备战2021高考数学大题分解专题05 解析几何

【肢解 1】若| AF | | BF | 4 ，求 l 的方程；
【肢解 2】若 AP 3PB ，求 | AB | ．
【肢解 1】若| AF | | BF | 4 ，求 l 的方程；
y 3xm
【解析】设直线 l 方程为 2
， A x1, y1 ， B x2, y2 ，
由抛物线焦半径公式可知
结合抛物线定义得 |
AF
|
yA
p 2
2
5 2.
（2）由 x2 2 py 得 y x2 ， y x ，
2p
p
所以直线 l 的斜率为
x0 p
，故直线 l
的方程为
y
y0
x0 p
x
x0
.即
x0 x
py
py0
0.
又由 | ON |
py0 x02 p2
2得
p
8 y0 y02
4
且
y02
4 0，
所以 | MN |2 | OM |2 | ON |2 x02 y02 4
将直线
AB
x my 1
与抛物线联立
y
2
4x
y2
4my 4
0，
设
A( x1 ,
y1 )
，
B(
x2
,
y2
)
，由韦达定理得
y1 y1
y2
y2
4m 4
，
因为
AF
3FB
，所以
y1
3 y2
，即 m2
1 3
，
所以直线 AB 的斜率为 3 或 3 ．
（2） SOACB
2SAOB
2 1 OF 2
33
13
13
所以 ABM 的面积为 1 | AB | d 1 2 13 4 4 ．
2
2
13
变式训练一
1.（2019 年山西太原一模)已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，O
为坐标原点，若 AOB 的面积为 6 ，求 | AB | .
【解析】由题意知抛物线 y2 4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0) ， 易知当直线 AB 垂直于 x 轴时， AOB 的面积为 2，不满足题意， 所以可设直线 AB 的方程为 y k(x 1)(k 0) ，
专题 05 解析几何
大题肢解一
直线与抛物线
（2019 年全国卷 I）已知抛物线 C ： y2 3x 的焦点为 F，斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A ， B ， 2
与 x 轴的交点为 P ．
（1）若 | AF | | BF | 4 ，求 l 的方程；
（2）若 AP 3PB ，求 | AB | ．
为 P ．若 AP 2PB ， M (4,0) ，求 ABM 的面积．
【解析】设直线 l 方程为 x 2 y t ，
3
联立
x
2 3
y
t
得
y2
2y
3t
0
，由
4
12t
0
得t
1
，
y2 3x
3
由韦达定理知 y1 y2 2 ， y1 y2 3t ，
因为
AP
2PB
，所以
y1
2 y2
，所以
与 y2 4x 联立，消去 x 得 ky2 4 y 4k 0 ，
设
A( x1 ,
y1) ，
B( x2 ,
y2 )
，由韦达定理知
y1
y2
4 k
，
y1 y2
4 ，
所以 | y1 y2 |
16 k2
16
，
2021 高考数学
所以 AOB 的面积为 1 1 2
16 k2
16
6 ，解得 k
2，
【解析】(1)由题意，得 ca 2 2
解得 a 2 2 ，
a2 b2 c2
b 2
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 . 84
（2）设点 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，
x
2
由 8
y2 4
1
消去
y
得 3x2
4mx 2m2
8 0，
y x m
由 (4m)2 12(4m2 8) 0 得 2 3 m 2 3 ，
28 【肢解 2】若 AP 3PB ，求 | AB | ．
【解析】设直线 l 方程为 x 2 y t ，
3
2021 高考数学
联立
x
2 3
y
t
得
y2
2y
3t
0
，由
4
12t
0
得t
1
，
y2 3x
3
由韦达定理知 y1 y2 2 ，
因为 AP 3PB ，所以 y1 3y2 ，所以 y2 1 ， y1 3 ，所以 t 1， y1 y2 3 .
次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解． 温馨提示：注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的焦点．
【拓展 1】已知抛物线 C ： y2 3x 的焦点为 F，斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A ， B ，与 x 轴的交点 2
由韦达定理知
x1
x2
4m 3
，
x1x2
2m2 8 3
，
所以 | AB | 2 ( 4m )2 4(2m2 8) 4 7m2 36 ，
3源自文库
3
由点到直线的距离公式得
F1 (2,0)
到直线
y
x
m 的距离 d
|
2
m 2
|
，
所以
ABF1
的面积为
1 2
|
2
m 2
|
4 3
m2 36
6(m 2) ，解得 m 3 ，满足 2 3 m 2 3 ，
、
B
3
,
1 2
两点得
02
m2
2
3 m2
12
n2
1 2
n2
2
1 1
解得 n2 1 ， m2 4 ，
所以椭圆 C : x2 y2 1. 4
【肢解 2】设直线 l : y 1 x m(m 0) 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，求当所取何值时， OPQ 的面积最 2
为 P ．若 | AF | | BF | 7 ，求 l 在 y 轴上的截距. 2
y 3xm
【解析】设直线 l 方程为 2
， A x1, y1 ， B x2, y2 ，
由抛物线焦半径公式可知
AF
BF
x1
x2
3 2
7 2
，所以
x1
x2
2，
联立
y
3 2
x
m
得 9x2
12(m
12) x
4m2
AF
BF
x1
x2
3 2
4
，所以
x1
x2
5 2
，
联立
y
3 2
x
m
得 9x2
12(m
12) x
4m2
0
，
y2 3x
由 (12m 12)2 144m2 0 得 m 1 ， 2
所以
x1
x2
12m 12 9
5 2
，解得 m
7 8
，
所以直线 l 的方程为 y 3 x 7 ，即12 x 8 y 7 0 .
