二次函数中的数学思想
数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用
数学思想方法在初中二次函数综合问题中的运用摘要：数形结合、方程与函数、建模思想、分类讨论、整体思想、转化化归以及待定系数法、配方法、消元法等都是初中阶段核心的思想方法。
二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，掌握思想方法，在解题中的运用技巧，整合所学的知识，能提高分析问题和解决问题的能力。
关键词：二次函数综合问题数学思想方法中图分类号：g633.6 文献标识码： c 文章编号：1672-1578（2012）10-0087-02函数是“数与代数”领域的核心内容，更是难点所在。
二次函数综合问题中，蕴含的数学思想方法集中，涉及到的知识点多，能充分体现学生获取数学信息以及运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力，因而成为广大师生关注的热点问题。
解函数综合问题，要善于借助点的坐标将线段和函数解析式结合起来，通过计算和证明是正确求解的关键。
本文以2011年施恩自治州中考数学题为例予以分析。
1 数学实例【题】：如图，在平面直角坐标系中，直线ac：y=■x+8与x轴交与点a，与y轴交与点c，抛物线y=ɑx2+bx+c过点a、点c，且与x轴的另一交点为b（x0，0），其中x0>0，又点p是抛物线的对称轴l上一动点。
⑴求点a的坐标，并在图1中的上找一点p0，使p0到点a与点c的距离之和最小；⑵若△pac周长的最小值为10+2■，求抛物线的解析式及顶点n 的坐标；⑶如图2，在线段co上有一动点m以每秒2个单位的速度从点c向点o移动（m不与端点c、o重合），过点m作mh∥cb交x轴与点h，设m移动的时间为t秒，试把△p0hm的面积s表示成时间t 的函数，当t为何值时，s有最大值，并求出最大值；⑷在⑶的条件下，当s=■时，过m作x轴的平行线交抛物线于e、f两点，问：过e、f、c三点的圆与直线cn能否相切于点c？请证明你的结论。
解：⑴直线ac与x轴的交点为a，令y=0得，x=-6，即点a（-6，0）；如图1，连接cb与直线l交于点p0即为所求。
例析二次函数问题解决的基本思想_分类讨论和数形结合
时
，M(a)∈(-
2 a
,0)（ 注 ：
M(a)在对称轴右边 ），所 以 f[M(a)]=-4，令 ax2+4x-2=-4，
解
得
x=
-2±
姨4-2a a
，故
M(a)=
-2+
姨4-2a a
；
（2）
当
-2-
4 a
≥-4，
即 a≥2 时 ，
M(a)<- 2 a
（注：
M(a)在对称轴 左 边 ）， 所 以 f[M(a)]=4，令 ax2+4x-2=-4，
题．
下面， 我们从一个具体例子出发， 给同学们详细
分析一下解决的基本过程．
例题． 已知函数 f(x)=3x2+a，g(x)=2ax+1(a∈R)．
（I） 证 明 ： 方 程 f(x)=g(x)恒 有 两 个 不 相 等 的 实 数
根；
（II） 若 函 数 f(x)在(0,2)上 无 零 点 ， 请 你 探 究 函 数
责任编校 徐国坚
高中 2011 年第 5 期
17
数学有数
点拨
例析二次函数问题解决的基本思想 —— —分类讨论和数形结合
■俞新龙
二次函数问题是同学们初中重点解决的一类函数
问题， 有范围限制的二次函数问题 （包括换元后可化
为二次函数） 是高中一类比较重要的函数问题， 此类
问题比同学们初中遇到的难度要大， 因此， 同学们经
常会感觉处理起来比较难．其实， 该类问题的解决还
优越性．
变式 1：
设
f(x)=1-
2 2x+1
，方程 f(x2-2x-a)=0 在(0,3)
数学思想方法妙解二次函数
Ａ 一 Ｂ 了’
（ ）因为点Ｅ 轴 上 ， △ ２ 在 ＳＡ ，
＼ ／
＼／ ０
Ｄ
形 巾某 些位 置 关 系所 隐含 的 等 量 关
系（ 线段和差、 面积和差、 相似三角形
对 应边成 比例 ）等构造 方程．通过 将
图形 的 变换 、 元 二 次方 程 、 何 问 一 几 题综 合进 二 次 函数 中 ． 以解答 题 的形
戆 ｌ 考数字公开
同 ， 点的 标 （ ， 理 当 Ｅ坐 为 —。 一 ） ８
（ ） 使 广 告 美 观 ， 户 要 求 把 ３为 客
业额 均较高 ？
（ ）每 台 彩 电 的 利 润 是 １ （ ９ ０ ｌ Ｏ 一 ０ ０ 元 ， 天 销 售 （＋ ３０ 一Ｏｘ ３ ０ ） 每 ６ ３ ） ，ｌ＝ ３ ０ － ０ｘ ３ ０ ）６ ３ ） ｘ 台 ￣ ｙ （９ ０ １０ － ０ ０ （＋ ＝ ， Ｊ
它做 成矩 形 的长是 宽 与 （ 宽 ） 比 长＋ 的 例 中项 ， 时 的设 计 费 是多 少 （ 确 此 精
到 １ ） 兀 ？ （） １ 因为 周 长 为 ｌ 米 ， 边 ２ 一
长 为 ． 以 矩 形 此 边 的邻 边 长 为 （ 一 米 所 ６
时 卅 ． ，西蔷 ｙ６
在 △ＡＤ Ｅ中 ， ＡＯ ＝ ０ ， ： ， Ｅ ９。 ４
ｆ ｋｂ ， ， ４ ｌｏ － ＋ ｉ ＇ ， － ￣ｔ ￣ － ｒ
： ６ 若 Ｏ Ｏ 的长 是关 于 ， Ａ， Ｂ 的二 次 函数
ｙ ｘ— ｘ １ 所 对 应 的 方 程 的 两 个 根 ， ＝ ２７ ＋ ２
：
辱
．
且 ０ ０且 ＞
５
（ ） ＜ 时 ， 线 ｙ ａ ＋ ￣ 左 向 ２ 当Ⅱ ０ 直 ＝ｘ ｌ 右 是 下 降 的 ．此 时 抛 物 线 的 开 口 向
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用在数学学习过程中，数学思想方法是十分重要的，可以帮助学生建立正确的数学思想、方法和知识体系。
当我们学习二次函数时，掌握数学思想方法是非常有必要的。
本文将从以下几个方面来探讨数学思想方法在二次函数中的应用。
