高等数学上第八讲
高等数学与工程数学课件第八章多元函数积分学基础.ppt
第一节 二重积分的概念与性质
一、实例
1.曲顶柱体的体积 在空间直角坐标系Oxyz中,以在xOy平面上的有界闭区域D为 底,以D的边界曲线为准线,母线平行于z轴的柱面为侧面,以z f (x, y)]表示的曲面S为顶[这里f (x, y) 0且在D上连续]的几何体称 为以曲面S为顶,区域D为底的曲顶住体(见图8-1)
f (x, y)d | f (x, y) | d
D
D
性质6 设M 和m分别为f (x, y)在闭区域D上的最大值和最小值,
是D的面积,则有不等式
m f (x, y)d M D
性质7 (二重积分的中值定理)设函数f (x, y)在闭区域D上连续,
是D的面积,则在D内至少存在一点( ,)使得下列等式成立
1 4
y4
1
0
dx
y
1 0
计算从1(x)到2 (x)的定积分,然后把计算结果(关于x的函数)再
对x计算从a到b的定积分.从而得到把二重积分化为先对y, 再对x 的二次积分公式为
b
2 ( x)
f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy
a
1 ( x )
D
类似地,若底面区域D为1( y) x 2 ( y), c y d, (见图8 6)
x
P(xi yi )
图8-2 曲顶柱体划分
n
(3)把n个小平顶柱体体积相加得 f (xi , yi )i ,它就是曲顶 i1
柱体体积V的近似值,即
n
V f (xi , yi )i i1
n
(4)对闭区域D的分割不断加细加密, f (xi , yi )i就越来越 i1
近曲顶柱体的体积V .当n个小闭区域的最大直径(指有界闭区域
高等数学：第八讲 空间两平面的夹角
A2 B2 C 2
因为
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C 2
P1
——点到平面的距离公式
n P0
d
谢谢
23
例题讲解
例2. 一平面通过两点 M1 ( 1, 1, 1 ) 和 M 2 ( 0 , 1, 1 ) , 且垂直于平面1：
x + y + z = 0，求其方程 .
解 假设平面有一法向量为
则
，
n
M1
n1 1
M2
故取
所以该平面方程为
即
例题讲解
例3. 设
是平面
P0 到平面的距离d .平面的夹角
设平面1的方程为 A1x B1 y C1z D1 0
则其法向量为
n1
A1 ,
B1, C1
设平面 2的方程为 A2 x B2 y C2 z D2 0
则其法向量为
n2
A2 ,
B2 , C2
n1
n2
2
1
两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.
n1 // n2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2
1
n1
2
n1
1
n2
2
例题讲解
例1. 求平面 2x y z 3 和平面 x y 2z 9 夹角。
解
根据空间两个平面的夹角公式
cos | 211 (1) 1 2 |
22 12 12 12 (1)2 22
31 62
所以
arccos 1
解
设平面法向量为
n
A, B, C ,
在平面上取一点
P1 ( x1 , y1 , z1 ), 则P0 到平面的距离为
高等数学课件第8章 线性代数基础
DnT
a12
a22
an2
a1n a2n ann
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即：
DnT Dn ➢ 凡是对行成立的性质对列也成立。
8.1.2 行列式的性质与计算(续一)
例8-6 证明上三角行列式
a11 a12 a1n
0 Dn a22 Fra biblioteka2n
a11a22 ann（8-9）
0 0 ann
某校机电系各 专业2004年 在校学生人 数：
2002级 2003级 2004级
制冷工程
96
98
98
机电设备维修 52
55
64
数控与模具
56
52
92
汽车维修
64
92
99
如果用矩形数 表可以简洁 地表示为 ：
96 98 98 52 55 64
56 64
52 92
92 99
8.2.1 矩阵的概念(续一)
x2
2
a11b2 b1a21 a11a22 a12 a21
（8-2）
8.1.1 行列式的概念(续二)
二阶行列式 展开式 元素 行 列 三阶行列式
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
8.1.1 行列式的概念(续二)
证明
8.1.2 行列式的性质与计算(续二)
性质2 互换行列式的任意两行，行列式仅改变符号。 推论 如果行列式有两行（或两列）的对应元素相等，
则这个行列式等于0。 性质3 将行列式某一行（列）所有元素都乘以相同
的数k，其结果就等于用k乘这个行列式。
高等数学：第八讲 复合函数微分法 二
u
x
zv
w
y
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
如果 u f (v, w), v v(x, y, z)，w w(x, y, z)
且上述函数满足定理的相应条件，则
u u v u w x v x w x u u v u w y v y w y u u v u w z v z w z
x u x v x
变量是非常重要
z z u z v 8yvuv1 8yuv ln u y u y v y
的，往往关系到 运算的难易程度.
例题2：
设
z
e3x2 4 y2
ln(2x
y2 ),
求
z , z . x y
u
x
z
v
y
解 设 u 3x2 4 y2 , v 2x y2 , z eu ln v, 则
复合函数微分法（二）
复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
对于有两个以上的中间变量和两个以上的自变量的形式，有相类似
的链导法则.
如果 z f (u, v, w), u u(x, y)，v v(x, y)，w w(x, y)
且上述函数满足定理的相应条件，则
z z u z v z w x u x v x w x z z u z v z w y u y v y w y
v
x
u
y
w
z
复合函数中既有中间变量，又有自变量
如果 z f (u, v, x, y), u u(x, y)，v v(x, y)，
且上述函数满足定理的相应条件，则
z f u f v f x u x v x x z f u f v f y u y v y y
高等数学：第八讲 函数的单调性 一
谢谢
函数的单调性 （一）
引例
y ' 0, y
y ' 0, y
函数单调性的判定法
定理 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导. （1）若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ，则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调增加； （2）若在 (a,b) 内 f '(x) 0 ，则函数 y f (x) 在 [a,b] 上 单调减少.
例题：
例1 讨论函数 f(x)=ex-x-1 的单调性.
解 函数的定义域为(-,+)； y =ex-1，
驻点—— y’=0的根.
当x>0时，y>0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时， y<0,函数在(-, 0]上单调减少.
当x=0时 y=0；x=0为单调区间的分界点.
例题：
例2
2
讨论函数 f x x3 的单调性.
（2）求出函数在考察范围内的全部驻点和不可导点（除指 定范围外，考察范围一般是指函数定义域）； （3）用这些驻点和不可导点将考察范围划分成若干个子区
间，确定f (x)在各部分区间的符号； （4）据判定定理得出f (x)的单调性.
