数理统计正态总体的置信区间

2(Yn1)nt(2n1 2)n2S
1 2 ( X Y
2))n1St1(n改1nn11为n212分2n)1S2位 数n11
1
n2
t / 2(n1 n2 2)
t /2(n1 n212)
§4 正态总体的置信区间
例6 2003年在某地区分行业调查职工平均工资情况:
已知体育、卫生、社会福利事业职工工资 X (单位:元)
§4 正态总体的置信区间
的置信度为1 置信区间为
查表得
(n
2 /
1)S 2 2(n 1)
,
(n
2 1
/2
1)S 2 (n 1)
.
2 0.1 /
2
(25
1)
36.42,
2 10.1 /
2
(25
1)
13.85,
于是, 置信下限和置信上限分别为
24122 / 36.42 9.74, 24 122 / 13.85 15.80,
了样本容量为25 的一样本, 并测得样本均值 x 186, 样本标准差 s 12. 假定所论胆固醇水平 X
~ N ( , 2 ), 与 2均示知, 试分别求出 以及
的90%的置信区间.
§4 正态总体的置信区间
解
按题设数据 0.1, x 186, s 12, n 25,
查表得
t0.1/ 2(25 1) 1.7109,
于是 t /2(n 1) s / n 1.7109 12 / 25 4.106, 即 (181.89,190.11).
§4 正态总体的置信区间
解 按题设数据 0.1, x 186, s 12, n 25,
查表得
t0.1/ 2(25 1) 1.7109,
于是 t /2(n 1) s / n 1.7109 12 / 25 4.106, 即 (181.89,190.11).
所求 的90%置信区间为 (9.74,15.80).
§4 正态总体的置信区间
设产品的某质量指标
X
~
N
(1
,
2 1
)
由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或技术革
新等因素的影响，使得产品质量指标可能发生变化，此时
该产品的质量指标应为 Y
~
N
(
2
,
2 2
)
为了了解产品质量指标有多大的变化，需要考虑
1
1 0.95, 0.05, / 2 0.025,
查标准正态分布表 u0.025 1.96, 将数据
n 100, x 80, 12, u0.025 1.96,
代入
x
u / 2
n
计算得 的置信度为95%的置
信区间为 (77.6,82.4), 即在已知 12 情形下, 可
§4 正态总体的置信区间
, 2 的无偏估计分别为 X , S 2 ,且
X ~ t(n 1)
S/ n
故对于给定的置信水平 1查, 表可求得
t /使2 (n得1)
等价地有
P
|
X S
/
n
|
t
/
2
(n
1)
1
P{ X
S n
t
/
2
(n
1)
X
S n
t
/
2
(n
1)}
1
故 的置信水平为 1的置信区间为
(X
S n
t
/
2
(n
1))
§4 正态总体的置信区间
~ N (1,2182 ); 文教、艺术、广播事业职工工资 Y (单位:元) ~ N (2 ,227), 从总体 X 中调查25人, 平均
1, 2, 2 的无偏估计分别为
且
X
1
n1
n1 i 1
Xi
,
Y
1
n2
n2
Yj
j 1
,
S2
(n1
1)
S12
(n2
1)
S
2 2
n1 n2 2
( X Y ) (1 2) ~ t(n1 n2 2)
S
1
n1
1
n2
故
P(
改1 为的分2置位信形数度式为上有的1置 信区间为
X
Y
)
t
(n1n(2(12X)S2Y)n1)~1(tXn12/
设 X1, X2,, Xn 为总体 X ~ N(, 2) 的样本 , , 2 均 未知. 的置信水平为 的1置信区间
(X
S n百度文库
t
/
2
(n
1))
已2 知, 的置信水平为 的1置信区间
(X
u
n
/2)
未知, 的2 置信水平为 1的置 信区间
(n 1)S 2
2 / 2 (n 1)
,
(n 1)S 2
2 1
将 x 80, s 12, n 25, t0.025(24) 2.0639,
代入计算得 的置信度为95%的置信区间为(75.05, 84.95), 即在 2 未知情况下, 估计每个旅游者的平
均消费额在75.05元至84.95元之间,这个估计的可靠 度是95%.
§4 正态总体的置信区间
例5 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取
/
2
(n
1)
§4 正态总体的置信区间
例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 随
机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 x 80 元.
根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准
差 12 元, 求该旅游者平均消费额 的置信度
为95%置信区间.
§4 正态总体的置信区间
解 对于给定的置信度
2,
2 1
/
2 2
的统计推断问题
§4 正态总体的置信区间
Y1,Y2 ,,Y设n2是X来1, 自X2总,是体, X来Yn1自~ 总N(体的2,样2 )本X,两的~样N样本(本1独,,立2 ) ,
样本均值和样本方差分别为
X
,Y
,
S
2 1
,
S
2 2
.
1,
2
,
2
均未知,
求 1 2的置信度为 1的 置信区间.
例3 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消
费额 x 80 元, 子样标准差 s 12 元, 已知旅游者
消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费 的95%
的置信区间.
§4 正态总体的置信区间
解 对于给定的置信度
95%( 0.05), t / 2(n 1) t0.025(24) 2.0639,
§4 正态总体的置信区间
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求 的,较好的点估计 ˆ,ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
W W (,ˆ,ˆ) ~ f (x)
对于给定的置信水平 ，1由 确定f两(x)个分位
点 f1，W/ 2 ,使只f得/包2 含未知参
分布密度f (x已) 知,且
数P{f1,而 /2不 W含(其,它ˆ,ˆ) f /2} 不1含任何未知参数
等价地 未知参数
/2
/2
P{ } 1
的 置信区间为 ( , )
f 1 /2 (x)
f /2 (x) x
§4 正态总体的置信区间
设 X1, X2,, Xn 为总体 X ~ N(, 2) 的样本 , , 2 均 未知.试求 的置信水平为 1的置信区间.