第五章 统计推断-1

解：
H0：μ＝μ0 已知这批动物实际饲养的时间比根据以往 经验所需饲养的时间长的多，因此，μ不可 能小于μ0 (10.00g) H1：μ>μ0 ，为单侧检验
取α＝0.05，查表得临界值uα=u0.05＝1.645
拒绝域：u>1.645
根据样本计算统计量
x 0 10.23 10.00 u 1.82 / n 0.4 / 10
t检验-2 (t-test for pooled data) 成组设计的两样本均数比较
前提条件：从σi 未知的两个正态或近似 正态总体中，独立地抽取含量分别为n1 和n2的样本
H0：μ1＝μ2 H1： 1 2 ，若已知μ1不可能小于μ2 or: 1 2 ，若已知μ1不可能大于μ2 or: 1 2 ，包括μ1>μ2和μ1<μ2
比较：u=0.57<μα ，落入拒绝域外，应在 0.05的显著性水平下接受H0 结论：第一号渔场的马面鲀体长并不显著 高于第二号渔场的
四、t检验（t-test)-1 在σ未知的情况下，单样本均数检验
前提条件：从σ未知的正态或近似正态总 体中，随机抽取含量为n的样本 H0：μ＝μ0
H1：
or:
( x x
1
称为平均数差数的标准误差 2)
U检验应用举例2
问题：调查两个不同渔场的马面鲀体长， 每一渔场调查20条。
平均体长分别为 x1 19.8cm, x 2 18.5cm
已知
1 2 7.2cm
问在α＝0.05水平上，第一号渔场的马面 鲀体长是否显著高于第二号渔场的马面鲀 体长？
0 ，若已知μ不可能小于μ0
0 ，若已知μ不可能大于μ0
or:
0 ，包括μ>μ0和μ<μ0
检验统计量：
x 0 t n 1 s/ n 显著性水平：
α＝0.05 或α＝0.01
确定各种备择假设所对应的拒绝域：
t t
或
t t
或
t t / 2
临界值Critical value：
接受域/拒绝域的端点
单侧检验 One-sided test
拒绝域分布在检验统计量概率密度曲线某 一侧的假设检验类型 上尾检验 Upper tailed test：右侧拒绝域
下尾检验 Lower tailed test：左侧拒绝域
双侧检验 two-sided test
确定各种备择假设所对应的H0的拒绝域：
u u 或
u u
或
u u / 2
临界值可由正态分布表查出
比较u的计算值与临界值的相对大小，确定其是
否落入拒绝域内，得出统计推断结论
针对具体问题，给出与之相对应的明确说明
U检验应用举例1
问题：用实验动物做实验材料，要求动物平均 体重μ＝ 10.00g。若μ<10.00g则需再饲养，若 μ>10.00g 则应淘汰。动物体重是服从正态分布 N(μ, σ2)的随机变量。已知总体标准差σ ＝0.40g， 但总体均数是未知的。为了得出对总体均数的 推断，从动物群体中随机抽出含量n＝10的样本， 并计算出该样本均数 ＝10.23g。试根据这个 x 样本的测定结果推断这批动物的体重是否合乎 实验要求？
为了同时降低α和β ，就需增加样本含量。当样本 含量增加后，样本标准误差变小，这时曲线变 “瘦”，其结果是犯两种错误的概率都变小。
二、显著性检验的基本程序
根据具体问题建立假设
原假设H0的提出可根据： 以往的经验或者某些实验结果 依据某种理论或某种模型 依据事先所作的某种规定 备择假设H1的来源： 除原假设以外的可能取值 担心或希望出现的值 有重要经济意义或其他意义的值
解：
马面鲀体长是服从正态分布的随机变量， 两样本是独立获得的 H0： μ1＝μ2
H1： μ1>μ2
α＝0.05，临界值uα=u0.05＝1.645
拒绝域：u>1.645
统计量的值：
u
x1 x 2
2 1 2 2
/ n1 / n2
x1 x 2 19.8 18.5 0.57 2 / n 7.2 2 / 20