例题：
例3 讨论函数y=x3的单调性.
解 y= x3的定义域为(-,+)；
解
函数的定义域为(-,+)；
y 2 , 33 x
当x>0时，y >0,函数在[0,+)上单调增加;
当x<0时，y <00时 y不存在; x=0为单调区间的分界点.
注意（一）
单调区间的分界点为驻点和不可导点！
高数大一第八章知识点
高数大一第八章知识点近年来，数学在大学教育中的地位越来越重要，尤其是高等数学这门课程。
高等数学作为一门综合性的数学课程，不仅为学生提供了数学基础知识，也对他们培养了逻辑思维和解决问题的能力。
在大一的课程中，第八章是高等数学的重要一环。
本文将介绍高数大一第八章的知识点。
第八章主要内容为无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
首先，我们来看无穷级数的概念。
无穷级数是由一连串的数相加（或相减）所得到的无穷和。
其中，部分和是指对级数中的前n 项（n是一个整数）进行求和。
当部分和的极限存在时，我们称此无穷级数是收敛的；当部分和的极限不存在或正负无穷大时，我们称此无穷级数是发散的。
接下来，我们来探讨无穷级数的收敛性判别法。
在第八章中，我们学习了几种常见的判别法，比如比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。
这些判别法可以帮助我们判断一个无穷级数是收敛还是发散，并且有时还可以估计出它的收敛域。
在学完无穷级数之后，我们来了解一下幂函数的泰勒展开。
泰勒展开是一种用无穷级数表示函数的方法，通过将一个函数表示成一系列的多项式来近似描述函数的行为。
泰勒展开的核心思想是将函数在某个点x=a处展开为幂级数。
通过求导和求导数值的换元，我们可以推导出求幂函数的泰勒展开的方法，并运用它来计算函数的近似值。
除了以上介绍的知识点，第八章还包括对数函数和指数函数的性质以及它们的图像、对数级数和指数级数等内容。
这些内容都是为了加深对高等数学的理解和应用。
总结来说，高数大一第八章是无穷级数、收敛与发散以及幂函数的泰勒展开。
通过研究这些知识点，我们可以理解数列的收敛性质，掌握无穷级数的收敛性判别法，学会求解幂函数的泰勒展开，进而提高数学推理和解题的能力。
这些知识点不仅对高等数学的学习有帮助，也对其他数学学科的学习有重要意义。
在实际应用中，第八章的知识点在物理学、工程学和经济学等学科中起着重要作用。
通过无穷级数的理论，我们可以对物理学中的波动和振动进行分析；通过幂函数的泰勒展开，我们可以在工程学中进行精确计算；通过收敛性的判别法，我们可以在经济学中对收益和成本进行预测和分析。
高等数学：第八讲 复合函数微分法 一
z z u z v xeusin v eucos v y u y v y
内容小结
1.复合函数中全是中间变量，且中间变量中只有一个自变量
u
z
t
v
2.复合函数中全是中间变量，且中间变量中有多个自变量
u
x
z
v
y
谢谢
导，且其导数为 全导数公式
dz z du z dv dt u dt v d t
其中 z,u, v,t 之间的关系可用右图表示.
u
z
t
v
01 复合函数中全是中间变量，且中间变量中只有一个自变量 如果复合函数的中间变量多于两个，也有同样的微分法则.
设函数 z f (u, v, w), u u(t)，v v(t)，w w(t)，
而函数 z f (u, v) 在对应点 (u, v) 处具有连续的偏导数，则复合函数
z f (u(x, y),v(x, y)) 也一定在 (x, y) 处可导，且其偏导数为
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
u
x
其中 z,u, v, x, y 之间的关系可用右图表示.
u
则
d z z du z dv z dw
dt u dt v dt w dt
zv
t
w
例题1：
已知
z sin u , u et, v t 2 , v
求 dz . dt
解
因为 z cos u 1 ,
u
vv
z v
cos
u v
(
u v2
),
d u et, dv 2t，
dt
dt
u z
t
高等数学第八章知识点总结
高等数学第八章知识点总结第八章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。
本文将对数列和级数的基本概念、极限、收敛性以及常见的数列和级数进行总结和归纳。
1. 数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。
数列可以有界，也可以无界。
数列的性质包括有界性、单调性和有界单调性。
1.1 有界性：如果存在一个正数M，对于数列的每一项a_n，都有|a_n|≤M，那么称数列是有界的。
1.2 单调性：如果对于数列的每一项a_n，都有a_n≤a_(n+1)（或a_n≥a_(n+1)），那么称数列是递增的（或递减的）。
1.3 有界单调性：如果数列既是递增的又是有界的，那么称数列是有界递增的；如果数列既是递减的又是有界的，那么称数列是有界递减的。
2. 数列的极限数列的极限是数列中的数值趋于无穷时的极限值。
数列的极限可以是有限的，也可以是无限的。
2.1 数列的收敛性：如果存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-a|<ε，那么称数列{a_n}收敛于a。
反之，如果不存在这样的实数a，则称数列{a_n}发散。
2.2 数列的极限存在唯一性：如果数列{a_n}收敛于a，并且又收敛于b，那么a=b。
3. 数列的运算数列的运算包括数列的加法、数列的乘法和数列的数乘。
3.1 数列的加法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n + b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的和。
3.2 数列的乘法：若{a_n}和{b_n}是两个数列，定义数列{c_n} = {a_n * b_n}，则称{c_n}为{a_n}和{b_n}的乘积。
3.3 数列的数乘：若{a_n}是一个数列，k是一个实数，定义数列{b_n} = {k * a_n}，则称{b_n}为{a_n}的数乘。
4. 级数的概念和性质级数是数列的和，级数的性质包括收敛性、发散性和级数的收敛域。
高等数学：第八讲 二阶常系数线性非齐次微分方程(1)
齐次方程的通解为 Y C1ex C2e3x ．
由于这里 0 不是特征根，所以设方程的特解为 y* b1x b0
把它代入方程得
3b1x (2b1 3b0 ) 3x 1
比较系数得
32bb11
3 3b0
1
b1
1, b0
1 3
所以原方程的一个特解为
y* x 1 3
因此所求通解为
y
C1e x
f (x) Pm (x)ex
此时微分方程(1)成为
Pm (x) a0 xm a1xm1
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
am1x am
分三种情形讨论此式：
y'' py' qy f (x) Pm (x)ex (3)
(1)设不是特征方程的 根，即2 p q 0.
