高等数学上第八讲
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lim f (x)
x x0
( x)
例1： 证明 lim 1 x1 x1
证：M0,
要使 1 x 1
M,
只须 | x1| 1 即可, M
取
1, M
则0当 |x1|时 ，
有 1 M, x 1
故 lim1 x1 x1
1
x1– x y 0 1x y x1+
-1
从函数图形上， 还 lim可1 看 出 , x1 x1
所以当x0时, 函数 y 1 2x 是无穷大. x
取M104, 则
1
104 2
当0|x0| 1
1 042
时,
|y|>104.
三、无穷小与无穷大量的关系
定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则
1 为无穷小量反. 之, 若f (x)为无穷小量 f (x)
(f(x)0),则 1 为无穷大量. f(x)
1 lim , x1 x1
例2：3. 根据定义证明: 函数 y 1 2x 为当x0时的无穷大.
x
问x应满足什么条件, 能使|y|>104？
习题1—4—3
证明 M0
|y|12x 2112
x
x |x|
要使|y|M,
只须|
1 x
|
2
M,
即 | x| 1
M 2
取 1 ,
M2
使当0|x0| 时, 有
12x M x
恒有 .
M
取 mi1n ,2{ }则 , 0 当 xx0 时恒 , 有
uu M , M
当xx0时u,为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
如：lim1 . 则lim (x1)0
x 1x1
x1
又如l： im ex. x
Biblioteka Baidu
则lim x
1 ex
0
limn.
n
则lim 1 0 n n
注意： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
课堂练习
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
x l i 2m tg x, xl i 2 m tg x,
定理1. lif( m x ) A f( x ) A ( x )其.中 (x)
是该极限过程中的无穷小量. A为常数.
证：“ ” ,设 lim f(x)A, 令 (x)f(x)A x x0
必要性 >0, >0, 当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) –A|<
即|(x)|, 故 lim (x)0. x x0
x
x
lim lim 因为 xsin10,
x0
x
x2arcta1n0
x0
x
二、无穷大量
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2：若 >0(无论多么大), >0 (或X>0), 当0<|x–xo|< (或|x|>X) 时，有|f (x)|>M,
则称f (x)是x x0 (或x )时的无穷大量. 记作：
高等数学（上） 第八讲
第一章
第四节
无穷大与无穷小
注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极
限过程谈无穷小量, 如sinx是x0时的无穷
小量, 但
limsin
x
x
1.因
此它 ，
不
是 x
2
2
时的无穷小量.
注2： 由于limC = C(常数),所以,
除0外的任何常数（即使其绝对值很小）不是无穷小
注3：0是任何极限过程的无穷小量.
即 (x)是无穷小量.
充分性 " " , 若 f ( x ) A ( x ) 其 . ( x ) 0 中 ( x x o 时 ) ，
则 0, 0, 当0|xxo|时有 ，|(x)|.
即 | f(x)A|. 由极限： 定 lim义 f(x)知 A. xx0 类似可证x时情形.
2、无穷小的运算性质:
x
y x
x x+
从图上li看 mex出 , x
limex 0.
x
y
ylnx
0
x
(3) lim ln x,limlnx .
x
x0
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
在同一过程中
注意！ 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
o
设 函u数 在U(x0,1)内 有 界 ，
则 M 0,10, 使得 0当 xx0 1时, 恒有u M.
又设 是当 xx0时的无穷小,
0 2 0, 使得 0x当 x02时 ,
lim tg x,
x 2
(2 ) lim ex, x
lim ex,
x
(3 ) lilm x n ,
x
lilm x n ,
x 0
解： (1)
从图上可看出
y
y = tgx
limtgx,
x
2
lim tgx .
x
2
2
yx
0
x y
2
3 2
x
limtgx ,
x
2
(2)
y
y ex
y xo
x x0
( x)
例1： 证明 lim 1 x1 x1
证：M0,
要使 1 x 1
M,
只须 | x1| 1 即可, M
取
1, M
则0当 |x1|时 ，
有 1 M, x 1
故 lim1 x1 x1
1
x1– x y 0 1x y x1+
-1
从函数图形上， 还 lim可1 看 出 , x1 x1
所以当x0时, 函数 y 1 2x 是无穷大. x
取M104, 则
1
104 2
当0|x0| 1
1 042
时,
|y|>104.
三、无穷小与无穷大量的关系
定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则
1 为无穷小量反. 之, 若f (x)为无穷小量 f (x)
(f(x)0),则 1 为无穷大量. f(x)
1 lim , x1 x1
例2：3. 根据定义证明: 函数 y 1 2x 为当x0时的无穷大.
x
问x应满足什么条件, 能使|y|>104？
习题1—4—3
证明 M0
|y|12x 2112
x
x |x|
要使|y|M,
只须|
1 x
|
2
M,
即 | x| 1
M 2
取 1 ,
M2
使当0|x0| 时, 有
12x M x
恒有 .
M
取 mi1n ,2{ }则 , 0 当 xx0 时恒 , 有
uu M , M
当xx0时u,为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
如：lim1 . 则lim (x1)0
x 1x1
x1
又如l： im ex. x
Biblioteka Baidu
则lim x
1 ex
0
limn.
n
则lim 1 0 n n
注意： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
课堂练习
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
x l i 2m tg x, xl i 2 m tg x,
定理1. lif( m x ) A f( x ) A ( x )其.中 (x)
是该极限过程中的无穷小量. A为常数.
证：“ ” ,设 lim f(x)A, 令 (x)f(x)A x x0
必要性 >0, >0, 当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) –A|<
即|(x)|, 故 lim (x)0. x x0
x
x
lim lim 因为 xsin10,
x0
x
x2arcta1n0
x0
x
二、无穷大量
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2：若 >0(无论多么大), >0 (或X>0), 当0<|x–xo|< (或|x|>X) 时，有|f (x)|>M,
则称f (x)是x x0 (或x )时的无穷大量. 记作：
高等数学（上） 第八讲
第一章
第四节
无穷大与无穷小
注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极
限过程谈无穷小量, 如sinx是x0时的无穷
小量, 但
limsin
x
x
1.因
此它 ，
不
是 x
2
2
时的无穷小量.
注2： 由于limC = C(常数),所以,
除0外的任何常数（即使其绝对值很小）不是无穷小
注3：0是任何极限过程的无穷小量.
即 (x)是无穷小量.
充分性 " " , 若 f ( x ) A ( x ) 其 . ( x ) 0 中 ( x x o 时 ) ，
则 0, 0, 当0|xxo|时有 ，|(x)|.
即 | f(x)A|. 由极限： 定 lim义 f(x)知 A. xx0 类似可证x时情形.
2、无穷小的运算性质:
x
y x
x x+
从图上li看 mex出 , x
limex 0.
x
y
ylnx
0
x
(3) lim ln x,limlnx .
x
x0
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
在同一过程中
注意！ 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
o
设 函u数 在U(x0,1)内 有 界 ，
则 M 0,10, 使得 0当 xx0 1时, 恒有u M.
又设 是当 xx0时的无穷小,
0 2 0, 使得 0x当 x02时 ,
lim tg x,
x 2
(2 ) lim ex, x
lim ex,
x
(3 ) lilm x n ,
x
lilm x n ,
x 0
解： (1)
从图上可看出
y
y = tgx
limtgx,
x
2
lim tgx .
x
2
2
yx
0
x y
2
3 2
x
limtgx ,
x
2
(2)
y
y ex
y xo