数学猜想实际上是一种数学想象

小学数学猜想教学的策略研究

数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的知识和事实经验的基础上，运用非逻辑手段得到的一种假定，一种合理的推理（G·波利亚语：“在数学领域中，猜想是合理的，只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应该让合理的猜想占有适当的位置”）。数学课程标准也十分明确地肯定了猜想在数学教学中的重要作用，提出小学数学教学过程“要遵循学生的认知规律，重视学生获取知识的思维过程，通过操作、观察、演示等方式，引导学生进行比较、分析、综合、猜想，在感知的基础上加以抽象、概括，进行简单的判断、推理。”在课堂教学中，什么样的数学猜想才是合理的呢？作为执教者应该如何引导学生进行合理的猜想呢？本文试结合一些小学数学猜想的案例谈谈引导学生猜想的教学策略。

一、创设生发点，激发猜想

合理的数学猜想凭借的直觉思维，但它离不开生发点，不是凭空瞎猜。数学知识、数学方法等方面往往存在着某些内在的联系，这些都可以作为数学猜想的生发点。因此教师在新知的教学中，要提供有连接性的教学材料，创设富有挑战性的问题情境，让学生观察、比较，引导学生合理地猜想。

案例1：猜一猜，哪块草地的面积大？

师：下面请同学们看这样两幅草地图：

师：它们分别是什么形状的？

生1：一个长方形，一个平行四边形。

师：谁来猜一猜，哪一块草地的面积大？

生2：长方形的大。

生3：一样大。

生4：平行四边形的大。

师：那同学们想一想，如果我要准确比较出这两块草地的面积大小，有什么办法?

生5：求出它们的面积。

师：哪一块能够求出来？

生6：长方形这块可以求出。

师：你告诉我怎么求出来？

生6：长方形面积=长╳宽

师：这是我们以前学过的，那平行四边形的面积呢？今天我们就带着这个疑问一起来学习“平行四边形的面积”。（板书）

案例2：“圆锥的体积可能与圆柱的体积有关”。

师：（课件演示圆柱体）这是什么形体？

生1：圆柱体。

师：用课件动态地将圆柱切削成一个圆锥（底面和高分别相等）。

师：（指着切削成的圆锥）这是什么形体？

生2：圆锥。

师：假设让你来研究圆锥的体积，你认为圆锥的体积会与什么有关？

生3：圆锥的体积可能与圆柱有关。

师：猜一猜，等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积有什么关系？

生4：如果圆柱和圆锥的底面和高都分别相等的话，那么，圆锥的体积可能是圆柱的二分之一。

生5:可能是三分之一。

生6：可能是五分之二。

师：大家都提出自己的猜想，今天我们一起来研究圆锥的体积？

思考：案例1执教者关注长方形与平行四边形等积变形的内在联系，案例2执教者通过课件动态的切削（等底等高的圆柱、圆锥），非常直观地使学生感悟到了圆柱和圆锥之间的某种联系。正是这些数学知识、数学方法等方面存在着的内在联系，为学生的猜测作了孕伏和铺垫，并由此产生的内驱力激发了学生学习数学的兴趣，使他们的思维处于愤悱之中，从而表现出积极、主动的探求欲望。

