几种类型函数的求导方法

即
y x y x2 y2
x y y x2 y2
x y y . x y
y x y x y y
例3
设 e xy 0 , 求 y( x) .
y
（注意：y 是 x 的函数） 解 方程两边对x 求导, y y y y , e y y xy 0 e x 再对上式两边关于 求导, x
y a si nt dy si nt t 解 dx x a a cos t 1 cos t t
dy dx
t

2
1, 当t

2
时, x a (

2
1), y a .
所求切线方程为
y a x a(

即 y x a( 2

2
2
1)
二. 对数求导法
( x 1) 1 x , 观察函数 y 2 ( x 3) ( x 4)
3
yx
sin x
.
问题: 如何求上述函数的导数 ?
方法: 先取对数, 然后再求导 ----对数求导法
式， 适用范围: 多个函数相乘相除的形
或幂指函数 y u( x )
v( x )
的情形 .
y
x 0
e y y xe
x
x 0 y 0
1.
y 例2 设 arctan ln x 2 y 2 , 求 y( x ) . x 解 方程两边对 求导得 x 2 x 2 y y y x y 2 x 2 x2 y2 2 y x2 y2 1 x
sin x ln x
,
( x 0)
y ( x
sin x
( e sin x ln x )x )x
e
( sinx ln x ) x sin x sin x ln x e (cos x ln x ) x sin x sin x x (cos x ln x ). x
y 是 x 的复合函数： y [
1
( x )]，
由复合函数与反函数的求导法则，有
dy dy dt (t ) 1 . ( t ) [ ( x )]x (t ) dx dt dx
x a(t sint ) 在 t 处的切线方程 . 例7 求摆线 2 y a(1 cost )
亦即 (u ) u ln u v vu
v v
v 1
u
(把 u 看常数, 对 v 求导) (把 v 看常数, 对 u 求导)
( x 0), 求y. 解 两边取对数， ln y sinx ln x
例6
设y x
sin x
上式两边关于 求导， x （注意：y 是 x 的函数）
sin x ln x
三 .参数方程所表示函数的求导法
x (t ) t , 参数方程的一般形式是 ， y (t )
设 x (t ) 与 y (t ) 都可导，且 (t ) 0 ,
又 x ( t ) 存在反函数 t 1 ( x ) , 则
)
x (t ) 设 二 阶可 导 , y (t )
2
dy ( t ) 则 , dx ( t )
d y d dy d ( t ) d (t ) dt ( ) 2 ( t ) dt (t ) dx dx dx dx dx
t 求法：先建立关系y f ( x ) , 再两边关于 求导得:
dy dx f ( x ) dt dt
从中解出所求变化率 .
例9
一气球从离开观察员
500米处离地面铅直上 多少 ?
升, 其速率为 140米/ 秒.当气球高度为 500米时 , 观察 员视线的仰角增加率是
解 设气球上升t 秒后, 其高度为h , 观察员视 h 线的仰角为 , 则 tan 500
2
2
2
Βιβλιοθήκη Baidu . 相关变化率
设 x x(t ) 及 y y(t ) 都是可导函数 , 而变量 x 与 y 之间存在某种关系 f ( x ) , y
这样两个相互依赖的变 化率称为 相关变化率.
dy dx 则 f ( x ) , dt dt
相关变化率问题:
已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
上式两边对t 求导, 得
2
500米
d 1 dh se c dt 500 dt
）

h
500米
dh 140米 / 秒, 当 h 500 米时, sec2 2 dt d 仰角增加率 0.14(弧 度/ 秒) dt
2.4 几种类型函数的求导方法
一 . 隐函数的求导法 2 2 x y 1 0 y x 1 ; 显函数 xy 2 e x y 0 y ? 存在函数关系 定义: 通过方程 F ( x , y ) 0 确定的函数 y y ( x ) 称为隐函数。y f ( x ) 的形式称为显函数。 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
( x 1) 1 x , 求 y . 例4 设 y 2 ( x 3) ( x 4)
3
解 先取对数， 1 ln y ln x 1 ln 1 x 2 ln x 3 ln x 4 3 （注意：y 是 x 的函数） 上式两边关于 求导， x
1 1 1 2 1 y x 1 3(1 x ) x 3 x 4 y
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t ) 2 d y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 即 . 2 3 dx (t )
x a cos3 t 例8 求 由 方 程 表 示 的 函 数 的 二 阶 导. 数 3 y a sin t
例1 求 由 方 程xy e x e y 0 所 确 定 的 隐 函 数
y y( x ) 的 导 数 y , y
x 0
.
（注意：y 是 x 的函数） 解 方程两边对x 求导,
y x y e x e y y
0
ex y 解得 y x , 由原方程知 0, y 0, y xe
2 y dy 3a sin t cos t t 解 tan t 2 dx x 3a cos t ( sint ) t
d dt d y d dy d ( tan t ) tan t ( ) dt dx2 dx dx dx dx
4 se c t se c t se c t 3 2 (a cos t ) 3a cos t sint 3a sint
1 2 1 ( x 1) 1 x [ 1 ] y ( x 3)2 ( x 4) x 1 3(1 x ) x 3 x 4
3
例5 求幂指函数 y u( x )v ( x ) (u( x ) 0) 的导数 .
解 两边先取对数， ln y v( x ) ln u( x ) （注意：y 是 x 的函数） 上式两边关于 求导， x 1 1 u( x ) y v( x ) ln u( x ) v( x ) u( x ) y u( x ) y y [v ( x ) ln u( x ) v ( x ) ] u( x ) v ( x )u( x ) v( x) 即 y u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
1 cos x ln x sin x 1 y y x
sin x y y(cos x ln x ) x sin x sin x x (cos x ln x ). x
也可直接根据复合函数 求导法求导：
y x
sin x
e
ln x sin x
e
e y ( y)2 e y y y y xy 0
即 (e x) y e ( y) 2 y 0
y y 2
2 y e y ( y) 2 y( 2 y 2 y 2 ) y . y 2 3 e x x ( y 1)