四章 多项式插值与数值逼近PPT课件
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课件：插值与逼近
f(x2) f[x1,x2]
f(x3) f[x2,x3]
¦
¦
f(xn) f[xn-1,xn]
f [x0,x1,x2] f[x1,x2,x3]
¦
f[xn-2,xn-1,xn]
f[x0,x1,x2,…,xn]
• 差商的性质
1. 差商关于所含节点是对称的,即与节点位置无关.
2. f[x0,x1,…,xn]＝
• 逼近的度量方式的要求 ：插值,一致逼近,平方逼近(要求必 须提得合理否则无解或许多解),
• 如何构造逼近函数P(x).
• 逼近的效果.
插值的概念
• 插值是由离散数据来构造一个函数的近似函数 的重要方法, 插值要求近似函数与被近似函数 在一些点处取相同的函数值,甚至导数值.
• 已知函数y=f(x)在[a, b]中n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为f(x0), f(x1), …, f(xn) ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件
f [x0 , x1
, xk ] f [x0, x1
, xk2 , xk ] f [x0, x1, xk xk1
, xk1]
称为函数f(x)在点x0,x2,…,xk处的k阶差商.
• 差商表
xi
x0 x1 x2 x3 ¦ xn
f(xi) 一阶差商 二阶差商 … n阶差商
f(x0)
f(x1) f[x0,x1]
而Ln(x)=Pn(x), Lagrange插值问题的解存在且唯一.
称li(x) (i=1,2,…n)为Lagrange插值基函数．称(3.1.2)为
Lagrange插值多项式．
• 记pn+1(x)=(x-x0)(x-x1) …(x-xn)
第9节 多项式插值PPT课件
推 论 ： 利 用 p阶 多 项 式 插 值 逼 近 q阶 多 项 式 函 数 ， 若 pq， 则 该 逼 近 过 程 不 存 在 误 差 。
证 明 ： f(n＋ 1)()0
多项式插值误差
• 例：已 知 sin1,sin1,sin3
6 2 0.85
sin
42
32
分别利用 sin0.x8 的1次外 内推 插、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
数值逼近（Approximation）
• Approximation theory is concerned with how functions can best be approximated with simpler functions, and with quantitatively characterizing the errors introduced thereby.
0.2
0
-0.2
5
-0.4-5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
5
-5
0
4阶
0
10阶
注意：
上述插值 结果是正 确的多项 式插值结 果，而且 5 是唯一的 多项式插 值结果。 Rung现象 是多项式 插值本身 的缺陷而 非误差。
5
埃尔米特（Hermite）插值
在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求 它的导数值也相等。
det xx10nn xnn
... ...
...
x0 x1
xn
1
1
i j
(xi
xj )
0
1
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解
证 明 ： f(n＋ 1)()0
多项式插值误差
• 例：已 知 sin1,sin1,sin3
6 2 0.85
sin
42
32
分别利用 sin0.x8 的1次外 内推 插、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
数值逼近（Approximation）
• Approximation theory is concerned with how functions can best be approximated with simpler functions, and with quantitatively characterizing the errors introduced thereby.
0.2
0
-0.2
5
-0.4-5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
5
-5
0
4阶
0
10阶
注意：
上述插值 结果是正 确的多项 式插值结 果，而且 5 是唯一的 多项式插 值结果。 Rung现象 是多项式 插值本身 的缺陷而 非误差。
5
埃尔米特（Hermite）插值
在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求 它的导数值也相等。
det xx10nn xnn
... ...
...
x0 x1
xn
1
1
i j
(xi
xj )
0
1
范德蒙矩阵的行列式的值为xi- xj 的连乘积，当 xi≠xj时，该 行列式的值不为零，即线性方程组有解，且存在唯一解
【推荐】数值计算方法：第4章-多项式插值方法.ppt
两点
多项式插值就是直线
， 经过这两点的
称给定
为线性插值多项式。称
为关于点
的线性插值基函数，其在节点处满足：
6
4.2.1 线性插值与二次插值 假定插值节点为 ， ， ，要求二次插值多项式
几何上
是通过三点
可以用基函数的方法求的表源自式，是二次函数，的抛物线.
7
4.2.2 拉格朗日插值多项式
求n+1个次数 满足
且次数不超过n 的多项式，其所给出形式的系数为
称
为牛顿（Newton）均差插值多项式.