二、去伪存真，验证猜想

猜想是一种似真判断，学生提出猜想后，应引导学生加以验证、分析或解释。在实际教学中，有些教师只注重猜想，却忽视了猜想后的验证。

案例3：比的基本性质。

师：我们已经学习了除法、分数，还初步认识了“比”，现在请同学们看大屏幕。

（）÷（）= =（）:（）

师：快速把答案填在卡片上。（生填卡片）

师：你愿意把自己所填的结果告诉大家吗？（学生回答，教师填写）。

投影出示：（）÷（）= = （）:（）

除法分数比

（商不变性质）（分数的基本性质）（？）

师：（指着投影），除法有商不变的性质，分数有分数的基本性质，比呢？（先指“比”字，再指向问号），你有什么样的猜想？

生：（思考片刻）比可能也有类似的性质。

师：对！比也有基本性质。（板书课题：比的基本性质）

师：比的基本性质会是怎样呢？大家猜一猜。

生1：我猜想，比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数，比的大小不变。

师：（询问其他的同学）你们认为呢？

生2：我觉得不能乘或除以0，因为比的后项不能为0。

生3：对，应补上“0除外”。

师：大家考虑的真周到！现在谁能完整地说一说比的基本性质？

学生述说比的基本性质。

师：下面我们就应用比的基本性质把下面各比化成最简单的整数比（出示例题）。

案例3中，执教教师创设了一个好的猜想时机，让学生由商不变的性质，分数的基本性质，通过类比猜想，从而猜想出比的基本性质，这一点是值得肯定的。但是学生猜测出比的基本性质后，教师没有引导学生去验证“猜想”的正确性，而是让学生机械地记住“猜想”结果，直接运用结果解题。这种只求猜想，不求验证的教学，只定位于让学生猜想“是什么”，而不引导学生探究“为什么”，这样的教学不利于学生深刻理解所学的知识，不利于学生形成科学严谨的学习态度和良好的思维习惯。

案例4：你能想办法证明你的猜想吗？

师：（出示正方形纸片）大家猜猜，

生1：

生2：（马上补充）四边一样长。

师：是吗？请大家选择所需的实验材料，你能想办法证明你的猜想吗？（学生操作验证活动后，交流汇报）

生1：我把正方形纸片的四边折在一起，发现四边会重合，可以看出正方形的四边相等。

生2：我用尺子量正方形纸片的四边，也能发现这一规律。

生3：（十分急切）我有不同方法，我用毛线来比正方形的四边，也发现了这一规律。……

师：大家自己动手想办法证明了自己的看法，很好!看来只要大家勤于动脑、动手，这样就能越学越聪明。

思考：案例4中，在学生形成猜想之后，执教者没有直接把“正方形四边相等”这一结论直接、机械地告诉学生，而是帮助学生弄清猜想的真伪，努力引导学生对这个猜想加以验证、分析和解释，学生通过“折一折”、“比一比”、“量一量”等学习方式，多角度地参与了“正方形四边相等”这一结论的验证过程，实现了知识技能目标和发展性目标的和谐发展。

三、转变观念，鼓励猜想。

在某些狭隘的教学观念认为：只有“说得清，道得明”，步步为营，层层推进的逻辑思维，才是唯一合法的逻辑思维。在这种狭隘的数学思维观的指导下，试探和直觉色彩很强的猜想活动就不可能得到教师的肯定和提倡。

案例5：“数学是讲究依据的，千万不可随意猜测。”

某教师在教学“除法的意义”练习课上，让学生在练习本上做这样一道习题：“有一批鸭梨，每筐装30千克，正好装35筐；现在只有30个筐，要把鸭梨都装上，平均每筐要多装多少千克？”集体讨论时，学生出现了以下两种解法：

1.用现在每筐装的千克数减去原来每筐装的千克数，

列式为：30╳35÷30—30

2.用原来比现在多出的筐里所装鸭梨的千克数除以现在的筐数，

列式为：30╳（35—30）÷30。

这时，一位学生高高举起了手，脸上“写”满了激动。

生1：老师，我觉得要求平均每筐多装的千克数，可以用35减去30（教室里顿时安静了下来，同学们都愣住了）。

师：你能说说，你是怎么想的吗？

生1：我，我……只凭直觉!（教室里立刻哄堂大笑）

生2：老师，他的解法是错误的，因为他只用了两个条件，一步解答的。

生3：老师，他是在凑得数。

生4：他的列式如果理解成35筐减30筐，求出的应该是原来比现在多几筐，不是所求的问题。如果理解成35千克减30千克，那么题中哪来的35千克呢？显然他的列式是错误的（班上许多同学都点头默认）

师：（满脸的严肃）数学是讲究依据的，千万不可随意猜测。

同学们不约而同地把目光投向那位说出“35-30”算法的同学，顿时那位同学的脸涨得通红，不由自主地低下了头……

思考：由于这道题鸭梨的总重量是一定的，即（30╳35）千克。由“35个筐装，平均每筐要装30千克”,从而猜想到“用30个筐装，则平均每筐就要装35千克，所以平均每筐要多装（35-30）千克”。这显然是合理的猜想，而执教者的作法确实令人担忧，学生的奇思妙想被教师的一瓢冷水泼得烟消云散。像这样下去，以后每当学生面临一个数学问题时，它