H1： 0 ，若已知μ不可能小于μ0 or: 0 ，若已知μ不可能大于μ0 or:
0
，包括μ>μ0和μ<μ0
检验统计量：
x 0 u / n
显著性水平：
习惯上，规定在α＝0.05水平上拒绝H0，称为
“差异显著”；
在α＝0.01水平上拒绝H0，称为“差异极显著”
检验统计量：
t f t n1 n2 2
x1 x 2 fs f s 1 1 ( ) f1 f 2 n1 n2
2 1 1 2 2 2

x1 x 2 2 s s (1 / n1 1 / n2 )
x1 x 2
n1n2 n1 n2
其中， s
称为两样本的并合标准方差
d
为样本中各对差
值的均数，sd为样本差值的标准差
统计推断的内容
统计推断所涉及的内容非常广泛，包括
总体分布特征的估计
特定类型的统计推断方法
方差分析
回归分析
§5.2 假设检验
一、基本原理和有关概念
假设
零假设（原假设）H0：在总体未知的情况下，为 了得到对总体特征的推断，对总体特征所作的假 设。是针对实验考察的内容提出来的
备择假设H1：与H0相对立的假设，是在拒绝原假 设的情况下可供选择的假设。 H1的提出需视情况 而定
解：
H0： μ1＝μ2 H1：
1 2
双侧检验
α＝0.05，临界值tα=t0.05,17＝2.110
拒绝域：t>2.110
或 t<-2.110
计算统计量
n1=12，n2=7
x1 120, x 2 101
x1 x 2
2 f1s12 f 2 s2 1 1 ( ) f1 f 2 n1 n2
确定统计检验的显著性水平 确定应该使用的检验方法，选择合适的检验 统计量，并根据样本值计算统计量值 确定临界值，给出建立在α水平上H0的拒绝 域 比较统计量的计算值和临界值的相对大小， 进行统计判断，并对 单样本均数检验
前提条件：从σ已知的正态或近似正态总 体中，随机抽取含量为n的样本 H0：μ＝μ0
II型错误 Type II error 受伪错误
在H0实际并不成立的情况下，由于抽样 的随机性，仍可能有一部分由样本计算的 检验统计量值落入接受域内。一旦抽到这 样的样本，根据小概率原理，仍将接受H0， 但这样的接受是错误的
II型错误的发生概率为β
在总体特征和样本大小均固定的情况下，降低α 则必然增加β ，反之亦然。
拒绝域同时涵盖检验统计量概率密度曲线 两侧的假设检验类型
统计判断所犯的两类错误
I型错误 Type I error：拒真错误
在H0是真实的情况下，由于抽样的随机 性，仍可能有一部分由样本计算的检验统 计量值落入拒绝域内。一旦抽到这样的样 本，根据小概率原理，将拒绝H0，但这样 的拒绝是错误的 I型错误的发生概率为α
T检验应用举例2
问题：一批雄性大鼠，随机分为两组，分 别饲以高蛋白和低蛋白饲料，8周后记录各 鼠体重增加的克数如下。问不同饲料对大 鼠体重增加是否有显著影响？
高蛋白组（X1）：134 146 104 119 124
161 107 83 113 129 97 123 低蛋白组（X2）：70 118 101 85 107 132 94
配对设计资料t检验的基本思路
首先计算各对数据的差值di
计算差值的均数 d 当两种处理结果无差别，或某种处理不 起作用时，理论上，配对数据差值的总 体均数μd应该为0或某一规定值 可将配对设计资料的t检验视为样本均 数与给定的总体均数的比较
检验统计量
d d t sd / n
其中，n为对子数，
第五章 统计推断
§5.1 §5.2 概述 假设检验
1. 基本原理和有关概念
2. 统计假设检验的基本程序
3. u检验
4. t检验
5. Х 2检验
6. F检验
§5.3 参数估计
1. 点估计
2. 区间估计 §5.4 拟合优度检验
§5.1 概述
总体与样本之间的关系
