幂函数导学案

§2.3 幂函数

1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；

2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.

（预习教材P 77~ P 79，找出疑惑之处）

复习1：求证3y x =在R 上为奇函数且为增函数.

复习2：1992年底世界人口达到54.8亿，若人口年平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿），写出：

（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口数； （2）2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式．

任务二、新课导学

探究任务一：幂函数的概念

问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；

（2）面积为S 的正方形边长12

a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；

（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.

新知

1、幂函数的概念：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.

试一试：判断下列函数哪些是幂函数.

① 1

y x

=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =.

探究任务二：幂函数的图象与性质

问题：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12

y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =．

说明：

② 除函数12y x =外，其余四个幂函数具有奇偶性

②在第一象限内，函数1

y x -=的图像向上与y 轴无限接近，我们称x 轴y 轴为渐近线 结合以上特殊幂函数的图像得出 一般幂函数的性质

（1）所有幂函数在(0,)+∞上都有定义，并且图像都通过点(1,1)

（2）若0α>，则幂函数的图像都过原点，并且

在区间[0,)+∞上为增函数

（3）若0,α<则幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点

时，图像在

y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于+∞

时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴

（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶

数时，幂函数为偶函数

从图象分析出幂函数所具有的性质.

观察图象，总结填写下表：

常见幂函数的性质

例1、已知幂函数2

1

2

1

(22)23m y m m x n -=+-+-，求,m n 的值

例2、已知函数22

1

()(2),m m f x m m x m +-=+⋅为何值时，()f x 是： （1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数

例3． 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1）32

y x =；（2）13

y x =；（3）23

y x =；（4）2y x -=；（5）3

y x -=；（6）12

y x -

=．

2、幂函数的定义域和值域

所有幂函数y x α

=的定义域和值域的求法分为五种情况 （1）0α=时，0

y x =的定义域为{}

0x x ≠，值域为{}1

（2）α为正整数时，y x α

=的定义域为R ，α为偶数时，值域为[0,)+∞,α为奇数时，值域为R （3）α为负整数时，y x α

=的定义域为{}

0x x ≠，α为偶数时，值域为(0,)+∞，α为奇数时，值域为

{}0y y ≠

（4）当α为正分数

n

m

时，化为m n y x =,m n 的奇偶性求解 （5）当α为负分数n

m -时，化为m n y x

=,m n 的的奇偶性求解

例4、（1）函数23

y x =的定义域是 ，值域是 ；

（2）函数23

y x -

=的定义域是 ，值域是 ；

练1（1）函数32

y x =的定义域是 ，值域是 ；

（2）函数32

y x -

=的定义域是 ，值域是 ；

练2、幂函数①2

y x -=，②45y x =，③54y x =，④23

y x =，⑤45

y x -

=，其中定义域为R 的是（ ）

A ．①②

B ．②③

C ．②④

D ．④⑤

例5．设α∈{－1,1，1

2

，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为( )

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

3、 幂函数的单调性和奇偶性

（1）幂函数的单调性：在区间(0,)+∞上，当0α>时，y x α=是增函数；当0α<时，y x α

=是减函数 （2）幂函数的奇偶性：令q

p

α=

（其中p 、q 互质，p 、q N +∈） 当q 为奇数，则p q

y x =的奇偶性取决于p 是奇数还是偶数.当p 是奇数时，则p q

y x =是奇函数；当

p 是偶数时，则p q

y x =是偶函数

当q 为偶数，则p 必是奇数，此时p q

y x =既不是奇函数，也不是偶函数

例6、若当(0,)x ∈+∞时，幂函数2

53

(1)m y m m x

--=--⋅为减函数，则实数m 的值为（ ）

A ．2m =

B ．1m =-

C ．1m =-或2m =

D ．12

m ±≠

例7、已知函数2

23()()m m m Z f x x -++∈=为偶函数，且(3)(5)f f < （1） 求m 的值，并确定()f x 的解析式

（2） 若()log (())(0,1)a g x f x ax a a =->≠在[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围

例8、已知幂函数223

()()m m f x x m Z --=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上市减函数

（1）求函数()f x 的解析式

（2）讨论()()

b

F x xf x =的奇偶性

练3、下列说法正确的是（ ）

A ．12

y x =是奇函数 B ．3

y x =是奇函数

C ．2

y x -=是非奇非偶函数 D ．13

y x =是非奇非偶函数