最新高考数学总复习系列汇总

2011年高考数学总复

习系列

《2011年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2 第一章 导数及其应用

无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！

基础知识【理解去记】

1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|un-A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列un 当n 趋向于无穷大时的极限，记为

)

(lim ),(lim x f x f x x -∞

→+∞

→，另外

)

(lim 0

x f x x +→=A 表示x 大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A ，称右极

限。类似地

)

(lim 0

x f x x -→表示x 小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。

2．极限的四则运算：如果

lim

x x →f(x)=a,

lim

x x →g(x)=b ，那么

lim

x x →[f(x)±g(x)]=a ±b,

lim x x →[f(x)•g(x)]=ab, 0lim x x →).0()()(≠=b b a

x g x f

3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且0

lim

x x →f(x)存在，并且

lim

x x →f(x)=f(x0)，则称f(x)在

x=x0处连续。

4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。

5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分

在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数'f (x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。

6．【必背】八大常用函数的导数： （1）)'(c =0（c 为常数）； （2）

1

)'(-=a a ax x （a 为任意常数）；

（3）;cos )'(sin x x = (4)x x sin )'(cos -=;

(5)

a a a x x ln )'(=; (6)x x e e =)'(;

7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x 处可导，且u(x)≠0,则

（1）)(')(')]'()([x v x u x v x u ±=±；（2）)(')()()(')]'()([x v x u x v x u x v x u +=；（3）

8．****【必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=ϕ(x)，已知ϕ(x)在x 处可导，f(u)在对应的点u(u=ϕ(x))处可导，则复合函数y=f[ϕ(x)]在点x 处可导，且（f[ϕ(x)])'=)(')](['x x f ϕϕ. 9.导数与函数的性质：单调性：（1）若f(x)在区间I 上可导，则f(x)在I 上连续；（2）若对一切x ∈(a,b)有0)('>x f ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x ∈(a,b)有0)('

10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则

.

0)('0=x f

11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x ∈(x-δ,x0)时0)('≤x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≥x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x ∈(x0-δ，x0)时0)('≥x f ，当x ∈(x0,x0+δ)时0)('≤x f ，则f(x)在x0处取得极大值。

12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且

)('',0)('00≠=x f x f 。（1）若

)(''0>x f ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若

)(''0

13．【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使.0)('=ξf

[证明] 若当x ∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x ∈(a,b)，0)('=x f .若当x ∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m ，则c ∈(a,b)，且f(c)为最大值，故0)('=c f ，综上得证。 二、基础例题【必会】 1．极限的求法。

例1 求下列极限：（1）

⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221

lim n n n n n ；（2）)0(1lim >+∞→a a a n n

n ；（3）

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 2221

2111lim ；（4）).1(lim n n n n -+∞→ [解]（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→22221

lim n n n n

n ==+∞→22)1(lim n

n n n 21

2221lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n n ； （2）当a>1时，.111lim 1

111lim 1lim =+⎪⎭⎫

⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∞

→∞

→∞→n n n n n n n a a a a

当0

.

00

10lim 1lim 1lim

=+=+=+∞

→∞

→∞→n n n

n n n

n a a a a

当a=1时，.21111lim 1lim =+=+∞→∞→n n n n a a

（3）因为.

112

11

12

2

2

2

2

+<

++

+++

+<

+n n

n

n n n n

n n