C2e3x
(x
1) 3
谢谢
y (C1 C2 x)er x y e x (C 1 cos x C2 sin x)
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
定理
设 y * (x) 是二阶常系数线性非齐次微分方程(1)的一个特解，
Y C1 y1(x) C2 y2 (x)是方程(1)所对应的齐次方程(2)的通解，
则 y Y y* C1 y1(x) C2 y2 (x) y * (x) 是方程(1)的通解.
二阶常系数 线性非齐次 微分方程(1)
目录
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
02 二阶常系数线性非齐次微分方程解法
03
例题
01 二阶常系数线性非齐次微分方程
二阶常系数非齐次线性
齐次微分方程解法
微分方程的一般形式 （一）; py' qy f (x) (1)
高等数学：第八讲 第二个重要极限
1
1 x
x
x
1
1
1 x
x
2
2
3
4
5
10
100
1000 10000
…
2.25 2.37 2.441 2.488 2.594 2.705 2.717 2.718
…
x
-10 -50 -100 -1000
-10000
-100000
-1000000
…
1
1 x
x
2.87
2.75
2.73
2.720
2.7184
2.71830
2.718283
…
第二个重要极限
从上表可以看出，当
x无限增大时，函数
1
1 x
x
变化的大致趋势，可以证明当
时， x
1
1 x
x
的极限确实存在，并且是一个无理数，其值为
e 2.718282828
第二个重要极限 第二个重要极限的特点：
(1)它是底的极限为1、指数趋近于无穷大的变量的极限，
例2
求
lim
x
3 2
பைடு நூலகம்
x x
x
解:
lim
x
3 2
x x
x
lim
x
x x
3 2
x
lim
x
1
1
x
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
1
1 2
x 2
lim
x
1
1
x2
x 2
lim
x
1
1
2
《高等数学》例题解析-第八讲 不定积分的分部积分法、有理函数积分法
第八讲：不定积分的分部积分法、有理函数积分法一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．设xe -是()f x 的一个原函数,则()x f x dx =⎰( )A． B． ()1xe x -++c ()1x e x c --++C． D． ()1xex --+c ()1x e x c --+解：()()(),xxF x e f x F x e --'=== -∴原式=()xdF x ⎰ ()()xF x F x dx =-⎰()1x x x xe e dx x e ---=-=++⎰c选A2．若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()x f x dx '=⎰( )A．2ln ln x x c -+ B．22ln ln x x c ++ C．22ln ln x x c -+ D．2ln ln x x c ++ 解： ()2ln ,F x x =()()2ln f x F x x'==x()()x f x dx xd f x '=⎰⎰()()xf x f x dx =-⎰22ln ln x x c =-+选C3．设()()ln 1ln f x x '=+x ,则 ()f x =( )A．22xx xe c ++ B．()212xx x e c -++ C．22xx xe c -+ D．()212xx x e c --+解：(1)()()ln ln 1ln xf x e'=+ x()()1x f x e 'x ∴=+(2)()()1xf x x e d =+x ⎰22xx xde =+⎰22x x x xe e c =+-+ 选B4．()x f x dx ''⎰= ( )A． ()()xf x f x dx '-⎰B． ()()xf x f x c -+C． ()()xf x f x c '-+ D．()()f x xf x 'c -+ 解： 原式=()xdf x '⎰()()xf x f x dx ''=-⎰ ()()xf x d f x '=-⎰()()xf x f x c '=-+ 选C5．2cos xdx x =⎰ ( )A． tan ln cos x x x -+c B． tan ln cos x x x ++c C． tan ln sin x x x -+c D． tan ln sin x x x ++c 解： 原式=tan xd x ⎰sin tan cos xx x dx x =-⎰=cos tan cos d xx x x +⎰=tan ln cos x x x ++c 选B 6．()2211dx x x =+⎰ ( )A．1arctan x c x ++ B． 1arctan x c x -+C． 1arctan x c x --+D．1arctan x c x-++解： 原式()222211x x dx x x +-=+⎰22111dx dx xx =-+⎰⎰ 1arctan x c x=--+选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．ln xdx ⎰= 解： 原式ln ln x x xd =-x ⎰1ln x x x dx x=-⋅⎰ln x x x c =-+8．=⎰解：2t e td ⋅t222t t t tde te e c ==-+⎰2c -+回代9．()()112dx x x ++⎰=解： 原式()()()()2112x x dx x x +-+++⎰拆项112dxdx x x =-++⎰⎰ln 1ln 2x x c =+-++1ln2x c x +=++ 10．若()()10xf ex x '=+>,则()f x =解：(1)()1ln x xf e e '=+()1ln f x x '∴=+(2)()[]ln ln f x x x x x c x x c =+-+=+ 11．2sin xdx x =⎰解： 原式=∫()cot xd x -cot x x =-+∫cos sin xdx xcot ln sin x x x =-+c +12．()()22xf xf x dx '=⎰解： 原式=()()22122f x f x dx '⋅⎰()()()22221124f x d f x f x c ⎡⎤=+⎣⎦⎰凑微分三、计算题（每小题8分，共64分） 13．2ln sin cos xdx x ⎰.解：原式=ln sin tan xd x ⎰=()cos tan ln sin tan sin xx x x dx x⋅-⋅⎰=()tan ln sin x x d ⋅-⎰x=()tan ln sin x x x c ⋅-+14． 22arctan 1x xdx x +⎰ 解：原式=2211arctan 1x xdx x +-+⎰ =2arctan arctan arctan 1xx dx xd x x --+⎰⎰ =()()2211arctan ln 1arctan 22x x x x -+-+c15．cos sin x x xd ⎰解：原式=1sin 22x xdx ⋅⎰=1cos 24xd x -⎰ =1cos 2cos 24x x xdx -⎡⎤-⎣⎦⎰ =C x x x ++-2sin 812cos 4116．23x x edx -⎰.解：原式=2222x x x ed -⎰21122tt x tte dt tde --=⋅=-⎰⎰ 12t tte e dt --⎡⎤=--⎣⎦⎰ 12t tte e c --⎡⎤=-++⎣⎦ ()22112x x e c -⎡⎤-++⎣⎦回代17．2cos x xdx ⎰解： 原式2sin x d x =⎰22sin sin x x xd =-x ⎰ 2sin 2sin x x x xd =-x ⎰ 2sin 2cos x x xd =+x ⎰2sin 2cos 2x x x x =+-cos xdx ⎰=2sin 2cos 2sin x x x x x c +-+ 18．⎰x解：23tet d ⋅t=3∫2tt de 232t tt e e tdt ⎡⎤=-⋅⎣⎦⎰ 232t tt e tde ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2322t t tt e te e dt ⎡⎤=-+⎣⎦⎰111333213336x x x x e x e e =-+c +19．421xdx x +⎰解： 原式42111x dx x-+=+⎰ ()22111x dx dx x=-++⎰⎰3arctan 3x x x c =-++ 20．26xdx x x --⎰解：(1)()()2326x xx x x x =-+-- 32A Bx x =+-+，()()23A x B x x ++-= 令,5A=3,3x =35A =,令,得2x =-25B =(2) 原式=325532dx dx x x +-+⎰⎰=()232ln 355d x x x 2+-++⎰ 32ln 3ln 255x x c =-+++ 四、证明题（本题8分）21．已知()f x 有二阶连续导数,证明()21x f x d ''-x⎰()()1212124x f x x 'c =---+ 证 ()21xf x d ''-x ⎰()()121212xf x d x ''=--⎰()1212xdf x '=-⎰ ()()121212f x x f x dx ⎡⎤''=---⎣⎦⎰ ()()()1121212122f x x f x d x ⎡⎤''=----⎢⎥⎣⎦⎰()()1212124x f x f x c '=---+ 五、综合题 22．3sec xdx ⎰解： 原式3sec xdx =⎰()21tan sec x xdx =+⎰ tan sec sec xd x xd =+x ⎰⎰sec tan x x =-∫2sec sec x x +∫sec xdxsec tan ln sec tan x x x =⋅++3sec xxdx -⎰ 移项: 3sec x ⎰1sec tan ln sec tan 2x x x x =⎡++⎤+⎣⎦()()()2222911222918d x x d x dx x x x -+-=+-+-+⎰⎰ c 23．已知()f x 的一个原函数为sin xx ,()21ln 2922x x c =-+++) 求()3x f x dx '⎰解： ()sin xF x x= 选做题1．计算()221tan xe x +dx ⎰()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==解： 原式=()221tan2tan xex ++x dx ⎰原式()3x df x =⎰2tan 2tan x d x e xd =+x ⎰⎰2x e()()323x f x f x x dx =-⋅⎰ 2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x--=⋅-⎰222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰ 2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx =--+⎰⎰2cos 4sin 6cos xdx+x x x x x c =--+ 22tan x xe dx +⎰2tan x e x c =+选作题2．解：x24． 2129x dx x x +-+⎰=xdx -解：24436p q -=-< 0原式()21218x dx x -+-+⎰配方∴2128x tt dt t -=++⎰22288tdt tdtt t =+++⎰⎰xx -=-(ln x xe -=+()228128d t c t +=++⎰+ ()21ln 29arctan22x x c -+++回代(ln arcsin x x e e -c =+++(注:原式=21224229x x x -+=-+⎰。
高等数学第八章课件.ppt
