虚位移原理(2012pdf)
18第十三章 虚位移原理
曲柄连杆机构
xA2 yA2 r2 (xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质 点系，其自由度为
k 3n s
通常，n 与 s 很大而k很小。为了确定质点系的位置， 用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角 坐标和s个约束方程方便得多。
sin 1 cos1
l2
cos 2
y B l1 sin 1 l2 sin 2
第十三章 虚位移原理
13.1 虚位移的基本概念 约束和约束方程 约束的分类 自由度 广义坐标
刘习军
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
约束和约束方程 自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只
取决于作用力和运动的起始条件。 其运动称为自由运动。 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定
因此自由度数为 k 2 2 3 1 为广义坐标
xA r cos yA r sin
xB r cos l cos
sin r sin
l
Ψ
Theoretical Mechanics
第十三章 虚位移原理
刘习军
若用刚体作为基本单元
设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。 刚体有3N个线位移坐标（直角坐标系的三个直 角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角）， 共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置； 确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度
其自由度为 k=3n-s 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立 坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称 为自由度。
虚位移原理1.pdf
f (ri ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s
以积分的约束
y
非完整约束 — 约束方程包含质点速度、且约束方程不可
i ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s f ( ri , r
3n-s 6n-s
2n-s 3n-s
双摆
单摆
(约束: xo=0, yo=0)
按质点系(A , B): 2×2 - 2 = 2 按刚体系(OA, AB): 3×2 - 4 = 2
(约束: xol1=0, yol1=0; xAl1=xAl2, yAl1=yAl2)
判断自由度数的 实用方法:
① 固定质点系中任意质点 或刚体的任一方向的运动， 若其他质点和刚体都不会运 动，则自由度为1，如图；
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程可以写成不等式的约束。
O l A A0 y x O x
单面约束还是双面约束？ 约束方程？ l
A A0 y
x y l (双面约束)
2 2 2
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
完整约束与非完整约
完整约束 — 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速
虚位移(功)原理
Principle of Virtual Work
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等 等）只取决于作用力和运动的起始条件 ——其运动称为自由运动 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预 先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些 限制条件） ——其运动称为非自由运动
约束(Kinematic Constraints) 的运动学分类
5-3虚位移原理
出现任何约束反力。
虚位移原理给出了区别质系的真实平衡位置与约
束所容许的可能平衡位置的准则或判据 。
虚位移原理可求解质系的各类平衡问题：
系统在给定位置平衡时主动力之间的关系
求系统在已知主动力作用下的平衡位置 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力
解题步骤
1. 确定研究对象：整体 2. 约束分析：是否理想约束？ 3. 受力分析：
作用三个力 Pi ，求平衡时 Pi 与 Si (i 1,2,3) 的关系 (设液体为不可压缩的)。
P1
P2
S2
S3
S1
Байду номын сангаас
P3
无穷多个质点组成的非刚体的平衡
解
塞i 的虚位移为 δri ，方向如图。 液体不可压缩
δr3
S δr 0
i 1 i i
3
P1
P2
1 ( S1δr1 S 2δr2 ) S3
(P 1 P 2 )δr 2 W P 1 (tan tan ) δr 3y 0
P 1 P 2
W P 1 (tan tan )
P1
δr1
1
3
δr2
2
P2
W δr3
例4
在压缩机的手轮上作用一力矩 M。手轮轴的两端各 有螺距同为 h、但螺纹方向相反的螺母 A 和 B，这两 个螺母分别与长为 a 的杆相铰接，四杆形成菱形框， 如图所示。 此菱形框的点 D固定 不动，而点C连接在 压缩机的水平压板上。 求当菱形框的顶角等 于2 时，压缩机对被 压物体的压力。
例5
已知：a, P, M; 求：约束反力NB
a
a
M A
虚位移原理
约束及其分类
O θ l
y
在约束方程中用严格的等号表示的约束为双 面约束.这种约束如能限制物体向某一方向运动 这种约束如能限制物体向某一方向运动, 面约束 这种约束如能限制物体向某一方向运动 则必能限制向相反方向运动. 则必能限制向相反方向运动
O θ l y
A(x,y) x
左图中摆锤A的约束方程为 x2 + y2 ≤ l 2
n
∑ Ni δri = 0
i =1
Theoretical Mechanics
§ 15-1 约束虚位移虚功 15- 约束虚位移 (2)光滑接触面
N
光滑接触面的约束反力恒垂直 δr 于接触面的切面 , 而被约束质点的 虚位移总是沿着切面的 , 即N ⊥ δr ∴ Nδr = 0 (3)连接两刚体的光滑铰链 δr N
y
C
B
y
A
θ
x
x
rB = (x + l cosθ) i + (y + l sinθ) j rC = [x + l cos(θ+60o)] i + [y + l sin(θ+60o)] j 显然用三根长为 l 的刚杆铰接的三角形结构可 以视为一根刚杆.
