２－B D ２＝９２－(２７７)２＝１８１０７．因此S әA B C ＝１２B C ˑA D ＝１２ˑ１４ˑ１８１０７＝１８１０．变式２㊀如图１,әA B C 的内切圆☉O 与B C ,C A ,A B 分别相切于点D ,E ,F ,且A B ＝９,B C ＝１４,C A ＝１３,求内切圆☉O 的半径r ．１１∗课题信息:南通市教育科学 十四五 规划课题 双减 背景下促进农村初中生课堂深度参与的实践研究 ,课题编号为G H ２０２１３４２．本文作者为该课题组核心成员．教学研究２０２４年１月下半月㊀㊀㊀图３生２:如图３,连接A O,B O,C O,则有SәA O B＝１２A B r,SәA O C＝１２A C r,SәB O C＝１２B C r．所以SәA B C＝SәA O B＋SәA O C＋SәB O C＝１２A B r＋１２A C r＋１２B C r＝１２(A B＋A C＋B C) r．于是r＝２SәA B CA B＋A C＋B C,又由变式１可知SәA B C＝１８１０,故r＝２SәA B CA B＋A C＋B C＝２ˑ１８１０９＋１４＋１３＝１０．变式３㊀(人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第１００页练习２)әA B C的内切圆半径为r,әA B C的周长为l,求әA B C的面积．(提示:设内心为O,连接O A,O B,O C．)生３:设A B＝c,B C＝a,A C＝b,则l＝a＋b＋c,连接A O,B O,C O,则由变式２可知SәA B C＝SәA O B＋SәA O C＋SәB O C＝１２A B r＋１２A C r＋１２B C r＝１２(a＋b＋c) r＝１２l r．变式４㊀已知әA B C的面积为S,әA B C的周长为l(或三边长为a,b,c),试用S,l(或三边长为a,b,c)表示әA B C的内切圆半径r．生４:由变式３可知,S＝１２(a＋b＋c) r＝１２l r,所以r ＝２Sl＝２Sa＋b＋c．图４变式５㊀(人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第１０３页第１４题)如图４,R tәA B C中,øC＝９０ʎ,A B,B C,C A的长分别为c,a,b．求әA B C的内切圆的半径r．生５:因为SәA B C＝１２B C A C＝１２a b,所以由变式４可得r＝２SәA B C l＝２ˑ１２a ba＋b＋c＝a ba＋b＋c．１．３一题多悟,生成新法,提升思维深度数学是一个有机的整体,要用整体的观点把新学的知识与已学的概念㊁定理㊁公式等连成线㊁结成网,从而沟通不同知识之间的内在联系,有利于提高学生分析和解决问题的能力．还可以用例题的方法２来求R tәA B C内切圆的半径r,但结果是r＝a＋b －c２,与生５刚才的结论不同．图５生６:如图５所示,设R tәA B C的内切圆与三边相切于点D,E,F,连接O D,O E,O F．因为☉O为R tәA B C的内切圆,所以O DʅA C,O EʅB C,O FʅA B,O D＝O E＝r,A D＝A F,B E＝B F,C E＝C D．所以四边形O D C E为正方形,则有C E＝C D＝r．设A D＝A F＝x,B E＝B F＝y,则有㊀㊀㊀㊀㊀㊀x＋r＝b,x＋y＝c,y＋r＝a．ìîíïïï①②③①＋③－②,得(x＋r)＋(y＋r)－(x＋y)＝a＋b－c．整理得２r＝a＋b－c,故r＝a＋b－c２．三角形的内切圆半径长度是确定的,两种方法求出的结果应该相同,但为什么表达形式却 不一样呢?学生一脸茫然,感到很意外:在不同方法下计算的结果,怎么会出现 不一样 的两个答案?心理产生了矛盾,思维发生了冲突．