2019~2020学年浙江省高职考试研究联合体第三次联合考试

2019~2020学年浙江省高职考试研究联合体第三次联合考试数学试卷2020.5姓名准考证号本试卷共三大题㊂全卷共4页㊂满分150分,考试时间120分钟㊂考生注意:1.答题前,请务必将自己的姓名㊁准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸上㊂2.答题时,请按照答题纸上 注意事项 的要求,在答题纸相应的位置上规范作答,在本试卷上的作答一律无效㊂一㊁单项选择题(本大题共20小题,1 10小题每小题2分,11 20小题每小题3分,共50分)在每小题列出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的㊂错涂㊁多涂或未涂均无分㊂1.已知全集U ={0,1,2,3,4},M ={1,3},N ={1,2,4},则(∁U M )ɘN 为( )A.{1,3,4}B .{0,2,4}C .{2,4} D.{3,4}2.不等式组x 2+2ɤ0,5-2x >1{的解集是( )A.(2,+ɕ)B .⌀C .(-ɕ,2) D.R3.下列函数中,在区间(-ɕ,0)上是增函数的是( )A.y =-x +2B .y =|x |C .y =13æèçöø÷xD.y =-x 2+34.角-201910π是( )A.第一象限角B .第二象限角C .第三象限角 D.第四象限角5.过点(1,2),且斜率不存在的直线一般式方程为( )A.x =1B .y =2C .x -1=0 D.y -2=06.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4=30,a 2+a 5=26,则a 3+a 6等于( )A.24B .22C .20 D.187.若教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )A.平行B .垂直C .异面 D.相交8.用1,2,3,4,5五个数字组成没有重复数字的五位数,其中不同的奇数共有( )A.36个B .48个C .72个 D.120个9.若过P (-1,3),Q (1,7)两点的直线l 1与直线l 2:m x +(3m -7)y +5=0平行,则m 的值为( )A.2B .4C .6D.810.下列关于抛物线y =4x 2的说法,正确的是( )A.准线方程是x =-1B .焦点坐标是(1,0)C .准线方程是y =-116 D.焦点坐标是116,0æèçöø÷11.圆心坐标为(1,-1),且经过原点的圆的标准方程为( )A.(x +1)2+(y -1)2=2B .(x +1)2+(y -1)2=2C .(x -1)2+(y +1)2=2 D.(x -1)2+(y +1)2=212.已知函数f (x )=3x,x ɤ0,l o g 2x ,x >0,{则f f 12æèçöø÷éëêêùûúú的值为( )A.-1B .3C .13D.313.已知椭圆x 216+y 225=1的焦点为F 1和F 2,椭圆上一点P 到点F 1的距离为6,则它到点F 2的距离为( )A.1B .2C .4 D.614.化简:s i n (A -B )c o s B +c o s (B -A )s i n B 等于( )A.1B .s i n (A -2B )C .c o s A D.s i n A15. 0ɤm <1 是 对任意的x ɪR ,不等式m x 2+2m x +1>0恒成立的( )A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件16.若从立定跳远㊁实心球㊁引体向上中随机抽取一项,且从50m ㊁50ˑ2m ㊁100m 中随机抽取一项,则 恰好抽中实心球和50m 的概率是( )A.19B .16C .23D.1317.已知f (x )=A s i n (ωx +φ),其中A >0,ω>0,0<φ<π2.若函数f (x )的一个最高点与其相邻的最低点的坐标分别是π12,3æèçöø÷,7π12,-3æèçöø÷,则A ,ω,φ的值分别是( )A.3,12,π3B .3,2,π3C .3,12,π6D.3,2,π618.若x >2,则x +1x -2-3有( )A.最大值1B .最小值1C .最大值-1 D.最小值-119.若点(1,2)在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线上,则此双曲线的离心率为( )A.32B .5C .52 D.6220.已知a ,b ,c 成等比数列,则二次函数f (x )=a x 2+b x +c 的图象与x 轴的交点个数是( )A.2B .1C .1或0 D.0二㊁填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)21.