初三中考数学 比例线段及其性质

（2015·江苏南京）如图，△ABC中，CD是边AB上的 高，且CD2=AD·DB，求证： (1)△ACD∽△CBD； (2)求∠ACB的大小.
【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形 相似，即可证明△ACD ∽△CBD； （2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应 角相等可得∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得 ∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°.
【名师指点】相似多边形是在相似三角形的基础上的推广，具有一 般相似三角形的性质，本考点主要考查相似多边形的性质，解答这 类问题，首先要熟记相似三角形的性质，然后直接类比到相似多边 形即可. 位似图形是一种特殊的相似图形，具有一般相似图形的性质，还具 有位似中心这一特殊性质，考查方式主要有位似图形的一般性质、 画图及确定位似中心或对应点等.这类问题一般较简单，熟记位似图 形是相似图形及对应点的连线都经过位似中心即可.
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3.（2015·
ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，点E，F是AD上的点，且AE=EF=FD，连接BE，
BF，使它们与AO相交于点G，H.
（1）求EG∶BG的值；
（2）求证：AG=OG；
（3）设AG=a，GH=b，HO=c，
求a∶b∶c的值.
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC, ∴△AEG∽△CBG，
【分析】连接MN，根据题意可以得到△BAC∽△NAM，然后利用相似 三角形的性质解决问题. 【解答】连接MN，
Q AC 30 3 , AB 54 3 , AM 1 000 100 AN 1 800 100
AC AB . AM AN
∵∠BAC=∠NAM，∴△BAC ∽△NAM,
BC 3 ， 45 3 , MN 100 MN 100
∴MN=1 500. 答：M，N两点之间的直线距离为1 500米.
1.(2015·市中二模)如图，小明在打网球时，使球恰好能 打过网，而且落在离网4 m的位置上，则球拍击球的高度h 为__1_._5_m.
2.(2015·甘肃天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测 量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线 从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已 知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么 该古城墙的高度CD是__8__米.
则AC=_2___5__-1_.
考点2 相似三角形的性质与判定 【名师指点】本考点主要考查有关相似三角形的相似比的 运算及相似三角形的判定.判定相似三角形时，要注意哪些 边是对应边，哪些角是对应角，然后利用定义证明；解答 有关相似比的计算时，要熟记相似三角形的性质：周长比 、对应线段（边、高、中线）比等于相似比，面积比等于 相似比的平方.
2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺 成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请 你根据以上信息，求出小军身高BE的长.（结果精确到0.01 米）
解：∵MN⊥NQ，AC⊥NQ，
∴△CAD∽△MND，
∴
CA AD . MN ND
又∵AD=0.8，DN=4.8，AC=1.6，
4.黄金分割：
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果___
__A__C_2_=__A_B__gB__C____，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段 AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金比为___5__-1_.
2
知识点2 相似三角形及其性质
1.相似三角形：
对应角___相___等____，对应边___成__比__例___的三角形叫作相似三角形，相似
三角形对应边的比叫作相似比.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形对应____边_____的比、对应___高__线___的比都等于相似比. （2）周长比等于____相__似__比____. （3）面积比等于_相___似__比__的__平___方__.
CAgND ∴MN= AD =9.6.
同理可知△EBF∽△MNF，
∴
EB BF， MN NF
∴EB= BFgM≈N1.75米. NF
答：小军的身高为1.75米.
知识点4 位似图形及其性质
1.位似图形： 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线 都经过同一点O，且有OP′=kOP（k≠0），那么这样的两个多边形 叫作位似多边形，点O叫作位似中心，k就是这两个位似多边形的相 似比.
2.位似图形的性质： (1)位似图形上任意一对对应点到__位__似__中__心__的距离之比等于 相似比. (2)对应线段的比等于相似比. (3)周长比等于___相__似__比___. (4)面积比等于__相__似__比__的__平_方__.
3.（2015·陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小 聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻， 提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于 是，两人在灯下沿着直线NQ移动，当小聪正好站在广场的A 点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当 小军正好站在B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为
EG = AE . ∴ BG BC
∵AE=EF=FD，AD=BC， ∴AE∶BC=1∶3， ∴EG∶BG=1∶3.
（2）∵△AEG∽△CBG，
∴
AG CG
AB，CE 即 A13 G=
1
AC.
4
∵AO=CO，
∴AG=OG.
