研究生数值分析 牛顿(Newton)迭代法

x*
x 0 a x0 x1 x2
b x
f '' (x) 0
y
y
f '(x) 0
a x0 x1 x2
0
x*
a
x2 x1 x0 b
b
x0
x* f '' (x) 0
x
f '(x) 0
只要初始值满足条件x0 [a,b] 及 f (x0 ) f ''(x0 ) 0 ，则迭代过程必收敛。
例4 用牛顿迭代法求方程 x cos x 0
（1） f "(x)在[a,b]上连续； （2） f (a) f (b) 0 ； （3）对任意 x [a,b] ，都有 f '(x) 0 ； （4）f "(x)在[a,b]上保号， 则当初值 x0 [a, b] ，且 f (x0 ) f '' (x0 ) 0 时， 牛顿迭代公式产生的迭代序列 {xk } 收敛于方程 f(x)=0在 [a,b]上的唯一实根 x* ，并且至少是平 方收敛的。
则存在 δ>0，当 x0 [x* , x* ] 时，
由牛顿(Newton)迭代法
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
产生的序列 {xk} 收敛于 x*；
若 f "(x*)≠0 且 x0≠x*，则序列{xk}是平方收敛 的。
证明：略。（见p75-76）
定理7 对方程 f(x)=0，若存在区间[a,b]，使
为迭代函数的迭代法。
定理5 对于方程 f(x)=0 ,若存在区间(a,b),使 1、在(a,b)内存在方程的单根 x* ； 2、 f '(x)在(a,b)内连续。 则牛顿迭代法在 x* 附近具有局部收敛性。
证明：由迭代函数
g(x) x
f (x) f '(x)
得
g'(x) f (x) f ''(x) [ f '(x)]2
定理7的简要几何说明： （证明见p76-78） 条件（1）保证了曲线 y=f (x)的连续性和光滑性； 条件（2）保证了方程y = f (x)在[a ,b]内至少有一 实根； 条件（3）说明在[a ,b]上恒有 f '(x) 0 或 f '(x) 0 即f(x)=单调，f(x)=0在[a,b]内最多有一实根。
例5 给出用牛顿迭代法求平方根 c (c 0) 的迭代公式，并计算 135.607 使其精确至7位有效数字。
解：作函数 f (x) x2 c ，
则f (x)=0的正根 x*就是 c
f (x)=0的牛顿迭代公式为
xk 1
xk
f (xk ) f '(xk )
xk
xk2 c 2xk
1 2
(xk
c xk
的实根，要求准确到 xk1 xk 105
解：设 f (x) x cos x ，则 f '(x) 1 sin x, f ''(x) cos x 容易验证 f (x) x cos x 在[0，3]上 满足定理５的条件 当 x0 1[0,3] 时 f (x0 ) f '' (x0 ) 0
(xk , f (xk ))处的切线方程，迭代公式就是切线与 x 轴
交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
（2）牛顿迭代法收敛的充分条件
当
f '(x) 0
时，方程 x x
f (x) f '(x)
与
f (x) 0
具有相同的根。因此，牛顿迭代法是一种以
g(x)
x
f (x) f '(x)
5 牛顿(Newton)迭代法
（1）牛顿迭代公式 设xk是非线性方程 f(x)=0的一个近似根，把 f(x)
在xk 处作一阶泰勒展开，即用前两项近似代替
f (x) f (xk ) f '(xk )(x xk )
则近似方程转化为 f (xk ) f ' (xk )(x xk ) 0
如果
f '(x) 0
牛顿迭代公式
xk 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
计算结果如下
(k 0,1, 2,
) 收敛
x1 0.750364 x2 0.739113 x3 0.739086 x4 0.739085
因为 x4 x3 0.000001105，所以 x4 0.739085 为满足精度要求的近似根。
)
k 0,1,2,
现在分析迭代公式的收敛性，考虑区间 (0, )
（1）f (0 0) 0, f ( 0) 0 ，故 f (0 0) f ( 0) 0
（2）当 x (0,) 时， f '(x) 0 ；
（3）当 x (0, ) 时，f '' (x) 2 0 ，连续；
满足定理５条件，牛顿迭代公式收敛。
，上式解为
x
xk
f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根 xk+1，可由牛顿迭代公式求出
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
y f x
P
x
xk
xk 1
牛顿迭代公式具有明显的几何意义 l 方程 y f (xk ) f ' (xk )(x xk )Βιβλιοθήκη Baidu是曲线 y=f(x)在点
事实上，由迭代公式可得
xk1
c
1 2xk
(xk
c)2
xk1
c
1 2xk
(xk
c)2
两式相除得到 xk1 c ( xk c )2 ，
xk1 c xk c
由此递推可得 xk c ( x0 c )2k
xk c x0 c
令
r0
x0 x0
c ，于是
c
xk xk
解得
xk
c 2
c
由条件(1)、(2)、(3)知，方程 f(x)=0在[a ,b]
内有唯一实根 x* 。
条件（4）表明曲线 y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形
y
y
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '' (x) 0 f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
因为 x*是 f(x)=0在(a,b)内的单根，
所以 f(x*)=0 且 f '(x*)≠0 x* (a, b)
由条件（2），必存在区间(c,d)，
x* (c, d ) 使 g ' (x) 在(c,d)连，且 g'(x) 1
根据定理2，牛顿迭代公式在 x* 附近局部收敛。
定理6 设 x*是方程 f(x)=0 的根，在包含 x*的某 个开区间内 f "(x) 连续且 f '(x)≠0，
1
r 2k 0
r 2k 0
c c
r 2k 0
对任意 x0 (0, ) ，总有 r0 1 ，