1.图象法在学习二次函数时，我们可以通过画出函数的图象来理解其性质和特点。
图象方法的优点在于可以使学生通过可视化方法来认识二次函数的图像特征。
例如，对于一个一般二次函数y=ax²+bx+c，我们可以通过绘制抛物线图像来研究它的性质。
通过观察图象的拐点、对称轴、焦点、准线等特征，可以深刻理解二次函数在不同情境下的变化规律，更好地掌握二次函数的知识。
2.化归法二次函数化归是学习二次函数时必须掌握的方法。
通过将二次函数化为标准式或顶点式，可以减少计算量，使问题更加清晰明了。
化归法的优点在于可以帮助我们把抛物线的焦点、准线等重要信息表达得更清晰，同时也可以提高计算的准确性和速度。
3.交点求解法掌握二次函数的交点求解方法可以方便解决几何等问题。
通过求解两个函数（可能是直线与抛物线，也可能是两条抛物线）的交点坐标，可以求出相应的因式及其对应的根。
可以通过画图或利用方程组来求解交点坐标，进而得到解题的答案。
4.极值法在掌握化归法使二次函数化为顶点式的前提下，极值法可以帮助我们更快地找到二次函数的最值。
极值法的基本思路是，通过求得二次函数的顶点来获得函数的最值。
当然，也可以通过解方程求得函数的最值。
通过这种方法，我们可以更快地求出二次函数在特定条件下的最大值或最小值。
5.因式分解法在学习二次函数的过程中，因式分解法也很有用。
通过将二次函数化为(x+a)(x+b)的形式，我们可以轻松地求出零点、对称轴和拐点等特征。
同时，因式分解法还可以帮助我们更好地理解二次函数，尤其是对于不同系数的情况下函数的变化规律。
综上所述，数学思想方法在二次函数中的应用是非常广泛的，包括图象法、化归法、交点求解法、极值法和因式分解法等等。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学是一门研究数量，结构，空间以及变化等概念的学科。
在数学中，二次函数和一次函数是两个重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
本文将介绍如何运用数学思想解决二次函数、一次函数以及方程等综合问题。
首先让我们来回顾一下二次函数和一次函数的定义。
二次函数是指形如f(x)=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数，且a≠0。
二次函数的图像通常是一个抛物线。
在解析几何中，二次函数也可表示为二次曲线的方程。
解决二次函数和一次函数问题的关键是要理解函数的性质和图像的特点。
下面我们将给出一些实际问题，并运用数学思想解决这些问题。
问题一：一辆汽车行驶的距离与时间的关系可以用一次函数来表示。
已知一辆汽车行驶1小时可以行驶80公里，行驶5小时可以行驶多少公里？解决方法：根据题目中所给的信息，可以得到一次函数的表达式为f(x)=80x，其中x表示行驶的时间，f(x)表示行驶的距离。
根据一次函数的性质，我们可以算出行驶5小时可以行驶的距离为f(5)=80×5=400公里。
问题二：一个球从离地面10米的地方自由下落，设t表示下落的时间（秒），可知球下落的高度与下落的时间t的关系可以用二次函数来表示。
球下落的高度与时间的关系式是h(t)=-4.9t²+10，其中h(t)表示球的下落的高度。
求解以下问题：1) 球下落1秒的高度是多少？2) 球从离地面10米的地方自由下落，球何时落地？解决方法：1) 根据题目中所给的二次函数的表达式，可以算出球下落1秒的高度为h(1)=-4.9×1²+10=5.1米。
2) 球何时落地意味着球的高度为0，根据二次函数的性质，我们可以将h(t)置为0，解方程-4.9t²+10=0。
通过求解这个方程，可以得到t≈1.45秒。
所以球大约在1.45秒时落地。
通过以上两个问题的解答，我们可以看到，在实际问题中，运用数学思想能够帮助我们解决各种类型的问题。
深入浅出二次函数核心思想
深入浅出二次函数核心思想二次函数是数学中经常遇到的一种函数形式，具有许多特殊的性质和重要的应用。
本文将深入浅出地探讨二次函数的核心思想，包括函数的定义、性质、图像、相关定理以及实际应用，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是一个以自变量的平方为最高次幂的函数，一般表达式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c都是实数，且a不等于0。
二次函数的定义域是全体实数集，值域则取决于二次项系数a的符号。
二次函数的性质包括：- 对称性：二次函数关于抛物线的对称轴对称。
- 单调性：当二次项系数a大于0时，函数开口向上，为上凹函数；当a小于0时，函数开口向下，为下凹函数。
- 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来确定。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由二次项系数a、一次项系数b和常数项c决定。
根据二次项系数a的值不同，图像可以分为三种情况：- 当a大于0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正部分（y轴上方）。
- 当a小于0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负部分（y轴下方）。
- 当a等于0时，函数退化为一次函数。
通过移动抛物线的顶点和研究抛物线的对称性，可以更好地理解二次函数的图像特征。
3. 二次函数的相关定理二次函数有许多重要的相关定理，其中最著名的是二次函数的最值定理和零点定理。
最值定理指出，对于开口向上的二次函数，其最小值为抛物线的顶点坐标；对于开口向下的二次函数，其最大值也是抛物线的顶点坐标。