系数 就是均差表4-1中主对角线上的各阶均差， 它比拉格朗日插值计算量省，且便于程序设计.
25
4.3.2 Newton均差插值多项式 （*）为插值余项，由插值多项式惟一性知，它与
拉格朗日插值多项式的余项应该是等价的. 事实上，利用均差与导数关系式就可以证明这一点. 但（3.7）更有一般性，它在 是由离散点（给3.出7）的
式求 x 的近似值。
解 (1) 选取节点x=2,3,4
xf 一 二 三
kk
(x k)
阶 均
阶 均
阶 均
31
32
4.4 分段低次插值
4.4.1 Runge现象 在次数 增加时逼近 的精度是否也增加?
问题：根据区间 上给出的节点做出的插值多项式
事实上，对于有些函数，插值多项式次数很高时会在某些区 间内产生较大的误差。例如著名的Runge现象。
分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
35
4.4.2 分段低次插值
例如分段线性插值。 所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
第四章 多项式插值与函数逼近4
2 a
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,, n
即：
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
b a
k 0,1, 2,, n
记
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,, n
lim pn ( x ) f ( x )
n
P0 ( x)
P ( x) 1
x [a, b]
x
注：结论并不是对 所有函数都成立 Pn ( x )
x
x
( 2) 1 ( 3) 1
x
x
( 2) 2 ( 3) 2
P2 ( x)
( x33)
P3 ( x)
( ( ( ( x0n ) x1 n ) x2n ) x3n )
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
a n
b k 0 k k a k
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
p n a
一致逼近
1 i 0
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
k
k 0,1,, n
即：
b
a
( x ) k ( x )W ( x )dx f ( x ) k ( x )W ( x )dx
b a
k 0,1, 2,, n
记
( i , j ) i ( x ) j ( x )W ( x )dx i , j 0,1, 2,, n
lim pn ( x ) f ( x )
n
P0 ( x)
P ( x) 1
x [a, b]
x
注：结论并不是对 所有函数都成立 Pn ( x )
x
x
( 2) 1 ( 3) 1
x
x
( 2) 2 ( 3) 2
P2 ( x)
( x33)
P3 ( x)
( ( ( ( x0n ) x1 n ) x2n ) x3n )
( x) ( x) ( x) f ( x)W ( x)dx (b a ) ( x ) f ( x ) ( x )W ( x )dx 0
a n
b k 0 k k a k
f ( x) ( x) ( x)W ( x)dx 0
b
( x )
j
其中W ( x ) 0为权函数
n
c ( x) 满足
j 0 j j
n
j 0
，寻求一组系数c0 , c1 ,, cn
lim max f ( x ) ( x ) 0
lim f ( x ) ( x ) W ( x )dx 0
p n a
一致逼近
1 i 0
数值分析方法【ch01】插值与逼近 培训教学课件
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
二、多项式插值
0 5 Hermite插值
03
三、径向基函数插值
0 1 概述
三、径向基函数插值
0 1 概述
Hale Waihona Puke 三、径向基函数插值0 1 概述
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
三、径向基函数插值
0 2 再生核空间
二、多项式插值
0 4 分片线性插值
则Lagrange插值与Newton 插值失效，表现为： 当n增大时，在区间[-5，5]两端附近误差迅速增大(见 图1-2).
图1-2显示了当n=10时Lagrange插值与Newton 插值的效果，明显可以看出，在区间的两端附近插值 曲线出现振荡.
二、多项式插值
解：使用最小二乘方法可以求解.上 面的超定方程组，从而得到
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
常用的范数如下：
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 2 最佳一致逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 3 最佳平方逼近
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
四、最佳逼近
0 4 正交多项式
二、多项式插值
0 2 Lagrange插值
图1-1给出了7次Lagrange插值曲线，该曲线较好地通过了给定的样本数 据(图中的○表示样本数据，曲线为插值曲线).