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x
8-高等数学第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值§8.1 微分与积分中值定理一、知识结构 1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间()b a ,内可导,(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠, 则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()⎰-=baa b f dx x f )()(ξ.(2)推广的积分第一中值定理若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=baadx x f a g dx x g x f ξ)()()()(.(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=ba bdx x f b g dx x g x f η)()()()(.3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)n n(n)+-++-'+=00000!11 ,其中()()()()101!1)(++-+=n n n x x n fx R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0x 之间的某个值.或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个当0x x →时的n )x (x 0-的高阶无穷小之和:()()nn(n)x x o )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)000000!11-+-++-'+=其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n)x (x 0-的高阶无穷小.（2）麦克劳林公式定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R x n!)(x fx !)(f )x (f )f(f(x)n n(n)+++''+'+=022000 ,其中()()()11!1)(+++=n n n x n x fx R θ，(10<<θ).2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有()200000000100001,,,,2!11,,,1nn f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !xy θθ+⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k x h y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂， ……)y f(x yx kh C)y f(x y k x h pm pm pm p mp pmm00000,,--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001,11)(, 10<<θ 称为拉格朗日型余项.（2）麦克劳林公式定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n nθθ,110,011+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，其中10<<θ.二、解证题方法1、微分中值定理例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.证明 用反证法.因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令x e x f x F λ)()(=,则0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,即0='+='xxe xf ex f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()())(ξξξf f '-=''211.证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令⎪⎩⎪⎨⎧=∈'=-101011x x ex f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()())(ξξξf f '-=''211.例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且00=→xx f x )(lim,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得()0=''βf .证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连续. 进而0lim )(lim )(lim)(lim )0(0000=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使得0=')(αf . 又因00000=-=-='→→xx f xf x f f x x )(l i m)()(l i m)(, 并且()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值,所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.证明 (1)充分性 因为)(x f 为一常数C , 所以()0000==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xC C xx f x x f x f lim lim)(lim)(.(2)必要性对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进而)(x f 为一常数.例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .令⎪⎭⎫⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞→lim 存在且有限.分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-<⇐-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111n f nmnmnmmξε'=-<-<=<.证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,εN ,当Nm n >>时, 有ε<=<-=-=-mnmn nmm n mn x x m n 111, 所以()()εξξ<=<-<-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 111111111,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞→lim 存在且有限.例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在()b a ,内有界, 则存在正数M ,使得M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10<<k ), 证明: (1)11-+-≤-n n n n y y k y y ; (2)n n y ∞→lim 收敛.证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则221xk k x f +=')(,于是k x f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得:()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ介于1-n y ,n y 之间.(2)由(1)的递推关系知,011y y ky y nn n -≤-+,又因为级数∑∞=-101n ny y k收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞=+-11n n n y y 绝对收敛,所以n n S ∞→lim 收敛, 其中()1111y y y yS k nk k k n -=-=+=+∑, 进而n n y ∞→lim 收敛.例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明:xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.分析 关键是证明02>-'='⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为()[]000>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.练习[1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根.[2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当10<<x 时, 0)(>x f , 证明: 存在()1,0∈ξ,使得)1()1()()(2ξξξξ--'='f f f f .[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得)()()()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--.[4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,)(2)(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 42)(xex f -=,()+∞∞-∈,x .[5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0.[6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f ,1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根.[7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f ,0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有惟一的实根.[8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导,0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得()()b a f b f a +='+'21ξξ.[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf .[10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得)(211x x x x θ+=-+, 并且)(lim 0x x θ+→和)(lim x x θ+∞→（答案：41)(lim 0=+→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ ）.2、积分中值定理例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰∞→bann dx x g x f )()(lim.