函数f (x )=x 2-2x -3+(x -3)0的定义域为.22.在әA B C 中,若t a n A =-512,则c o s (4π-A )=.23.若函数f (x +1)=3x +2,则f (x )的解析式为.24.已知向量a =(2,1),b =(1,-2),且m a +n b =(9,-8),则n -m 的值为.25.若某正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4c m ,则此球的体积是.26.求值:11ˑ2+12ˑ3+13ˑ4+ +199ˑ100=.27.已知1x -x æèçöø÷n的二项展开式中偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中的常数项为.三㊁解答题(本大题共8小题,共72分)解答应写出文字说明及演算步骤㊂28.(本题满分7分)计算:(-4)2-πl n 1+s i n 7π6-8125æèçöø÷-13+l g 0.01+C 66.29.(本题满分8分)已知圆C :x 2+y 2+4x -4y +6=0,求:(1)直线2x -y +4=0被圆C 截得的弦长;(4分)(2)过点M (-1,1)的切线方程.(4分)30.(本题满分9分)已知角α的终边在直线y =3x (x <0)上,求:(1)3s i n α+c o s αc o s α-s i n α的值;(5分)(2)t a n 2α-π4æèçöø÷的值.(4分)31.(本题满分9分)在锐角әA B C 中,已知a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,且3a =2c s i n A .(1)求角C 的大小;(4分)(2)若c =7,且әA B C 的面积为332,求a +b 的值.(5分)32.(本题满分9分)如图所示,已知正四棱锥S A B C D 的高为20c m ,且侧棱与底面所成角为45ʎ,求:(1)三棱锥S A D C 的体积;(4分)(2)二面角S B C A 的正切值.(5分)第32题图33.(本题满分10分)天坛公园是明㊁清两代皇帝 祭天 祈谷 的场所.天坛公园中的圜丘台共有三层(如图①所示),上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板,从中心向外围以扇面形石(如图②所示).上层坛从第1环至第9环共有9环,中层坛从第10环至第18环共有9环,下层坛从第19环至第27环共有9环;第1环的扇面形石有9块,从第2环起,每环的扇面形石块比前一环多9块.求:(1)第27环的扇面形石块数;(4分)(2)上㊁中㊁下三层坛所有的扇面形石块数.(6分)第33题图34.(本题满分10分)已知双曲线C和椭圆x24+y2=1有公共的焦点,且离心率为3.(1)求双曲线C的标准方程;(5分)(2)若经过点M(2,1)作直线l交双曲线C于A,B两点,且M为弦A B的中点,求直线l的方程.(5分)35.(本题满分10分)高中毕业前夕,某班决定组织一次去A地的集体旅游.班长去旅行社了解到:30人起可以成团,组团价699元/人,旅行社对超过40人的旅行团给予优惠,即旅行团每增加1人,每人的单价就减少9元.(1)若该班有45人,则需要支付多少费用?(2分)(2)请写出该旅行社这次优惠活动中,旅行团的人数x与旅行社的营业额y(元)之间的函数关系式;(3分)(3)从旅行社考虑,当旅行团的人数是多少时,旅行社可获得最大营业额?最大营业额是多少?(5分)2019~2020学年浙江省高职考试研究联合体第三次联合考试数学试卷参考答案一㊁单项选择题(本大题共20小题,1 10小题每小题2分,11 20小题每小题3分,共50分)1.C ʌ解析ɔȵ∁U M ={0,2,4},ʑ(∁U M )ɘN ={0,2,4}ɘ{1,2,4}={2,4},ʑ选C .2.B3.D ʌ解析ɔy =-x +2和y =13æèçöø÷x在R 上都是减函数;y =|x |在(-ɕ,0]上是减函数;y =-x 2+3在(-ɕ,0]上是增函数.故选D .4.A ʌ解析ɔȵ-201910π=-202π+110π,且110π是第一象限角,ʑ-201910π是第一象限角.故选A .5.C ʌ解析ɔ要注意审题,求的是一般式方程.故选C .6.B ʌ解析ɔȵ(a 1+a 4)+(a 3+a 6)=2(a 2+a 5),ʑa 3+a 6=2(a 2+a 5)-(a 1+a 4)=2ˑ26-30=22.故选B .7.B ʌ提示ɔ垂直可以是相交垂直和异面垂直,平行㊁相交和异面都可找到反例.