二、多项式插值
0 3 Newton插值
当我们需要扩充试探空间的时候，之前所有的基函数都没有被保留，这非 常不利于大规模数值计算.克服这一缺陷的有效方法之一是Newton插值.选择 如下形式的试探空间
【全版】数值分析课件第四章多项式插值与函数逼近2推荐PPT
全导数的hermite插值多项式的几何意义如n1时hermite插值多项式二全导数的hermite插值多项式的存在唯一性和余项满足前述插值条件的不超过2n1次的插值多因此多项式有n1个二重零点设被插值函数在区间ab上有2n1阶连续导关于互异节点的满足前述插值条件的不超过2n1次的插值多项式则对成立证明方法同完全类似应用hermite插值计算的近似值
1(13x)(x1)2(x2)2 4
1(x)[12(x1)(1 101 12)][((x 1 0 0))((1x22))]2
x2(x2)2
2(x)[12(x2)(2 10211)][((x2 00))((2x11))]2
1(73x)x2(x1)2 4
0(x)(x0 )l0 2(x)1 4x (x 1 )2(x2 )2
如n=1时Hermite插值多项式 H 3 (为x )
H3(x)f(x0)12xx00xx1xx0xx112f(x1)12xx11xx0xx1xx002 f(x0)(xx0)xx0xx112f(x1)(xx1)xx1xx002
全导数的Hermite插值多项式的几何意义
H9(x) f(x)
x0
x1
满足如下的2n+2个条件
H 2n1(xi)f(xi) H 2 n1(xi)f(xi)
i0,1,2, ,n
称上述问题为全导数的Hermite插值问题
一、全导数的Hermite插值多项式的构造
思想 类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构 造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。
并推导其插值余项（已知 f ( x具) 有4阶连续导数）。
解：首先构造满足插值条件 H 3 (x i)f(x i)的i多 项0 ,式1 ,2
1(13x)(x1)2(x2)2 4
1(x)[12(x1)(1 101 12)][((x 1 0 0))((1x22))]2
x2(x2)2
2(x)[12(x2)(2 10211)][((x2 00))((2x11))]2
1(73x)x2(x1)2 4
0(x)(x0 )l0 2(x)1 4x (x 1 )2(x2 )2
如n=1时Hermite插值多项式 H 3 (为x )
H3(x)f(x0)12xx00xx1xx0xx112f(x1)12xx11xx0xx1xx002 f(x0)(xx0)xx0xx112f(x1)(xx1)xx1xx002
全导数的Hermite插值多项式的几何意义
H9(x) f(x)
x0
x1
满足如下的2n+2个条件
H 2n1(xi)f(xi) H 2 n1(xi)f(xi)
i0,1,2, ,n
称上述问题为全导数的Hermite插值问题
一、全导数的Hermite插值多项式的构造
思想 类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构 造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。
并推导其插值余项（已知 f ( x具) 有4阶连续导数）。
解：首先构造满足插值条件 H 3 (x i)f(x i)的i多 项0 ,式1 ,2
第4章 插值与逼近
f [ x0 , x1 , L, xk ] = f [ x1 , x0 , L, xk ] = L = f [xk , x0 , x1,L, xk −1]
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
i =0 j −1
(4-8)
则可将 n 次插值多项式写成如下形式：
pn (x) = ∑ a jϕ j ( x)
n
= a 0 + a1 ( x − x0 ) + L + a n ( x − x0 )( x − x1 ) L ( x − x n −1 )
j =0
(4-9)
其中待定系数 a0 , a1 , L, an 由插值条件
(1 − 2)(1 − 3) ( x − 1)( x − 2)
1 = ( x − 2)( x − 3) , 2
l1 ( x) =
( x − 1)( x − 3)
(2 − 1)(2 − 3)
= −( x − 1)( x − 3) ,
(
) (
)
(
)
于是
4.2.2 Newton插值公式
在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节 点个数。插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函 数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变 化，这在计算实践中是不方便的。为了克服Lagrange插值多项 式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我 们引进Newton插值公式。
xk − x j
i≠ j≠k
为f(x) 关于xi, xj, xk的二阶均差（差商）。
f [ x0 , x1 , L, xk ] =
xk − xk −1
称 (4-12)
f [ x0 , L , xk − 2 , xk ] − f [ x0 , x1 , L, xk −1 ]
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Ci
ji
ห้องสมุดไป่ตู้
( xi
1
xj )
j 0 j i
li(x)
n ji
(x xj ) (xi xj )
j0
n
Ln(x) li(x)yi i0
li(x ) (x ( ix x x 0 ) 0 ( ) ( x x i x x 1 1 ) )( ( x x i x x ii 1 1 ) ) ( ( x x i x x i i1 ) 1 )(( x x i x n x ) n )
( x是) 满足插值条件（*）的不超过n次的插值多项式，则对
x[a存,b在] (，x满) 足[a,b] R n(x)f(x)(x)f(n (n 1)1 ()!)n1(x)
n
其中 n1(x) 。(x且当xi) 在区f间(n[1)a( x,b) ]有上
i0
界M
时，有
n1
Rn(x) (nMn11)!n1(x)
第四章 多项式插值与函数逼近
/*Polynomial Interpolation and Approximation of Functions */
本章主要内容： 1、Lagrange插值方法 2、Newton插值方法 3、Hermite插值方法 4、三次样条插值方法 5、函数逼近:最佳平方逼近和最佳一致逼近
则称 ( 为x ) 在f ( 函x ) 数集合 中关于节点 并称 为被插f值( x函) 数,[a,b]为插值区间，
（*）式为插值条件。
的一x i个为ni 插插0 值值函节x i数点ni ，，0
设 M m a xx i n i 0, m m inx i n i 0
内插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x处(的m近,M似)值 外插法：用 ( x计) 算被插值函数 f在( x点) x [a,b处],的x 近(似m 值,M )
1 xn xn2
x0n
x1n
(xi xj)0
0jin
xnn
Th4.1.1
方程组存在唯一解，因此满足插值条件(*) 的不超过n次的插值多项式是唯一存在的.
