习题课——排列与组合的综合应用
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例3(1)教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费
培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费
培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有
种不同的分派方法.
(2)某科室派出4名调研员到3个学校,调研该校高三复习备考近况,
要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为
.
A.130 B.120 C.90 D.60
(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人
组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有
种不
同的选法.(用数字作答)
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
解析:(1)法一(直接法):由题意,可分三类考虑:第 1 类,男生甲入
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
组合问题 组合问题的常见题型及解题思路
常见 一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问 题型 题等
(1)分清问题是否为组合问题; 解题 (2)对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是 思路 先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个计数原理化
性质 ������nn=n!;0!=1 备注 n,m∈N*且 m≤n
������nm
=
������nm ������mm
=n
(n-1)…(n-m m!
+1)
=m
n !(n
! -m
)!
������n0=1;������nm = ������nn-m ;������nm + ������nm-1 = ������nm+1
【做一做 3】 对所有满足 1≤m≤n≤5 的自然数 m、n,方程
x2+C������������ y2=1 所表示的不同椭圆的个数为
.
解析:∵1≤m≤n≤5,∴C������������ 有C21, C31, C32, C41, C42, C43, C51, C52, C53, C54共
10 种情况.其中C31 = C32, C41 = C43, C51 = C54, C52 = C53,所以 x2+C������������ y2=1
反思感悟有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些
元素,或者“至少”或“最多”含有几个元素:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素
取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的
元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维,用间接法
排列问题
例1(1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不
能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
(2)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产
品C不相邻,则不同的摆法有
种.
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
解析:(1)第一类:甲在最左端,有A55=120(种)排法; 第二类:乙在最左端,有 4×A44=96(种)排法, 所以共有 120+96=216(种)排法.
类加法计数原理,不同的取法种数为 264+208=472.
答案:472
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一
个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、
部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中 元素的个数相等,就存在均分现象.
能表示的不同椭圆有 6 个.
答案:6
4.排列与组合的区别 排列 排列与顺序有关 两个排列相同,当且仅当这两个排 列的元素及其排列顺序完全相同
组合 组合与顺序无关 两个组合相同,当且仅当这 两个组合的元素完全相同
【做一做4】 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅
写一条毕业留言,那么全班共写了毕业留言
等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于 0,于是有 2×C52 + C52C21=40(种)情况;其三:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、另 一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1,其余等于 0,于是有 2C53 + C52C31 + C51C42=80(种)情况.所以满足条件的元素个数为 10+40+80=130.
第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有C61种分法; 第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有C52种分法; 第 3 步,余下的 3 名教师作为一组,有C33种分法. 根据分步乘法计数原理,共有C61C52C33=60(种)分法. 再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有A33=6(种)分法, 故共有 60×6=360(种)不同的分法.
(2)分两步完成:第一步,将 4 名调研员按 2,1,1 分成三组,其分法
有C42AC2122C11种;第二步,将分好的三组分配到 3 个学校,其分法有A33种,所 以满足条件的分配方案有C42AC2122C11 ·A33=36(种).
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(3)将 6 名教师分组,分三步完成:
习题课——排列与组合的综合应用
课标阐释
思维脉络
1.能够判断所研究的问题是不是排列或组 合问题.
2.进一步熟练掌握排列数、组合数公式的
计算技能. 3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题的 方法.
1.排列与排列数
排 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成
列 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列, 同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列, 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
定序问题 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再 除法处理 除以定序元素的全排列
选,女生乙不入选的方法种数为:C31C42 + C32C41 + C33=31; 第 2 类,男生甲不入选,女生乙入选的方法种数为:C41C32 +
C42C31 + C43=34; 第 3 类,男生甲入选,女生乙入选的方法种数为:C32 + C41C31 +
C42=21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(3)从 8 人中选出 4 人,且至少有 1 名女学生的选法种数为C84 −
C64=55.
从 4 人中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人的选法为
A24=12(种). 故总共有 55×12=660(种)选法. 答案:(1)B (2)A (3)660
答案:(1)90 (2)36 (3)360
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
反思感悟分组分配问题的三种类型及求解策略
类型 求解策略
整体 均分
部分 均分
解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况, 所以分组后一定要除以������nn(n 为均分的组数),避免重复计数 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有 m 组 元素个数相等,则分组时应除以 m!,一个分组过程中有几个 这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
条.
解析:由题意,得毕业留言共A240=1 560(条). 答案:1 560
【做一做5】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人
所选的课程中恰有1门相同的选法有
种.
解析:依题意知,满足题意的选法共有C41 ·C31 ·C21=24(种). 答案:24
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(3)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则
有
种不同的分法.
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
解析:(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有C62AC4233C22种方法,再将 3 组毕业生分到 3 所学校,有A33 = A36(种)方法,故将 6 个毕业生平均分 到 3 所学校,共有C62AC4233C22 ·A33=90(种)不同的分派方法.
归为简单问题
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
例2(1)某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成
的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与
女生乙至少有1人入选的方法种数为( )
A.85 B.86 C.91 D.90
(2)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )
31+34+21=86.