Theoretical Mechanics
§ 15-1 约束虚位移虚功 15- 约束虚位移
Theoretical Mechanics
§ 15-1 约束虚位移虚功 15- 约束虚位移
例题15-6.物块B搁置于三棱体A上,摩擦不计.画出 系统由静止开始运动后物块B的实位移和虚位移.
δr δr A
dr A
对于非定常约束 , 由于它的位置或形状随时 间而改变 ,而虚位移与时间无关 , 实位移却与时 间有关 ,所以微小的实位移不再是虚位移之一.
理论力学-虚位移原理
第六章 虚位移原理
§6-3 虚位移·自由度
虚位移
虚位移与实位移的区别：
●与实际发生的微小位移（简称实位移）不同，虚位移是纯 粹几何概念，是假想位移，只是用来反映约束在给定瞬时的 性质。它与质点系是否实际发生运动无关，不涉及运动时间、 主动力和运动初始条件。
●虚位移仅与约束条件有关，在不破坏约束情况下，具有任 意性。而实位移是在一定时间内真正实现的位移，具有确定 的方向，它除了与约束条件有关外，还与时间、主动力以及 运动的初始条件有关。
按照约束对质点系运动限制的不同情况，可将约束分类如下：
1.完整约束和非完整约束
其约束方程的一般形式为
fj( x 1 ,y 1 ,z 1 ;..x n , .y n ;,z n ;x 1 ,y 1 ,z 1 ,..x n. ,y n ;,zn;t)0 (j1,2,...s,)
式中n为系统中质点的个数，s为约束方程的数目。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
虚位移原理是质点系静力学的普遍原理，它将 给出任意质点系平衡的充要条件，这和刚体静力学 的平衡条件不同，在那里给出的刚体平衡的充要条 件，对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并 不是充分的（参阅刚化原理）。
第六章 虚位移原理
§6-1 概 述
非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的 平衡。约束的作用在于：
fj(x 1 ,y 1 ,z 1 ;.x .n ,.y n ;,z n ;t) 0 (j1,2,..s.),
第六章 虚位移原理
§6-2 约束和约束方程
1. 完整约束和非完整约束
y
A
完整约束
约束方程：
x
yA r
虚位移原理
1 1 3 2 Q Q M 0 2 2 4 l
FA 850 N
P
Q
Q
M
rE
A B C D
若求 E处支座反力, 则 系统的虚位移分析如 图示.
FE
l 4
E
q=400N/m , P = 200N .
M = 200 m.N . l = 8m
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
第十五章 虚位移原理
虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意 思是‘ 可能的位移’. 不管是‘ 虚’ 也好, 还 是‘ 可能 ’ 也好, 它的力学含义是: 仅为约束 条件所允许的位移.
引言
质点被约束在某一平面上, 其 上有力的作用.
显然, 在此平面上有无限多为 约束所允许的 位移.
FBx B F1'yC F1yG FyG 0
式中 F1 = F1'= kδ0
2 FB l sin k 0 l cos 3k 0 l cos 3 Fl cos 0 FB 3 Fctg k 0 ctg 2
F1
y
在图示坐标下 E
D
F1'
k
yG 3l sin yC l sin x B 2 l cos
ix
·C A θ θ B
( F
FB
x
x i Fiy yi ) 0
yG 3l cos yC l cos x B 2l sin
f ( xi , yi , zi ) 0 或
f ( x, y, z ) 0
2. 虚位移
定义: 在给定瞬时, 质点系在约束条件允许下所能实现的任意假想 的无限小的位移.