零点定理则表明，对于二次函数y=ax^2+bx+c，存在两个根（零点）x1和x2，满足a*x1^2+b*x1+c=0和a*x2^2+b*x2+c=0。
这两个根可以通过求解二次方程来获得。
这些定理在解决二次函数的问题时起到重要的作用，帮助我们确定最值点和求解方程。
4. 二次函数的实际应用二次函数在物理、经济和工程等领域中有广泛的应用。
数学思想在二次函数中的应用
【 分析 】 观察抛 物线 的位置走 向 、 关 键
点 的 位 置 坐 标 以 及 解 析 式 中 各 系 数 与 图 象的对应关系 ． 从 而 作 出判 断 ．
（ ２ ）该宾馆每 天的利 润 （ 元） 关 （ 元）
的 函数 解 析 式 ； 当每 个房 间 的 定 价 为 每 天
多 少元 时 ， 取 得 最 大值 ．
解 ： 观察 图象可 知 ． 抛物线 开 口向下 ．
￡
【 分析 】 每 天 的入 住 量 ＝ 总 房 间数 一 每 天
的定 价 增 加 量 ＋ １ ０． 每 天 的 房 间 收 费： 每 间
得ａ ＜ Ｏ． 因 为 抛 物 线 的对 称 轴 ＝ 一 ＝ １ ． 所
二 次 函 数解 析 式 为 ： ’ ， ＝（ 一 ３） （ ｘ ＋１ ） ， 即ｙ 一
一
３．
【 点评 】 方程 思 想 体 现 了 已知 与 未 知 的
利 用 顶 点 坐 标 公 式 和 点 的 坐 标 满 足 解 析
决 ． 其 中方 程 思 想 体 现 最 多 的是 利 用 待 定 对 立 统 一 关 系 ． 解法 １ 是设 一 般 式 求 解 ． 即 解法 ２ 是利用顶 点式求解 ： 例１ 已知 二 次 函数 的 图象 顶 点 是 （ １ ， 式来列 方程组 ：
析 式．
二 、数 形 结 合 思 想
“ 数 无 形 时少 直 观 ． 形 少 数 时难 入微 ” ． 数 形 结 合 思 想 就 是 充 分 利 用 数 量 关 系 和 图形 的结 合 ， 寻求 解 题 思 路 ． 其 实 质 是将 抽 象 的 数 学 语 言 与 直 观 的 图形 相 结 合 ． 从 而 达 到 以形 助 数 、 以 数 解 形 的效 果 ． 例 ２ 已 知 二 次
数形结合思想在二次函数中的应用
数形结合思想在二次函数中的应用数与形是数学中的两个最古老，中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
二次函数是初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，本文结合二次函数的数学，探寻渗透数形结合思想的有效策略。
标签：数学结合；二次函数；应用著名数学家华罗庚先生在谈到数形结合的好处时曾作诗赞美：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合思想是指导学生数学学习的重要数学思想之一，掌握数形结合的方法，可以极大地提高学生的数学学习效果，训练学生的数学思维，让学生终身受益。
二次函数作为初中数学教学的重要内容，集中体现了数形结合思想，是训练数形结合方法的良好载体。
“数（代数）”与“形（几何）”是数学的两个基本研究对象，这两个内容既互相独立又互相联系，体现在数学解题过程中包括“以数解读形”和“以形分析数”两个方面。
数形结合思想就是把数和形有机组合，使数学问题得到转化，“形”让“数”更具体明了，“数”使“形”更形象灵活。
因此，数形结合思想在数学解题中有广泛的应用。
数形结合思想在二次函数中的应用比较广泛，借助数形结合思想可以方便快捷地解决二次函数问题，怎样利用数形结合思想解决二次函数问题呢？要在解题中有效实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：第一，以数轴、坐标系为桥梁把函数图象几何化；第二，利用面积、距离、角度等几何量来解决二次函数问题。
一、二次函数中的形转数二次函数图象的顶点在原点0，经过点A（1，1）；点F（0，1）在y轴上，直线y=1与y轴交于点H。
（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP。
解析：二次函数的解析式可以顺利解决，对于（2）点P是（l）中图象上的点，过点P作X轴的垂线与直线=y-1交于点M，求证：FM平分∠OFP；我们要挖掘图象蕴含的信息，PM平行于y轴，可得∠OFM=∠PMF，接下来探究乙PMF是否等于∠PFM，因为P在二次函数的图象上，可以设出P点的坐标，那么由P向y 轴作垂线段PB，构造直角三角形，利用勾股定理表达出PF的长度，依据P的坐标可以表示PM的长度，那么可以证明PF=PM，于是可以得到∠PM=F乙PFM，所以∠OFM=∠PFM，结论得到证明。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题
运用数学思想解决二次函数一次函数及方程等综合问题数学思想是解决各种数学问题的基础，数学的各个分支都离不开数学思想。
二次函数、一次函数和方程是高中数学中的重要内容，其中许多问题需要运用数学思想才能得以解决。
一、二次函数问题1、最值问题对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$，最值问题是常见的问题之一。
通过求导或者配方法可以得到二次函数的顶点坐标。
但是，在实际问题中，经常需要通过变量代换或者条件限制等方式来解决最值问题。
例如，某面积为$S$的矩形中，正好能容纳一个底边长为$x$的半圆形，问该矩形的长和宽分别为多少？解：设矩形的长和宽分别为$l$和$w$，则根据题意得到方程$\frac{πx^2}{4}=lw$。
要求矩形的长和宽的和最小，可以将$l+w$作为新的变量，即求$f(l,w)=l+w$的最小值。