（3）∵AD∥BC,
∴△AFH∽△CBH，
∴
AH AF . HC BC
∵AE=EF=FD，AD=BC，
EH AD
3.(2014·市中一模)如图，在△ABC中，D是AB边上一 点，连接CD.要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 ∠ADC=∠ACB(答案不唯一 _____________)___________.(只需写出一个条件即可)
4.若点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,若AB=4，
考点4 相似三角形的应用 【名师指点】本考点考查利用相似三角形解决实际问题， 综合性较强，有一定的难度.主要考查方式有测量物体高 度、河的宽度、视野盲区等.解决这类问题，要能够根据 实际问题的条件转化成相似三角形的数学模型，然后根据 相似三角形的性质解答问题.
（2015·菏泽）如图,M，N为山两侧的 两个村庄,为了两村交通方便,根据国家的惠 民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员 为了计算工程量,必须计算M，N两点之间的 直线距离,选择测量点A，B，C,点B，C分别 在AM，AN上，现测得AM=1千米，AN=1.8千米,AB=54米, BC=45米,AC=30米,求M，N两点之间的直线距离.
第七章 图形变化 第3节 图形的相似
知识点1 比例线段及其性质
1.比例线段： 对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的长度的比与另两条
线段的长度的比相等，即______a_=__c______，那么，这四条线段叫 bd
作成比例线段，简称比例线段.
ad=b
cc d
cd d
a b
3.平行线分线段成比例： （1）平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例. （2）推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对 应线段成比例.
3.相似三角形的判定： (1)两角对应__相__等___的两个三角形相似. (2)三边对应_成__比__例__的两个三角形相似. (3)两边对应_成__比__例__且夹角__相__等___的两个三角形相似.
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知识点3 相似多边形及其性质
1.相似多边形： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫作相似多边形， 相似多边形对应边的比叫作相似比. 2.相似多边形的性质： (1)对应角相等，对应边成比例. (2)周长比等于相似比. (3)面积比等于相似比的平方.
A.1
B.2
C.3
D.4Байду номын сангаас
2.（2015·黑龙江哈尔滨）如图，四边形ABCD是平行四边 形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF， 分别交AD，CD于点G,H，则下列结论错误的是( )
A. EA EGB. EG AG
BE EF
GH GD
C. AB BCD. FH CF
AE CF
∴AF∶BC=2∶3，
2 ∴AH∶HC=2∶3，即AH5= AC.
∵AG= 1 AC， 4
∴GH=2 AC-1 AC=3 AC. 5 4 20 12 1
∵HO=2 AC-5 AC=10 AC， ∴AG∶GH∶HO1= ∶3 ∶ 1 =5∶3∶2，
4 20 10
即a∶b∶c=5∶3∶2.
考点3 相似多边形与位似图形
【解答】（1）∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC=∠CDB=90°.
Q AD CD , CD BD
∴△ACD∽△CBD. （2）∵△ACD∽△CBD， ∴∠A=∠BCD. 在△ACD中，∠ADC=90°， ∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°， 即∠ACB=90°.
【易错点津】此类问题容易出错的地方是找不出相似关系，找不出已 知量与未知量之间的关系.
3
C(2，1).
【答案】A
【易错点津】此类问题容易出错的地方是将端点C的坐标看
成是D的坐标而得到错误答案.
2.（2015·湖北咸宁）如图，以点O为位似中心，将 △ABC放大得到△DEF，若AD=OA,则△ABC与△DEF的面 积之比为( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6
(-1,0)或（5，-2）
考点1 比例线段及比例的性质 【名师指点】本考点主要考查根据比例线段的定义及性质， 考查方式主要有以下几方面：判断所给线段是否成比例；给 出线段成比例的条件，求比值；给出线段的比值，求代数式 的值；求黄金分割线段长度等.解答这类问题要灵活运用比例 线段的性质.
1.（2015·四川成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6， BD=3，AE=4，则EC的长为( )
（2015·湖北武汉） 如图，在直角坐标系中，有 两点A(6，3)，B（6，0）,以原点O为位似中心，相似比为 1，
3
在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则C的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，0) C.(3，3) D.(3，1)
【解答】根据题意可知，A(6，3)，原点O为位似中心且在 第一象限内将线段AB缩小为原来的 1 后得到线段CD，所以