解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰=banb andx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又因为()0>ξf , 所以1=∞→nn f )(li m ξ,进而⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→baba n n bann dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(limξ.例2(河北大学2005年)证明:dx xx dx xx ⎰⎰+≤+222211ππcos sin .分析0111222222≤+-⇐+≤+⎰⎰⎰dx xx x dx xx dx xx πππcos sin cos sin .证明 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上不变号,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一中值定理得：dx xx x dx xx x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-24242221cos sin 1cos sin 1cos sin ππππ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++-+=242402cos sin11cos sin11πππηξ01121121121212222≤+--+-=+-++-=ξηηξ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx xx dx x x ⎰⎰+≤+2220211ππcos sin .例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且⎰-=211221dx ex f f x)()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='.证明 令2)()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,η,使得()⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211122021dx ex f ef x)(ηη即()⎰--=211122)(2dx ex f ef xηη. 因为⎰-=2101221dx ex f f x)()(, 所以())(121f ef =-ηη, 进而()112--=ef ef )(ηη. 又因为112--==e f e f F )()()(ηηη, 111-=ef F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为222ξξξξξξ---'='ef ef F )()()(,所以())(ξξξf f 2='.例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且()⎰-=ππππ1dx x f ef x)(,证明: 至少存在一点()πξ,0∈, 使得()()ξξf f ='.证明:令)()(x f ex F x-=,由()⎰-=ππππ1)(dx x f ef x和)()(πππf e F -=，得:()()⎰⎰⎰====----πππππππππππ111)()()(dx x F dx x f edx x f eef eF xx.由积分中值定理: ()()11()0()F F x dx F F ππππηηπ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξξf e f e F '+-='--,所以()()ξξf f ='.例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()32412a b f b a f a b dx x f ba -''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得⎰⎰⎰+++=baba ab b a dx x f dx x f dx x f 22)()()(()()⎰⎰++-+-=22)()(ba ab b a b x d x f a x d x f ()[]()()[]()⎰⎰++++'---+'---=bb a b ba ba ab a adxx f b x x f b x dx x f a x x f a x 2222)()()()(()()()⎰⎰++-'--'-⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a ba ab x d x f a x d x f b a f a b 22222)(2)(2()()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222)(22)(2ba aba a dx x f a x x f a xb a f a b()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--bba bb a dx x f b x x f b x 2222)(22)(()()()⎰⎰++''-+''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b a ba adx x f b x dx x f a x b a f a b 2222)(2)(22()()())(2)(2)(2222221积分中值定理⎰⎰++-''+-''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=bba b a adx b x c f dx a x c f b a f a b()()[]312()()()248b a a bb a f fc f c -+⎛⎫''''=-++⎪⎝⎭介值性定理()()3()224b a a bb a f fc -+⎛⎫''=-+⎪⎝⎭, 其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式22)(b a x f +≤'， )1,0(∈x .分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有21)1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，222)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=上面两式相减有 22212)()1(2)()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[]22)1(22)(22b a xx b a x f +≤+-+≤'.例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间[]b a ,上有二阶导数且,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ.分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2(b a f +分别在b a 、点展开，注意0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212ξξ，使得212)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ,222)(21)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ.两式相减得: []0)()()(81)()(221=-''-''+-a b f f a f b f ξξ, 故[])()()(21)()()(4212ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤--.其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,)()(,212211ξξξξξξξf f f f .例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数，0)(lim =+∞→x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞→x f x .分析：关键是做Taylor 展开.证明：要证明0)(lim ='+∞→x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ，当A x >时有ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+, ()h ,0∈ξ,即[]h f x f h x f hx f )(21)()(1)(ξ''--+='. 从而[]hx f h x f hhf x f h x f hh f x f h x f hx f 21)()(1)(21)()(1)(21)()(1)(+-+≤''+-+≤''--+='ξξ, 取ε<h , 因为0)(li m =+∞→x f x , 所以21)()(1lim )(lim0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤'≤+∞→+∞→h x f h x f hx f x x , 其中2)()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞→x f x .例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f .分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有212)()()()0(xf x x f x f f ξ''+'-=,22)2(2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，将上面两式相减有[]21224)()2(4)()0()2(21)(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[][][].21)1(211)2(411)(4)2()(4)0()2(21)(22222212≤+-+≤+-+≤''-+''++≤'x xx f x f x f f x f ξξ.例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在()δδ,-内0)(≡x f .分析：关键是做Taylor 展开.证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有222)(2)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''=''+'+=, x f f x f )()0()(η''+'=',其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值.从而x f x f x f x f )(2)()()(2ηξ''+''='+.现令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得{}M x f x f x f x f xx ='+='+≤≤-)()(max )()(14100.下面只要证明0=M 即可. 