虚位移原理
第十三章虚位移原理一、约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件用数学方程表示，称为约束方程。
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
222ly x =+①几何约束和运动约束如§13-1 约束·虚位移·虚功s二、虚位移在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的假想位移称为虚位移。
虚位移ϕδ,δδr等,x实位移ϕr等d xd,d,虚位移与实位移异同：二者都要符合约束条件，被约束许可。
实位移是在一定主动力作用、一定起始条件下和一定的时间间隔dt内发生的位移，其方向是唯一的；而虚位移不涉及有无主动力，也与起始条件无关，是假想发生、而实际并未发生的位移，所以不需经历时间过程，其方向至少有两组，甚至无穷多对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。
解析式为()∑=++0i zi i yi i xi z F y F x F δδδ求：机构平衡时加在被压物体上的力。
例13 -1如图所示，在螺旋压榨机的手柄AB 上作用一在水平面内的力偶()，其力偶矩M=2Fl ，螺杆的导程为h 。
F F ′,②给虚位移,,s δϕδ02=+−=∑ϕδδδFl s F W N F 满足如下关系：s δϕδ与h s δπϕδ=2∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=022ϕδπδh F Fl W N F 是任意的因ϕδ，故0h F Fl 2N =−F l F π4=解：①确定研究对象,画受力图。
手柄、螺杆、压板为研究对象，忽略摩擦，则约束是理想的。
受力如图。
例13-2图中所示结构，各杆自重不计，在Ｇ点作用一铅直向上的力Ｆ，GE=====DGAC=CBCECD求：支座Ｂ的水平约束力。
解:解除B 端水平约束,以力代替,如图(b)BxBx F θδθδδθδθθδδδcos 3,sin 2sin 3,cos 20l y l x l y l x y F x F w G B G B G B Bx F =−====+=()0l 3F l 2F Bx =⋅+−θδθθδθcos sin θFctg 23F Bx =代入虚功方程cos 3cos 3cos sin 2(00=+−+−θθδθδδθδθδθδθl F l k l k l F Bx 30=⋅+⋅−⋅+⋅===G G G C C B Bx F G C y F y F y F x F W k F F δδδδδδθδθδθδθδθδθδθθθcos 3,cos ,sin 2sin 3,sin ,cos 2l y l y l x l y l y l x G C B G C B ==−====如图在CG 间加一弹簧，刚度K ，且已有伸长量仍求。
虚位移原理
xA r cos y r sin A 2 2 2 x r cos l r sin B y 0 B
2. 虚位移
满足约束方程 f f x1, y1, z1, , t 的无限小位移称为质点系的 可能位移。
（1）. 实位移
质点系实际发生的微小位移称为实位移。
y A (l cos ), xB (l sin )
F1y A F2xB 0
但
(F1 cos F2 sin )l 0
0
由此得
( F1 cos F2 sin ) 0
F1 F2 tan
解二：(几何法) 选择并画出点A 和 B的虚速度，则可得到虚速度瞬心C及虚角 速度δω 。 v A (l cos )
例1 已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平 面内的力偶( F , F ),其力矩 M 2Fl ,螺杆 的导程为 h . 求：机构平衡时加在被压物体上的力.
解: 以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象 受力如图.
给虚位移 与 s
F
F'
s
W F FN s 2Fl 0
微分——由于自变量的微增量而引起的函数微增量。
变分——自变量不变，仅由于函数本身的微小改变而得到的 函数的改变。 变分与微分的运算法则相似。且
r xi yj zk
q
q
dq
q q t q t
q q t
t t dt
t
虚位移 r , x, 等
F1 F2 tan
用虚位移原理求解的两种方法