从总体到样本的研究 随机变量的统计分布率 抽样分布 从样本到总体的研究 统计推断Statistical inference 以各种样本统计量的抽样分布为基础， 由样本推断总体
比较：u=1.82>uα(1.645)，落入拒绝域内 结论：应该在0.05的显著性水平上拒绝H0 而接受H1，即这批动物的饲养时间过长， 体重超标，不宜用于实验。
U检验 （u-test)－2
成组设计的两样本均数比较
前提条件：从σi 已知的两个正态或近似正 态总体中，独立地抽取含量分别为n1和n2 的样本
s12=454.75 , s 22=425.33
t f t n1 n2 2

120 101 1.891 11 457.45 6 425.33 1 1 ( ) 11 6 12 7
比较：t=1.891<2.110，落入拒绝域外 结论：在0.05的显著性水平下，可以认
小概率原理
基本内容：小概率的事件在一次试验中几 乎是不会发生的。若根据一定的假设计算 出来该事件发生的概率很小，而在一次试 验中它竟然发生了，则可以认为假设的条 件不成立，应否定假设 检验统计量 Test statistic：在统计假设检 验中使用的统计量。如统计量u, t, F, х2 等
显著性检验 Significance test
H0：μ1＝μ2
H1： 1 2 ，若已知μ1不可能小于μ2
or: 1 2 ，若已知μ1不可能大于μ2
or:
1 2
，包括μ1>μ2和μ1<μ2
检验统计量：
x1 x 2 u 2 2 1 / n1 2 / n2 ( x1 x 2 )
x1 x 2
根据小概率原理所建立起来的统计检验方法
显著性水平Significance level
在统计假设检验中所规定的小概率，记为α
究竟小到什么程度算是小概率，要根据 实际情况或实验要求而定 通常规定为5％或1％
单侧检验与双侧检验
拒绝域与接受域 Rejection/Acceptance region
在H0成立的情况下，检验统计量取值概率 为α的取值区间称为拒绝域；拒绝域以外的 取值区间相应地称为接受域
统计推断的两条途径
统计假设检验 Statistical test of hypothesis 对所估计的总体提出一个假设 通过样本数据推断该假设是否可以接受 若可以接受，样本很可能来自这个总体 否则，很可能不是来自这个总体
总体参数估计 Estimation of population parameter 通过样本统计量估计总体参数
为两组大鼠的增重差别无统计学意义，
即两种饲料对大鼠体重增加无显著性
差别
t检验-3 (t-test for matched data) 配对设计的显著性检验
配对设计试验的三种情况
将受试对象按一定条件配成对子（如同种属、同 体重、同年龄、同性别等），再随机分配每对中 的两个受试对象到不同的处理组 同一受试对象分别接受两种不同处理，其目的是 推断两种处理的效果有无差别 同一受试对象处理前后的比较，其目的是推断某 种处理有无作用
临界值tα可由t分布表查出
比较统计量的计算值与临界值的相对大 小，作出统计结论
T检验应用举例1
问题：某单位26名男性司机的脉搏平均数是73.7 次/min，标准差为8.8次/min。可否据此认为男性 汽车司机的脉搏数高于一般男性脉搏数（72次 /min）？ 解：H0：μ＝μ0
H1：μ>μ0 ，单侧检验
取α＝0.05，查表得单侧临界值
tα,f=t0.05,25＝1.708
拒绝域：t>1.708
根据样本计算统计量
x 0 73.7 72.0 t 0.985 s/ n 8.8 / 26
比较：t=0.985<tα(1.708)，落入拒绝域外
结论：应该在0.05的显著性水平上接受H0， 根据本资料尚不能认为男性汽车司机的脉 搏数显著高于一般男性。