事实上⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''≤''+''='+=)(2)(41)(2)()()(000020000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]000041ηηξξf f f f +'++'≤（由()()x f x f x f x f ηξ''+''='+22)()(）11242M M ≤⋅=，即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1sin1lim 2. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x1sin展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3316111s i n x o x x x ，则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→→∞→332216111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求422cos lim xex xx -→-.分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开()5422421cos xo xxx ++-=, )(82154222x o xxex++-=-,所以)(12cos 5422x o xex x+-=--, 进而121cos lim422-=--→xex xx .例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明：(1)2022)(M t tM t f +≤' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立；(2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ .分析：Taylor 展开式.证明(1)考虑)(t x f + 在t 处的Taylor 展开式，,2)()()()(2>''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ，则t f tt f t f t f 2)()()2()(ξ''--='，所以++≤'tt f t f t f )()2()(2)(ξf ''t ，有题设条件可得t M tM t f 22)(2+≤' .(2)同理由Taylor 展开式知，t M tM t f 22)(2+≤'成立，从而t M tM M 2221+≤，取202M M t = 即得证.例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微，0)(lim =+∞→x f x ，但)(lim x f x '+∞→不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f .分析 Taylor 展开式.证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，因此有2)()(1)(h x f h x f hx f +-+≤' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞→x f x 知，存在0>A ，当A x > 时，有4)(2ε≤'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即0)(lim ='+∞→x f x ，矛盾.例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值41 .证明：1)1()0(≤+f f .分析 极值点，Taylor 展开式.证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则41)(=ξf 、0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有21)(2)())(()()0(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.又有2)1(2)()1)(()()1(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.所以有2221)1(2)(0)(2)(0)()1()0(ξηξξηξ-''+++''++=+f f f f f f[]2221)1()()(21)(2ξηξηξ-''+''+≤f f f[]22)1(121ξξ-++≤12121=+≤.这里另22)1()(x x x g -=，)1,0(∈x ，则最大值1)1(=g . 练习[1]（华中科技大学2005年）设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，0)1()0(==f f ，58)(≤''x f ，58)(≤'x f ，给出)10()(≤≤x x f 的一个估计.[2]（华中科技大学2004年）设)10(,2)(,0)1()0(≤≤≤''==x x f f f ，证明：1)(≤'x f .[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n ，有)!1(1!)1(!31211+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+---n n en. [4]（华南理工大学2004年）设)(x f 在[]1,1-上三次可微，1)1(,0)0()0()1(=='==-f f f f .证明：存在)1,1(-∈x ，使得3)()3(≥x f.[5]（大连理工大学2006年） 将2)1(1)(x x f += 在0=x 展开成Taylor 级数.[6]（同济大学1999年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→)11ln(lim 20x x x x (答案：21).[7]（大连理工大学2004年）设)(x f 在[]1,0上二阶可导，且有,0)1()0(==f f []21)(m i n 1,0-=∈x f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得4)(≥''ξf .[8] （东南大学2004年）（1）设)(x f 在[]2.0上二阶可导，0)2()0(='='f f .证明：存在)2,0(∈ξ使得[])(4)2()0(3)(320ξf f f dx x f ''++=⎰.（2）若在（1）中只假定)(x f 在[]2,0上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？[9]（东南大学2003年） 求42cos lim2xx exx --→(答案：81-).[10]（同济大学1999年）求xx x xx x x arcsin )1ln(cos sinlim222+-→(答案：61).§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点一、知识结构 1、函数的极值和最值函数)(x f y =的极值是一个局部概念，而函数)(x f y =的最值是一个整体概念. 如函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义, 如果[]b a x ,0∈的某个邻域),(0δx U 内有)()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥), 则我们称函数)(x f y =在点0x 取得极大值(极小值). 函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值)(0x f 满足)()(0x f x f ≥, 其中[]b a x ,∈.函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值)(0x f 满足)()(0x f x f ≤, 其中[]b a x ,∈.(1) 一元函数)(x f y =的极值和最值定理1（必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那未这函数在0x 处的导数为零，即0)(0='x f .定理2（第一种充分条件） 设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)(0='x f .（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为正；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为负，那未函数)(x f 在0x 处取极大值；（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为负；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为正，那未函数)(x f 在0x 处取极小值；（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，)(x f '恒为正或恒为负；那未函数)(x f 在0x 处没有极值.定理3 （第二种充分条件）设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0='x f 0)(0≠''x f ，那么（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极大值； （2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极小值. 一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值：（1）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极大值与)(),(b f a f 中最大的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最大值;（2）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极小值与)(),(b f a f 中最小的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最小值.(2) 二元函数()y x f z ,=的极值和最值定理1(必要条件) 设函数),(y x f 在点()00,y x 处可导，且在()00,y x 处取得极值，那未这函数在()00,y x 处的偏导数为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y .定理2 (充分条件)设函数),(y x f 在点()00,y x 某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则函数),(y x f 在点()00,y x 是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值， 且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)求函数),(y x f z =的极值，其中()y x ,满足条件0),(=y x F . 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=, 解方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0),,(0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 得⎪⎩⎪⎨⎧===000λλy y x x ，则()00,y x 为函数),(y x f z =的极值点(根据实际问题确定)，进而求得函数),(y x f z =的极值),(00y x f z =.2、函数的凸性与拐点定义1 若曲线)(x f y =在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.