数学建模综合题影院座位设计问题

数学模型

张峰华材料学院材料成型及控制工程04班20123631 刘泽材料学院材料成型及控制工程04班20123627 杨海鹏材料学院冶金工程03班20123203

一、问题重述

影院座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β，视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角β不超过030；记影院的屏幕高为h ，上边缘距离地面高为H ,影院的地板线通常与水平线有一个倾角θ，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,d D ，观众的平均座高为c （指眼睛到地面的距离），已知参数h =1.8. H =5， 4.5,19d D ==，c =1.1(单位m)。

求解以下问题：

(1) 地板线的倾角010=θ时，求最佳座位的所在位置。

(2) 地板线的倾角θ一般超过020，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。

二、问题的分析

电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角α和仰角β，α越大越好，而β越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。

本文通过对水平视角α和仰角β取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。

针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab 数学软件运算求解；

针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；

在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。

本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。

三、模型假设

1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；

2.观众对座位的仰角的满意程度呈线性；

3.观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；

4.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；

5.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m ；

6.对于同一排座位，观众的满意程度相同；

7.所有观众的座位等高为平均座高；

8.影院的的地板成阶梯状。

四、符号说明

α 水平视角

δ

视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离 β 仰角

αS 观众对水平视角为α的满意程度 θ 地板线与水平线的倾角

βS

观众对仰角为β的满意程度 d 第一排离屏幕水平距离

S

平均满意程度

D 最后一排离屏幕水平距离 βαc c , 视角α、仰角β在综合满意度i S 中的权重

h 屏幕的高度

l 相邻两排座位间沿地板线方向的间距 H 屏幕上边缘离地面的高度

五、模型的建立与求解

5.1 问题一

每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角α和仰角β，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。

5.1.1 模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角

以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：

其中，AB 为屏幕，MS 为地板线，OE 为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE 上任意一点P 的坐标为)tan ,(θx x ，屏幕上下点的坐标分别为),(c H d A --，

),(c h H d B ---，AP 的斜率记为AP k ,BP 的斜率记为BP k 。

由斜率公式得：

)(tan tan d x c H x k AP --+-=

-=θβ，)

(tan )tan(d x c

h H x k BP --++-=--=θαβ (1.1)

则直线AP 和BP 的斜率与夹角α满足如下关系：

)

tan )(tan ()()(1tan 2c h H x c H x d x d x h k k k k AP BP AP BP ++-+-+++=+-=

θθα (1.2)

仰角满足条件：]30,0[ ∈β 所以：33)

(tan 033tan 0≤--+--

≤⇒≤≤d x c

H x θβ

θ

θ

tan tan 3333c

H x d c H -≤

≤+-- (1.3) 由公式(1.1) (1.2)得到模型为：

)

tan )(tan ()()

(arctan

max 2c h H x c H x d x d x h ++-+-+++=θθα

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≤≤+---≤≤θθtan tan 33330..c H x d c H d D x t s

5.1.2 模型Ⅰ的求解

当 10=θ时，用Matlab 软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为 9522.13=α，仰角为 30=β，7274.1=x 米。即P 点的坐标为)3046.0,7274.1(为最佳位置。离屏幕的水平距离为米2274.67274.15.4=+。 5.1.3 模型Ⅱ的建立：离散加权模型

在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l （查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为θcos l ，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。

对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：

)

(cos )1(tan cos )1()(tan tan d l k c

H l k d x c H x ---+---=--+--

=θθθθβ (2.1)

)

tan cos )1)((tan cos )1(()cos )1(()

cos )1((tan 2c h H l k c H l k d l k d l k h ++--+--++-+-=

θθθθθθα

(2.2)

其中，n k ,,3,2,1 =，n 为地板线上的座位的总排数，且191]cos 5

.14[

=+=θ

l n 。 一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的