此时,教师没有直接引导大家运用勾股定理来验证两种结果是否一样,而是话锋一转:这两种不同的方法计算出的结果应该相等,若令它们相等会出现什么结果呢请大家尝试一下．顿时,整个教室像炸开锅似的热闹非凡,学生情绪高涨,展开了热烈讨论．生７:由r＝a ba＋b＋c和r＝a＋b－c２,可得a ba＋b＋c＝a＋b－c２,即有(a＋b＋c)(a＋b－c)＝２a b,所以a２＋b２＝c２．学生们惊呼:勾股定理!我们竟然发现了一种证明勾股定理的方法,真是意外收获!事实上,r＝２SәA B Ca＋b＋c是求三角形内切圆半径的通用公式,而r＝a＋b－c２只适用于直角三角形,在教者２１２０２４年１月下半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀的点拨下,由两个结果相等,能得证勾股定理,让学生再次感到意外．教师的点拨虽 轻 ,学生的收获却 重 ,原本结果 不一样 的迷惑也自然烟消云散[２],学生的求知欲被充分调动了,学习的兴趣也明显地增强．图６后来,生８在完成作业人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册第３６页练习２如图６,R t әA B C 中,C D 是斜边A B 上的高．求证:(１)әA C D ʐәA B C ;(２)әC B D ʐәA B C后,又发现了一种证明勾股定理的方法:由әA C D ʐәA B C ,可得A C A B ＝A DA C ,即㊀㊀㊀㊀㊀A C ２＝A D A B ．④由әC B D ʐәA B C ,可得B C A B ＝B DB C ,即㊀㊀㊀㊀㊀B C ２＝B D A B ．⑤④＋⑤,得A C ２＋B C ２＝A D A B ＋B D A B ＝(A D ＋B D ) A B ＝A B ２．２教学反思２．１在设置变式练习中学材再建构 只有进行科学高效的 学材再建构 ,才能确保精彩的生成．数学教材中的例题㊁习题凝聚了编者的心血,具有典型性㊁生成性,为中考命题提供了宽广的空间．在近几年的中考中,很多试题 源于课本而又高于课本 ,这无疑暗示了一种教学导向,那就是教师要深入研究课本,即根据教材和学生实际情况,通过精选㊁改编教材中的例习题,合理整合教材,进行 学材再建构 ,帮助学生系统地掌握知识,让学生初步经历数学发现㊁数学探究㊁数学创造的过程．本课在课本例题解法研究的基础上,对例题进行适当改编,由例题 发枝散叶 出五个变式问题(其中两个是课本原题),从一般到特殊,形成问题串,层层深入,步步提升．引导学生先探究普通三角形的内切圆半径公式,再探究直角三角形的内切圆半径公式,然后由其两种不同的表达形式的 矛盾 出发,证明了 勾股定理 ,构建了数学的 知识树 ．这样既能使学生深入理解概念㊁定理,掌握解题技巧,又能抑制 题海 战术,达到做一题㊁学一法㊁会一类㊁通一片的目的．２．２在营造有效互动中学法三结合 李庾南老师的 自学 议论 引导 教学法的核心理念是:以学生为主体,在师生合作中学会学习,获得自主发展[３]．本节课通过对一组变式问题的求解,激起学生的认知冲突,引发学生的议论．通过 独立思考小组合作学习 和 全班学习 三种学习方式,每个学生都能进入深度思考,进行观察㊁分析㊁类比㊁归纳㊁猜想㊁推理等活动,说出自己对问题的不同看法,并加以验证．在这一期间,学生可以用不同的方式 个人学习㊁小组学习㊁全班学习,进行讨论和争辩,直至最终达成解决问题的共识．个人学习有利于培养学生独立思考的习惯,而小组学习㊁全班学习有利于培养学生合作精神,三者有机结合,可以更好地将学习推向深入,变 要我学 为 我要学 ,学生真正成了学习的主体㊁探究的主体以及自我发展的主体．２．３在捕捉思维火花中学程重生成 学生是一群充满活力和个性的生命体,在教学过程中会出现怎样的情况,教师无法全部估计到．