法二(间接法):从 5 名男生和 4 名女生中任意选出 4 人,男、女生 都有的选法有C94 − C54 − C44=120(种);男、女生都有,且男生甲与女生 乙都没有入选的方法有C74 − C44=34(种).所以男生甲与女生乙至少 有 1 人入选的方法种数为 120-34=86.
(2)记其余两种产品为 D,E,由于 A,B 相邻,则视为一个元素,先与 D,E 排列,有A22A33种方法.再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,共有 A22A33C31=2×6×3=36(种)不同的摆法.
答案:(1)B (2)36
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
反思感悟求解排列问题的六种主要方法
5!
−
������!(6-������)! 6!
=
7×1(70-×������7)!!������!,整理可得
m2-23m+42=0,解得
m=21(舍去)或 m=2.
答案:2
3.排列数、组合数的公式及性质
排列数
组合数
公式
������mn =n(n-1)(n-2)… (n-m+1)=(nn-m! )!
处理.
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
变式训练2现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色
卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色
卡片至多1张,不同取法的种数为
.
解析:第一类,含有 1 张红色卡片,不同的取法有C41C122=264(种).第
二类,不含有红色卡片,不同的取法有C132-3C43=220-12=208(种).由分
排
列 数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个 数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作������mn
Baidu Nhomakorabea
【做一做 1】 方程 3A3������=2A2������+1+6A2������的解为
.
解析:由排列数公式可知 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3 且 x∈N*,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),解得 x=5 或 x=23(舍去), ∴x=5.
答案:5
【做一做 2】
已知C15������
−
1 C6������
=
107C7������,则 m=
.
解析:由已知得 m 的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈Z},原等式可
化为������!(5-������)!
间接法 正难则反、等价转化的方法
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
变式训练1工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工 程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程 丁必须在工程丙完成后立即进行.则安排这6项工程的不同方法种 数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40 解析:因为工程丙完成后立即进行工程丁,若不考虑与其他工程的 顺序,则安排这 6 项工程的不同方法数为A55,对于甲、乙、丙、丁所 处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求,因此,符合条件的安 排方法种数为AA5533=5×4=20. 答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(2)易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三种情况讨论.
其一:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取一个让其 等于 1 或-1,其余等于 0,于是有C51C21=10(种)情况;其 二:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取两个让其都
培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费
培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有
种不同的分派方法.
(2)某科室派出4名调研员到3个学校,调研该校高三复习备考近况,
要求每个学校至少一名,则不同的分配方案种数为
.
A.130 B.120 C.90 D.60
(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人
组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有
种不
同的选法.(用数字作答)
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
解析:(1)法一(直接法):由题意,可分三类考虑:第 1 类,男生甲入
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
组合问题 组合问题的常见题型及解题思路
常见 一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问 题型 题等
(1)分清问题是否为组合问题; 解题 (2)对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是 思路 先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个计数原理化
性质 ������nn=n!;0!=1 备注 n,m∈N*且 m≤n
������nm
=
������nm ������mm
=n
(n-1)…(n-m m!
+1)
=m
n !(n
! -m
)!
������n0=1;������nm = ������nn-m ;������nm + ������nm-1 = ������nm+1
【做一做 3】 对所有满足 1≤m≤n≤5 的自然数 m、n,方程
x2+C������������ y2=1 所表示的不同椭圆的个数为
.
解析:∵1≤m≤n≤5,∴C������������ 有C21, C31, C32, C41, C42, C43, C51, C52, C53, C54共
10 种情况.其中C31 = C32, C41 = C43, C51 = C54, C52 = C53,所以 x2+C������������ y2=1
反思感悟有限制条件的组合问题的解法
组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些
元素,或者“至少”或“最多”含有几个元素:
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素
取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的
元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维,用间接法
排列问题
例1(1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不
能排甲,则不同的排法共有( )
A.192种
B.216种
C.240种
D.288种
(2)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产
品C不相邻,则不同的摆法有
种.
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
解析:(1)第一类:甲在最左端,有A55=120(种)排法; 第二类:乙在最左端,有 4×A44=96(种)排法, 所以共有 120+96=216(种)排法.
类加法计数原理,不同的取法种数为 264+208=472.
答案:472
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一
个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、
部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中 元素的个数相等,就存在均分现象.
能表示的不同椭圆有 6 个.
答案:6
4.排列与组合的区别 排列 排列与顺序有关 两个排列相同,当且仅当这两个排 列的元素及其排列顺序完全相同
组合 组合与顺序无关 两个组合相同,当且仅当这 两个组合的元素完全相同
【做一做4】 某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅
写一条毕业留言,那么全班共写了毕业留言
等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个等于-1,其余等于 0,于是有 2×C52 + C52C21=40(种)情况;其三:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取三个让其都等于 1 或都等于-1 或两个等于 1、另 一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1,其余等于 0,于是有 2C53 + C52C31 + C51C42=80(种)情况.所以满足条件的元素个数为 10+40+80=130.
第 1 步,在 6 名教师中任取 1 名作为一组,有C61种分法; 第 2 步,在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组,有C52种分法; 第 3 步,余下的 3 名教师作为一组,有C33种分法. 根据分步乘法计数原理,共有C61C52C33=60(种)分法. 再将这 3 组教师分配到 3 所中学,有A33=6(种)分法, 故共有 60×6=360(种)不同的分法.