①、几何法 在定常约束条件下，实位移是虚位移的一种，可用求速 度的方法来求各点的虚位移。 对结构复杂运动简单机构可用几何法。 ②、解析法 先将各质点的坐标表示为广义坐标的函数，再对其进行 变分，即求得虚位移在坐标轴上的投影。 对运动复杂结构简单（如对称）机构可用解析法。
7虚位移原理
二. 虚位移的定义
虚位移定义为：在给定瞬时，质点或质点系在约束许可的 条件下，可能实现的任何微小位移。
◆ 虚位移必须是微小量，是无穷小量。 ◆ 虚位移必须是约束允许的。 ◆ 虚位移是针对给定瞬时。因为在不同瞬时，构成约束的 物体具有不同的位置或形状。 ●虚位移可以是线位移，也可以是角位移。
●虚位移记号“ ”是数学上的等时变分符号，求变分时， 把时间“冻结”，t=0. 我们只讨论稳定约束，约束方程中不 含时间t ，因此，变分的计算与微分的计算完全一样。 ▲真实位移 ——实际发生的位移 ,它同时满足动力学方程、 初始条件和约束条件。 ▲可能位移——约束允许的位移，它只需满足约束条件。
约束方程：
y0
x2 y2 z2 l 2
§7-3 虚位移
一. ―虚位移”概念的引入 二. 虚位移的定义 三. 变分、微分的区别 四. 虚位移与实位移的区别 五. 自由度
§7-3 虚位移
一. ―虚位移”概念的引入
在静平衡问题中，质点系中各质点 都静止不动。我们设想，在某质点约束 允许的条件下，给它一个假想的极其微 小的位移。
三.变分、微分的区别？
● 微分是由于自变量的微小增量而引起的函数的微小增量。 ● 变分是由于函数本身的微小改变而引起的泛函数的改变。
( 泛函：函数、点、数的集合。定义域推广：函数、实数集合。)
● 等时变分：等时变分运算与微分运算类似，但t=0。 给定瞬时，时间“冻结”。 ● 求泛函的极值即变分问题。泛函的极值是某一函数。
约束实例
球面摆
y
O θ
l M
x
点M被限制在以固定点O
为球心、 l 为半径的球面上
z
x y z l
2 2 2
虚位移原理1-39页PPT精品文档
F1aF2b0 （a）
s1a tgs2btg
F1与F2在相应位移上的功之和：
F1S1F2S2 0
（b）
（b）
条件（a）和条件（b）是等价的
猜想： 力平衡条件
虚位移
虚功
力在微小位移中所作的功来建立
虚位移原理
虚位移原理
用动力学方法建立受约束质点系平衡条件
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的
(c)FNi 0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；
(d)
n
FNi
ri
0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。
i1
二、虚位移原理（虚功原理）
具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。
w n Fi ri 0
f j x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , x 1 ,y 1 , z 1 , , x n ,y n , z n , t 0
j1,2,,s s为系统中的约束数目
5、应用实例 1.单面非完整约束应用实例---齿轮啮合 2.单面非完整约束应用实例---摩擦系统 3.单面几何约束应用实例----悬挂结构
i1
n
w (F xixiF yiyiF zizi)0 —解析式
i 1
证明：
（1）必要性
Fi FNi0
命题：如质点系平衡，则上式成立。
（ F iF N ） i r i 0
n(F i F N )i r inF ir inF Nir i 0
第17章 虚位移原理
（2）给机构一组虚位移：手柄、螺杆
FN
的角位移和压板的线位移 。rC
（3）建立虚功方程： 2Fl FN rC 0
（4）建立虚位移和 间rC的关系： / 2 δ rC / h
所以： rC h / 2
（5）将虚位移间的关系代入虚功方程，求解：
2Fl FN h 0
2
FN
4
h
F
y A
rA vA FA
O
FB B
例：图示椭圆规机构，连 杆AB长为l，杆、滑块的 重量和滑道、铰链上的摩 擦力忽略不计。求在图示 位置平衡时，主动力FA和 x FB之间的关系。
vB
rB
解：（1）取整个机构组成质点系，理想约束。
虚位移原理：对于具有理想约束的静止质点系，其平衡 条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位 移上的虚功之和等于零。
注：以上只是质点系平衡的必要条件，利用反证法 也可证明该条件也是质点系平衡的充分条件。