所以教师在教学过程中要做到从学生出发,给学生 生成 的空间,让学生的思维 暴露 出来,敏锐捕捉在生生互动㊁师生互动的交流合作中不期而至的生长点,不失时机地利用好生成性资源．尤其是解题教学中,注重方法提炼,从而真正实现 学程重生成 ．本课中学生用刚刚 发现 的规律,生成了证明勾股定理的方法,后来还在证明相似三角形的过程中,又发现了一种证明勾股定理的方法,这正是学生可持续学习能力的体现．从上述案例的分析可以看出,具有生成性的教学才是有效的课堂教学．我们的课堂需要教师善于捕捉和及时把握最佳教学时机,处理得当,点拨到位,学生的创新思维才会得到最大限度的激活,教师的巧妙处理就能起到 四两拨千斤 的绝佳效果．教师的作用不再是去填满 仓库 ,而是要点燃火炬,捕捉学生思维的火花;学生学习的灵感在积极发言中㊁相互辩论中突然闪现,最终达到 养成认真勤奋㊁独立思考㊁合作交流㊁反思质疑的学习习惯 [４]．参考文献:[１]吴小兵．在践行 三学 中回归育人本质 以李庾南的 圆周角 教学为例[J ]．中小学数学(初中版),２０２１(４):５４Ｇ５５．[２]赵军．四两拨千斤 例谈课堂中教学时机的把握[J ]．初中数学教与学,２０１２(２３):１Ｇ４．[３]李庾南．自学 议论 引导教学论[M ]．北京:人民教育出版社,２０１３:１１０．[４]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(２０２２年版)[S ]．北京:北京师范大学出版社,２０２２:１５．Z ３１。
九年级上册知识树
热力学第二定律
了解热力学第二定律，理解可 逆过程与不可逆过程的概念。
电磁学部分
电场
理解电场的概念，掌握电场强 度、电势、电势能等基本概念
和公式。
电流与电路
了解电流的形成，掌握欧姆定 律、基尔霍夫定律等电路基本 规律。
磁场
理解磁场的概念，掌握磁感应 强度、磁通量等基本概念和公 式。
电磁感应
了解电磁感应现象，掌握法拉 第电磁感应定律和楞次定律。
了解数学建模的基本思想和方法，包括问题提出、模型假设、模型建立
和模型检验等。通过数学建模解决实际问题，培养创新意识和实践能力。
03 物理知识树
力学部分
牛顿运动定律
直线运动
理解牛顿第一、第二、 第三定律，掌握其应用。
掌握匀速直线运动、匀变速 直线运动的速度、加速度、 位移等基本概念和公式。
曲线运动
3
数据的收集与整理
理解数据的概念，掌握数据的收集、整理和表示 方法，包括调查、抽样、频数分布表和频数分布 直方图等。
拓展与应用部分
01
数论基础
了解数论的基本概念和方法，包括整除、同余、不定方程和费马小定理
等。
02
组合数学初步
了解组合数学的基本概念和方法，包括排列组合、二项式定理和生成函
数等。
03
数学建模
理解曲线运动的条件， 掌握平抛运动、圆周运 动等曲线运动的规律。
万有引力与航天
了解万有引力定律，掌握 天体运动的基本规律，理
解宇宙速度的概念。
热学部分
01
02
03
04
温度与热量
理解温度的概念，掌握热量的 计算方法。
热传递
了解热传递的三种方式（传导 、对流、辐射），掌握热平衡
九年级数学一元二次方程知识树
引导学生 正确认识
关注学生是否 积极主动地参 及活动，是否 愿意与同伴交 流学习体会、 是否与他人合 作探究数学问
题
条理地表 达对数学 内容的思 考和理解 的过程
关注学生 能否独立 举出一定 数量的用 于说明问 题的正例 和反例
数学的价
值，产生
重视学习过程的评价
积极的数
学学习动
机
关注学生 能否不断
九年级数学一元二次方程知识树
公式法解一 元二次方程
说课标 说教材 说建议
总体目标 学段目标 单元目标
编写特点 编写体例 内容解析
一、说目标