将$l$用$\frac{πx^2}{4w}$表示代入函数中，得到$f(\frac{πx^2}{4w},w)=\frac{πx^2}{4w}+w$，对变量$w$求导，得到$\frac{df}{dw}=-\fr ac{πx^2}{4w^2}+1$。
令$\frac{df}{dw}=0$，得到$w=\frac{πx^2}{4}$。
将$w$代入原方程，解得$l=x$，因此矩形的长和宽分别为$\frac{πx}{2}$和$\frac{x}{2}$。
2、交点问题对于两个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$和$g(x)=dx^2+ex+f$，交点问题是常见的问题之一。
可以通过解方程或者配方法求解交点。
例如，已知$f(x)=x^2+2x+3$和$g(x)=3x^2-2x+5$，问两个函数有几个交点？解：将两个函数相减得到$h(x)=2x^2-4x+2=2(x-1)^2$，因此两个函数如果有交点，则交点的横坐标为$x=1$。
将$x=1$代入任一函数即可求得交点，$f(1)=6$，$g(1)=6$，因此两个函数有一个交点$(1,6)$。
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是高中数学中比较重要的一个章节，它的应用涉及到很多领域，如物理、经济等。
在学习二次函数的过程中，数学思想方法可以帮助我们更好地理解二次函数的概念和性质，并且更加深入地掌握它的应用。
下面我将阐述数学思想方法在二次函数中的应用。
1. 递推思想递推思想是数学思想方法中非常重要的一种方法，它在二次函数中也是可以应用的。
当我们学习二次函数时，我们可以通过递推的思想来推导二次函数的通项公式。
例如，对于二次函数f(x) = x² + x + 1，我们可以先求出它的第n项，然后利用递推的思想来求出它的通项公式。
假设f(1) = 3，f(2) = 6，f(3) = 11，那么我们可以列出如下的表格：n 1 2 3 4 ...f(n) 3 6 11 18 ...我们可以发现，每一项之间的差都是相同的，且这个差是1，即：f(2) - f(1) = 6 - 3 = 3f(3) - f(2) = 11 - 6 = 5f(4) - f(3) = 18 - 11 = 7因此，我们可以得到递推公式：f(n) = f(n-1) + 2n-1将其展开，化简后得到通项公式：通过递推和不断化简，我们成功地推导出了二次函数f(x)的通项公式，这一过程中运用了递推思想的方法。
2. 极值思想f'(x) = 2ax + b = 0x = -b/2a因此，f(x)的最大值就是f(-b/2a)，即：f(-b/2a) = a(-b/2a)² + b(-b/2a) + c= (4ac - b²)/4a通过极值思想，我们成功地求出了二次函数f(x)的最大值。
3. 类比思想例如，我们可以将二次函数看作空间中的一个抛物面，它的顶点就是抛物面的顶点。
抛物面上的每一个点都与二次函数上的某一个点对应，它们之间有相似的性质和规律。
可以看出，在这种类比思想的方法中，我们更加直观地理解了二次函数的概念和性质，也更加深入地掌握了它的应用。
二次函数中的数学思想
二次函数中的数学思想一、数形结合思想在图形中隐含着数的关系，这时若能运用数的规律，来探究形的特征，可使感性的“形”多一些“理性”.例 1 已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：解决这类问题应从两个方面入手，一是看图象的开口方向、对称轴、与y 轴交点的位置；二是根据图象确定当自变量x 取某些特殊值时，对应的函数值的符号.因为图象与x 轴有两个交点，所以240b ac ->，所以①正确. 因为图象的开口向上，所以a ＞0；由图象的对称轴直线x =1，可得－ab 2=1，所以b = -2a ，所以b ＜0；由图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴，所以c ＜0，所以abc ＞0，所以②正确.由图象可知，当x =-2时，y =4a-2b+c ＞0，又b = -2a ，所以4a+4a +c ＞0，即8a+c ＞0，所以③正确.根据图象的对称性，图象与x 轴的另一个交点B 到对称轴直线x =1的距离大于2，所以交点坐标大于3，所以当x =3时，y =9a +3b +c ＜0，所以④正确.故选D.二、数学建模思想能根据问题中的数量关系，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质解决实际问题（如求最大值与最小值），这就是建立二次函数模型解决实际问题的思想.例2 （2013年滨州市）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180 cm ，高为20 cm.请通过计算说明，当底面的宽x 为何值时，抽屉的体积y 最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）分析：直接由长方体体积公式建立二次函数模型，然后配方求出最值.解：根据题意，得y ＝20x (1802－x ). 整理，得y ＝－20x 2+1800x . y ＝－20x 2+1800x ＝－20(x 2－90x +2025)+40 500＝－20(x －45)2+40 500，而－20＜0，所以当x ＝45时，函数有最大值，y 最大值＝40 500.所以当底面的宽为45 cm 时，抽屉的体积最大，最大为40 500 cm 2.三、分类讨论思想某些数学问题，常常会产生几种可能性，需要分类进行讨论.分类讨论必须遵循两条原则：一是每一次分类按照同一标准进行；二是分类要做到不重复、不遗漏..例3 已知二次函数m x x y ++=22的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.