定义 2 设函数)(x f y =在区间I 上连续，如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凸（或凸弧）.定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在()b a ,内0)(>''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凹的； (2) 若在()b a ,内0)(<''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凸的. 3、函数)(x f y =图像的描绘主要用函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='和二阶导数)(x f y ''=''的性质和曲线)(x f y =的渐进线描绘函数)(x f y =图像.如果0)(>''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向下凸. 如果0)(<''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向上凸. 如果0)(0=''x f , 且)(x f ''在()0,x a ,()b x ,0上异号, 则0x 为函数)(x f y =图像的拐点.如果0)(>'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递增. 如果0)(<'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递减.二、解证题方法 1、函数的极值和最值例1（南京大学2003年）对任意00>y , 求)1()(00x x y x y -=ϕ在()1,0中的最大值, 并证明该最大值对任意00>y , 均小于1-e .解 由于000120)1()(y y xy x xy x --='-ϕ ，令0)1()(000120=--='-y y xy x xy x ϕ得函数)(x ϕ的稳定点100+=y y x , 所以函数)(x ϕ的最大值为10000111)1(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+y y y y ϕ.因为()x x -<-1ln , 10<<x , 所以()11111000000111)1(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+eey y y y y y ϕ .例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数,,,4,3,2,143n n 中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xx x f =)(, 1≥x , 则222ln 1ln 1ln 1ln 1)(xxx x x x x e e x f xxx x x x -=⎪⎭⎫⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xx x f =)(, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1, 0)(>x f ,当e x ≥,0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee . 从而下列数,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数只可能是33,2中的一个, 又因332<, 所以下列数 ,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数是33.例3（北京化工大学2004年）在下列数,2004,,4,3,2,12004242322中，求出最大的一个数.解构造辅助函数xxx f 2)(=, 1≥x , 则22222ln 2ln 1ln 222ln 2)(x x x x x x x e e x f x x x x xx⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xxx f 2)(=, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1,0)(>x f ,当e x ≥, 0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee 2.从而下列数 ,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数只可能是3223,2中的一个,又因32232<,所以下列数,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数是323.例4（中山大学2006年）设S 为由两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 所围成的闭区域,椭圆12222=+by ax 在S 内, 确定b a ,(0>b a 、), 使椭圆的面积最大.解 两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 的交点为()0,1-，()0,1，()1,0-，()1,0.S 为1122+-≤≤-x y x ，因为椭圆12222=+by ax 在S 内, 所以1,0≤<b a . 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x s i n c o s ，π20≤≤t ，由椭圆12222=+by ax 和区域S 的对称性知，椭圆12222=+by ax 的面积最大时， 必须有ta tb 22cos 1sin -= ，20π≤≤t 有惟一解. 即0cos 1sin 22=+-t a t b ,20π≤≤t 有惟一解.令01sin sin cos 1sin )(22222=-++-=+-=a t b t a t a t b t f ,20π≤≤t .则01)0(2≤-=a f , 012≤-=⎪⎭⎫⎝⎛b f π ，0)1(4222=-+=∆a a b ，()122sin 22≤=--=ab ab t . 于是212aa b -=，122≤≤a . 椭圆12222=+by ax 的面积2221212)(aaa a a ab a f -=-==πππ,122≤≤a . 即01214)(232=---='aaa a a f ππ, 得36=a , 322=b , 故最大面积为934π.例5（湖南师范大学2005年）设q p b a ,,,都是正数，（1）求()q px xx f -=1)(在区间[]1,0上最大值；（2）证明：qp qpq p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.解(1)因为()qpx xx f -=1)(, 所以()()1111)(-----='q pq p x qxx pxx f ,令()()011)(11=---='--q pqp x qxx pxx f 得稳定点qp p x +=. 又0)1()0(==f f , ()qp qp q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+, 进而函数()qpx x x f -=1)(在区间[]1,0上最大值为()qp qpq p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.(2)因为()1,q p p qp q p qa a a ab p p qf f a b a b a b a b a b p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭所以qp q p q p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.例6（南京农业大学2004年）试问方程033=+-q px x 在实数域内有几个实根.解 由于()+∞=+-+∞→q px x x 3lim 3, ()-∞=+--∞→q px x x 3lim 3, 所以方程033=+-q px x 在实数域内至少有一个实根. 令q px x x f +-=3)(3, 则()p x p x x f -=-='22333)(.(1)当0<p 时, 有0)(>'x f , 进而)(x f 单调递增, 方程033=+-q px x 在实数域内只有一个实根.(2) 当0>p 时, 得q px x x f +-=3)(3的稳定点p x =, p x -=. 上述稳定点将()+∞∞-,分成三个区间()p -∞-,, ()p p ,-, ()+∞,p . 当()p x -∞-∈,时, )(x f 严格单调递增, 当()pp x ,-∈时, )(x f 严格单调递减, 当()+∞∈,p x 时, )(x f 严格单调递增. 进而,在p x -=时, )(x f 取得极大值q p p +2.在p x =时, )(x f 取得极小值q p p +-2. 所以, 当()()042232>-=+-+p q q p pq p p时,方程33=+-q px x 只有一个实根, 当()()042232=-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当()()042232<-=+-+p q q p pq p p时, 方程。
清华大学微积分高等数学课件第8讲微分中值定理
则 在(a,b)内 至 少 存 在 一,点 使 得
05.12.2020
f(b)f(a)f()
ba
教学ppt
(ab)
19
怎样证明拉格朗日定理 ？
拉格朗日定理若添加条件: f(a)f(b) 则收缩为罗尔定理；
f(x 0)f (x 0)x l ix0 m f(x x ) x f0 (x 0)0
f(x0)0
05.12.2020
教学ppt
10
( ( (
微分中值定理的引入 平面曲线 AB,连续不断且其上各有点
切线.那麽AB上至少存在一C,点 使得曲线 AB在点C的切线与A弦B平行.
B
A
05.12.2020
C
切线平行于弦AB
作业
P88 习题4.1
5(1). 7. 8(2)(4). 9(1). 10(3). P122 综合题:
4. 5.
复习：P80——88
预习：P89——95
05.12.2020
教学ppt
1
应用导数研究函数性态
局部性态— 未定型极限 函数的局部近似
整体性态— 在某个区间上 函数的单调性、函数的极值 函数的凸性、渐近性、图形
05.12.2020
f() 0 (a b )
教学ppt
15
怎样证明罗尔定理 ？ 先利用形象思维
y
去找出一个C点来！
想到利用闭区间上连续函数
的最大最小值定理！
C
A
B
o
05.12.2020
a
教学ppt
C
函数的连续性与间断点
x x0
二、函数的间断点 （一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
可去间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第一类间断点 f ( x0 ) 和 f ( x0 )
间断点
都存在
跳跃间断点 f ( x0 ) f ( x0 )
第八讲 函数的连续性与间断点
连续性:
连续函数: 要 求:
函数的一种变化性态
高等数学的主要研究对象 理解连续的概念 理解间断的概念与分类 会讨论函数的连续性
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
x0 , x0 内有界.
定理 函数 y f ( x )在 x0处连续,且 f ( x0 ) 0, 则 0 使y=f (x)在 x0 , x0 内恒有 f ( x ) 0.
一、函数的连续性
（一）函数在一点处连续的概念
（二）函数在区间上连续的概念
[a , b]上连续.