（2）若直线 l 与抛物线 C 和圆 O 分别相切于 M , N 两点，设 M x0 , y0 ，当 y0 3, 4 时，求 MN 的
最大值．
【解析】（1）由题意知 F (0, 2) ，所以 p 4 .
所以抛物线 C 的方程为 x2 8y .
将 x2 8y 与 x2 y2 4 联立得点 A 的纵坐标为 yA 2( 5 2) ，
y2
2
，
y1
4
，所以
y1 y2
8
.t
8 3
，
所以 | AB |
1 4 9
( y1 y2 )2 4 y1 y2
1 4 9
22 4 (8) 2 13 ，
直线 l 方程为 x 2 y 8 ，即 3x 2 y 8 0 ，所以点 M (4,0) 到 l 的距离 d | 12 8 | 4 ，
＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2
＝ 1＋k12|y1－y2|
＝
1＋ 1 k2
（y1＋y2）2－4y1y2.
2021 高考数学
变式训练二
【变式 1】中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C 过 A(0,1) 、 B( 3, 1 ) 两点， 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 l : y 1 x m(m 0) 与椭圆 C 交于 P ，Q 两点，若 APQ 的面积为 m 1，求 m 的值. 2
则 | AB |
1 4 9
( y1 y2 )2 4 y1 y2
1 4 9
22 4 (3)
4
13
.
3
设抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，过点 F 的而直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
x1＋x2＋p. 弦长的计算方法：求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二
【解析】（1）由题意可设椭圆
C
的方程为
x2 m2
y2 n2
1，
代入
A
0,
1
、
B
3
,
1 2
两点得
02
m2
2
3 m2
12
n2
1 2
n2
2
1 1
解得 n2 1 ， m2 4 .
所以椭圆 C : x2 y2 1. 4
（2）将直线 l
:
y
1 2
x
m, (m
0)
代入
x2 4
y2
1得
由点到直线的距离公式得点 A(0,1) 到直线 l 的距离 d | 2 2m | . 5
所以 APQ 的面积为 1 | 2 2m | 5 m2 2 | m 1| m2 2 ， 25
因为 APQ 的面积为 m 1，所以 | m 1| m2 2 m 1 ，解得 m 1或 m 1（舍去）. 所以 m 1．
0
，
y2 3x
由 (12m 12)2 144m2 0 得 m 1 ， 2
所以
x1
x2
12m 12 9
2
，解得 m
1 2
，
2021 高考数学
所以直线 l 的方程为
y
3 2
x
1 2
，令
x
0
得
y
1 2
，
所以直线 l 在 y 轴上的截距为 1 . 2
【拓展 2】已知抛物线 C ： y2 3x 的焦点为 F，斜率为 3 的直线 l 与 C 的交点为 A ， B ，与 x 轴的交点 2
大.
【解析】将直线 l
:
y
1 2
x
m, (m
0)
代入
x2 4
y2
1得：
x2
4
1 2
x
m
2
4.
整理得 x2 2mx 2m2 2 0 .
2m2 4 2m2 2 8 4m2 0 得 2 m 2 .
由韦达定理得 x1 x2 2m ， x1x2 2m2－2 .
x1 x2 x1 x2 2 4x1x2 4m2 4 2m2 2 8 4m2
所以所求直线方程为 y x 3 或 y x 3 .
1.（2019 年山东高考模拟）已知圆 O : x2 y2 4 ，抛物线 C : x2 2 py( p 0) ． （1）若抛物线 C 的焦点 F 在圆 O 上，且 A 为抛物线 C 和圆 O 的一个交点，求 AF ；
2021 高考数学
x2
4
1 2
x
m
2
4.
整理得 x2 2mx 2m2 2 0 .
2m2 4 2m2 2 8 4m2 0 得 2 m 2 .
设 P(x1, y1) ， Q(x2 , y2 ) ，韦达定理得 x1 x2 2m ， x1x2 2m2－2 .
所以 | PQ | 1 ( 1 )2 (2m)2 4(2m2 2) 5 m2 2 ， 2
SOPQ
1m 2
x1 x2
m
2 m2
m4 2m2 .
由二次函数可知当 m2 1即 m 1时， OPQ 的面积的最大．
直线与圆锥曲线的相交弦长问题：设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
2021 高考数学
【变式 2】已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) 的离心率为
2 ，其中左焦点为 F (2,0) ． 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若直线 y x m 与椭圆 C 交于不同的两点 A ， B ， ABF1 的面积为 6(m 2) ，求直线的方
程．
c
2
所以 | AB |
1
1 k2
|
y1
y2
|
6
.
2.（2019 年湖北荆州模拟)已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点.
（1）若 AF 3FB ，求直线 AB 的斜率； （2）设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C ，求四边形 OACB 面积的最小值. 【解析】（1）依题意可设直线 AB : x my 1 ，
y1 y2
y1 y2
( y1 y 2) 2 4y1y 2
16m 216 4 ，
当 m 0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值为 4．
大题肢解二
（2020 届广东省珠海市高三上学期期末）中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C 过 A(0,1) 、 B( 3, 1 ) 两点，
2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 l : y 1 x m(m 0) 与椭圆 C 交于 P ，Q 两点，求当所取何值时，OPQ 的面积最大.
2 【肢解 1】求椭圆 C 的方程； 【肢解 2】设直线 l : y 1 x m(m 0) 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点，求当所取何值时， OPQ 的面积最
2
大.
2021 高考数学
【肢解 1】求椭圆 C 的方程；
【解析】（1）由题意可设椭圆
C
的方程为
x2 m2
y2 n2
1，
代入
A
0,
1