（1）求C 1的顶点坐标；（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （－3，0），求C 2的函数解析式，并求C 2与x 轴的另一个交点坐标；（3）若),2(),,(21y Q y n P 是C 1上的两点，且21y y >，求实数n 的取值范围.解析：（1）因为1)1(222-++=++=m x m x x y ，所以对称轴是直线1-=x .因为与x 轴有且只有一个公共点，所以顶点的纵坐标为0.所以C 1的顶点坐标为（-1，0）.（2）设C 2的函数解析式为k x y ++=2)1(.把A （-3，0）代入上式,得0)13(2=++-k ，得4-=k ，所以C 2的函数解析式为4)1(2-+=x y .因为抛物线的对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为A （-3，0），由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）.（3）当1-≥x 时，y 随x 的增大而增大，而),(1y n P 的位置不确定，所以需要分类讨论.①当1-≥n 时，要使21y y > ，必须2>n ；②当1-<n 时，),(1y n P 的对称点的坐标为),2(1y n --，且-2-n ＞-1，要使21y y >，必须-2-n ＞2，即n ＜-4.综上所述2>n 或n ＜-4.四、整体思想整体思想就是通过对问题的细心观察和深入分析，找出整体与局部的联系，从整体上把握，进而解决问题的一种思想方法．例4 已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式20132+-m m 的值为 （ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014解析：将点(0)m ，代入抛物线的解析式，得m 2-m-1=0.若此时直接求m 的值,再代入求值，显然比较繁琐，故可考虑整体代入，即m 2-m =1，所以20132+-m m =2014.故选D.。
二次函数中的数学思想
二次函数中的数学思想数学思想是数学解题的“灵魂”，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，提高独立分析问题和解决问题的能力。
二次函数中隐含着许多重要的数学思想，需要我们去挖掘和运用。
归纳起来主要有以下几种。
一、数形结合思想数形结合思想就是把数、式与图形结合起来考虑，用几何图形直观地反映和描述数量关系，用代数方法来分析几何图形中蕴含的数量关系，从而使问题巧妙快速解决。
解决这类题，首先，要注意学会观察，提高图形信息的识别能力，其次，要学会分析和推理，作出正确的判断。
例1，下图都是而此函数y=ax2+bx+a2-1 的图像，若b>0 ，则a 的值等于（ D ）解析：∵b>0，而抛物线（a）（b）中b0∴方程x2+（2k+1）x-k2+k=0有两个不相等的实数根。
∴抛物线与X轴有两个不同的交点。
（2）当k=0 时，原抛物线为y=x2+x由x=0 得y=02+0=0x2+x=0得x1=0，x2=-1∴此抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），与X轴的交点坐标为（0，0），（-1，0）。
三、整体思想整体思想就是根据问题的整体结构特征，把一组数或一个代数式或几个图形视为一个整体，去观察、分析、探究问题的一种方法，从而使问题得以简捷巧妙的解决。
例3：如图，矩形ABCD 的长AB=4cm ，宽AD=2cm , op ⊥AB是的中点，,两半圆的直径分别为OA 与OB ，抛物线的顶点是O ，关于OP 对称且经过C、D 两点，求图中阴影部分面积？解析：由抛物线顶点是O ，关于OP对称且经过C、D 两点，根据抛物线、矩形的对称性可知，S阴=S半圆∴s=s=1/2πg=π/2 （cm）注：解此题的关键是运用对称性，把两个不规则的阴影部分视为一个整体。
四、分类讨论思想所谓分类讨论思想，就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干类不同的情形，然后再逐步进行研究和求解的一种数学解题思想。
对于因存在一些不确定因素，解答无法用统一的方法或者结论不能以统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类来解决。
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用数学思想方法是数学学科的核心，其重要性不言而喻。
在二次函数中，数学思想方法的应用尤为明显，它能够帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。
本文将重点介绍数学思想方法在二次函数中的应用。
数学思想方法之一是归纳法。
在二次函数中，我们通过观察某些特殊情况下的曲线来发现一般规律。
在观察二次函数的图像时，我们发现当二次函数的二次项系数大于0时，图像开口朝上，当二次项系数小于0时，图像开口朝下。
通过这种观察，我们可以归纳出“二次项系数的正负与二次函数图像开口的方向相对应”的规律。
数学思想方法之二是对证法。
在二次函数中，我们常常需要证明某些关于二次函数性质的定理或公式。
对于一般的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望证明其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
我们可以通过对二次函数进行配方变换，再利用数学方法进行推导，最终得到该结论。
这个过程充分体现了对证法的应用。
数学思想方法之三是分析法。
在二次函数中，我们经常需要分析二次函数的增减性、极值点、拐点等。