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
二、函数的间断点
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
二、函数的间断点
（一）概念 （二）分类 （三）举例
定义 设函数 y f ( x ) 在点x0 的某去心邻域内有定义,
x x0 x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
（一）函数在一点处连续的概念
常微分方程
第八讲 常微分方程 (一)基本概念和一阶可解方程、高阶可降价方程 (一) 微分方程的基本概念 (二) 一阶可积类型的求解 (三) 高阶可降阶类型方程的求解 (四) 应用问题举例 (五) 综合例题8.1 微分方程的基本概念8.1.1 引言与实例 z 什么是微分方程？包含未知函数的导数或微分的方程式就称为微分方程.微分方程是用函数与导数的关系式来表达(一类)函数的一种方法。
z 微分方程的重要性z 微分方程的基本问题: 列方程,解方程；解的定性研究。
z 微分方程的基本研究方法 8.1.2 微分方程其及其分类：z 包含未知函数导数的方程式称为微分方程. z 常微分方程和偏微分方程: z 微分方程的阶:方程中出现的最高阶导数的阶数称为这个微分方程的阶. n 阶方程的一般形式: ()),...,,,,(1122−−=n n n dxyd dx y d dx dy y x f yz 线性与非线性方程如果在上述方程中,函数f 关于未知函数y 及其各阶导数dy dx d y d x d y dxn n ,,...,2211−−都是一次整式,则称这个方程是线性微分方程, 否则称为非线性微分方程. n 阶线性常微分方程的一般形式为:()()())( (011)11x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n =++++−−−,其中())(),1,...,1,0(,x f n i x a i −=是已知函数. 8.1.3 “解”的概念 z 解的概念:满足微分方程的函数，称为该方程的解。
即将此函数代入方程，使其成为恒等式。
或更细致一点，如果函数)(x y y =在区间I 上具有n 阶导数, 且将其代入某n 阶微分方程之后, 使之成为恒等式, 则称函数)(x y y =是方程在区I 上的一个解 z 通解一般解与定解条件微分方程的解中都包含了若干任意常数. 一般情况下, 在n 阶微分方程的解中含有n 任常数12c c c n ,,...,, 也就是说, n 阶微分方程的解的表达式为: y f x c c c n =(,,,...,)12 这种包含了n 个任常数 称为微分方程的通解.一个微分方程虽然可以有无穷多个解, 若要从中确一个所需要的解.为此,需要对微分方程附加某些条件,即所谓定解条件. 对于n 阶微分方程,为了从通解中找到所需要的解,需要附加n 个初始值条件, 即()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=′=′===−−−−1001000011,,,0),...,,,(n n n n n y x y y x y y x y dxyd dx dy y x f y 这样的定解条件称为初值条件,上述问题就称为初值问题. 满足微分方程, 并且适合定解条件的解称为微分方程的特解. z 微分方程解的存在唯一性定理：初始值问题()00(,)y f x y y x y ′=⎧⎪⎨=⎪⎩.若(),f x y 连续, (,)f x y y ∂∂在方域 {}00(,),D x y x x a y y a =−≤−≤有界, 则该问题存在唯一的解满足方程和初始条件.. 例8.1, 四个函数: 1)(211+=−x eC x y , 22)(C x y =,)()()(213x y x y x y +=, x x y x y x y −+=)()()(214,其中21,C C 为任意常数，是否是下列三个方程： (1) ()y x y −=′12; (2) 0)21(2=′−−′′y x y x ;(3) 2221)21(x y x y x −=′−−′′. 之解，若是解，是什么解？解：根据解的概念，用直接代入验证可知：)(1x y 是方程(1)的通解；当12=C 时，)(2x y 是方程(2)的一个特解；)(1x y 和)(2x y 都是方程(2)的解, )(3x y 是方程(2)的通解； )(4x y 是方程(2)的通解.例8.2, 研究由()⎩⎨⎧=+=′0023y xy x y 之解所确定函数的增减区间，极值点及凸凹区间。
精品课件-高等数学-第八章
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)
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1 lim , x1 x1
例2：3. 根据定义证明: 函数 y 1 2x 为当x0时的无穷大.
x
问x应满足什么条件, 能使|y|>104？
习题1—4—3
证明 M0
|y|12x 2112
x
x |x|
要使|y|M,
只须|
1 x
|
2
M,
即 | x| 1
M 2
取 1 ,
M2
使当0|x0| 时, 有
12x M x
如：lim1 . 则lim (x1)0
x 1x1
x1
又如l： im ex. x
则lim x
1 ex
0
limn.
n
则lim 1 0 n n
注意： 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
课堂练习
例2: 试从函数图形判断下列极限.
(1)
x l i 2m tg x, xl i 2 m tg x,
高等数学（上） 第八讲
第一章
第四节
无穷大与无穷小
注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极
限过程谈无穷小量, 如sinx是x0时的无穷
小量, 但
limsin
x
x
1.因
此它 ，
不
是 x
2
2
时的无穷小量.
注2： 由于limC = C(常数),所以,
除0外的任何常数（即使其绝对值很小）不是无穷小
注3：0是任何极限过程的无穷小量.
x
y x
x x+
从图上li看 mex出 , x
limex 0.
x
பைடு நூலகம்
y
ylnx
0
x
(3) lim ln x,limlnx .
x
x0
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数 混淆，零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大.
定理3 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
在同一过程中
注意！ 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证
o
设 函u数 在U(x0,1)内 有 界 ，
则 M 0,10, 使得 0当 xx0 1时, 恒有u M.
又设 是当 xx0时的无穷小,
0 2 0, 使得 0x当 x02时 ,
所以当x0时, 函数 y 1 2x 是无穷大. x
取M104, 则
1
104 2
当0|x0| 1
1 042
时,
|y|>104.
三、无穷小与无穷大量的关系
定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则
1 为无穷小量反. 之, 若f (x)为无穷小量 f (x)
(f(x)0),则 1 为无穷大量. f(x)
lim tg x,
x 2
(2 ) lim ex, x
lim ex,
x
(3 ) lilm x n ,
x
lilm x n ,
x 0
解： (1)
从图上可看出
y
y = tgx
limtgx,
x
2
lim tgx .
x
2
2
yx
0
x y
2
3 2
x
limtgx ,
x
2
(2)
y
y ex
y xo
恒有 .
M
取 mi1n ,2{ }则 , 0 当 xx0 时恒 , 有
uu M , M
当xx0时u,为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例,当 如 x 0时 ,xsi1n ,x2arc1t都a是n 无穷小
即 (x)是无穷小量.
充分性 " " , 若 f ( x ) A ( x ) 其 . ( x ) 0 中 ( x x o 时 ) ，
则 0, 0, 当0|xxo|时有 ，|(x)|.
即 | f(x)A|. 由极限： 定 lim义 f(x)知 A. xx0 类似可证x时情形.
2、无穷小的运算性质:
定理1. lif( m x ) A f( x ) A ( x )其.中 (x)
是该极限过程中的无穷小量. A为常数.
证：“ ” ,设 lim f(x)A, 令 (x)f(x)A x x0
必要性 >0, >0, 当0<|x – x0|< 时, 有|f (x) –A|<
即|(x)|, 故 lim (x)0. x x0
x
x
lim lim 因为 xsin10,
x0
x
x2arcta1n0
x0
x
二、无穷大量
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义2：若 >0(无论多么大), >0 (或X>0), 当0<|x–xo|< (或|x|>X) 时，有|f (x)|>M,
则称f (x)是x x0 (或x )时的无穷大量. 记作：
lim f (x)
x x0
( x)
例1： 证明 lim 1 x1 x1
证：M0,
要使 1 x 1
M,
只须 | x1| 1 即可, M
取
1, M
则0当 |x1|时 ，
有 1 M, x 1
故 lim1 x1 x1
1
x1– x y 0 1x y x1+
-1
从函数图形上， 还 lim可1 看 出 , x1 x1