2. 体会数学知识之间、数学与其 他学科之间、数学与生活之间的 联系，运用数学的思维方式进行 思考，增强发现和提出问题的能 力、分析和解决问题的能力。
1. 获得适应社会生活和 进一步发展所必需的数 学的基础知识、基本技 能、基本思想、基本活 动经验。
传播问题
增长率问 题
一元二次方程 解决实际问题
课时目标
知识及技能
过程及方法 情感态度价值
观
能根据方程的各系数，算出求根公式，并根据 求根公式判断出方程根的情况。能正确、熟练
的运用公式解一元二次方程。
经历观察、推导、交流、归纳等活动导出求根 公式，培养学生的合情推理和归纳的能力。
一方面培养学生独立思考的习惯，另一方面培养 小组合作交流的习惯。
根据图像求 方程的解
课题学习
Hale Waihona Puke 一元二次方程及函数图形旋转 中心对称
二次函数
圆
旋转
方
二次函数
程
的
解
法 及
九年级
实 际
上册
应
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区
别看
式
y ax x1x x2 a 0
子 类 型
①y ax2 ②y ax2 k
能 口 述
③y ax h2 ④y ax h2 k
性
质
y ax h2 k
(a 0)
表示 方法
解析式
定义
方程的关系 系数a、b、
c与抛物
线的位置
二 次
应用
关系 实际问 题
函 数
拱桥问题
最优化 问题
如二次根式的乘除运算中，没有给出分母有
理化的概念，而是结合具体例子说明了分母
有理化的要求。
2、列一元二次方程解应用题 列一元一次方程解应用题的思路步骤
1、配方法解一元二次方程 平方根的概念
求平行弦距离
类比思想
分类讨论思想
点和圆、直线和圆、 圆和圆的位置关系
圆中由数量关系判定位置关系 或由位置关系确定数量关系
两个
上
一个
△ ﹤0
一个
册无
△ =0
无
教材内容
看 图
利用抛物线 求一元二次
抛物线与x 轴的交点
一元二次 方程的根
与y轴交点位置 c＞0.在正半轴 c=0.在原点
注 意
象 能 口 述
y o
方程x 的 根近yo 似（xx1有,0两）交( x点2,0 ）
Δ＞0
c＜0.在负半轴
有两个不等根
X1， x2
对称轴 在y轴的
理与轴对称和旋转对称的联系。
1、注重说明性质和法则成立的合理性突出
三数如、学介本绍密质二切。次联根(式系a的)实2结际论a
时，
首先让学生通过探究活动，感受这条结论，
再从算术平方根的意义出发，结合具体例子
对这条结论进行分析最后由特殊到一般地得
四到、这条重结视论渗。 透数学思想方法
2、淡化概念名词，突出概念实质。
圆周角定理的证明
数形结合思想
数学思想方法
九
1、一元二次方程
一元一次方程
年
级
2、实际问题 解方程问题
上
3、正多边形 解直角三角形问题
册
列一元二次方程解决实际 问题既体现了方程思想又 体现了建模思想。
已知弓形高求弦长和半径
2、教材内容
化成x2 p或
mx n2 p p 0
的形式
一元二次方程ax2 bx c 0a 0
和圆、直线和园、圆和圆的位置关系时也是从它们在实际生活中的应用引入；利用垂 径定理解决赵州桥桥拱半径问1、题二；次利根用式正与多整边式形的的联计系算。解决亭子的面积和周长问题。
编写 4球、问《题概”率引》出一事章件借发助生于可“能抽性23签、、的二问一旋大题元转、小”二与；引和次平“导“方移用掷程，学投骰与中币生子一心实理问元对验题一称解””次与引数方轴引出学程对出概的 称随本率内的机的质在联事统联系件计系和的学。区概定别念义。；。用“摸 特点 4、垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，切线长定
人教版数学
义务教育课程标准实验教科书 九年级 上册
青龙山中学 滕守林
一、说课标