(2)分两步完成:第一步,将 4 名调研员按 2,1,1 分成三组,其分法
有C42AC2122C11种;第二步,将分好的三组分配到 3 个学校,其分法有A33种,所 以满足条件的分配方案有C42AC2122C11 ·A33=36(种).
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(3)将 6 名教师分组,分三步完成:
习题课——排列与组合的综合应用
课标阐释
思维脉络
1.能够判断所研究的问题是不是排列或组 合问题.
2.进一步熟练掌握排列数、组合数公式的
计算技能. 3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题的 方法.
1.排列与排列数
排 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成
列 一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列, 同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列, 再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中
定序问题 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再 除法处理 除以定序元素的全排列
选,女生乙不入选的方法种数为:C31C42 + C32C41 + C33=31; 第 2 类,男生甲不入选,女生乙入选的方法种数为:C41C32 +
C42C31 + C43=34; 第 3 类,男生甲入选,女生乙入选的方法种数为:C32 + C41C31 +
C42=21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(3)从 8 人中选出 4 人,且至少有 1 名女学生的选法种数为C84 −
C64=55.
从 4 人中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人的选法为
A24=12(种). 故总共有 55×12=660(种)选法. 答案:(1)B (2)A (3)660
答案:(1)90 (2)36 (3)360
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
反思感悟分组分配问题的三种类型及求解策略
类型 求解策略
整体 均分
部分 均分
解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况, 所以分组后一定要除以������nn(n 为均分的组数),避免重复计数 解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有 m 组 元素个数相等,则分组时应除以 m!,一个分组过程中有几个 这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数
条.
解析:由题意,得毕业留言共A240=1 560(条). 答案:1 560
【做一做5】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人
所选的课程中恰有1门相同的选法有
种.
解析:依题意知,满足题意的选法共有C41 ·C31 ·C21=24(种). 答案:24
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
(3)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则
有
种不同的分法.
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
解析:(1)先把 6 个毕业生平均分成 3 组,有C62AC4233C22种方法,再将 3 组毕业生分到 3 所学校,有A33 = A36(种)方法,故将 6 个毕业生平均分 到 3 所学校,共有C62AC4233C22 ·A33=90(种)不同的分派方法.
归为简单问题
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
例2(1)某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成
的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与
女生乙至少有1人入选的方法种数为( )
A.85 B.86 C.91 D.90
(2)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )
31+34+21=86.
法二(间接法):从 5 名男生和 4 名女生中任意选出 4 人,男、女生 都有的选法有C94 − C54 − C44=120(种);男、女生都有,且男生甲与女生 乙都没有入选的方法有C74 − C44=34(种).所以男生甲与女生乙至少 有 1 人入选的方法种数为 120-34=86.
(2)记其余两种产品为 D,E,由于 A,B 相邻,则视为一个元素,先与 D,E 排列,有A22A33种方法.再将 C 插入,仅有 3 个空位可选,共有 A22A33C31=2×6×3=36(种)不同的摆法.
答案:(1)B (2)36
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
反思感悟求解排列问题的六种主要方法
5!
−
������!(6-������)! 6!
=
7×1(70-×������7)!!������!,整理可得
m2-23m+42=0,解得
m=21(舍去)或 m=2.
答案:2
3.排列数、组合数的公式及性质
排列数
组合数
公式
������mn =n(n-1)(n-2)… (n-m+1)=(nn-m! )!
处理.
探究一
探究二
探究三
探究四 数学思想 当堂检测
变式训练2现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色
卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色
卡片至多1张,不同取法的种数为
.
解析:第一类,含有 1 张红色卡片,不同的取法有C41C122=264(种).第
二类,不含有红色卡片,不同的取法有C132-3C43=220-12=208(种).由分
排
列 数
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个 数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,记作������mn
Baidu Nhomakorabea
【做一做 1】 方程 3A3������=2A2������+1+6A2������的解为
.
解析:由排列数公式可知 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),
∵x≥3 且 x∈N*,∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),解得 x=5 或 x=23(舍去), ∴x=5.
答案:5
【做一做 2】
已知C15������
−
1 C6������
=
107C7������,则 m=
.
解析:由已知得 m 的取值范围为{m|0≤m≤5,m∈Z},原等式可
化为������!(5-������)!
间接法 正难则反、等价转化的方法
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探究四 数学思想 当堂检测
变式训练1工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工 程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程 丁必须在工程丙完成后立即进行.则安排这6项工程的不同方法种 数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40 解析:因为工程丙完成后立即进行工程丁,若不考虑与其他工程的 顺序,则安排这 6 项工程的不同方法数为A55,对于甲、乙、丙、丁所 处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求,因此,符合条件的安 排方法种数为AA5533=5×4=20. 答案:B
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(2)易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1 或 2 或 3,下面分三种情况讨论.
其一:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取一个让其 等于 1 或-1,其余等于 0,于是有C51C21=10(种)情况;其 二:|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从 x1,x2,x3,x4,x5 中任取两个让其都