泛函分析讲义第八章

若令 t0 [0,1], f (x) x(t0 ) ，则 f 是 P[0,1]上线性泛函。
（4）矩阵与线性算子的对应性：
设Rn 是n维线性空间，在Rn 中取一组基{e1, e2,..., en} ，则对任何 x Rn
可以唯一的表示成
x

n

v ev
，对每一个方阵(tv )n ，作 Rn
§1 有界线性算子和连续线性泛函
1、线性算子和线性泛函
设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性
子空间，T为D到Y中的映射，如果对于任何x, y D ，及数
成立
T (x y) Tx Ty (1)
T ( x) Tx
(2)
则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为 D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数 域时，就称T为实（或复）线性泛函。
则称T是D(T)到Y中的有界线性算子。
换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的 线性算子，如果算子T将其定义域中每个有界集映射成Y中 的有界集，就称T是有界线性算子，简称为有界算子。不 是有界的算子成为无界算子。
显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。 注意区别有界算子与有界函数。
到 Rn
v 1
中算子T 如下：当
n
x vev
时，令 y Tx n ye
v 1
1
其中 y n tvv , 1, 2,..., n。显然这样定义的T是线性算子，称
v 1
为线性变换。算子由方阵 (tv )n唯一确定。
3、线性算子的有界性与连续性
第八章 有界线性算子和连续线性 泛函
§1 有界线性算子和连续线性泛函
§2 有界线性算子空间和共轭空间
主要内容：
算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映 射。算子可以说是函数和函数之间的对应。
泛函：如果Y是数域，则称这种算子为泛函。 本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函 和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连 续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的 量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数 成为一个赋范线性空间。
（3）连续性与有界性的关系
设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T 为有界算子的充要条件为T是X上连续算子。
4、算子的范数
T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线
性算子，称 || T || sup || Tx || 为算子T在D(T)上的范数。 x0 || x ||
1 1 pq
1
引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有 限维欧几里的空间中还有一个重要的概念----两个向量的夹 角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引 入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。
1、内积定义
a (1,2,...,n ), b (1,2,...,n ), 则 a 与 b 内积定义为
（1）连续性定理
设X，Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果T 在某一点x0 D(T)上连续，则T在D(T)上处处连续。
该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证T在某一点 连续。又相当于下面要引进的有界性。
（2）有界线性算子
设X，Y都是赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y 的线性算子，如果存在常数c ，是对所有x D(T)，|有| Tx || c || x ||
Txn
max | ntn1 | n 0t 1
，
所以 T Txn n ，T是无界算子。
§2 有界线性算子空间和共轭空间
1、有界线性B(X → Y) 算子全体所成空间
设X，Y都是赋范线性空间，B(X→Y)是X到Y的有界线性算
子全体，当A，B B(X→Y), 是任意一个数时，规定
a,b 11 22 ...nn
其中 i 表示 i 的复共轭，并且内积与向量 a 的长度有以下
关系：
a a, a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
内积性质： （有限维复欧式空间）
1° a, a 0 且 a, a 0 等价于 a 0
2、线性算子和线性泛函的例子
（1）设X是线性空间， 是一给定的数，对任何 x X ，
令
Tx x
显然，T是X到X中的线性算子，称为相似算子。
当 1 时，称为恒等算子；当 0 时，称为零算子。
（2）对每个x C[a,b] ，规定
(Tx)(t)
t
x( )d
a
由积分的线性性质，可知T是C[a,b] 到C[a,b] 中的线性算子。
( A B)x Ax Bx
( A)x Ax 则B(X→Y)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。
定理1 设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，B(X→Y)也 是巴拿赫空间。
2、连续线性泛函全体所成空间
设X是赋范线性空间，令X 表示X上连续线性泛函全体所成 的空间，称为共轭空间。
若令 f (x)
b
x( )d
则 f 是 C[a,b]上线性泛函。
a
若令 (Tx)(t) tx(t) T是线性算子，称为乘法算子。
（3）对每个x P[0,1] ，规定 (Tx)(t) d x(t) dt
由导数运算的线性性质，可知T是 P[0,1] 到 P[0,1] 中的线性算 子，称为微分算子。
定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。 定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T 是X到Y中的线性 算子，并且对所有x X ，有 Tx x
则称T 是X到Y中的保距算子，如果T 又是映射到Y上的，则 称T 是同构映射，此时称X与Y同构。（了解作用）
例如： l1 的共轭空间为 l 。
l p 的共轭空间为 l q ，其中
若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有
|| Tx || || T || || x ||
|| T || sup || Tx || sup || Tx ||
||x||1
||x||1
并非所有算子都有界。例如微分算子，P[0,1]为C[0,1]的子空间，令
xn (t) t n，则 xn 1 ，但