能用方程刻画事物间 的相互关系;在探索圆 的性质、图形的旋转 过程中，初步建立空 间观念，发展几何直 觉。
数学思考
解决问题
尝试从不同角度 寻求解决问题的 方法并能有效地 解决问题；体会 在解决问题的过 程中与他人合作 的重要性。
对称中心是对称 两图形全等 旋转1800后与 另一
点连线的中点
图形重合（两个图形）
旋转1800后与 其 自身重合(一个图形）
关于中心对称
基本图形 旋转中心 旋转方向
旋转角
中心对称图形
关于原点对称
对称点的坐 标符号相反
要素
中心对称 点P(x,y)关于原点对称点P，(-x,-y)
旋转角=1800
图形的旋转
三
性
位置 左
种
质
表 示
1.开口方向 2.顶点坐标 3.对称轴
图象
有一交点
（ b 2a
,0）
Δ=0
同右异
有两个等根
x1=
x = b
2
2a
开口方向. a＞0.向上a
方
4.增减性
＜0.向下
式
5.极值
的
性质
联
系 和
开口方向，增减性， 对称轴
表格
无交点
图象和 性质
Δ＜0
无实根
y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a 与一元二次
对应点到旋转中 心的距离相等
特征
旋转前后的图 形全等
对应点与旋转中 心所连线段的夹 角=旋转角
旋转
九 年 级 上
课题学习
图案设计
用旋转、平移、轴对称 设计图案
册
圆外
圆内
切线的 切线长 性质.判定 定理
内含 外离
外切
相切
同（等）弧所对的
圆上
相离
相交 相离
相切
内切
圆周角相等，都等 于圆心角的一半
旋转不变性
的求根公式是
x b b2 4ac b2 4ac 0 2a
配方法
公式法
因式分解法
直接开平方法
解法
ax2+bx+c=0 (a≠0)
定义
应用 一元二次方程x1x2b ax1 x2
c a
建模 思想
传播问题 增长率问题
面积问题 匀变速运动
一元一次方程
九
年
根的情况
抛物线与X轴交点个数
级
两个
△ ﹥0
点与圆
直径所对的圆 周角是直角
直线与圆
d、r
圆心角等、弧等、 弦等知一得二
圆周角定理
与圆有关 的位置
同圆或等圆中
弧弦圆心 角的关系
概念性质
轴对称性
垂径定理
圆
圆与圆
正多边形 与圆
相交
等分 圆周
正多边形
中心角 360 n
半径R外 边心距R内
弧长与扇 形面积
边长一半 计算解直角△
定理知 二得三
半径、弦心距、 弦的一半构成 Rt△
P(A)=
m n
列举法求概率
二、说教材
1、编写特点
1、如《一元二次方程》引言中的雕像问题，及第三节的四个探究活动反映了一元二次
方程来自实际又服务于实际，有助于培养学生理论联系实际的意识。
2识、。《旋转》一章，通过实例认识一和、感注受旋重转知，识通过间实的例联加深系学生对中心对称图形 的认
3、《圆》一章在引入圆、正多边形等概念时举了大量的实际生活中的例子；在介绍点
知识与技能
课标要求
认识二次根式、一元二次方
程；掌握必要的运算技能；
九
年 探索具体问题中的数量关系，
并能用方程进行描述；掌握
圆和旋转的基本性质；掌握
级
上 基本的推理技能;进一步丰富
对概率的认识；会计算一些 简单事件的概率。
册
情感与态度
乐于接触社会环境中的 数学信息，能够在数学 活动中发挥积极作用； 认识通过观察、实验、 归纳、类比、推断可以 获得数学猜想；体验数 学活动充满着探索性和 创造性。
圆的基本概念
圆圆 弧 弦弦
圆心 半径
九 年 级 上 册
l n R
圆锥侧面积
180
与全面积
s S侧 πrRl母内
180 0 n
R外n36R02
s 1 lR 2
S全 πr（r l)a
2
在大量重复的试验中
如果事件A发生的频 率 m 会稳定在某个 常数np附近，那么这 个常数P就叫事件A的 概率。记为P(A)=p