当二次函数的二次项系数大于0时，我们可以通过求解一阶导数f'(x) = 2ax + b的根来确定二次函数的增减性和极值点。
当二次项系数小于0时，我们可以通过求解一阶导数的根来确定二次函数的增减性、极值点和拐点。
通过这种分析方法，我们可以更直观地了解二次函数的性质和特点。
数学思想方法之四是抽象方法。
在二次函数中，我们常常通过抽象的方式来处理问题。
我们可以将二次函数拆分成两个一次函数的和或差，从而更方便地进行分析。
又如，我们可以将二次函数的图像看作是一个平面上的凹或凸曲线，来研究其性质。
通过这种抽象方法，我们可以将复杂的问题简化，更好地理解和掌握二次函数。
数学思想方法在二次函数中的应用有归纳法、对证法、分析法和抽象方法。
这些方法相互配合，可以帮助我们更深入地理解和应用二次函数的相关知识。
在学习和应用中，我们应充分发挥数学思想方法的优势，灵活运用，以更好地理解数学问题。
再议二次函数中的数学思想
初中数学教学的思想方法浅议湖北省仙桃市西流河二中刘中树摘要：数学思想方法是数学的精髓，在初中数学新课程标准中已把它列入基础知识的范畴.数学思想方法是学生获取知识、解决问题、建立合理而又迅速的思维结构的有效工具，是把数学知识、技能转化为数学能力的纽带.突出数学思想方法教学，是当代数学教育的必然要求也是数学素质教育的重要体现.关键词：数学思想数形结合图形变换分类讨论数学建模化归思想思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
常见的数学四大思想为：函数与、转化与化归、分类讨论、。
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.数学思想是数学的灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在数学教学中应对数学思想进行有效的渗透；所谓思想方法，就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。
或者说思想方法就是那些颠扑不破思维产物。
所谓数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。
是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用的来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用的方程来精确地阐明曲线的性质。
先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力.抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。
二次函数中的数学思想方法应用
y xoA B二次函数中的数形结合过程与方法：研究二次函数图象的特点和性质，利用图象探究抛物线的一般应用，达到数——形——数的同一，找寻较佳解决方案。
中考数学命题除了着重考查基础知识外，还十分重视对数学思想的理解和应用。
例如代数中的一元二次方程与二次函数的关系问题，一元二次方程的根与二次函数图形与x 轴交点之间的关系，是中考内容必考的内容之一。
要从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。
二次函数知识本身就是数形结合思想的数学思想的一个很好的体现。
在解决这类问题时，学生往往要么只注意到代数知识，要么只注意到几何知识，不会把它们互相转化，如坐标系中点的坐标与几何图形中线段的长的关系；坐标系中x 轴与y 轴相互垂直与几何图形中的直角、垂直、对称及切线等的关系；函数解析式与图形的焦点之间的关系等数形结合就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法。
根据解题需要我们可以把数量关系的问题转化为图形性质的问题来讨论，或者把图形性质的问题转化为数量关系的问题来研究。
1．以形助数——通过几何图形，使数量关系直观化、形象化，从而找出最佳解题途径。
1．（2005宁夏）如图，抛物线的对称轴为x=1，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(则A 点坐标为。
2．（2002浙江杭州）已知二次函数c bx ax y ++=21（a ≠0）与一次函数n mx y +=2（m ≠0）的图象相交于点A （-2，4）、B （8，2）（如图所示），则能使1y ＞2y 成立的 x 的取值范围是。
3．（2005南通市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所 示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，b a P +=4，则下列结论正确的是（ ）A ．Μ＞0，Ν＞0，Ρ＞０B ．Μ＞0，Ν＜0，Ρ＞０C ．Μ＜0，Ν＞0，Ρ＞０D ．Μ＜0，Ν＞0，Ρ＜０4．二次函数c bx ax y ++=21与3)2(2)1(22+++-+=c x b x a y 在同一坐标系中的图象如图。
数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用二次函数是高中数学中非常重要的一章，学好二次函数不仅可以提高数学成绩，也有助于理解日常生活中的许多问题。
二次函数中的数学思想和方法包括：函数图像的性质、函数的零点和极值、判别式、配方法和公式等。
1. 函数图像的性质二次函数的图像是一个拱形，称为抛物线。
抛物线的顶点是函数图像的最低或最高点，称为极值。
由于二次函数的抛物线对称于顶点，因此可以通过顶点来确定图像的对称轴。
这些性质的应用包括：- 通过函数图像来判断二次函数的符号。