故选B .8.C ʌ解析ɔN =P 13㊃P 44=3ˑ4ˑ3ˑ2ˑ1=72(个),故选C .9.A ʌ解析ɔȵl 1ʊl 2⇒k 1=k 2,且k 1=7-31-(-1)=2,ʑk 2=m7-3m =2,解得m =2.故选A .10.C ʌ解析ɔȵ抛物线的标准方程是x 2=14y ,ʑ焦点坐标是0,116æèçöø÷,准线方程是y =-116.故选C .11.C ʌ提示ɔȵ圆心坐标为(1,-1),r =(1-0)2+(-1-0)2=2,ʑ圆的标准方程为(x -1)2+(y +1)2=2.12.C ʌ提示ɔȵf 12æèçöø÷=l o g 212=-1,ʑf f 12æèçöø÷éëêêùûúú=f (-1)=3-1=13.13.C ʌ解析ɔȵx 216+y 225=1⇒a =5,ʑ由椭圆定义|P F 1|+|P F 2|=2a 可知|P F 2|=10-6=4,故选C .14.D ʌ解析ɔs i n (A -B )c o s B +c o s (A -B )s i n B =s i n (A -B +B )=s i n A ,故选D .15.C ʌ提示ɔ当m =0时,1>0恒成立,符合题意;当m ʂ0时,m x 2+2m x +1>0,由题意得m >0,Δ=(2m )2-4m <0,{解得0<m <1.综上所述,0ɤm <1.故 0ɤm <1 ⇔ 对任意x ɪR ,不等式m x 2+2m x +1>0恒成立 .故选C .16.A ʌ提示ɔP (A )=1C 13C 13=19.17.B ʌ解析ɔ由题意得A =3.ȵT 2=7π12-π12=π2,ʑT =2πω=π,ʑω=2.把点π12,3æèçöø÷代入f (x )=3s i n (2x +φ)得3s i n 2ˑπ12+φæèçöø÷=30<φ<π2æèçöø÷,ʑφ=π3,故选B .18.B ʌ解析ɔȵx >2,ʑ由均值定理得x +1x -2-3=x -2+1x -2-1ȡ2(x -2)㊃1x -2-1=2-1=1,故选B .19.B ʌ解析ɔ渐近线方程为y =ʃb a x ,将点(1,2)代入y =b a x 得2=b a .ȵe 2=a 2+b 2a 2=1+b a æèçöø÷2=5,ʑe =5.20.D ʌ解析ɔȵa ,b ,c 成等比数列,ʑb 2=a c ,且a ,b ,c ʂ0.而二次函数f (x )=a x 2+b x +c 的图象与x 轴的交点个数看 Δ ,Δ=b 2-4a c =b 2-4b 2=-3b 2<0.故选D .二㊁填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)21.(-ɕ,-1]ɣ(3,+ɕ) ʌ解析ɔ由题意得x 2-2x -3ȡ0,x -3ʂ0,{解得x ɤ-1或x >3.22.-1213 ʌ解析ɔ在әA B C 中,t a n A =-512⇒c o s A =-1213,ʑc o s (4π-A )=c o s A =-1213.23.f (x )=3x -1 ʌ解析ɔ令x +1=t ,则x =t -1,ʑf (t )=3(t -1)+2=3t -1,用x 代替t 得f (x )=3x -1.24.3 ʌ解析ɔȵm a +n b =m (2,1)+n (1,-2)=(2m +n ,m -2n )=(9,-8),ʑ2m +n =9,m -2n =-8,{解得m =2,n =5,{故n -m =3.25.323πc m 3 ʌ提示ɔȵa =4,外接球的半径R =23,ʑV =43πR 3=43π(23)3=323π(c m 3).26.99100 ʌ解析ɔ原式=1-12+12-13+13-14+ +199-1100=1-1100=99100.27.-84 ʌ解析ɔ由题意得2n -1=256,ʑn =9,ʑ通项T k +1=C k 91x æèçöø÷9-k(-x )k=(-1)k C k 9x 3k -92.令3k -92=0,则k =3,ʑT 4=(-1)3C 39=-84.三㊁解答题(本大题共8小题,共72分)28.(本题满分7分)解:原式=4-1-12-52-2+16分 =-1.1分 29.(本题满分8分)解:圆心坐标为(-2,2),半径r =2.1分 (1)ȵ圆心到直线2x -y +4=0的距离d =|2ˑ(-2)-2+4|22+(-1)2=255,1分 ʑ弦长L =2r 2-d 2=22-45=2530.2分 (2)k C M =2-1-2-(-1)=-1,1分ȵ切线与直线C M 垂直,ʑk ㊃k C M =-1,ʑk =1.1分 ʑ过点M (-1,1)的切线方程为y -1=1㊃[x -(-1)],即x -y +2=0.2分30.