Th4.1.2 代数插值的插值余项 /* Remainder */
设 f ( n ) (在x )区间 [a,b]上连续， f 在(n区1) (间x) [a,b]上存在,
li ( x )
y i
，则显然有Pn(xi)
=
yi
。
i0
li(x) 每个 li(x) 有 n 个根 x0 … xi-1 、 xi+1 … xn n
li(x ) C i(x x 0 ) (x x i 1 )(x x i 1 ) (x x n ) C i (x x j)
li (xi ) 1
问题背景
实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： （1）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多次重复计算时，
计算量会很大； （2）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格函数，而我们需
要的函数值可能不在该表格中。 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单 的函数来近似代替，这就是数值逼近问题。
已知 x0称, x为1 ;拉y氏0 , 基y1函，数求 /P *L1(ax g)ra ngae0 Baas1ix s*/使，得
P1( x0 ) y0 , P1( x1满) 足y条1 件 li(xj)=ij
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P1 ( x)
代数插值：集合 为多项式函数集 插值类型 有理插值：集合 为有理分式函数集
三角插值：集合 为三角函数集
几何意义：
g(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
y f (x)
y g(x)
代数插值的存在唯一性
设 H n s p a n 1 ,x ,x 2 , ,x n 即
( x ) ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n , a i R , 0 i n
R n(x)f(x)L n(x)f(n (n 1)1 ()!)n1(x)
（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，
n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。
二、 牛顿插值 /* Newton’s Interpolation */
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时， 全部基函数 li(x) 都需重新算过。
代入插值条件： (x i) f(x i)i 0 ,1 ,2 , ,n
((xx01))aa00
a1x0 a1x1
a2x02 a2x12
anx0n f(x0) anx1n f(x1)
(xn)ana1xna2xn2 anxnn f(xn)
方程组的系数矩阵是Vandermonde矩阵
1 x0 x02 1 x1 x12
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
li(xj )ij
1 0
i j=
ij
x x1 x0 x1
y0 +
l0(x)
x x0 x1 x0
l1(x)
1
y1 i0 li ( x) yi
n 1 希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij；然后令 n
Pn ( x )
与 节点 有关，而与 f 无关
Lagrange
Polynomial
注： （1）若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
n
例如 P(x)Ln(x)q(x) (xxi)也是一个插值 i0
多项式，其中 q ( x ) 可以是任意多项式。
（2）Lagrange插值多项式结构对称，形式简单.
（3）误差估计
§1 插值问题 /* Interpolation Problem */
Def 4.1.（1插值的定义）
已知定义于区间 [ a , 上b ] 的实值函数 在f ( x ) 个n互异1节点
xi
n 处[a的,b函] 数值
i0
，f若( x函i )数ni集0 合 中的函
数 ( x满) 足 ( x i) f ( x i)i 0 , 1 ,2 ,,n ( )
插值余项
截断误差
§2 代数插值多项式的构造方法
一、 拉格朗日多项式 /* Lagrange Polynomial */
求 n 次多项式 P n (x ) a 0 a 1x a n x n使得
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi xj
n= 1