如果 a>0，则抛物线开口向上，函数值随着x 的增大而增大；如果 a<0，则抛物线开口向下，函数值随着 x 的增大而减小。
- 通过顶点来确定函数的最值。
如果 a>0，则函数的最小值等于 y 坐标的值，即f(x) = f(h)；如果 a<0，则函数的最大值等于 y 坐标的值，即 f(x) = f(h)。
2. 函数的零点和极值二次函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标。
二次函数的极值是顶点处的函数值。
通过求解二次方程 f(x) = ax^2 + bx + c = 0 来确定函数的零点，分为以下情况：- 当判别式 b^2-4ac>0 时，二次函数有两个不同的实数根，即x=(−b±√(b^2−4ac))/2a。
这时函数图像与 x 轴有两个交点，函数有两个零点。
- 当判别式 b^2-4ac=0 时，二次函数有一个实数根（相当于它与 x 轴只有一个交点），即 x=-b/2a。
这时函数图像在顶点处与 x 轴相切，函数有一个零点。
- 当判别式 b^2-4ac<0 时，二次函数没有实数根，即函数值始终大于或小于零。
这时函数图像与 x 轴没有交点，函数没有零点。
3. 判别式判别式是二次方程 b^2-4ac 的值，它可以用来判断二次函数的根的情况（上文第二点）。
当判别式为负数时，二次函数没有实数根；当判别式为零时，二次函数有一个实数根；当判别式为正数时，二次函数有两个不同的实数根。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。
数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。
在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。
本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。
我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。
接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。
然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。
我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。
通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。
2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。
在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。
通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。
数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。
在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。
数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。
通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。
数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。
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B
y 4
A -1 O 1
x
点评
感觉到数学的美，感觉到数与形的协调，感觉到
几何的优雅，它是所有的数学家都清楚的真实的美 的感觉。 -----庞加莱 用数表达，用形释义，数形结合，相得益彰。
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问题：
是否还有其他的数学思想也渗透在二次函
数的学习中呢？
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如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 的图像, 请尽可能多的说出一些结论。
y 4
-3
-1 O
1
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二次函数中的数学思想
Mathematical thinking in the quadratic function
宜宾翠屏棠湖外语学校 黄 江 燕Βιβλιοθήκη - 新世纪教育网版权 所有
数学是一种精神，一种理性的精神。
正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人 类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种 精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社 会生活。 -----克莱因
二：探究二次函数图像与性质 ----从特殊到一般的数学思想
y ax2 (a 0)
y ax c(a 0)
2
y a( x h) (a 0)
2
y a( x h)2 k (a 0)
y ax bx c(a 0)
2
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五：转化的数学思想
例：已知实数x、y满足 x 2 3x y 3 0 ，则 x y 的最大值为 。