例如： 2F AO l
2F O
rA A
F
B rB 2rA
2l
WA 2F rA
F
WB F rB
k Ns
x
l
y
l
M
y
A
B
O
xA A
o
x
l
y
M
xA sin t
确定系统的 x 自由度和
广义坐标
四、虚位移
虚位移：在某瞬时，质点或质点系在约束所允许的 条件下，可能实现的任何无限小位移，称为虚位移， 又称为可能位移。以δr、 δθ 等表示。
A
A
O
B
O
B
A
rA
rA A
O
第14章 虚位移原理
实例
C
y r C M M o
ω vC
x
xC P
于是，轮C在水平轨道上纯滚动的条件表达为
瞬心
yC = r vC－rω=0
yC = r
或
dxC d r 0 dt dt
运动约束方程
⒉定常约束和非定常约束 定常约束 ------约束方程中不显含时间 t的约束 。 f (x , y , z ) = 0 如 稳定约束 非定常约束 ------约束方程中显含时间 t的约束。 不稳定约束
如
f (x , y , z ，t )=0
o x
前面所列的单摆、曲柄连杆机构 及车轮的约束均为定常约束； 而对于变摆长的单摆则为非定常约束。
v
l
其中摆锤M可简化为质点，软 y M 线是摆锤的约束，初始长度为l0， 穿过固定的小圆环，以不变的 在任意瞬时t，其约束方程为 速度v向左下方拉拽。 2 2 2
xA2 y A2 r 2
x2 y 2 l 2
yB 0
( xA xB )2 ( y A yB )2 l 2
运动约束 ---当质点系运动时受到的某些运动 条件 的限制称为运动约束。
即：这种约束对质点或质点系不仅 有位移方面的限制，而且有速度或 角速度方面的限制。 如车轮在直线轨道上作纯滚动， 轨道限制轮心作直线运动， 且滚过的弧长等于轮心走过 的距离。
非自由质点系受到的预先给定的限制称为约束。
约束方程
用数学方程来表示的限制条件称为约束方程。
如
f ( x, y, z, x, y, z, t ) 0
约束的分类
⒈几何约束和运动约束 几何约束 ---只限制质点或质点系在空间的位 置， 这种约束称为几何约束。
虚位移原理及其简单应用
BO杆的速度瞬心，故有
δrB
CB CO
δrO
2l sin
l
δrO
2l sinδ
目录
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
应用虚位移原理，有
FδrO cos FBδrB 0
即
Fl cosδ 2FBl sinδ 0
得
FB
F 2
cot
目录
目录
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
1.3 虚位移原理的简单应用
应用虚位移原理解决具有理想约束的质点系的平衡问题时，可 以不必考虑约束力，只需考虑主动力，这样问题的求解过程就大为 简化了。因此，对于受理想约束的复杂刚体系的平衡问题，应用虚 位移原理求解比用静力学方法更为方便。
应当指出，对于非理想约束的情况，例如考虑摩擦时，可以把 摩擦力当作主动力来处理，虚位移原理仍然适用。
目录
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
下面证明这个原理。先证明上述条件是必要的，再证明它是充 分的。
（1）必要性的证明
设质点系在某一位置处于平衡，需要证明
在这个位置的任何虚位移中所有主动力所作 虚功之和对于零。现研究系统内任一质点Mi （如图），作用于该质点上的主动力的合力 为Fi ，约束力的合力为FNi 。因为系统处于平 衡，故该质点也处于平衡，从而有
虚位移原理\虚位移原理及其简单应用
方法2：设给杆AO以图示
虚转角转动，则O点的虚位 移rO的大小为rO＝l 。又因
C点为BO杆的速度瞬心，故有
rB
CB CO
rO
2l sin
l
rO
2l sin
应用虚位移原理，有
第十四章 虚位移原理
M FvC 0
B点虚速度关系：
va ve vr
h ve OB sin ve h va vC 2 sin sin Fh M 2 sin
B v r M O
h
PAG 24
Northeastern University
⑶ 列虚功方程
y
F
G E C
D
FyG FBxxB 0
F (3l cos )
B
FBx (2l sin ) ) 0 A
3 FBx F cot θ 2
FBx
x
（二）CG间弹簧的刚度系数为k,图示位置弹簧已伸长δ0,求 FBx
PAG 21
Northeastern University
解：⑴ 取系统为研究对象,受力分析 约束为理想约束 ⑵ 给一组虚位移 B点虚位移关系?