(本题满分9分)解:(1)ȵ角α的终边在直线y =3x (x <0)上,ʑt a n α=3.2分 ʑ3s i n α+c o s αc o s α-s i n α=3t a n α+11-t a n α=3ˑ3+11-3=-5.3分 (2)ȵt a n 2α=2t a n α1-t a n 2α=2ˑ31-32=-34,2分 ʑt a n 2α-π4æèçöø÷=t a n 2α-t a nπ41+t a n 2αt a nπ4=-34-11+-34æèçöø÷ˑ1=-7.2分 31.(本题满分9分)解:(1)由正弦定理a s i n A =c s i n C 得c s i n A =a s i n C .1分 ȵ3a =2c s i n A ,ʑ3a =2a s i n C ,ʑs i n C =32.2分 又ȵәA B C 是锐角三角形,ʑøC =60ʎ.1分 (2)ȵS әA B C =12a b s i n C =12a b ㊃32=332,ʑa b =6.2分 由余弦定理得c o s C =a 2+b 2-c22a b=(a +b )2-2a b -c 22a b=(a +b )2-2ˑ6-(7)22ˑ6=12,2分 ʑa +b =5.1分32.(本题满分9分)解:(1)ȵS A B C D 是正四棱锥,ʑS O ʅ底面A B C D ,ʑøS A O 为侧棱与底面所成的角,即øS A O =45ʎ.1分 ȵ在R t әS A O 中,A O =S O =20c m ,ʑ底面边长为202c m ,1分 ʑS әA D C =12ˑ(202)2=400(c m 2),1分 V S A D C =13S әA D C ㊃h =13ˑ400ˑ20=80003(c m 3).1分(2)取B C 的中点M ,连接S M ,O M .ȵS A B C D 为正四棱锥,ʑS B =S C ,ʑ在等腰三角形S B C 中,S M ʅB C .又ȵA B C D 是正方形,ʑO M ʅB C ,ʑøS M O 为二面角S B C A 的平面角.2分 ȵ在R t әS O M 中,S O =20c m ,O M =102c m ,ʑt a n øS M O =S O O M =20102=2,2分故二面角S B C A 的正切值为2.1分 33.(本题满分10分)解:(1)由题意,每一环的扇形石块数构成了一个等差数列{a n },其中a 1=9,d =9,1分 ʑa 27=9+26ˑ9=243(块).2分 ʑ第27环的扇面形石块数是243块.1分(2)由S n =(a 1+a n )n 2=n a 1+n (n -1)2d ,得S 9=9ˑ9+9ˑ82ˑ9=405(块),S 18=18ˑ9+18ˑ172ˑ9=1539(块),S 27=(a 1+a 27)ˑ272=(9+243)ˑ272=3402(块),3分 ʑ上层坛:S 9=405(块),1分 中层坛:S 18-S 9=1539-405=1134(块),1分 下层坛:S 27-S 18=3402-1539=1863(块).1分 34.(本题满分10分)解:(1)由题意,椭圆x 24+y 2=1的焦点坐标为(ʃ3,0),1分 设双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则c =3.1分 ȵe =c a =3a=3,ʑa =1,1分ʑb 2=c 2-a 2=2,1分ʑ双曲线C 的标准方程为x 2-y 22=1.1分(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).ȵM (2,1)为弦A B 的中点,ʑx 1+x 2=4,y 1+y 2=2.1分将A ,B 两点的坐标代入双曲线方程得x 21-y 212=1,x 22-y 222=1,ìîíïïïï两式作差并整理得(x 1+x 2)(x 1-x 2)-12(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即4(x 1-x 2)-(y 1-y 2)=0,ʑk =y 1-y 2x 1-x 2=4,2分ʑ直线l 的方程为y -1=4(x -2),1分 即4x -y -7=0.1分 35.(本题满分10分)解:(1)[699-(45-40)ˑ9]ˑ45=29430(元).1分 答:需要支付29430元.1分 (2)当30ɤx ɤ40且x ɪN 时,y =699x ;当x >40且x ɪN 时y =[699-9(x -40)]x =1059x -9x 2,1分ʑy =699x ,30ɤx ɤ40且x ɪN ,-9x 2+1059x ,x >40且x ɪN .{2分 (3)当30ɤx ɤ40时,y m ax =699ˑ40=27960(元);2分 当x >40时,x =-b 2a =-10592ˑ(-9)=3536ʈ58.8,1分 故当x =59时,y m ax =-9ˑ592+1059ˑ59=31152(元).1分 ʑ当旅行团的人数是59时,旅行社可获得最大营业额,为31152元.1分。