思路：将二元方程解的问题转化为二次函数的问题来求解。
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点评
转化思想就是换一个角度去看，换一种方式去
想，换一种观点去处理，把“新知识”等价转化为 “旧 知识”以使问题朝着有利于解决的方向发展。
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例：若函数
2
的图象与x轴总有交点，求a的取值范围。
1 y (a 3a 2) x (a 1) x 4
2
解析：由于题设中并未说明函数的次数也未说明图象与x轴交点的 个数，因此，所给函数既可以是二次函数，又可以是一次函数。
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x
函数思想
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问题2. 结合图像思考： 当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m ①有两个不相等的实数根; ②有两个相等的实数根; y ③没有实数根?
4 m y=-(x+1)2+4 1 -3 -1 O 1 y=m
函数思想
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求函数解析式
一般式 顶点式 交点式
已知某二次函数的 图像过（-1，10）、 （1，4）、（2，7） 三点，求这个函数 的解析式。
解：设所求函数解析式为
已知某二次函数图 像顶点（-2，1） 且经过（1,0)，求 二次函数解析式 。
解:∵抛物线的顶点为(2,-1) ∴设解析式为:y=a(x-2)2-1 把点(-1,2)代入 a(-1-2)2-1=2
六：分类讨论的数学思想
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概 而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解， 这种方法称为分类讨论思想。 两个原则：
（1）每次分类按同一个标准进行。
（2）不重复、不遗漏。
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例：若函数
2
的图象与x轴总有交点，求a的取值范围。
问题(3) 若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于 A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图像填空：
(1)方程ax2+bx+c=kx+m 的解为 x1=-1,x2=1. (2)不等式ax2+bx+c＞kx+m 的解为 -1＜x＜1 . (3)不等式ax2+bx+c＜kx+m 的解为 x＜-1或x＞1 .
已知某二次函数图 像与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,2)求二次函数解析 式 。
解:∵抛物线与X轴交于 点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为: y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入
y ax 2 bx c
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7
2
1 y (a 3a 2) x (a 1) x 4
2
情况一：当 a 3a 2 0时，函数为一次函数，解得a=-2或a=-1；显然 a=-1不符合题意，应舍去。而当a=-2时，与x轴有一个交点。
情况二：当 a 3a 2 0 时，解得 a 2 且 a 1 ，由函数图 象与x轴总有交点，得 (a 1) 2 (a 2 3a 2) 0 ，所以， a 1且a 2
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a(0-2)(0+1)=-2
三：二次函数中的方程思想
方程思想是通过列方程（组）求解函数问题的解 题策略，体现了已知和未知的对立统一关系， 除用待定系数法求二次函数解析式外，在二次函 数的一些综合题目中也时有应用。且难度可深可
浅，使函数的学习变得更加多样化。
问题1. 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解? 问题2. 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?
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问题1. 结合图像思考: 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解? 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?
y 4 1 0 y=-(x+1)2+4 1 O x 1 x -1 2 -3 1
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数学的学习，更重要的是数学思想的学习,
只有突破数学思想，才能进行创造性的学习 .
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一：再学函数 ----类比的数学思想
一次函数 反比例函数 二次函数
定义
图像
性质
应用
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