A B
h
rC
C
F
M
O
M F rC 0
PAG 23
Northeastern University
§14-2
虚位移原理
va
ve
M F rC 0
A
vC
F
WN FNi ri 0
PAG 12
Northeastern University
§14-1
约束 ·虚位移 ·虚功
2、光滑铰链 F
1、光滑支承面 P r FN WN FN r 0
r '
' WN F r F r 0
F
3、无重刚杆
《动力学》第十五章节 虚位移原理
§15–1 约束• 虚位移• 虚功§15–2 虚位移原理第十五章虚位移原理在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它应用功的概念分析系统的平衡问题。
从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。
该原理叫做虚位移原理。
它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径；不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。
§15-1约束• 虚位移• 虚功平面单摆222lyx=+曲柄连杆机构222ryx AA=+,)()(222==-+-BABABylyyxx例如：即限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。
表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。
（1）几何约束和运动约束1．约束及其分类下面从不同角度对约束分类。
如图所示，质点M 在固定曲面上运动，其曲面方程就是该质点的约束方程，即o),,( z y x f 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
如前述的平面单摆和曲柄连杆机构中的限制条件都是几何约束。
当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束 。
如图所示，车轮作纯滚动。
几何约束r y A = 运动约束 00=-=-ϕω r xr v A A 或 当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这类约束称为非定常约束。
（2）定常约束和非定常约束约束条件不随时间改变的约束为定常约束。
定常约束方程中不显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。
2022)(vt l y x -=+ 例如右图，重物M 由一条穿过固定圆环的细绳系住。
初始时摆长 l 0 , 匀速v 拉动绳子。
约束方程为动力学第十五章虚位移原理非定常约束（3）其他约束若约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束），而且方程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，这类约束称为非完整约束。
第十四章虚位移原理
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
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§14–2 自由度和广义坐标
一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度， 取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标 及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1, q2 , , qk ) yi yi (q1, q2 , , qk ) zi zi (q1, q2 , , qk ) ri ri (q1, q2 , , qk )
和s个约束方程方便得多。
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§14–2 自由度和广义坐标
二、广义坐标
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,
y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束
情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
例1：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
§14–1 约束和约束方程
2、定常约束和非定常约束
定常约束(稳定约束）：约f j束(x方i ,程yi中, z不i ,显x含i , 时yi间, zti。) ()0 非定常约束(非稳定约f j束(x）i ,：y约i ,束zi方, x程i ,中y显i , 含zi ,时t)间t。()0
y
A
r
l
B
O
x
(xB xA )2 ( yB yA )2 l 2
x2 y2 l2
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x2 y2 l2
§14–1 约束和约束方程
双面约束
单面约束
本章我们主要研究完整的、定常的、双面约束。
约束方程一般形式为：
f (x1, y1, z1, , xn , yn , zn ) 0
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3、四连杆机构，OA=a
2
2l
+
x=
y
双面约束2
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δϕ
δϕδr
δr
有限个
A
cos(
δδr r A
y x
关键找虚位移的关系
思考题1 四连杆机构的虚位移有四种画法，其中正确的是：
答：正确的是：（1、4）
17
1
ϕδ2
ϕδA
r δ1
ϕδB
r δr
r δ1
2ϕδd ⋅2ϕδd ⋅0
45cos 2⋅⋅=⋅ϕϕδd δd 1
2100δϕ=A r δr δr δ3
,0−=∑F M W δδθδ =30cos :C B r r CB δδ,10
1
30sin 800tan =°+=BC OE ϕ,0F =⇒≠δθ【解】几何法（虚速度法）
δθ
δ⋅=OE r OE E :c
r δE
r δB
r G
r δϕδ)30cos( :C r CE +°B
G r r AB δδ3
2 :=δθ
ϕ
,71.5=ϕδ=⇒G r 找δθ、δr G 关系：
()0
75.70=−δθF M
A C
G
F
θ
θ
23
、用虚位移原理求F Bx ；、整体用平衡方程求F Ax 、F Ay 和F 采用解析法
F 1F 3
F 2
M 1
M 2
Ay
F C
r δL
r δδθ
N
r δA
r δδϕ
Ay
F C
r δL
r δδθ
N
r δA
r δδϕ
△此时AC、CD都是定轴转动。
△注意分布载荷作用在两个刚体上，应分别求BC、CD段分
布载荷的合力Q
1、Q2，其作用点的虚位移不同。
△采用虚速度法
F
2α
F
29
桁架，已知：。
的定轴转相当三角板，平面运动。
()
cos 290cos cos 40
=⋅+−⋅′−αδαδαE D r F r F。
本题不能用解析法，因为无法写出各力作用点的坐标表达式。
rδrδ
rδ
α
31
思考题：求内力
P
3(
,011−++=∑F y F y P W P δδδF 1F 2
δθ,cos 211y l y −==θ
()()(26 ,01+−+−⇒≠F P δθδθ,cos 6y l y P P ==δθ,cos 422y l y ==设杆长为l
F AC
F AC
F CD
F CD B
r δB
r δδC r δ60cos 60cos °−°r F r F δδ60cos +°r F r F δδ60
60。